Høyskolen i Buskerud Eksamen i matematikk. års grunnutdanning Mandag den. desember 00 OPPGVE. Deriver funksjonene a) f ( ) 5 + -- f ( ) 5 + -- 5 + -- b) f ( ) f ( ) ---------- ---------------------------------------- ( ) ------------------------------ ( ) ( ) ------------------ ( ) c) Løs ulikheten ------------- + + ------------- + + ------------- + + 0 Her setter vi utrykkene på venstre side på felles brøk ------------- + + 0 ---------------------------------- + + --------------------------------------- + ( + ) + 0 ------------------------- + 0 Telleren må faktoriseres, vi løser den tilsvarende likning 0 Da blir ulikheten seende slik ut og den kan vi finne ut av i et fortegnsdia- -------------------------------- ( ) ( + ) + 0 gram.
Kapittel - - + + Brøk Ulikheten er tilfredstilt for < d) Beregn integralet ( e + ) d ( e + ) d -- --e + ----------- + C -- + -- --e + -- + C -- e) Løs likningen Vi kaller 5 + 6 0 P ( ) 5 + 6 Her må vi se at er løsning i likningen P ( ) 0 da for eksempel P( ) 5 + 6 0 Da vi P ( ) være delelig med. 5 + 6 : 6 ( ) 5 ( + ) 6 + 6 6 + 6 Da står det igjen å løse annengradslikningen.
6 0 ± ( 6) ± 5 ------------------------------------ ----------- Løsningen til P ( ) 0 er OPPGVE. Funksjonen f er gitt ved f ( ) a) Vi skal avgjøre når f > 0, f < 0 og når f 0 Funksjonen kan skrives som f ( ) ( ) f ( ) 0 Her ser vi at f > 0 når > f 0 når 0 og f < 0 når < 0 0 < < b) For å avgjøre når f vokser og når f avtar, finner vi f ( ) -- og drøfter den i et fortegnsdiagram: f ( ) 0 -- -- f ( ) Konklusjon f ( ) vokser når < 0 og > --
Kapittel Maksimalpunkt avtar når 0 < < -- 0 y 0 Minimalpunkt -- y -----, 9 7 c) Vi avgjør nå f er konveks og når f er konkav ved å se på fortegnsdiagrammet til den annenderiverte. f ( ) 6 6 -- Fortegnet til f ( ) varierer bare med -- f ( ) er konveks for > -- konkav for < -- Vendepunkt har vi i -- y 6 ----- 0, 59 7 d) Funksjonen g er gitt ved g ( ) e f ( ) Vi skal tegn grafene til f og g i samme koordinatsystem. Drøft likningen g ( ) t der t er et vilkårlig reelt tall. Grafen til y t er en horisontal linje i avstand t over eller under -aksen. De to funksjonene f ( ) og g ( ) må ha ekstremalpunkter for de samme -verdier da g ( ) e f ( ) f ( ). Drøftingen av likningen kan derfor begrenses til å finne antall skjæringspunkter mellom denne linjen og y g( ) Ingen løsning t < 0 løsning når t > eller 0 < t < 0,
5 løsninger når t eller t 0, løsninger når 0, < t < OPPGVE. a) Vi setter Lånet L 600000 vdrag Nedbetalingstid n n 0 n 5... n ----------- 08, ------------- 08, ------------- 08, : : ------------- 08, n Summen av leddene til venstre er lik lånet L. L -----------, 08 + -------------, 08 + -------------, 08 + + -------------, 08 n som gir formel for termininnbetalingen : L --------------------------------------------- ----------- n -----------, 08 ----------------------------, 08 -----------, 08 Setter vi n 0, får vi 0 6 Setter vi n 5, får vi 5 5607 Differansen er kr 90 per termin.
6 Kapittel b) Grensekostnaden ved produksjon av enheter av en elektronisk komponent er K ( ) 0, 0 + 00 Da er kostnadsfunkjonen K ( ): K ( ) ( 0, 0 + 00 ) d 00, + 00 + C hvor C 60000, er de faste kostnadene. c) Enhetskostnaden er gitt ved at K ( ) ( ) ----------- 0, 0 + 00 + 60000 Den som minimerer finnes ved å derivere 60000 ( ) 00, ----------------- og løse likningen 60000 0, 0 ----------------- 0 60000 ----------------- 0, 0 00 Minimumsverdien av er ( 00) 0 0 00 60000, + 00 + ----------------- 00 00 OPPGVE. Vi har gitt funksjonen f fy (, ) y y + y + a) De partielle deriverte av. og. orden til fy (, ) er f y y + y f y y + f y f y y + f yy b) De stasjonære punktene til funksjonen finnes av likningene I: f y y + y 0 y( y + ) 0
7 II: f y y + 0 y ( + ) 0 v I y 0 som medfører av likning II at Stasj. punkt (, 0) v II 0 som medfører av likning I at y Stasj. punkt ( 0, ) v I og II 0 og y 0 Stasj. punkt ( 00, ) v I v II y + 0 y y + 0 y som gir oss to likninger med to ukjente. Løsningen er og y Stasj. punkt (, ) c) Vi klassifiser de stasjonære punktene ved hjelp av tabellen: Punkt B C C B Type ( 00, ) 0 0-9 Sadelpunkt (, ) - Minimum (, 0) 0 - -9 Sadelpunkt ( 0, ) 6-0 -9 Sadelpunkt La funksjonen g være gitt ved og anta at gy (, ) ------------------------ ln[ fy (, )] 0 y 0 y + d) Finn maksimum og minimum av g under de gitte bibetingelsene. Vi setter bibetingelsen y inn i funksjonsuttrykket for f: fy (, ) ( ) ( ) + ( ) + ( + ) + + + +
8 Kapittel f 6 + f Ved å sette f 6 + 0, får vi -- 0, 58. Da er y 0, og fy (, ), 77 Negativ verdi forkaster vi på grunn av bibetingelsen. For denne verdien av er den annenderiverte negativ, vi har et maksimum for f, det samme for lnf. Da har gy (, ) ------------------------ ln[ fy (, )] 0, 98 sitt minimum. Langs randen hvor y 0 er g( 0, 0) ------------------------- ln [ f( 0, 0) ] som gir maksimum for gy (, ). -------, ln