Løsningsforslag AA6516 Matematikk MX Privatister 10. desember 003 eksamensoppgaver.org
eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org. Løsningen er myntet på elever og privatister som vil forbrede seg til eksamen i matematikk. Lærere må gjerne bruke løsningsforslaget i undervisningsøyemed, men virksomheter har ingen rett til å anvende dokumentet. Løsningsforslagene skal utelukkende distribueres fra nettstedet eksamensoppgaver.org, da det er viktig å kunne føye til og rette eventuelle feil i ettertid. På den måten vil alle som ønsker det, til enhver tid nne det siste oppdaterte verket. eksamensoppgaver.org ønsker videre at est mulig skal få vite om eksamensløsningene, slik at det nnes et eget nettsted hvor man kan tilegne seg dette gratis. Dersom du sitter på ressurser du har mulighet til å dele med deg, eller ønsker å bidra på annen måte, håper eksamensoppgaver.org på å høre fra deg.
eksamensoppgaver.org 3 Innholdsfortegnelse oppgave 1 4 a.1.i)................................... 4 a.1.ii).................................. 4 a..i)................................... 4 a..ii).................................. 4 b.1.i)................................... 5 b.1.ii).................................. 5 b..i)................................... 5 b..ii).................................. 5 c.1.i)................................... 5 c.1.ii).................................. 6 c..i)................................... 6 c..ii).................................. 6 d.i).................................... 6 d.ii)................................... 6 e.i).................................... 7 e.ii)................................... 7 oppgave 8 a).................................... 8 b).................................... 8 c)..................................... 9 d).................................... 9 e)..................................... 10 oppgave 3 11 a).................................... 11 b).................................... 11 c)..................................... 1 oppgave 4 13 a).................................... 13 b).................................... 13 c)..................................... 13 d).................................... 13 oppgave 5 14 a).................................... 14 b).................................... 14 c)..................................... 15 d).................................... 15 e)..................................... 15
eksamensoppgaver.org 4 oppgave 1 a.1.i) e x = 7 e x = 7 ( ) 7 ln e x = ln x = ln 7 ln a.1.ii) ln x ln x = ln x ln x = ln x = x = e a..i) cos x = 0.8 x [0, 360 ] x = arccos(0.8) x 1 36.9 x 360 36.9 x 1 36.9 x 33.1 a..ii) sin x 3 sin x = 0 x [0, 360 ] Løser denne med abc-formelen sin x = ( 3) ± ( 3) 4 ( ) = 3 ± 9 + 16 4 = 3 ± 5 4 = 1 ( x = arcsin 1 ) = 30 = 360 30 180 + 30 = 330 10 arcsin() ingen løsning
eksamensoppgaver.org 5 b.1.i) f(x) = 3x 3 x deriverer f (x) = 3 3x 1 f (x) = 9x 1 b.1.ii) deriverer ved å bruke kjerneregelen g(x) = (x ) 4 ( (x g (x) = ) ) 4 ( x ) = 4 (x ) 3 x = 8x ( x ) b..i) deriverer med produktregelen h(x) = x ln x h (x) = (x) ln x + x (ln x) = ln x + x 1 x = ln x + 1 b..ii) k(x) = 3x e x deriverer med produkt- og kjerneregelen k (x) = 3 (x) e x + 3x (e x) ( x) = 3e x + 3 ( ) e x = 3e x 6e x = (1 )3e x c.1.i) 5 0 1 x3 dx = 1 1 4 x4 5 0 = 1 8 x4 5 0 = 1 8 54 = 65 8
eksamensoppgaver.org 6 c.1.ii) 1 x dx = x ln 1 = ln 1 ln = 4 ln 1 ln = 7 ln 4 c..i) 1 x dx = = ln x + C x c..ii) (e x e x) dx = e x dx e x dx = 1 ( ex 1 ) e x = ex + 1 e x = e4x + e x + C d.i) v = [ 4, b] u = [3, 5] [ 4, b] [3, 5] = 0 1 + 5b = 0 b = 1 5 dermed har vi bestemt b slik at v u d.ii) Vi vil at da kan vi sette kryssmultipliserer v u 3b 3 = b 5 5 3b = 3b 15b = 3b 3b 15b = 0 3b(b 5) = 0 b = 0 b = 5 Vi ser at løsningene for b er 5 og 0. Som vi vet står 0 normalt på, og er parallell med alle vektorer.
eksamensoppgaver.org 7 e.i) Vi bruker sinussetningen. Da nner vi at AB sin C = BC sin A Setter inn verdier og nner at AB = BC sin C sin A AB = 7.1 sin (10 ) sin (4 ) 10.4 vi har da funnet at AB er 10.4 cm. e.ii) Arealet av en trekant er gitt ved A = 1 bc sin A Dermed er 1 bc sin A = 1 ac sin B = 1 ab sin C så 1 bc sin A = 1 ac sin B videre multipliserer jeg begge sidene i denne likninga og står igjen med og dermed som vi også kan skrive 1 bc sin A abc = 1 ac sin B abc sin A a sin A a a sin A = = sin B b = sin B b b sin B = = sin C c c sin C
eksamensoppgaver.org 8 oppgave a) b) Vi har funksjonen f(x) = 4 3 x3 x og skal nne koordinatene til ekstremalpunktene på grafen. Det kan vi gjøre ved å derivere funksjonen, sette den lik null og nne x-verdiene. f (x) = 4 3 (x 3) ( x ) f (x) = 0 4x 4x = 0 4x(x 1) = 0 = 4 3 3 x x = 4x 4x x = 0 1 dermed har vi funnet x-verdiene 0 og 1. Setter disse inn i f(x) og da har vi også y-verdiene. f(0) = 0 f(1) = 4 3 13 1 = 4 3 = 3 Vi ser at f(0) > f(1) altså er f(0) et toppunkt og f(1) et bunnpunkt. B ( 1, ) 3 Da har vi T (0, 0) og
eksamensoppgaver.org 9 c) Dobbeltderiverer f(x) f (x) = 4 (x ) 4 (x) = 4 x 4 1 = 8x 4 og deretter setter vi f (x) = 0 8x 4 = 0 x = 1 som gir den momentane veksthastigheten ( ) 1 f = 4 ( ) 1 4 ( ) 1 = 4 1 4 4 = 1 = 1 Den momentane vekstfarten er altså 1 i dette punktet. d)
eksamensoppgaver.org 10 e) Vi ser av grafen i d) at skjæringspunktene mellom grafene er x = 1 og x = 0. Vi ser også at f(x) > g(x) i intervallet, derfor setter vi 0 1 Regner ut integralet 0 1 ( f(x) g(x) ) dx = 0 1 ( 4 3 x3 x 10 ) 3 x dx ( 4 3 x3 x 10 ) 3 x dx = 4 1 x4 3 x3 10 evaluerer grensene ( 4 0 1 ( 1)4 3 ( 1)3 10 ) 6 ( 1) 0 6 x 1 ( 1 = 3 + 3 5 ) = 3 3
eksamensoppgaver.org 11 oppgave 3 a) Vi er gitt punktene A(0, 0), B(15, 4.5) og C(30, 0). Disse verdiene plotter jeg inn under `STAT` på min Casio fx-9750g Plus. Ved regresjon nner jeg at a = 0.0 y = ax + bx + c b = 0.6 c = 0 Vi har altså funnet andregradsfunksjonen f(x) = 0.0x + 0.6x x [0, 30] b) Siden karmen over vinduene øverst ligger.7 meter over det høyeste punktet på buen, og det høyeste punktet er B(15, 4.5), så vil karmen beskrives av linja y = 7. Vi vet at og dermed har vi integralet y > f(x) x [0, 30] Løser dette integralet 30 0 (y f(x)) dx 30 0 ( 0.0x 0.06x + 7. ) dx = ( 0.0 (30) 3 3 0.6 (30) Arealet som skal males er 16m. [ 0.0 3 x3 0.6 ] 30 x + 7.x = 0 ) + 7. 30 0 = 180 70 + 16 = 16
eksamensoppgaver.org 1 c) De trenger hele 16 5 = 5. 5. liter maling. Da blir det billigst å kjøpe stk 10 litere â 000 kr 1 stk 5 litere â 1100 kr 1 stk 1 litere à 400 kr som koster 5500 kroner. 000 + 1100 + 400 = 5500
eksamensoppgaver.org 13 oppgave 4 a) At man kun tipper ett utfall (H, B, U) per kamp (1 stk) i rekken. Dessuten må sannsynligheten være lik for utfallet. Dvs at sannsynligheten er like stor for hjemmeseier (H), borteseier (B) og uavgjort (U). - I virkeligheten er dette ikke sannsynlig! b) Innfører den stokastiske variabelen X = `antall rette`. ( ) ( ) 1 1 10 ( ) 1 P (X = 10) = = 66 10 3 3 3 10 3 = 64 0.0005 31 altså hele 0.05% WOW! hehehe :) c) Denne kan vi gjøre på ere måter. Blant annet ved å bruke kalkulatoren. Ved å skrive inn uttrykket (1 ) ( ) 1 x ( ) 1 x x 3 3 i kalkulatoren, og bruke tabellfunksjonen, ser vi at P (X = 4) > P (X = x) altså er sannsynligheten størst for re rette på ei rekke. P (X = 4) 0.384 Den sannsynligheten er på circa 3.84%. d) Tippekongen hevder han kan få gevinst (sannsynligheten er da 1) på hver femte enkelrekke han spiller på, altså 1/5 av alle rekker han spiller. Videre vet vi at gevinst gis ved 10, 11 eller 1 rette. Vi vil nne sannsynligheten per enkeltkamp, p. Setter opp likninga ( 1 1 ) (p) 1 (1 p) 0 + Forenkler litt, og får ( 1 11 ) (p) 11 (1 p) 1 + p 1 + 1p 11 (1 p) + 66p 10 (1 p) = 0.0 ( ) 1 (p) 10 (1 p) = 1 15 10 løser så denne likningen grask på lommeregneren og nner at altså ca 67.7%(!) p 0.677
eksamensoppgaver.org 14 oppgave 5 a) Vi får oppgitt linja l slik l : { x = 5 t y = 1 3 t Og vi vet at grafen vil skjære x-aksen når y-koordinaten er null og motsatt. Setter x = 0 og regner ut y setter inn for t og regner ut y 0 = 5 t t = 5 y = 1 3 5 = 5 3 Videre fortsetter vi for å nne skjæringspunktet for l og x-aksen det gir 0 = 1 3 t t = 0 x = 5 0 = 5 dermed har vi funnet skjæringspunktene S x (5, 0) og S y ( 0, 5 3). b) Vi har to punktet A(, ) og B(5, 0), vektoren AB beskriver lengde og retning fra A til B. For å nne denne lengden og retningen, kan vi sette AB = [5, 0 ] = [3, ] altså må vi gå 5 enheter til høyre i x-retningen og enheter vertikalt i y- retningen. Lengden av AB nner vi slik: AB = 3 + ( ) = 9 + 4 = 13
eksamensoppgaver.org 15 c) Linja l har retningsvektoren; r = [ 1, 1 ] 3 Vi bruker skalarproduktet til vektorene for å avgjøre om de er ortagonale. [ r AB = 1, 1 ] ( [3, ] = 3 + ) 0 3 3 nei, de står ikke vinkelrett på hverandre, fordi skalarproduktet ikke er null. d) e) For å nne skjæringspunktene mellom linjene l og k, må vi sette l = k. 5 t = s setter inn for s i likningen for y-komponenten i linja k og løser med hensyn på t 1 3 t = 1 3 (5 t) + 11 3 1 3 t = 1 3 (5 10t + t ) + 11 3 1 3 t = 5 3 + 10 3 t 1 3 t + 11 3 Vi multipliserer alle ledd med 3 og står da igjen med t = 5 + 10t t + 11
eksamensoppgaver.org 16 som vi former om og står igjen med t 9t + 14 = 0 og dette er jo en andregradslikning vi kan løse med abc-formelen t = ( 9) ± ( 9) 4 1 14 1 t = 9 ± 81 56 t = 9 ± 5 t 1 = t = 7 Da har vi funnet begge t verdiene. Disse kan vi bruke i likninga til l og da får vi punktene x = 5 = 3 y = 1 3 = 3 og x = 5 7 = y = 1 3 7 = 7 3 ( ) ( Skjæringspunktene er altså P 1 3, 3 og P, 7 3). Dersom du er interessert, nner du ere løsningsforslag på eksamensoppgaver.org SLUTT