Vektorvaluerte funksjoner

Versjon per 8.09.05. Parametriserte kurver Vektorvaluerte funksjoner Hans Petter Hornæs Forelesningsnotat til Matematikk 0 ved HiG, høst 005. Grafen til en kontinuerlig funksjon f av en variabel kan som kjent skisseres i xy planet, og gir en sammenhengende kurve. Det er imidlertid begrenset hva slags kurver vi kan få frampå denne måten, først og fremst på grunn av begrensningen at det bare skal være en funksjonsverdi (y verdi) til hver argumentverdi (x verdi). Vi kan få til mye større fleksibilitet i hvilke kurver vi kan gi beskrive (og for eksempel plotte i Maple) ved åbrukeparametriserte kurver. Foe en parametrisert kurve gir vi x ogy koordinaten separat som funksjon av en tredje variabel kalt parameteren. Vi skal ofte bruke bokstaven t for parameteren, og da er den parametriserte kurven mengden av alle punkter med koordinater på formen(x(t),y(t)).. Eksempel, lineære funksjoner Vi ser først på et eksempel der både x og y er lineære funksjoner (det vil si polynomfunksjoner av grad ) gitt ved: x(t) =5t, y(t) =t 3 Vi kan regne ut koordinatene til noen punkter på denne kurven: t 0 3 4 5 x(t) 7 3 8 3 y(t) 3 3 5 7 (x, y) (, 3) ( 7, ) (, ) (3, 3) (8, 5) (3, 7) Når vi tegner disse punktene inn i xy planet ser vi at de ligger pent på en rett linje, med samme avstand. Vi skal senere gi et argument for at det faktisk blir en rett linje hver gang begge funksjonene er lineære. Vi tegner også inn denne linja. Kurven parametrisert ved x(t) =5t, y(t) =t 3 for t [0, 5] y 7 t =5 6 5 t =4 4 3 t =3 t = x ---0-9 -8-7 -6-5 -4-3 - - 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 - t = - -3 t =0 Det framkommer ikke av selve kurven (linja) hvilke t verdier som hører til hvilke punkter på linja. Dette er her skrevet ved siden av de utregnede punktene.

Hvis vi sier at definisjonsområdet til t er intervallet [0, 5] får vi akkurat det linjestykket som er tegnet her. Hvis vi isteden tillater alle t R betyr det at vi har hele den uendelig lange linja dette er en del av.. Eksempel, parametrisering av en sirkel. Hvis vi skal parametrisere en sirkel med sentrum i origo og radius R kan vi bruke vinkelen mellom den positive x aksen og linjestykket ut til det løpende punktet på sirkelen (polarvinkelen) som parameter. Sirkel parametrisert med polarvinkelen som parameter t y R (x(t),y(t)) t x I den rettvinklede trekanten som er skissert er x(t)/r = cos(t), siden cosinus er lengden av hosliggende katet dividert med hypotenusen. Tilsvarende er y(t)/r = sin(t). Dette gjelder også om vi har (x(t),y(t)) i en av de andre kvadrantene. Ved litt omforming av disse to likningene får vi Parametrisering av sirkel med sentrum i origo og radius R: x(t) =R cos(t), y(t) =R sin(t) (0 t π) () At parameteren t velges i intervallet [0, π] (eller et annet intervall med bredde π) gjør at sirkelen blir gjennomløpt en gang. Velger vi et kortere område får vi en del av sirkelen, for eksempel gir t [0,π/] en kvartsirkel. Velger vi et område bredere enn π får vi bare de samme punktene opp igjen (punktet (x(t),y(t)) løper mer enn en runde gjennom sirkelen). En av fordelene med parametrisering er at det lett utvides til å parametrisere kurver i rommet, ved åha med en tredje funksjon z(t) forz koordinaten. For eksempel er kurven parametrisert ved x(t) =cos(t), y(t) =sin(t) ogz(t) =t/5 enhelix (form som en Grafen til en kontinuerlig funksjon i to variable f(x, y) (eller løsningsmengden til en likning med tre ukjente x, y og z) girderimotenflate i rommet.

spiralfjær). Den ser slik ut: - - 0 0 0 Punkter i planet (eller rommet) kan identifiseres med vektorer, og dette gir opphav til en litt annen måte å betrakte parametriserte kurver på. Fordelen med den måten er blant annet at da har vi vektorregningen som verktøy til å behandle parametriserte kurver. Dette behandles i avsnitt 3, men tar først med en kort repetisjon av vektorer. Vektorer. Vektorer som retning og lengde. Vektorer stammer opprinnelig fra fysikk, der de blant annet brukes til å beskrive størrelser som for eksempel hastighet, aksellerasjon og kraft. Dette er størrelser med to atributter, størrelse og retning. Disse kan da illustreres med piler som angir retningen, og der lengden på pila tilsvarer størrelsen. Navn på vektorer angis gjerne på trykk med fet skrift, som i v. Ihåndskrift angis det gjerne med en pil over navnet, som i v. To vektorer v og u, medv = u v u Siden de to atributtene retning og lengde er like for vektorene i figuren er v = u, selvomdealtså er plassert på forskjellig sted. Det er viktig å skille mellom vektorer (med sine to attributter) og skalarer. Skalarer er reelle tall, eller bokstavuttrykk som gir reelle tall ved insetting av verdier (parametre, variabler eller funksjonsuttrykk). Navn på skalarer skrives med vanlig tykkelse (og uten pil), slik at x eller x gjenkjennes som navn på vektorer, mens x er navn på enskalar. For vektorer har vi definert to viktige operasjoner, multiplikasjon med skalar og addisjon av to vektorer. Definisjonene er opprinnelig motivert fra fysikk, for eksempel ut fra hvordan den samlede virkningen av to krefter er. Multiplikasjon med skalar bevarer retningen, bortsett fra at den snues 80 hvis skalaren er negativ, og endrer størrelsen (lengden) med en faktor som er absolutverdien av skalaren. Dette framgår av en figur med et par eksempler: 3

Multiplikasjon av vektor med skalar. v v 0.5v v = v Addisjon av vektorer foregår ved parallelogramloven. Detvilsiathvisvitegnervektorenev og u med felles startpunkt og lar dette være to av de fire sidene i et parallellogram, blir diagonalen med samme startpunkt summen v + u. En alternativ og ofte nyttig måte å se dette på eratvedåtegneu med start der v slutter, blir v + u vektoren fra startpunktet til v til sluttpunktet til u. I figuren ser vi at disse to måtene åse det på er like, i siste variant er bare u tegnet som den annen av sidene i parallelogrammet. Siden retning og lengde er uendret er det den samme vektoren: Vektoraddisjon med parallelogramloven. Addisjon som den ene vektoren etterfulgt av den andre. u v + u v v + u u v Vanlige regneregler som vi kjenner fra tall gjelder disse operasjonene så langt de gir mening. For eksempel gjelder følgende omforming: v +(u v) =u. Dette betyr at u v er den vektoren vi må addere til v for åfå u. For eksempel kan vi ved parallelogramloven tegne u som en diagonal og v som den ene siden, og den andre siden blir differensen u v. Etalternativeråtenkepå u v som u +( v), og addere u og den vektoren som er motsatt rettet og like lang som v ved parallelogramloven. Den mest interessante tolkningen av u v har vi nok med den andre varianten av figuren for vektoraddisjon. Siden v +(u v) =u kan vi bruke samme figur, med navnet u erstattet med u v, ogv + u erstattet med u: u v som vektoren fra endepunktet av v til endepunktet av u. u u v v Det vi har sagt så langt gjelder enten vi tenker på at vektorene (pilene) er avgrenset til åholdesegietplan, eller om vi tillater at retningen peker i vilkårlige retninger i et 3-dimensjonalt rom. I fortsettelsen skal vi skille mellom vektorer i planet og rommet.. Vektorer i kartesiske koordinatsystem. Vi tenker oss nå at alle aktuelle vektorer ligger i et plan, der vi har lagt inn et to dimensjonalt kartesisk koordinatsystem (xy planet). I dette planet kan et punkt entydig identifiseres med et 4

ordnet par av reelle tall, (x, y), som kalles punktets koordinater. Mengen av slike par kalles R,men vi kaller ofte også xy-planet selv for R. En vilkårlig vektor u i R kan parallellforskyves til en vektor v med begynnelsespunkt i origo. Siden lengde og retning er bevart, er u = v, og vi skal vanligvis ikke skille mellom disse to. y Vektorer i planet. 4 3 u (x, y) v 0-0 3 4 5 6 7 - x La (x, y) være koordinatene i endepunktet når vektoren er plassert med start i origo. Da er koordinatene entydig bestemt av vektoren. I figuren over har vi for eksempel (x, y) =(3, ). Hvis vi omvendt starter med et punkt i planet, finnes det en entydig vektor som ender i dette punktet når den plasseres med start i origo. Dette betyr at det er en naturlig en til en korrespondanse mellom vektorer i planet og punkter i planet. Dette gir også en måte å angi en vektor analytisk på (dvs. med tall, istedenfor geometrisk, som piler), ved å gi disse koordinatene. For å opprettholde et lite skille mellom punkter og vektorer brukes ofte hakeparenteser istedenfor vanlige parenteser når tallparet skal oppfattes som en vektor. For vektorene i forrige figur har vi dermed u = v =[3, ]. I Matematikk 0 er vi mer opptatt av likhetene, at punkter og vektorer igrunnen er det samme, enn av forskjellen på disse to typene objekter. Det er ofte hensiktsmessig og naturlig å tegne, eller tenke på, vektorer som punkter snarere enn som piler. Mengden av vektorer i planet skal vi (også) kalle R... Multiplikasjon med skalar og addisjon av vektorer i xy planet. En av fordelen med skrivemåten [x, y] for en vektor i R er at multiplikasjon med skalar og vektoraddisjon følger en veldig enkel oppskrift: Multiplikasjon med skalar utføres med at skalaren multipliseres med hver koordinat. For eksempel om v =[3, ] er v =[3, ] = [ 3, ] = [6, ]. Dette tilsvarer den geometriske definisjonen, retningen bevares og lengden fordobles. Vektoraddisjon utføres ved at de to førstekoordinatene adderes til førstekoordinaten i summen, og tilsvarende med andrekoordinatene. For eksempel er [3, ] + [, ] = [3 +, +]=[5, 3], og dette tilsvarer parallellogramloven: 5

Koordinatvis addisjon tilsvarer parallellogramloven. 4 [3 +, +] 3 [, ] =[5, 3] u 0 v [3, ] - 0 3 4 5 6 7 -.. Vektorer i rommet. I det 3 dimensjonale kartesiske rommet har vi tre akser, x, y og z aksen, som vi (ihvertfall i dette faget) plasserer normalt på hverandre. Et punkt får på tilsvarende måte som i xy planet, tre koordinater, (x, y, z). Vi kaller mengden av slike ordnetde tripler R 3, men vil også bruke denne betegnelesen på (det geometrisek objektet) rommet med disse aksene, og etterhvert for vektorene i dette rommet. Vi plasserer, på tilsvarende måte som i planet, en vektor i standardposisjonen, og angir da vektoren som [x, y, z] hvis endepunktet faller i punktet med koordinater (x, y, z). Vi skal (nesten) ikke skille mellom punkter i rommet og vektorer i rommet. Multiplikasjon med skalar utføres ved at skalaren multipliseres inn i hver komponent, f.eks er 5[,, 3] = [5, 0, 5]. Vektoraddisjon foregår komponentvis, f.eks [,, 3] + [4, 3, 3] = [ + 4, +( 3), 3+( 3)] = [5,, 0]. Disse operasjonene tilsvarer de geometriske definisjonene av de samme operasjonene på piler...3 Skalarprodukt og norm. Norm. Hvis vi tegner inn vektoren med standardrepresentasjon [x, y] ixy planet, kan vi ved hjelp av den indikerte trekanten og den Pythagoreiske læresetning bestemme lengden av vektoren: Norm (lengde) til en vektor. 3 [x, y] x + y y x 3 4 Lengden av vektoren kalles også normen, og vi bruker absoluttverditegn på vektorenforåskrive at vi mener vektorens norm. Vi sa innledningsvis at en vektor har to attributter, og den ene av disse er størrelsen, som er det samme som normen.vibrukerhelstnorm og ikke lengde som betegnelse, da det er litt meningsløst å snakke om norm i anvendelser der vektoren ikke tolkes direkte geometrisk (men for eksempel som en kraft eller hastighet.) 6

Vi har en tilsvarende formel for norm til vektorer i R 3. Definisjon av norm for vektorer på komponentform i R : v = [x, y] def. = x + y Definisjon av norm for vektorer på komponentform i R 3 : v = [x, y, z] def. = x + y + z () For eksempel, om v er som i forrige figur, er v = [4, 3] = 4 +3 = 5 = 5. Skalarprodukt. Hvis vi har to vektorer (tolket som piler) i planet eller rommet kan vi kalle vinkelen mellom dem for θ. v θ u Vi velger vanligvis θ som den minste positive vinkelen mellom vektorene, så 0 θ π, men dette er ikke vesentlig. Vi kan da definere en type produkt kallt skalarprodukt mellom to vektorer u og v med utgangspunkt i denne vinkelen og normene: Definisjon av skalarprodukt. La θ være vinkelen mellom vektorene u og v. Daer u v = def. = u v cos(θ) (3) Jeg har her valgt åbrukefetskriftpå multiplikasjonstegnet, forå skille det fra multiplikasjon mellom tall, eller mellom skalar og vektor, som jeg skriver hvis jeg har det med. En umiddelbar konsekvens av denne denne definisjone er at om u v =0måcos(θ) = 0 (hvis ingen av vektoren har norm 0). Den eneste vinkelen (mellom 0 og π) som oppfyller dette er θ = π/ =90. Det vil si Vektorene u og v står normalt (vinkelrett) på hverandre u v =0 (4) En ulempe med denne definisjonen er selvfølgelig at det vanligvis ikke er så lettåsedirektehvor stor vinkelen θ er. Det finnes imidlertid en veldig grei måte å regne ut skalarproduktet for vektorer på komponentform i planet R og i rommet R 3. Regneformel for skalarprodukt mellom vektorer på komponentform i R : u v =[x,y ] [x,y ]=x x + y y Regneformel for skalarprodukt mellom vektorer på komponentform i R 3 : u v =[x,y,z ] [x,y,z ]=x x + y y + z z (5) Vi finner først lengden fra origo til projeksonen i xy planet, dvs. punktet med koordinater (x, y, 0). Deretter betrakter vi en rettvinnklet trekant med dette som en katet, og linja fra dette punktet til (x, y, z) som andre katet. Hypotenusen er da v, og lengden av denne er ved Pytagoras x + y + z = x + y + z Dettekanvisesvedhjelpavcosinussetningen fra trigonometrien, men vi gjennomfører ikke dette her. 7

For eksempel er [,, ] [,, ] = +( ) + ( ) = 0. Siden skalarproduktet er 0 står disse vektorene normalt på hverandre i rommet. Merk at skalarproduktet mellom to vektorer blir en skalar (et tall), derav navnet. Skalarproduktet kalles også ofteprikkprodukt. Hvis vi starter med å definere skalarproduktet kan vi definere normen via dette: Definisjon av norm fra skalarprodukt: v def. = v v (6) For eksempel er [,, ] = [,, ] [,, ] = +( ) ( ) + = +( ) + = 9=3. Langt på veg gjelder vanlige regneregler for produkt for skalarprodukt, så lenge de gir mening.de viktigste er Regneregler for skalarprodukt: u v = v u u (a v + b w) =a u v + b u w v v 0 og v v =0 v = 0 (7) Nullvektoren. I siste setning innførte vi nullvektoren 0, vektoren med null lengde og som på komponentform er [0, 0] i R og [0, 0, 0] i R 3. Denne skrives også 0. Tolket som punkt i planet eller rommet tilsvarer nullvektoren origo. Nullvektoren spiller en rolle tilsvarende tallet 0 i vanlig regning, men må ikke forveksles med dette. Noen regneregler som likner regning med tallet 0 er for eksempel v + 0 = v, v v = 0, 0v = 0, k0 = 0, v 0 =0. (8) Merk at det noen steder står vektoren 0, andre steder tallet 0. 3 Vektorvaluerte funksjoner I avsnitt definerte vi parametriserte kurver (i planet) ved to funksjoner, x(t) ogy(t). Det vil si at for hver t verdi er punktet (x(t),y(t)) et punkt på kurven. Det er nesten ingen forskjell om vi isteden betrakter dette som en vektor påkomponentform,[x(t),y(t)]. En liten forskjell er det vel at vi oppfatter vektoren [x(t),y(t)] som ett enkelt objekt. For hver t verdi får vi en entydig vektor (som tilsvarer et punkt i planet). Dette er dermed en funksjon fra (en delmengde av) R inn i mengden R,noeviskriverR R.Dettekallervienvektorvaluert funksjon. Vi bruker fet skrift eller pil på et funksjonsnavn for å markere at det er en vektorvaluert funkjson, i motsetning til reell(valuert) funksjon. For eksempel et funksjonsnavn som r, eller i håndskrift r. Vi kan da skrive funksjonsuttrykket som r(t) =[x(t),y(t)] (eller r = t [ x(t),y(t)]) Merk at for eksempel (u v) w ikke gir mening fordi produktet i parentesen er en skalar, og vi har ikke skalarprodukt mellom vektorer og skalarer. Om vi erstatter siste med multiplikasjon med skalar får vi en vektor (u v)w, men denne er vanligvis ikke lik vektoren u(v w). 8

Første eksempel fra avsnitt blir da, om vi gir det funksjonsnavnet r: r(t) =[5t, t 3] (evt. med definisjonsområde 0 t 5). mens sirkelen med sentrum i origo og (konstant) radius R blir r(t) =[ R cos(t),rsin(t)]. Ved å ta med en ekstra koordinat får vi vektorvaluerte funksjoner fra R til R 3, for eksempel helixen fra avsnitt : r(t) =[cos(t), sin(t),t/5]. Den parametriserte kurven vi får er dermed en grafisk framstilling av verdimengden til den vektorvaluerte funksjonen r : R R n. Dette er i motsetning til grafen tilenreellfunksjonf som er mengden av par (x, f(x)) (grafen til en vektorvaluert funksjon r : R R blir 3-dimensjonal). Rette linjer som verdimengde til vektorvaluerte funksjoner. La u være en valgt (konstant) vektor, enten i planet eller rommet. Siden produkt med skalaren t, detvilsitu forlenger u medenfaktort (motsatt retning om t<0) blir alle vektorer på denne formen for t R (tolket som punkter) den ubegrensede rette linja gjennom origo som inneholder u (tegnet med start i origo). Med denne bruken skal vi kalle u en retningsvektor. La så v være en annen valgt (konstant) vektor, og definer en vektorvaluert funksjon ved r(t) =v + tu Ved å bruke tolkningen av vektoraddisjon som andre vektor tegnet med start der den første ender, får vi da billedmengden som den rette linja gjennom vektoren (punktet) v, ogmedretninggittav retningsvektoren u. Rett linje som vektorfunksjonen v + tu. u v u v + tu tu Vi har r(0) = v +0u = v, ogr() = v +u = v + u, såvedå begrense definisjonsområdet til 0 t får vi linjestykket mellom punktene v og v + u. Ved å erstatte u med u v får vi r(0) = v og r() = v + u v = u, slik at r(t) =v + t(u v) er en vektorfunksjon for linja mellom punktene v og u. 9

Hvis vi lar v =[, ] og u =[3, ] i R (passer med figuren) får vi på kompo- Talleksempel nentform r(t) =v + tu =[, ] + t[3, ] = [, ] + [3t, t] =[+3t, t] Vi ser at begge koordinatene er lineære funksjoner av t. Dette gjelder generelt, og utregningen over kan gjøres motsatt veg. Det vil si at hvis begge koordinatfunksjonene er lineære funksjoner blir bildemengden i R en rett linje. Dette gjelder også om en av dem er en konstant, da får vi linjer parallelle med en av koordinataksene. 3. Vektorvaluerte funksjoner tolket som posisjon ved tidspunkt t En måte å betrakte en vektorvaluert funksjon påeratr(t)erposisjonen en partikkel i det kartesiske planet (eller rommet) befinner seg ved tidspunktet t. Dette er en god hjelp for en intuitiv forståelse av vektorvaluerte funksjoner, samtidig som det antyder et viktig anvendelsesområde i fysikkfaget. Den parametriserte kurven blir dermed banen denne partikkelen følger. Men funksjonsuttrykket inneholder mer informasjon, nemlig om hvordan denne banen gjennomløpes (hvor fort, i hvilken retning, om det er med konstant eller variabel fart osv.). Betrakt for eksempel de to funksjonene r(t) =[cos(t), sin(t)], 0 t π og s(t) =[cos(πt), sin(πt)], 0 t. Begge banene blir en sirkel med sentrum i origo og radius (for eksempel meter), gjennomløpt en gang. Partikkelen med posisjon beskrevet av r bruker π 6.8 (f.eks sekunder) påå gjennomføre den ene runden. Partikkelen beskrevet med s bare bruker sekund, og roterer dermed mye fortere. 3. Hastighet og aksellerasjon Vi skal fortsatt tolke r(t) som posisjonen til en partikkel ved tidspunkt t, og velger ut to tidspunkter t 0 og t 0 + t. Vektoren r = r(t 0 + t) r(t 0 ) er vektoren mellom posisjonen ved disse to tidspunktene. Dette beskriver altså (helt konkret) hvordan posisjonen har endret seg i tidsintervallet. Gjennomsnittshastighet r(t + t) r(t + t) r(t) = r(t) r(t)/ t r(t) Hvis vi dividerer r med t får vi gjennomsnittlig endring per tidsenhet i dette tidsrommet, både med retning og avstand. Dette er det naturlig å definere som gjennomshastigheten i dette tidsrommet. Vi er imidlertid ute etter en definisjon av v(t 0 ), hastighet akkurat i tidspunktet t 0, og det er det naturlig å definere 0

som grensen for gjennomsnittshastigheten når t 0. Ved å droppe indeksen på t 0 får vi da: Fysisk definisjon av hastighetsvektor: v(t) def = lim t 0 r t (9) På den annen side er det, ved analogi til definisjonen av derivert for reelle funksjoner, naturlig å definere denne grensen matematisk som den deriverte av den vektorvaluerte funskjonen r(t): Matematisk definisjon av derivert av vektovaluert fumksjon: dr dt def = lim t 0 r t (0) Ved å kombinere den matematiske og den fysiske definisjonen får vi altså at hastigheten v er den deriverte av posisjonen r med hensyn på tident. Merk at hastighetener en vektor, altsåbåde med lengde (banefart) og retning. En geometrisk tolkning av grensen v(t) = lim t 0 ( r/ t) er at dette gir tangentvektoren til kurven (banen) i det aktuelle punktet. Hastigheten på komponentform Vi skal nåsepå hvordan denne definisjonen blir når vi skriver r(t) =[x(t),y(t)] på komponentformir, det blir helt tilsvarende i R 3 : r = r(t + t) r(t) =[x(t + t),y(t + t)] [x(t),y(t)] = [x(t + t) x(t),y(t + t) y(t)] Vi kan dividere skalaren t inn i hver komponent i en vektor (da det er det samme som å multiplisere med skalaren / t): r t = [x(t + t) x(t),y(t + t) y(t)] t [ x(t + t) x(t) =, t ] y(t + t) y(t) t Grensen for en vektorfunksjon kan taes komponent for komponent. Vi får da grenser i komponentene som per definisjon av derivert av reelle funksjoner er de deriverte av disse: [ ] [ r lim t 0 t = x(t + t) x(t) y(t + t) y(t) dx lim, lim = t 0 t t 0 t dt, dy ]. dt Vi bruker ofte Newtons notasjon for deriverte med hensyn på t, altså dx/dt =ẋ og dy/dt =ẏ. Vi oppsummerer: Hastighetsvektor (tangentvektor) på komponentform: v(t) =[ ẋ(t), ẏ(t) ] () Banefart: Vi kaller banefarten til en partikkel med bane gitt av r(t) forv(t). Dette er normen (lengden) av hastighetsvektoren: ẋ +ẏ i R Banefart: v(t) = v(t) = ẋ () +ẏ +ż i R 3 Merk at banefarten v er en skalar (et tall) mens hastigheten v er en vektor. Værnøyemedåikke blande sammen disse.

Akselerasjon. På samme måte som hastighet som er endring av posisjon per tidsenhet er den deriverte av posisjonen med hensyn på tiden, er akselerasjonen definert som endring av hastighet per tidsenhet. Altså: Akselerasjon: a(t) = dv dt = d r =[ẍ(t), ÿ(t) ] (3) dt Eksempel, rettlinjet bevegelse: La r(t) =[ + 3t, t]. Da gir komponentvis derivasjon v(t) =[3, ], altså en konstant hastighetsvektor. v(t) = 3 +( ) = 0, altså konstant banefart. Akselerasjonen får vi ved å derivere hastigheten [3, ], så a(t) =[0, 0], ingen akselerasjon her. 4 Eksempel, sirkelbevegelse. En partikkel som ved tidspunktet t befinner seg i punktet gitt ved r(t) =[R cos(ωt),rsin(ωt)], der R>0ogω 0 er konstanter følger en bane som er en sirkel med sentrum i origo og radius R. Hastighetsvektoren finnes ved å derivere komponentvis med kjerneregelen: Vi har for eksempel at v(t) =[ Rω sin(ωt),rωcos(ωt)] r(t) v(t) = R ω cos(ωt)sin(ωt)+r ω sin(ωt)cos(ωt) = 0 for alle t Det betyr at hastighetsvektoren alltid står vinkelrett på radiusvektoren. Dette har dere vel hørt om før, spesielt hvis vi isteden tolker v(t) som en tangent til sirkelen. Banefarten er (om ω>0): v(t) = ( R) ω sin (ωt)+r ω cos (ωt) = R ω ( sin (ωt)+cos (ωt) ) = R ω = Rω Spesielt er Rω konstant, så banefarten er konstant (selv om ikke hastighetsvektoren er det). Vinkelhastighet for en sirkelbane er definert som banefart dividert med radius, altså ωr/r = ω. Parameteren ω kan derfor fysisk tolkes som vinkelhastigheten. Akselerasjone får vi ved å derivere en gang til: a(t) = [ Rω cos(ωt), Rω sin(ωt) ] = ω [R cos(ωt),rsin(ωt)] I siste omskrivning er den negative konstanten ω satt utenfor som felles faktor. Det resterende er uttrykket for r(t). Det betyr bl.a. at aksellerasjonen hele tiden har motsatt retning av radiusvektoren, dvs. hele tiden har retning mot sentrum. Vi har dessuteen at a = Rω,så størrelsen på akselerasjonen er konstant.

Hastighets- og akselerasjonsvektor for sirkelbevegelse y v(t 0 ) a(t 0 ) ωt 0 x 5 Parametriserte kurver i Maple Parametriserte kurver i planet R kan i Maple plottes med den vanlige plot kommandoen (eventuelt med opsjoner). Funksjonen gies da på komponentform, med en 3. koordinat som angir for hvilke t verider vi skal plotte grafen. En sirkel med radius og senttrum i origo kan således plottes med kommandoen > plot([cos(t), sin(t), t=0..*pi]); For vektorvaluerte funksjoner har ofte x og y en mye mer likeverdig rolle enn for grafen til en reell funksjon y = f(x). Vi vil derfor ofte ønske en til en skala på aksene. Det oppnår vi med opsjonen scaling=constrained. For eksempel vil følgende kommando produsere en rød enhetssirkel med sentrum i (3, ). Vi tar med hele området 0 x 5og0 y 3(så det blir en litt liten sirkel). Opsjonen scaling=constrained sikrer at den ikke blir flatklemt til en ellipse. Opsjonen colour=black gir svart kurve. > plot([3+cos(t), +sin(t), t=0..*pi], x=0..5, y=0..3, scaling=constrained, colour=black); Den tilsvarende konstruksjone i tre dimensjoner gir en parametrisert flate (som krever to parametre). For å plotte romkurver brukes en egen kommando, spacecurve. For eksempel er helixen i figuren i avsnitt plottet med kommandoen > plots[spacecurve]([cos(t),sin(t),t/5],t=0..4*pi); 3

6 Oppgaver 6. Oppgaver om parametriserte kurver. Oppgave. En linje i planet er parametrisert ved x(t) =t, y(t) =3 t Skisser de linjestykkene vi får når t ognår 3 t 4. Oppgave. Et linjestykke vi skal kalle L i planet er parametrisert ved x = x (t) =t/ 3,y = y (t) =t, der t 6. Et annet linjestykke, L, er parametrisert ved x = x (t) = t, y = y (t) =4 4t, der0 t. Skisser L og L. Kommentar? Oppgave.3 Grafen til funksjonen f gitt ved f(x) =x 3x + 3 kan tegnes som en kurve i xy planet. Finn en parametrisering x = x(t) ogy = y(t) for denne. Oppgave.4 Følgende kurvestykke er en del av en sirkel med sentrum i origo og radius R =. Angi en parametrisering (med definisjonsområde for t) for dette kurvestykket. y - - 0 0 - x - 6. Oppgaver, repetisjon av vektorer. Oppgave. La vektoren v og u være (omtrent) som i figuren under: v u Lag frihåndstegninger av følgende vektorer: a) v b) v c) 0.5u d) u + v e) u v f) v u 4

Oppgave. Tre vektorer i R er på komponentform gitt ved u =[, 5], v =[8, 6] og w =[ 5, ]. a) Regn ut påkomponentformv + w. Tegn v, w og v + w inn i xy planet, og overbevis deg selv visuelt om at dette passer med parallellogramloven. b) Regn ut påkomponentformu v. Tegn u, v og u v inn i xy planet, og overbevis deg selv visuelt om at u v er vektoren fra endepunktet av v til endepunktet av u (etter en parallellforskyving). c) Regn ut u og v. d) Regn ut u v, u w og u (v + w). Sjekk at det stemmer at u (v + w) =u v + u w. e) La θ være vinkelen mellon u og v. Finn først cos(θ) eksakt, og deretter θ (både i radianer og grader) som desimaltall ved hjelp av kalkulator eller dataprogram. 6.3 Oppgaver, vektorvaluerte funksjoner. Oppgave 3. To vektorer er på komponentform gitt som u =[, ] og u =[4, 3]. En partikkel A befinner seg ved tidspunktet t i punktet gitt ved r(t) =u + t u. En partikkel B befinner seg i posisjonen gitt av posisjonsvektoren s(t) = [ +4t, +3t ]. a) Skriv r(t)på komponentform (som [x(t),y(t)]). b ) Skisser banen partikkel A følger i tidsrommet 0 t. c ) Regn ut hastighetsvektoren v(t), farten v(t) og aksellerasjonsvektoren a(t) til partikkel A. d ) Regn ut hastighetsvektoren v(t), farten v(t) og aksellerasjonsvektoren a(t) til partikkel B. e ) Hvilken bane følger partikkel B i tidsrommet 0 t? Gi en kort beskrivelse av bevegelsen til B med ord for dette tidsrommet. Oppgave 3. En partikkel befinner seg ved tidspunktet t i punktet i rommet beskrevet av funksjonsuttrykket r(t) =[3t, 4cos(t), 4sin(t)] (Banen er en helix, enspiral,medx aksen som symmetriakse.) a ) b ) c ) Finn hastighetsvektoren v(t), og spesielt v(0). Finn banefarten v(t) i et vilkårlig tidspunkt. Kommentar? Finn aksellerasjonsvektoren a(t), og spesielt a(0). 5

Oppgave 3.3 Ved (bl.a.) å se bort fra luftmotstanden får vi forenklet beskrivelse av banen en ball som kastes ut på skrå får ved posisjonsfunksjonen [ r(t) = v x0 t + s x0, ] gt + v y0 t + s y0 der parametrene g, s x0, s y0, v x0, v y0 er konstanter og der g er tyngdens aksellerasjon, g 9.8m/s. a ) Finn hastighetsvektoren v(t) og aksellerasjonsvektoren a(t). b ) Gi en fysisk tolkning av vektorene [s x0,s y0 ]og[v x0,v y0 ]. c) Anta [s x0,s y0 ]=[0, 0] og [v x0,v y0 ]=[0, 0], og forenkl til g = 0. Finn posisjons- og hastighetshastighetsvektorene for t =ogt =. Oppgave 3.4 a ) Posisjonen til en partikkel i sirkelbevegelse er parametrisert ved r(t) =[ sin(πt), cos(πt)]. Hvor på sirkelen befinner partikkelen seg ved tidspunktet t =0? Hvor er sentrum, og hva er radien i sirkelen? Beveger partiklen seg med eller mot klokka? Hva er omløpstiden? b ) c ) Finn en vektorfunksjon for en partikkel som beveger seg som i a oppgaven, bortsett fra at sentrum i sirkelen er i punktet med koordinater (a, b). Et punkt beveger seg slik at posisjonsvektoren er gitt ved s(t) =[πt sin(πt), cos(πt)] Banen til punktet for t [0, ] ser da slik ut:.5 0.5 0 4 6 8 0 Finn hastighetsvektoren v(t) ved tidspunktene t =/ ogt =. Denne bevegelsen kan sees på som summen av rotasjonsbevegelsen gitt ved [ sin(πt), cos(πt)] og den rettlinjede bevegelsen gitt ved [πt, 0]. For t = har punktet gjennomført en omdreining, og i tillegg forflyttet seg π enheter mot høyre, like langt som omkretsen i sirkelen. Dette er den banen et merke nederst på ethjul følger når hjulet ruller bortover. Denne kurven kalles en sykloide. 6

Oppgave 3.5 En parabel er gitt ved vektorfunksjonen r(t) = [ t t,t + t ] a ) Skisser den delen av parablen vi får når t. b ) Punktet med koordinater (, 0) ligger på parabelen. Finn en likning på rektangulær form (dvs. på formeny = ax + b) for tangenten til parabelen i dette punktet. 6.4 Oppgaver, Maple. Oppgave 4. a ) En ellipse med origo i det ene brennpunktet er gitt ved vektorfunksjonen r med r(t) =[4+5cos(t), 3sin(t)], for 0 t π. b ) c ) Lag et plott i Maple av denne. Finn hastighetsvektoren for t = π/4, og plott denne (som et linjestykke med start i r(π/4)) i samme figur. Hint: Vektoren mellom punktene u og u + v er gitt ved u + tv, der0 t. Lag en animasjon ved kommandoen > plots[animate]({[4+5*cos(t),3*sin(t), t=0..*pi], > [4+5*cos(v)+0.*cos(t),3*sin(v)+0.*sin(t), t=0..*pi]}, > v=0..*pi, scaling=constrained, colour=black, frames=50); Forklar (for deg selv) hvorfor resultatet blir som det blir. Oppgave 4. a ) b ) c ) d ) e ) f ) Lag et plott av en svart, tykk sirkel med radius R =0.5 og sentrum i punktet med koordinater (0, 0.5), og en til en skala, med kommandoen > plot([0.5*cos(t),0.5+0.5*sin(t)), t=0..*pi], > scaling=constrained, colour=black,thickness); Lag en sirkel til i samme diagram, med samme radius og farge, men med sentrum i punktet med koordinater (3, 0.5). Tegn også inn rett linjestykker mellom punktene (, 0.5) og (4, 0.5), og mellom (, 0.5) og (0, ). Lag noen rette linjer til, slik at figuren blir en enkel tegning av en bil. Fjern aksene ved opsjonen axes=none. Hvis du vil leke deg litt mer: Lag en enkel tegning av en mann rett foran bilen, i samme figur. Lag til slutt en animasjon der bilen kjører forbi mannen. 7

7 Fasit Oppgave. 4 3-0 -0 4 6 Oppgave. Både L og L er linjestykket mellom punktene med koordinater (, 0) og (0, 4). Det finnes altså flere mulige måter å parametrisere det samme linjestykket på. Oppgave.3 Mange muligheter, men det enkleste er nok åvelgex = t og dermed y = f(t) =t 3t +3. Oppgave.4 Sirkelen kan parametriseres med x(t) = cos(t) og y(t) = sin(t). For å få bare den delen som er i figuren begrenser vi definisjonsområdet til π/4 t 3π/. Oppgave. a) b) c) a) b) c) Oppgave. a) [8, 6] + [ 5, ] = [8 5, 6+]=[3, 8] b) [, 5] [8, 6] = [ 8, 5 6] = [4, ] 8

c) u = +5 = 69 = 3, v = 8 +6 = 00 = 0 d) [, 5] [8, 6] = 8+5 6 = 6, [, 5] [ 5, ] = ( 5)+5 = 50, [, 5] [3, 8] = 3+5 8 =76. Ser at 6 + ( 50) = 76. e ) Setter inn tall fra c og d oppgaven i formelen u v = u v cos(θ): 6 = 3 0 cos(θ) cos(θ) = 6 30 = 63 65 arccos(63/65) = 0.487 (radianer) som tilsvarer 0.487 80 /π =4.5 Oppgave 3. a) r(t) =[+4t, +3t]. b).5 y 0.5 0-0.5 3 4 5 x - c) v(t) =r (t) =[4, 3], v(t) = v(t) = 4 +3 =5, a(t) =r (t) =[0, 0]. d) v(t) =[8t, 6t], v(t) = (8t) +(6t) =0t, a(t) =[8, 6]. e) B følger samme rettlinjede bane som A. Ved starttidspunktet er farten 0, men den akselererer jamt til farten 0 langs linjestykket. Oppgave 3. a) v(t) =[3, 4sin(t), 4cos(t)], v(0) = [3, 0, 4]. b) v(t) = 3 +4 sin (t)+4 cos (t) = 5 = 5. Konstant fart. c) a(t) =[0, 4cos(t), 4sin(t)], a(0) = [0, 0, 4]. Oppgave 3.3 a) v(t) =[v x0, gt + v y0 ] og a(t) =[0, g ]. b) [s x0,s y0 ] er startposisjonen, [v x0,v y0 ] er starthastigheten. c) r() = [0, 5], v() = [0, 0] (dette er toppunktet for banen). r() = [0, 0], v() = [0, 0] (dette er der ballen lander igjen, om grunnen er horisontal.) Oppgave 3.4 a) Ved t = 0 er partikkelen i punktet (0, ), som er bunnpunktet i sirkelen. Sentrumeriorigoogradiener Partiklen roterer med klokka. (Se f.eks. på t litt større enn 0. Da har x koordinaten blitt litt mindre enn 0, den har rotert mot venstre fra bunnpunktet). Omløpstiden er (som er perioden for cosinus og sinusfunksjonen i uttrykket). 9

b) [a, b]+[ sin(πt), cos(πt)] = [a sin(πt),b cos(πt)]. c) v(t) =[π π cos(πt), π sin(πt)] v(/) = [π π cos(π/), π sin(π/)] = [4π, 0]. (Dette er første topp på kurven, horisontal tangent/hastighet). v() = [π π cos(π), π sin(π)] = [0, 0] Kommentar: Et slikt punkt der begge de deriverte er 0 kalles en singularitet. Kurven har her en spiss, selv om funksjonen er deriverbar. Dette til forskjell fra grafen til en funksjon f(x), som ikke kan ha spisser der funksjonen er deriverbar. Oppgave 3.5 a) 4 3 - - 0 3 4 - - b) Må først finne t-verdien, for eksempel fra det at y = 0, som gir t = eller t =. Ved å sette inn i x = t t ser vi at det bare er t = som passer med x =. Hastighetsvektoren kan geometrisk tolkes som en tangentvektor. Vi har v(t) =r (t) =[t, t+], så v() = [, 3]. Ved å bruke tangeringspunktet [, 0] som posisjon og v() som retningsvektor får vi tangenten på vektorform som [, 0] + t[, 3] = [ +t, 3t]. Ved å sette x = +t og y =3t, og eliminere t fra disse likningene finner vi t = x +ogdernmedy =3t =3(x +) y =3x +6. Et alternativ er å finne stigningskoeffisienten dy/dx ved å bruke sette dy dx = dy/dt t + = dx/dt t,somfor t =er3/ = 3. Da har vi stigningskoeffisienten 3 og et punkt på tangenten, (, 0), og får dermed tangentlikningen y 0=3(x ( )) y =3x +6. 0