TMA440 Statistikk Høst 009 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b4 Løsigsskisse Oppgave Øsker å fie 99% kofidesitervall for µ µ år vi atar ormalfordeliger med lik varias. s p er gitt ved: ( x x ) t α/ s p + < µ µ < ( x x ) + t α/ s p + s p = ( )s + ( )s + = 3.5 + 5.8 4 + 6 = 46.5 8 =.6607 s p =.887 t α/,v med α = 0.0 og v = + = 8 fier vi i tabell; t 0.005,8 =.76. Dette gir: (9 7).76.887 Som gir 0.70 < µ µ < 3.30 4 + 6 < µ µ < (9 7) +.76.887 4 + 6 Oppgave = 000 gir oss ˆp = 8/000 =.8. Fra tabelle fier vi z 0.005 =.575. Ved stadard-metode fier vi Som gir oss svaret 0.94 p 0.6.8 +.575.8.77/000 Oppgave 3 Vi øsker å fie et 95% kofidesitervall for for så å bestemme om påstade = er rimelig. Det er oppgitt at = 5, x = 3 og ved regig får vi at s = 0.85. Ved å ata at dataee kommer fra e ormalfordelig vil X = ( )S χ ovigb4-lsf-b. oktober 009 Side
Dermed fier vi α = P(χ α/ < X < χ α/ ) = P(χ ( )S α/ < < χ α/ ) ( )S = P( χ < ( )S < α/ χ ) α/ P( 4 0.85.43 < < 4 0.85 0.484 ) = 0.05 P(0.93 < < 6.736) = 0.95 Dvs at et 95% kofidesitervall for er 0.93, 6.736]. Side = er med i dette itervallet virker påstade rimelig. Oppgave 4 Test asjoe Eksame desember 004, oppgave 3 av 3 Kommetar: Vi ser i dee oppgave på IQ som e kotiuerlig variabel. I IQ-tester så oppgis IQ-score som heltall, og vi vil i bedømmelse av besvarelsee ikke trekke i poeg hvis ma har valgt å rege med heltallig IQ eller har lagt til e slags kotiuitetskorreksjo, såfremt dette er begruet. Svaree ma da kommer frem til avviker svært lite fra svaree som er oppgitt i dee løsigsskisse. a) La X være IQ-score til tilfeldig valgt perso. Vi har at X er ormalfordelt med E(X) = 00 og Var(X) = 5. Hva er sasylighete for at e tilfeldig valgt perso skal få e IQ-score på mist? P(X ) = P(X < ) = P(X ) = P( X 00 5 = Φ(.47) = 0.99 = 0.0708 00 ) 5 Hvis vi tester et represetativt utvalg på 70 persoer, hva er da forvetet atall persoer som får e IQ-score på mist? Dette er e biomisk situasjo med = 70 og p = 0.0708. Forvetet atall persoer med IQ-score på mist blir p = 70 0.0708 = 9.. Vi forveter at rudt 9 persoer får e IQ-score på mist. Hva er sasylighete for at maksimal IQ-score i et tilfeldig utvalg av størrelse 70 vil være større e? P( max i=,...,70 X i > ) = P( max i=,...,70 X i ) = P(X X X 70 ) = P(X i )] 70 = (0.99) 70 =
b) Vi atar at IQ-score til e tilfeldig valgt perso er ormalfordelt med ukjet forvetigsverdi µ, me kjet stadardavvik 5. Vi har observasjoer X,X,...,X der = 4. E estimator for µ er ˆµ = i= X i = X. Her er = 5 kjet, slik at Z = X µ er stadard ormalfordelt. Vi setter opp et ( α) 00% kofidesitervall: P(X z α P( z α < Z < z α ) = α P( z α < X µ < z α ) = α < µ < X + z α ) = α Med α = 0.05 og isatt tall fra de tidligere Reality-deltakere blir itervallet 89.46,98.54], da x z α x + z α = 94.960 = 94 +.960 5 4 = 89.46 5 4 = 98.54 Etter programmet har det blitt stilt spørsmål om oppgavee i IQ-teste var for vaskelige, slik at IQ-scoree som ble oppådd var lavere e ma kue forvete. Hvis vi atar at IQ-score til e tilfeldig valgt perso er ormalfordelt med forvetigsverdi 00 og stadardavvik 5, hva er da sasylighete for at ma i et tilfeldig utvalg på 4 persoer oppår e gjeomsittlig IQ-score på midre eller lik 94? Gjeomsittet av IQ-score et tilfeldig utvalg av størrelse 4 er ormalfordelt med forvetig µ = 00 og stadardavvik 4 = 5 4 =.3 P(X 94) = P( X 00 94 00 ).3.3 = Φ(.59) = 0.0048 Dee sasylighete er lik p-verdie i e test av H 0 : µ = 00 vs H : µ < 00 basert på tallee fra de tidligere Realitydeltakere. Oppgave 5 Brospeet Eksame desember 003, oppgave 3 av 3 a) Estimatore for avstade a er gjeomsittet av uavhegige idetisk fordelte måliger, (x;a, G ).
E(â) = mboxv ar(â) = E(X i ) = i= a = a. i= Var(X i ) = i= i= G = G. Estimatore er e lieærkombiasjo av Gaussiske (Normalfordelte) tilfeldige variable, og er derfor Gaussisk; (â;a, G ). b) Side er ukjet, er ba a S G / T-fordelt med frihetsgrader. Da skal vi ha Prob( t,0.05 < T < t,0.05 ) = 0.95 Prob( t,0.05 < â a S G / < t,0.05) = 0.95 Prob(â t,0.05 S G < a < â + t,0.05 S G ) = 0.95. Med adre ord er 95%-itervallestimatore for a â t,0.05 S G,â + t,0.05 S G ]. c) For å fie SME for a og M, begyer vi med Likelihood-fuksjoe. Setter = M = G /4. L(x,...,x,y,...,y m ;a,) = = i= π G e πg e P i= (x i a) G (x i a) G m i= π m m M e πm e (y i a) M P mi= (y i a) M = (π) (m+)/ (4) me P i= (x i a) (4) P mi= (y i a). Tar logaritme for å forekle deriverige som kommer; l(x,...,x,y,...,y m ;a,) = l(l(...)) = + m i= l(π) l(4) m l() (x i a) 3 m i= (y i a). SME for a og M krever l a = 0 = l. Begyer med å derivere mhp a. l a = 3 (x i a) + (y i a) i= i= ] = (x i a) + (y i a). 6 i= i=
Setter i a SME for a og uttrykket over lik ull. Det gir (x i a SME ) + (y i a SME ) = 0 6 i= i= x i 6 6 a SME + y i ma SME = 0 i= i= ( ) 6 + m a SME = x i + y i = x 6 6 + my a SME = i= i= X + 6mY + 6m. Så gjestår derivasjo mhp. l = m + i= (x i a) 3 3 + m i= (y i a) 3. Igje setter vi dette lik ull for a = a SME og = SME : m i= + (x i a SME ) m i= SME SME 6SME 3 + (y i a SME ) SME 3 = 0 ( + m)sme = (x i a SME ) + (y i a SME ) 6 i= i= ] SME = (X i a SME ) + (Y i a SME ). + m 6 i= Dette siste uttrykket blir på ige måte eklere om e i tillegg setter i for a SME. i= Oppgave 6 Eksame desember 999, oppgåve av 5 (Merk: I følgje oppgåvetekste skal kofidesitervallet utleias, ikkje berre setjas opp!) Vi har at X,...,X er u.i.f. N(µ,0 ) og at Y,...,Y m er u.i.f. N(µ,0 ), og også at alle X i -ae er uavhegige av alle Y j -ae, i =,...,, j =,...,m. Forvetigsverdiae µ og µ er ukjede, meda variase 0 er felles og kjed. Naturleg estimator: ˆµ ˆµ = X Ȳ Då estimatore er ei lieærkombiasjo av uavhegige ormalfordelte variable er ha sjølv ormalfordelt med: E( ˆµ ˆµ ) = E( X) E(Ȳ ) = µ µ D.v.s: Var( ˆµ ˆµ ) = Var( X) + Var(Ȳ ) = 0 + 0 m. X Ȳ (µ µ ) N(0,) 0 + m
som gjev: P z α X Ȳ (µ µ ) 0 + m ( P X Ȳ z α 0 + ) m µ µ X Ȳ + z α 0 + m z α = α = α D.v.s. at vi får ( α)00% kofidesitervall ved: ] X Ȳ z α 0 + m, X Ȳ + z α 0 + m For å få umerisk svar set vi i talverdiae: x = 8.80, ȳ = 6.07, 0 =, m = = 0 og z 0.05 =.96. Får då eit 95%-kofidesitervall på: 0.977, 4.483] Oppgave 7 Ige løsigsskisse for dee oppgave