Eksamen S1 hausten 015 løysing Oppgåve 1 (5 poeng) Løys likningane nedanfor a) x 3x 0 x(x3) 0 x 0 x 3 0 3 x 0 x b) 3 1 17 x 4 lg 3 x1 34 lg 3 x1 34 3x 1 lg 34lg 3x 1 lg lg 34 lg lg 3x 1 34 3 x 33 3 3 x 11 Alternativ løysing. Sidan grunntala i potensane er like, må eksponentane vere like. lg 3x1 34 lg 3x1 34 3x 1 34 3x 33 3 3 x 11 Eksamen MAT306 matematikk S1 hausten 015 - løysing
c) lgx 3 lg x lg x 0 lg x lg 3 10 10 3 x 1 1000 x 1 1000 x 999 Oppgåve (3 poeng) Skriv uttrykka så enkelt som mogleg a) 8a a b 3 1 ab 3 1 3 3 1 a 8a a b a b ab a b a b) x yx yy xy xx yx y x yx yy xy xx yx y y x Eksamen MAT306 matematikk S1 hausten 015 - løysing
Oppgåve 3 (3 poeng) Løys likningssystemet x x y 7 3x y 5 3x y 5 y 3x 5 x x 3x 5 7 x x1 0 4 1 x 4 4 1 x 4 100 10 x 4 4 x 3 x y 3 3 5 14 y 3 5 1 Løysingane er,1 3, 14 Eksamen MAT306 matematikk S1 hausten 015 - løysing
Oppgåve 4 ( poeng) Løys ulikskapen x x 3 1 0 Set uttrykket lik null x x 3 1 0 x 0 x1 0 x x 1 Vi veit no at uttrykket 3x x 1 er lik null når x 1 og når x. Det er berre for desse verdiane av x at ulikskapen skiftar forteikn. Vi tek stikkprøve for x - verdiar mindre enn 1, x - verdiar mellom 1 og og for x - verdiar større enn. x x x og finn: 3 1 Vi set inn Vi set inn 0 Vi set inn x 3 3 1 " " negativt x og finn: 30 01 " " positivt og finn: 3 Vi kan då setje opp forteiknslinja - verdiar -1 0 0 Oppgåva var å finne ut når 3 1 Løysing x, 1, x x var mindre enn null. Eksamen MAT306 matematikk S1 hausten 015 - løysing
Oppgåve 5 (5 poeng) Funksjonen f er gjeven ved 3 f x x x x 3 a) Bestem funksjonen si gjennomsnittlege vekstfart i intervallet 0,. Gjennomsnittleg vekstfart for funksjonen i intervallet 0, er 3 3 3 0 0 0 3 f x f x1 f f 0 1 x x 0 1 b) Bestem f' x og bruk denne til å avgjere om grafen til f stig eller søkk for x 0. f ' x 3x x 1 f ' 0 3001 1, Eg finn Når den deriverte er negativ vil det seie at stigningstalet til tangenten i punktet er negativ. Grafen til funksjonen søkk. c) Bestem x-verdien til eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. I eventuelle topp- og botnpunkt er den deriverte lik null. f' x 0 3x x1 0 4 3 1 x 3 4 1 4 x 6 6 1 x 1 x 3 1 Det betyr at f ' x x 1x 3 Eg tek stikkprøvar for å finne forteiknet til den deriverte i aktuelle intervall f ' 1 3 1 1 1 4 positivt f' 0 3 0 0 1 1 negativt f' 3 1 7 positiv Eg lagar forteiknslinje - verdiar 1 0 0 Eksamen MAT306 matematikk S1 hausten 015 - løysing
1 Grafen stig for x, grafen fell for 3 3 1 1 3 x og grafen stig for x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 9 81 86 5 f 3 3 3 3 3 3 3 7 9 3 7 7 7 Grafen har toppunkt i 1 1 1 5, f,3 3 3 3 7 3 f 1 1 1 1 3 Grafen har botnpunkt i 1, f 1 1, Oppgåve 6 (4 poeng) Funksjonen g er gjeven ved g x x 3 x 1, x 1 a) Bestem grafen sine skjeringspunkt med koordinataksane. Grafen skjer x-aksen når gx 0 x 3 0 x 1 x 3 0 x 3 x 3 Grafen si skjering med x-aksen er,0 3 Grafen skjer y-aksen for x 0 0 3 g 0 3 01 Grafen si skjering med y-aksen er 0, 3 b) Lag ei skisse av grafen til g med eventuelle asymptotar i eit koordinatsystem. Horisontal asymptote finn eg ved å finne grenseverdien når x blir uendeleg stor eller uendeleg liten. x 3 x 3 lim gx lim lim x x x x x 1 x x 1 x x Horisontal asymptote er i y =. Vertikal asymptote finn eg ved å setje nemnarar lik null. Eksamen MAT306 matematikk S1 hausten 015 - løysing
x 10 x 1 er vertikal asymptote Oppgåve 7 (6 poeng) a) Skriv ned dei 6 første radene i Pascals taltrekant. 1 11 1 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 I kjøleskapet står det fem flasker brus: sitronbrus, appelsinbrus, pærebrus, champagnebrus og cola. Erik skal hente tre av flaskene. b) Kor mange moglege kombinasjonar av flasker kan han velje? Talet på moglege kombinasjonar når du tek 3 av 5 ulike brus, finn eg ved å sjå på Pascals taltrekant i oppgåve a). 5. linje og tal nummer 3 er 10. Erik tek tilfeldig tre flasker. c) Bestem sannsynet for at colaflaska er éi av dei tre. Sannsynet for at colaflaska er ei av dei tre er Eksamen MAT306 matematikk S1 hausten 015 - løysing
1 4 43 1 1 1 3 P(éi er cola) 0,6 5 10 5 3 Det er 60 % sannsyn for at éi av dei tre flaskene er cola. Oppgåve 8 (6 poeng) Ein bonde eig eit område som er 15 dekar stort. Han vil dyrke potet og gulrøter. Det tek 5 timar å klargjere 1 dekar for gulrotdyrking og,5 timer å klargjere 1 dekar for potetdyrking. Han kan maksimalt bruke 50 timar på å klargjere området. Bonden lurar på kor stor del av arealet han bør bruke til gulrøter, og kor stor del han bør bruke til potet, for at inntekta skal bli størst mogleg. Vi tenkjer oss at han brukar x dekar til gulrotdyrking og y dekar til potetdyrking. a) Forklar at situasjonen ovanfor gjev oss følgjande ulikskapar x 0 y 0 xy15 xy0 Talet på dekar som skal dyrkast må vere større enn eller lik null, fordi bonden ikkje kan dyrke eit negativt areal. Difor må både x og y vere større enn eller lik null x0 og y 0. Bonden har totalt 15 dekar, difor kan ikkje talet på dekar gulrøter og potet bli større enn dette til saman xy 15 Bonden brukar 5 timar på gulrot (5x) og,5 timar på potet (,5y) og dette skal til saman bli under 50. Eg set opp ei likning og forkortar 5x,5y50 5x,5y 50,5,5,5 xy0 Eksamen MAT306 matematikk S1 hausten 015 - løysing
b) Skraver i eit koordinatsystem området som er avgrensa av ulikskapane. Bonden reknar med at inntekta frå avlinga er 1 000 kroner for kvart dekar han brukar til gulrøter, og 8000 kroner for kvart dekar han brukar til potet. c) Kor stor del av arealet må han bruke til gulrøter, og kor stor del må han bruke til potet, for at den samla inntekta skal bli størst mogleg? Kor stor blir inntekta då? Eg undersøkjer kva inntekta blir i dei tre hjørna på området 0,15, 5,10 og 10,0. x0 og y15 gjev inntekta 01000kr 15 8000kr 10000kr x5 og y 10 gjev inntekta 51000kr 108000kr 140000kr x10 og y0gjev inntekta 101000kr 08000kr 10000kr Bonden får høgast samla inntekt om han dyrkar 1 3 av jorda med gulrøter og av jorda 3 med potet. Då blir inntekta 140 000 kr. Eksamen MAT306 matematikk S1 hausten 015 - løysing
Oppgåve 9 ( poeng) Løys likninga x x 4 6 8 0 x x x 6 8 0, set u u 6u 8 0 6 6 418 u 1 6 36 3 u 1 6 u u u 4 x x 4 x x 1 x 1 x Eksamen MAT306 matematikk S1 hausten 015 - løysing
Oppgåve 1 (5 poeng) I ei S1-gruppe er det 10 gutar og 15 jenter. Geir er elev i gruppa. Seks av elevane skal trekkast ut til munnleg eksamen i faget. Vi går ut frå at det skjer ved loddtrekking. a) Bestem sannsynet for at det blir trekt ut 3 gutar og 3 jenter. Dette er ei hypergeometrisk fordeling med GeoGebra. n 10. Eg brukar sannsynsverktøyet i Sannsynet for at tre jenter blir trekte ut er 30,8 %. b) Bestem sannsynet for at det blir trekt ut både gutar og jenter. Dette er ei hypergeometrisk fordeling med n 15. Eg brukar sannsynsverktøyet i GeoGebra. Sannsynet for at både jenter og gutar blir trekte ut er 97,1 %. c) Bestem sannsynet for at det blir trekt ut 3 gutar og 3 jenter, der Geir er éin av gutane. 1915 1 3 PGeir blir trekt ut 5 6 Sannsynet for at Geir er ein av gutane som trekkast ut er ca. 9,5 %. Eksamen MAT306 matematikk S1 hausten 015 - løysing
Oppgåve (6 poeng) Kroppsmasseindeksen BMI er ein internasjonal standard som brukast for å seie noko om vekt i høve til høgde hjå vaksne menneske. Formelen som brukast, er BMI m h Her er m vekta i kilogram, medan h er høgda i meter. a) Bestem BMI for ein person som veg 78 kg og er 177 cm høg. BMI for ein person som veg 78 kg og er 1,77 m høg er ca. 4,9 kg/m. b) Bestem høgda til ein person som veg 85 kg og har BMI lik 8. Eg brukar CAS i GeoGebra til å løyse likninga Den negative løysinga er ikkje relevant. Høgda til personen er 174 cm. Eksamen MAT306 matematikk S1 hausten 015 - løysing
Svein er 4 kg tyngre og 4 cm høgare enn Terje. Begge har BMI lik 8. c) Set opp eit likningssystem og bruk CAS til å bestemme høgde og vekt for Svein og Terje. Terje er 177 cm høg og veg 87,3 kg, medan Svein er 181 cm høg og veg 91,3 kg. Eksamen MAT306 matematikk S1 hausten 015 - løysing
Oppgåve 3 (8 poeng) Tabellen nedanfor viser gjennomsnittleg månadsløn for heiltidstilsette norske arbeidstakarar i nokre år i tidsrommet 1998-008. a) Bruk regresjon til å finne ein eksponentialfunksjon som beskriv månadsløna som funksjon av talet på år etter 1998. Kva er den årlege prosentvise lønsveksten ifølgje denne modellen? Eg brukar regresjonsanalyse i GeoGebra, set 1998 som x 0, og vel eksponentiell modell Ein eksponentiell funksjon som modell for gjennomsnittleg månadsløn er gjeven ved g x 1649,9 1,046 x Den prosentvise årlege endringa er ifølgje modellen 4,6 %. b) Kva blir gjennomsnittleg månadsløn i 015 ifølgje denne modellen? Eg finn gjennomsnittleg månadsløn i år 015 når x 17 Gjennomsnittleg månadsløn i 015 vil i følgje modellen vere omtrent 46 500 kroner. Prisane på varer og tenester har auka med ca.,5 % per år dei siste tiåra. c) Lag ein modell for den gjennomsnittlege månadsløna x år etter 1998 om løna følgjer prisutviklinga. Om prisveksten skal vere,5 % får vi ein vekstfaktor på 1,05 og ein startverdi på 1600. Ein modell for situasjonen kan vere funksjonen hx 1600 1,05 x. d) I kva år ville modellen i oppgåve a) ha gjeve ei gjennomsnittleg månadsløn som er 10 000 kroner høgare enn den gjennomsnittlege månadsløna i modellen i oppgåve c)? Eksamen MAT306 matematikk S1 hausten 015 - løysing
Eg definerer funksjonen h i GeoGebra og løyser likninga På slutten av 011, vil modellen i a) gje 10 000 kroner høgare gjennomsnittsløn enn modellen i c). Oppgåve 4 (5 poeng) På figuren nedanfor ser du grafen til funksjonen f gjeven ved f x 5, x 0 x Rektangelet OABC er laga slik at B ligg på grafen til f. a) Vis at arealet F til rektangelet kan skrivast som F x 5x x Areal av eit rektangel er lengde multiplisert med høgde. Lengda er x og høgda er f(x). 5 5x A x f x x x x b) Bruk grafteiknar til å bestemme x slik at rektangelet får areal lik 1,0. Eg teikna grafen til F x i GeoGebra saman med linja y 1,0, Deretter valde eg Eksamen MAT306 matematikk S1 hausten 015 - løysing
kommandoen «Skjering mellom to objekt» og fann dei to punkta A og B. Arealet er lik 1,0 når x0,44 og x 4,56. c) Bruk CAS til å bestemme eksakt x-verdi når rektangelet har størst mogleg areal. Bestem det største arealet. Eg brukar CAS i GeoGebra til å derivere funksjonen for arealet, F(x). Set deretter den deriverte lik null for å finne eventuelle topp- og botnpunkt. Funksjonen har ekstremalpunkt for x. Eg kan sjå bort frå den negative løysinga fordi funksjonen berre er definert for positive tal. Eg ser også av grafen i b) at dette er eit toppunkt. 5 Det største moglege arealet er F 4 Eksamen MAT306 matematikk S1 hausten 015 - løysing
Kjelder Oppgåver med bilete, teikningar og grafiske framstillingar: Utdanningsdirektoratet Løysingar: Elisabet Romedal, NDLA matematikk. Eksamen MAT306 matematikk S1 hausten 015 - løysing