Emne 12 Mengdelære En mengde er en samling elementer. Mengden er veldefinert hvis vi entydig kan avgjøre om et vilkårlig element tilhører mengden eller ikke. Mengder på listeform. Endelige mengder:, Uendelige mengder: Her ser vi f.eks. at ( tallet 4 er et element i mengden A ) Mengdebygger: eller ( bokstaven g er ikke et element i mengden B ) ( tallet 205 er element i C siden det er delelig med 5 ) Betyr mengden av alle elementer som oppfyller betingelsen(e) Eksempler: På listeform: Betyr: B er mengden av alle positive oddetall. På listeform: Like mengder: 2 mengder er identiske,, dersom de inneholder nøyaktig samme elementer. Her er, mens Merk! En mengde endres ikke selv om vi endrer rekkefølge på 2 elementer eller repeterer et element flere ganger, men av mengdene A, B og C er det strengt tatt bare A som kan kalles veldefinert.
Standard tallmengder: Noen tallmengder er så vanlige at de har fått egne navn Eksempler: Den tomme mengde ( inneholder ingen elementer ) Mengden av alle naturlige tall Mengden av alle heltall Mengden av alle rasjonale tall ( tall som kan skrives som en brøk ) Mengden av alle reelle tall Mengden av alle komplekse tall Delmengde A er en delmengde av B dersom hvert element i A også er et element i B, skrives: Merk! Dette inkluderer muligheten. Det betyr også at, dvs. A er en delmengde av seg selv. Ekte delmengde:. Samme definisjon som over, men utelukker muligheten, dvs. at det må finnes minst ett element i B som ikke finnes i A. Eksempel :. Her kan vi skrive både og, men Potensmengde: Potensmengden til A,, er mengden av alle delmengdene til A., Mengden har altså 8 delmengder, inkludert den tomme mengde og seg selv.
Universell mengde, En universell mengde er det opp til oss selv å definere, men det må være en veldefinert mengde som omfatter alle aktuelle delmengder i en gitt problemstilling. Komplement Mengdeoperasjoner. Komplementmengden er det motsatte av A, dvs. den inneholder alle elementer som ikke finnes i A Da er Venn-diagram: U Union Unionen av A og B er alle elementer som er med i A eller B eller begge ( A og/eller B ) Venn-diagram: U
Snitt Snittet av A og B er alle elementer som er med i både A og B, dvs. de elementene A og B har felles. Venn-diagram: U Differens (relativt komplement) Differensmengden A minus B er alle elementer som er med i A, men ikke i B ( dvs. de elementene som kun finnes i A ) Venn-diagram: U Merk! Disjunkte mengder: 2 mengder som ikke har noen felles elementer, dvs. Venn-diagram: A B
Noen mengdeidentiteter Kommutative lover: Idempotente lover: Identitetslover: Domineringslover: Komplementære lover: Assosiative lover: Distributive lover: Dobbel negasjon: DeMorgans lover:
,, ( Betyr: Alle element i U som er delelig med 3 ) På listeform: Noen mengder:,, Finn et uttrykk for de skraverte mengdene, og skriv opp elementene på listeform. A B C Telleoppgaver I noen sammenhenger er vi mer interessert i antall elementer enn type element. Når vi skal finne antall elementer i en sammensatt mengde er det viktig at vi ikke teller de samme elementene flere ganger Mengde: Antall elementer i mengden:
Med 2 delmengder: Grafisk bevis : A B A B A B A B Gitt universalmengden og delmengdene Hvor mange av elementene i U er delelig med 9 eller 15? Svaret må være, men vi må først finne Antall elementer totalt Antall elementer delelig med 9 Antall elementer delelig med 15. NB! Viktig å avrunde nedover! Antall elementer delelig med både 9 og 15 Obs! Her må vi dele på 45 og ikke. Siden og, blir minste felles multiplum Svar:
Med 3 delmengder: Det foretas en spørreundersøkelse. Av 1000 spurte svarer 320 at de leser VG daglig, 194 leser Dagbladet og 243 leser Aftenposten. 74 leser VG og Dagbladet, 112 leser VG og Aftenposten, mens 30 leser Dagbladet og Aftenposten. 26 svarer at de leser alle 3 avisene daglig. Hvor mange leser daglig: a) Minst én av de 3 avisene? b) VG og Dagbladet, men ikke Aftenposten? c) Kun Aftenposten? d) Ingen av avisene? For enkelthets skyld kaller vi mengden av VG-, Dagbladet- og Aftenpostenlesere for hhv. A, B og C. Da har vi: Svar: Og videre: a) Antallet som leser minst én av avisene: b) Her kan det lønne seg å bruke et Venndiagram A B A B A B C C C Antall som leser både A og B, men ikke C:
Eksempel forts. c) A B A B A B A B A B C C C C C Leser kun C: d) (Antall spurte) Leser ingen av avisene: Kartesisk produkt Gitt 2 mengder A og B. Det kartesiske produktet tallpar gir mengden av alle ordnede gir: Merk! Rekkefølgen har betydning, dvs. i praksis x-y-planet. Kan selvsagt ha flere mengder, f.eks. gir ordnede talltripler, osv
Mengdene kan i seg selv være kartesiske mengder! Eksempel Mengden av alle ordnede tallpar ( x, y ) på eller innenfor sirkelen Skissert: 1 y y A x -1 1 0 1 1 B x -1-1 Det gir f.eks. (grafisk løsning) Snittmengden : Differensmengden : 1 y 1 y A x -1 1 0 1 B x -1-1