Løsningsforslag i matematikk 060808 Oppgave (a) ( a b ) b 4 a (ab) = a b b 4 a a b = a b = b a = a + b + 4 a b = a + + b + 4 + (b) Omskrivning av likningen gir sin(x) + cos(x) = 0 sin(x) cos(x) = tan(x) =, under forutsettning at cos(x) 0 Altså, (c) Vi har x = tan ( ) + nπ = π + nπ = { π n = 0 5π n = e 4x e x = e x (e x ) = 0 Siden e x 0, må e x = 0 Altså, e x = (ex ) = ( ) ex = = x = ln = ( ) ln (d) x x 5 = (x 7)(x + 5); fortegnskjema gir da at x [ 5, 7] (e) Bruk av kjerneregelen gir f (x) = 4x sin(x ) (f) Bruk av produktregelen gir g (x) = x/ e x ( x) (g) sin(x) dx = sin(x)dx = cos(x) + C (h) Vi observerer at 4x = (x ) = (x x + ) Fra dette ser vi 4x (x x x + dx = x + ) x x + dx = ln x x + + C Funksjonen x x + er alltid større enn null så vi kan fjerne absoluttbeløpstegnen hvis vi så ønsker Vi beregner nå 0 4x [ ] x x + dx = ln(x x + ) = (ln 4 ln ) 0 = 4 ln ln = ln
Oppgave (a) Vi ser at f(0) = 0 så funksjonen skjærer y-aksen i origo For å finne x skjæringen med x-aksen må vi løse likningen x = 0 Løsningen til denne er x = 0 Altså skjærer funksjonen x-aksen bare i origo (b) Enten bruker man polynomdivisjon eller observerer at (c) Vi har at x x x = x = x 4 + 4 x = ( (x )(x + ) x + ) 4 x = ( x + + ) 4x lim x 4x = 0 Derfor fins en skrå asympote y = x 4 Siden f ( ) =, ser vi at vi har en vertikal asymptote i x = ( x x ) = (x ) (x ) x (x ) (x ) = x(x ) x (x ) = x x x(x ) = (x ) (x ) Dette betyr at x = 0 og x = er stasjonære punkter Vi finner f(0) = 0 og f() = Et fortegnskjema gir at (0, 0) er et toppunkt og x = (, ) er et bunnpunkt (d) Vi vet fra (b) at Derfor får vi altså, A = x x = ( x + + ) 4x x x dx = ( = x + + 4x ) dx ( x + x + ln 4x 4 x x dx = [ 4 x + 4 x + 8 ln 4x ] ) + C, = 4 + 4 + 8 ln 4 4 4 ln 4 8 = + ln 8
Figur : f(x) = x x og g(x) = x (e) Vi har f(x) = g(x) x x = x x (x ) x x x(x ) x = 0, fra hvilket det følger at f(x) = g(x) da x = 0, Dette gir skjæringspunktene (0, 0) og (, ) Se Fig Oppgave (a) Med A(,, ), B(6,, ) og D(, 4, 0) finner vi AB = [,, ] AD = [0,, ] AB = 9 AD = Skalarprodukten mellom AB og AD blir AB AD = 4 Fra definisjonen på skalarprodukt finner vi da ( ) ( ) AB AD α = cos = cos 4 AB AD 9 7, = 0
(b) Vi finner OC = OB + AD = [6,, ] + [0,, ] = [6,, ] = C(6,, ) (c) Areal kan fås som absoluttbeløpet av AB AD: e e e AB AD = 0 = 8e + 6e + 6e = [8, 6, 6] Fra dette følger A = [8, 6, 6] = 8 + 6 + 6 = 4 (d) Vi velger AC = [,, 5] som retningsvektor for linjen Da får vi parametrisering x y = z + t 5 x = + t y = + t, t R z = 5t (e) Siden linjestykket mellom A og C deler parallellogrammet i to kongruente trekanter er det egentlig opplagt, men hvis vi skal vise det med vektorer kan man gjøre følgende: OM = OA + AC = [,, ] + [ 9 [,, 5] =, 5 ], = M ( 9, 5, Dersom M også skal være midtpunkt på linjestykket BD må BM = BD Vi beregner BD = [,, ] [ 9 BM = 6, 5 ], ( ) = [,, ], fra hvilket påstandet følger (f) Siden volumet av en pyramide er V = G h, der G er grunnflatearealen og h høyden, kan vi få h som h = V G Vi kjenner G fra (c), G = 4 Volumet av pyramiden fås som ( AB AD) AT Vektorproduktet har vi også beregnet i (c), AB AD = [8, 6, 6] Vi finner derfor AT = [, 0, ] og V = ( AB AD) AT [8, 6, 6] [, 0, ] = = 6 Altså, h = V G = 6 4 = 4, 4 )
Oppgave 4 La A og B være følgende hendinger A = «Perfekt motorsykkel», B = «God dagsform» (a) Betinget sannsynlighet gir (b) Vi finner P (A B) = P (A) P (B A) = 0, 0,4 = 0, P (A) P (B) = 0, 0,5 = 0,075 0,; altså er hendingene ikke uavhengige (c) Bayes setning gir P (A B) = P (A) P (B A) P (B) = 0, 0,4 0,5 = 0,48 (d) Det første leddet er dagens dose Det andre leddet er gårsdagens dose som har blitt brutt ned med 0% Det tredje leddet er dosen hun tok for to dager siden Denne dosen har blitt nedbrutt med 0% i to omganger Slik fortsetter det (e) Vi har k = a i = a,5 0,8 = = 0,8 a i a,5 a 6 = a k 5 =,5 0,8 5 0,49 S 6 = a k 6 k =,5 0,86 0,8 5,5 (f) Siden k < konvergerer den uendelige rekken og summen blir S = a k =,5 = 7,5 < 0 0,8 Altså er Emma godt innenfor kroppens tåleevne for dette virkestoffet, uansett hvor lenge hun fortsetter tablettkuren Oppgave 5 Observér først at problemet har naturlig begrensing i at x [0, ] Derfor vet vi at største og minste verdi eksisterer Volumet av en kjegle er som vi allerede notert V = G h I dette tilfelle ser vi V (x) = G(x) h(x) = πf(x) x = π( x) x = π(9x 6x + x ) Åpenbart er V (0) = V () = 0 det minste verdiet (vi kan ikke ha negative volumer) Derfor vet vi at det må finnes et lokalt maksimum i intervallet [0, ] siden V (x) ikke er identisk lik null Vi deriverer og får V (x) = π( 4x + x ) = π(x )(x ) 5
Altså har vi stasjonære punkter for x = og x = Punktet x = er et randepunkt og er allerede tatt hensyn til Derfor må x = være et lokalt maksimum Dette kan vi kontrollere ved help av den andrederiverte V (x) = π( 4 + x) = V () = π( 4 + ) < 0 Vi har f() = = og kan derfor konkludere med at C = (, ) og V maks = V () = 4π 6