Eksamen T våren 06 løysing Oppgåve ( poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform,8 0 0,0005,8 0,8 0 3,6 0 0,5 0 0,5 3 3 5 Oppgåve (3 poeng) A B C D E F G H I J K L På tallinja ovanfor er det merkt av punkt. Kvart av tala nedanfor svarer til eitt av punkta A L på tallinja. Rekn ut eller forklar kvar kvart av tala skal plasserast. ) ) 4 0,5 Talet skal plasserast på punktet F 4 0 4 4 4 Talet skal plasserast på punktet L 3) lg0,00 3 lg0 3 Talet skal plasserast på punktet B 4) 5 5 4 5 9 3. Talet skal plasserast nærare enn 3 dvs. punktet I 5) tan45 motstående katet tanv. Det tyder at vi har ein rettvinkla hosliggende katet likebeina trekant, altså er hosliggjande katet motståande katet. Talet skal plasserast på punktet G 6) 3 7 3 Talet skal plasserast på punktet K
Oppgåve 3 ( poeng) Løys likningssystemet x y x 3 x y Vi bruker innsetjingsmetoden. y x x x x x 3 x 3 y x x x y x x y x x y x x y x y 0 x Vi får løysingane x y x y 0 Oppgåve 4 ( poeng) Løys ulikskapen x 3x Vi finn først nullpunkta x 3x 0 3 9 6 x 4 35 x 4 x x x x 0 Faktoriseringsformelen gir x 3x x x x x Vi bruker forteiknsskjema og finn når xx
Vi finn at x 3x for x x 0 0 Oppgåve 5 (3 poeng) Rekn ut og skriv svaret så enkelt som mogleg a) 6 3 6 3 6 3 6 3 3 b) 45 0 0 8 95 4 5 80 3 5 5 6 5 5 5 4 5 5 Oppgåve 6 ( poeng) Skriv så enkelt som mogleg x 0x5 x 50 x 5 x x x x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 5 5 5 Oppgåve 7 ( poeng) Løys likninga lg x 8 lg x lg xlg x 8 3lg x 6 lg x 0 0 lg x x 0 x 0,0
Oppgåve 8 ( poeng) Trekk saman og skriv så enkelt som mogleg x 4x 5 4x8 6x x 3 x 4x 5 4 x 3 x 6 x 3x x 8x 0 x 4x 8 x 4 x x 3 Oppgåve 9 (4 poeng) Snorre har seks blå og fire rosa ballongar. Han tek tilfeldig tre ballongar. a) Bestem sannsynet for at han tek tre blå ballongar. Sannsynet for at Snorre tek tre blå ballongar blir: 6 5 4 3 5 3 0 9 8 5 9 8 6
b) Bestem sannsynet for at han tek minst éin rosa ballong. 5 Sannsynet for at han tek minst éin rosa ballong blir: 6 6 c) Bestem sannsynet for at han tek éin rosa og to blå ballongar. Sannsynet for at Snorre tek éin rosa og to blå ballongar blir: 4 6 5 5 453 3 3 0 9 8 5 3 8 538 Oppgåve 0 (3 poeng) Funksjonane f, g og h er gitt ved f x x x ( ) 9 g x x x ( ) 0 9 h x x x ( ) 6 9 I koordinatsystemet ovanfor ser du grafane til f, g og h. Kva for ein graf er grafen til f, kva for ein graf er grafen til g, og kva for ein graf er grafen til h? Grunngi svara dine.. Det tyder at grafen til h berre har eitt nullpunkt. Det tyder at graf A er grafen til h. Vi har at hx x 6x 9 x 3
Vi set fx 0 og finn er grafen til f. Vi set gx 0 og finn er grafen til g. 4 36 3 x, altså ingen reelle nullpunkt. Det tyder at graf B 0 00 36 0 8 x, som gir to reelle nullpunkt. Det tyder at graf C Oppgåve ( poeng) Funksjonen f er gitt ved f x x x x 3 ( ) 5 3 4 a) Bestem den momentane vekstfarten til f når x. f x 3x 0x 3 f 3 0 3 0 3 5 b) Bestem den gjennomsnittlege vekstfarten til f i intervallet,3. 3 f 5 3 4 5 3 4 3 3 f 3 3 53 33 4 7 45 9 4 5 f3 f 5 3 8 Gjennomsnittleg vekstfart blir 4 3 3
Oppgåve (4 poeng) D C F A B Figuren ovanfor er sett saman av ein rettvinkla trekant ABC og tre likesida trekantar. AB 8 og BC 0. Trekanten BDC,BEA og AFE er likesida. Det tyder at høgda h Grå frå D vil halvere grunnlinja BC, høgda h Blå frå E vil halvere grunnlinja BA og høgda h Gønn frå F vil halvere grunnlinja AC, a) Vis at arealet av den grå trekanten er 5 3 Vi bruker pytagoras læresetning og finn høgda hgrå 0 5 75 53 5 3 h Grå Arealet av grå trekant er dermed 0 5 3 5 3 b) Vis at arealet av den grøne og den blå trekanten til saman er like stort som arealet av den grå trekanten. Høgda h Blå i blå trekant er hblå 8 4 48 63 4 3 Arealet av blå trekant er dermed 8 4 3 6 3 Bruker pytagoras læresetning og finn lengda AC. AC 0 8 00 64 36 6 E Høgda h Grønn i grøn trekant er hgrønn 6 3 7 93 3 3 Arealet av grøn trekant er dermed 6 3 3 9 3 Samla areal blå og grøn trekant blir 6 3 9 3 5 3 som vi skulle vise.
Oppgåve 3 ( poeng) 53 I koordinatsystemet ovanfor er det lagt inn ein vinkel på 53 med toppunkt i origo og ein kvart sirkel med sentrum i origo og radius r. Bruk koordinatsystemet til å bestemme tilnærma verdiar for sin53, cos53 og tan53. Vi har at motstående katet sinv. Det tyder at hypotenus 0,8 sin53 0,8 Vi har at hosliggende katet cos v. Det tyder at hypotenus 0,6 cos 53 0,6 Vi har at motstående katet tanv. Det tyder at hosliggende katet 0,8 4 tan53 0,6 3
Oppgåve 4 (4 poeng) f Gitt ein funksjon f. Ovanfor ser du grafen til den deriverte av funksjonen. a) For kva verdi av x har grafen til f eit toppunkt? For kva verdi av x har grafen til f eit botnpunkt? Frå grafen ser vi at stigningstalet er positivt for x0 og for x 4. For 0 x 4 er stigningstalet negativt. Det tyder at grafen til f stig fram til x 0 for så å falle mellom 0 og 4. Deretter stig grafen att. Vi har dermed toppunkt for x 0 og botnpunkt for x 4 Punktet, 3 ligg på grafen til f. b) Bestem likninga for tangenten til grafen i dette punktet. Vi ser av grafen til f at stigningstalet a er for x. Vi bruker eittpunktsformelen og finn likninga for tangenten. der og,, 3 3 x y y a x x a x y y y x 4 3 y x
DEL Med hjelpemiddel Oppgåve (4 poeng) Gå ut frå at talet på registrerte elbilar i Noreg x år etter 00 tilnærma er gitt ved funksjonen g der x 0,8 g x x x x 3 ( ) 560 767 50 577 a) Bruk grafteiknar til å teikne grafen til g. b) Bestem g (4) og g (4). Kva fortel desse verdiane om talet på elbilar? Vi bruker CAS i GeoGebra, sjå nedanfor. g 4 fortel oss at det var registrert 0 49 elbilar i Noreg i 04.
4 elbilar per år i 04. Oppgåve (3 poeng) g fortel oss at talet på registrerte elbilar var i ferd med å auke med 5 45 Tabellen nedanfor viser kor mange prosent av den norske befolkninga i aldersgruppa 6 74 år som røykte dagleg i 00, 004, 006, 009 og 0. Årstal 00 004 006 009 0 Prosent røykjarar i aldersgruppa 6 74 år 9 6 4 0 6 La x vere talet på år etter 00. (La x 0 svare til år 00, x til år 003, osv.) a) Bruk opplysningane i tabellen til å bestemme ein lineær funksjon som viser utviklinga frå 00 til 0. Vi vel å leggje inn tala i reknearket i GeoGebra og vel «Regresjonsanalyse». Deretter vel vi lineær regresjon. Den lineære funksjonen f x,8 x 8,9 viser utviklinga i prosentdelen daglegrøykjarar i perioden 00 til 0. b) Vurder om funksjonen kan brukast til å skildre ei vidare utvikling fram mot år 05. Vi les av grafen og ser at delen røykjarar etter denne modellen vil vere mindre enn 0 % i år 05. Modellen kan dermed ikkje vere gyldig heilt til år 05. Det kan nok tenkjast at modellen kan vere gyldig noko lenger enn år 0, men han vil vere dårlegare jo nærare vi kjem år 05.
Oppgåve 3 (4 poeng) I ei T-gruppe er det 6 elevar. Elevane har valt fag for neste skuleår. 0 elevar har valt faget R. 6 elevar har valt faget Fysikk. 6 elevar har verken valt R eller Fysikk. a) Systematiser opplysningane i teksten ovanfor i ein krysstabell eller i eit venndiagram. Vi vel å systematisere opplysningane i ein krysstabell. R Ikkje Sum R Fysikk 6 0 6 Ikkje Fysikk 4 6 0 Sum 0 6 6 Dei raude tala i tabellen er opplysningar gitt i oppgåva. Resten av tala i tabellen blir fylt ut når desse tala er på plass. b) Bestem sannsynet for at ein tilfeldig valt elev frå gruppa har valt R, men ikkje Fysikk. Det er 4 elevar av dei 6 elevane i T-gruppa som har valt R men ikkje Fysikk. Sannsynet blir dermed 4 6 3 Det viser seg at eleven som er trekt ut, har valt Fysikk. c) Bestem sannsynet for at denne eleven også har valt R. Vi ser frå tabellen at alle som har valt Fysikk, også har valt R. Det tyder at sannsynet blir for dette tilfellet.
Oppgåve 4 (3 poeng) I ein rettvinkla trekant ABC er A 53 og AB 0. a) Forklar at det finst to trekantar ABC som oppfyller desse vilkåra. Dei einaste opplysningane vi har om trekanten, er at A 53, AB 0 og at trekanten er rettvinkla. Det tyder at både vinkel B og vinkel C kan vere rettvinkla med høvesvis AB og AC som hypotenus, sjå trekantane nedanfor. b) Bestem BC for kvar av dei to trekantane. Vi bruker definisjonen for sinus og tangens og bestemmer lengda BC ved å bruke CAS. I trekanten til venstre ovanfor er AB hypotenus. Vi bruker sinus og finn at kateten BC 7,99. I trekanten til høgre ovanfor er AB ein av katetane. Vi bruker tangens og finn at
kateten BC 3,7. Oppgåve 5 (3 poeng) Ein funksjon f er gitt ved 3 f x x bx cx d Funksjonen har botnpunkt 3, 5 og eit nullpunkt for x 4 Bruk CAS til å bestemme b, c og d. Vi bruker opplysningane i oppgåva og set opp tre likningar. Funksjonen har eit nullpunkt for x 4 f 4 0. Vidare har funksjonen eit botnpunkt i 3, 5 I tillegg må den deriverte vere 0 når 3. Det gir likninga. Det gir likninga f 3 5. x, og vi kan setje opp likninga f 3 0 Vi finn løysingane b 5, c 3 og d 4 f x x 5x 3x 4 og dermed er 3
Oppgåve 6 (3 poeng) Figuren ovanfor er sett saman av to kvadrat. I det eine kvadratet har kvar side lengd x, og i det andre kvadratet har kvar side lengd y. Omkrinsen av heile figuren er 6. Bestem x og y slik at det samla arealet av figuren blir minst mogleg. Samla areal A av figuren er gitt ved A x y. Vi finn først eit uttrykk for omkrinsen O av figuren og løyser dette med tanke på y. Omkrinsen er gitt ved O 4x 4y. Vi veit at omkrinsen er 6 og finn eit uttrykk for y. Vidare set vi dette uttrykket inn i arealfunksjonen og teiknar grafen, sjå nedanfor. Vi bruker kommandoen «Ekstremalpunkt» og finn at arealet er minst mogleg når x. Arealet er då 8. Vi kan også leggje merke til at arealet er minst når sidekantane i dei to kvadrata er like store.
Oppgåve 7 (4 poeng) Gitt firkanten ABCD ovanfor. AB 5, BD 5 og CD 3. Bruk CAS til å bestemme arealet av firkanten eksakt. Vi vil finne arealet av firkanten ved å bruke arealsetninga på BCD og ABD. For å finne arealet av ABD finn vi først lengda AD. Vi finn denne lengda ved å bruke cosinussetninga, sjå linje nedanfor. Det er berre den positive verdien som er gyldig i denne oppgåva. I linje 3 ovanfor bruker vi arealsetninga og finn at arealet av firkanten er 45.