Om KART kartprojeksjonar og referansesystem

Om KART kartprojeksjonar og referansesystem Førelesingsnotat GEO1010 - ver. 0.9-2011 Trond Eiken Institutt for Geofag, UiO 1. KVA ER EIT KART? Kartet skal vere ei attgjeving av terrenget framstilt med eit gitt sett kartografiske symbol. Den geometriske framstillinga kallar me ein projeksjon av terrenget til horisontalplanet. Eit kart kan ha mange føremål, og innhaldet i kartet seier oss oftast nett kva det er. Eit topografisk kart har til føremål å gje att terrenget med informasjon om høgder gitt som høgdekoter, vegar, elvar, kraftliner og mange andre objekt framstilt med flate-, line- eller punkt- symbol. Eit situasjonskart har kanskje ikkje høgdeinformasjon i det heile, men gjev informasjon om plassering av objekt i grunnriss. 1.1 Bilete av terrenget Kartet skal vere eit bilete av jordoverflata i forminska utgåve, men sidan jorda er ei dobbelt krumma flate kan me ikkje framstille jordoverflata korrekt på ei plan flate, dvs. på eit kart. Ein kan innvende mot dette at jorda er så stor, og på ei stor «kule» vil mindre område synast vere så flate at ein kan tilnærme dei med eit plan. Det er for så vidt rett, og mykje av teorien bak kartlegging byggjer nett på at me gjer ei slik tilnærming. I kapittelet om kartprojeksjonar ser me nærare på dette. Eit kart er vanlegvis orientert mot NORD, dvs. opp på kartet peikar mot nord når me les det vanleg. Berre unntaksvis vert dette fråvike, og NORD må då vere tydeleg markert ved nordpil eller med rutenett og /eller gradnett på kartet. 2. KARTTYPAR Kart skal gi oss informasjon og me deler kart i to ulike typar etter føremålet med kartet: Topografiske kart Tematiske kart Eit topografisk kart er ein generell presentasjon av terrenget og synlege detaljar i dette. Eit temakart framhevar eitt eller eit fåtal tema. Temakartet kan syne tilhøve og eigenskapar som direkte eller indirekte kan knytast til objekt i kartet. Skiftet frå analoge kart, på papir, til digitale kart som me framstiller i datamaskinen og ser på skjerm eller skriv ut, gjer at me i dag ofte kan velje ut kva for informasjon me vil ha på kartet, og kan ta med berre det som er relevant for vårt produkt. Overgongen til digitale kart har og gjort at skiljet mellom kart i ulike målestokkar til ei viss grad er borte. Målestokken til det digitale kartet er flytande, me kan zoome inn- og ut og endre målestokk kontinuerleg, og på skjermen kan me med programverkty måle avstandar og areal utan å tenkje på målestokk. Målestokk vert fyrst aktuell i det me skriv ut kartet på papir. Det viktige for kartet er i staden innhaldet av informasjon og kor detaljert denne informasjonen er, og her spelar målestokk ei indirekte rolle. Det aller meste av topografisk kartinformasjon (og dels tematisk) er framstilt frå flybilete ved fotogrammetrisk måling. Flybilete vert gjerne teke i ein gitt målestokk (eller med ein gitt pikselstorleik på bakken for digitale bilete), og dette set grenser for kor detaljert og presis kartinformasjonen er. Sjølv om

kartbasane er digitale, og kan framstillast i alle målestokkar på eit kart, er innhaldet likevel relatert til målestokk. Det har lite meining å framstille data som er tilpassa kart i måletokk 1:1 000 000 i målestokk 1:1 000, sidan berre eit lite generalisert utval av data er med. Ved framstilling av data tilpassa målestokk 1:1 000 i målestokk 1:1 000 000 vil det vere svært mykje data, og kartet vil fort verte overfylt med informasjon, med mindre ein har algoritmer som kan generalisere og velje ut data slik at framstillinga vert høveleg. Topografiske kart vert ofte skilt i fire grupper: - Tekniske kart er kart i svært store målestokkar, 1:2 500 og større, med stort detaljinnhald og høg presisjon. Slike kart er serleg aktuelle i tettbygde strok (kommunalt ansvar), og ved tekniske utbyggingar (vegar jarnbane ++) som krev eit godt og grannsamt kartmateriale. Tekniske kart vert laga frå flybilete i stor målestokk, 1:6 000 og større. Slike kartdata utgjer dei mest presise og detaljerte kartbasane. - Økonomiske kart er i store målestokkar, 1:5 000-1:20 000, og skal tene til tekniske, økonomiske og administrative føremål. Store deler av Noreg er dekt av økonomisk kartverk (ØK) i målestokk 1:5 000 og 1:10 000, og er eit viktig grunnlag for planlegging m.a. i jordbruk og skogbruk. Reguleringsplanar o.l. for større område har og oftast ØK. som grunnlag. Kartserien er laga frå flybilete i målestokk 1:15 000. - Topografiske kart er og nytta som namn på kart i midlare målestokkar, 1:25 000-1:100 000, og er karttypen me kjenner frå fjellturar for å halde greie på kvar me er. Den norske hovudkartserien (N50) er ein topografisk kartserie i målestokk 1:50 000, konstruert frå flybilete i målestokk ca. 1:40 000. - Geografiske kart, kart i små målestokkar, 1:250 000 og mindre, som har til føremål å framstille eller gi oversyn over større delar av landområde. Geografiske kart er til vanleg framstilt ved generalisering av kart i større målestokkar. Tematiske kart legg hovudvekta på framstilling av eit særskilt tema, terrengframstillinga er underordna, men til vanleg har temakartet eit topografisk kart som bakgrunn for at det skal vere lettare å orientere seg på kartet. Kart av ulike typar, i ulike målestokkar kan tenkjast nytta som grunnlag for temakart. Digital kartinformasjon har flytande målestokk fram til den vert presentert på papir, og det viktige er at ein gjer utval av kartdata, i detaljering og presisjon som svarar til det sluttproduktet ein vil lage. Det er to hovudserier av digitale kartdata i Noreg, N50 kartdata frå den topografiske kartserien og FKB data frå ØK og tekniske kart. FKB data er klassifisert i FKB-A FKB-D etter presisjon og detaljeringsnivå. 2.1 Sentrale omgrep i kartsamanheng Målestokk - i eit kart er høvet mellom ein avstand i kartet og ein avstand i marka (terrenget). Det tyder at om avstanden mellom to punkt, til dømes to hus er 1,7 cm i kartet, og 340 meter i marka er målestokken: m = 0,017 / 340 = 1 / 20 000 Me seier at målestokken på kartet er «tjuetusen», sjølv om det korrekte er ein til tjuetusen. Tjuetusen vert kalla målestokkstalet (M), medan brøkverdet (0,00005) er målestokken. Eit kart har normalt ein målestokkslinjal som syner høvet mellom kartet og terrenget, jfr. fig. 1.

Fig. 1. Kart med målestokkslinjal (SK-N50) Kartteikn er eit språk som ein nyttar for å gi informasjon i eit kart. For å kunne lese kartet må ein kjenne dei kartteikna som vert nytta. Ulike typer kart vil nytte ulike typer symbol. Karte vil normalt ha ei teikntyding som gir eit oversyn over dei kartteikna som er nytta. Kartteikn kan vere både enkle symbol for å gi informasjon om eit punkt, eller eit flatesymbol for å fortelje noko om eit areal. Fig. 2 syner eit lite utsnitt av teiknforklaringa til kartserien N50. Fig. 2 Teiknforklaring (utsnitt) (SK-N50) Høgdekoter er liner som kan trekkjast gjennom punkt som har same høgd. Me kan sjå på dei som skjeringsliner mellom terrenget og plan som skjer gjennom terrenget i visse høgder. Slike høgdekoter gir oss informasjon om høgdetilhøva i terrenget, og for ein øva kartbrukar vil høgdekotene mest gi eit tredimensjonalt bilete. Ekvidistanse er den vertikale avstanden mellom to høgdekoter. Denne avstanden varierer alt etter kva målestokk kartet er i, og ikkje minst etter kva føremål kartet har. Di mindre ekvidistansen er, di meir nøyaktig vert biletet av terrenget. Ein opererer til vanleg med runde tal på ekvidistansar, eksempelvis: 1,5,10,20 og 50 m. Når det gjeld spørsmålet om kor stor ekvidistansen skal vere er ein høveleg regel at ekvidistansen skal vere lik tiandeparten av målestokkstalet uttrykt i centimeter. I små målestokkar, til dømes 1 : 50 000 og mindre er det likevel vanleg med ekvidistanse mindre enn det denne regelen skulle tilseie. Fig. 3 Høgdekoter - skjematisk framstilling

3. GRUNNLAGET FOR KARTFRAMSTILLING 3.1 Jorda Dei gamle grekarane var dei fyrste ein veit fatta interesse for storleiken og forma til jordkroppen, vitskapen me i dag kallar geodesi. Ideen om ei kuleforma jord vart fyrst postulert av Phytagoras. Han fekk ikkje prova teoriane sine. Truleg var Erathostenes den fyrste til å gjere det ved hjelp av ein vidgjeten brunn i Syene, sør i Egypt. Han såg at sola kunne skine heilt ned i botnen av brunnen, sola sto i senit, dvs rett opp, noko den aldri gjorde i Alexandria - lengre nord. Ved å måle vinkelen til sola, solhøgda, på dei to stadane same dag, og avstanden mellom stadane kunne han estimere storleiken til jorda. Trass i enkle hjelpemedel laga han eit godt estimat av storleiken på jorda - innanfor ca 10% av den sanne. I det 15. og 16. hundreåret kom m.a. Galileo som støtta teorien om ei kuleforma jord, og Columbus ville prove denne teorien. På 1700-talet hadde instrumenta og metodane vorte så mykje betre at ein fann at jorda ikkje var kuleforma, men ein svakt flattrykt ellipsoide. 3.2 Ellipsoide Datum - Geoide For å kunne lage kart må ein ha ei matematisk flate som representerer jorda. Ein kan nytte ei kule, som har relativt enkel geometri, men sidan jorda er litt flattrykt er ein rotasjonsellipsoide ein betre matematisk representasjon av jordoverflata. Ein rotasjonsellipsoide vert forma ved at ein ellipse vert rotert om sin vesle akse. Storleiken på ellipsoiden kan gjevast på mange måtar, men det vanlege i geodesi er å gi lengda av store halvakse (a) og flattrykkinga til ellipsen (f). Flattrykkinga er gitt ved store og vesle halvaksen (b) i ellipsen f=(a-b):a. Ellipsoiden må plasserast i høve til jordkroppen, og er ein teoretisk flate som ikkje treng falle saman med noko fysiske flate på jorda (Fysiske flater er t.d.: topografien (det fysiske terrenget), medelvatn i hava ~ geoiden). Ein ellipsoide i ei gitt plassering i høve til den fysiske jordkroppen er referansesystemet ein treng for å knyte punkt på jorda til koordinatar på ellipsoiden. Ein ellipsoide med slik definert plassering kallar ein eit geodetisk datum. Eit geodetisk datum definerer referansesystem for koordinatar, og prinsipielt skal alle koordinatar refererast til eit slikt. Geoiden er ein flate definert til over alt å ha same tyngdepotensial (ekvipotensialflate), og sjølv om flata sitt potensial er knytt til medelvatn i hava vil flata med dette potensialet og finnast ein stad under fjella. På grunn av variasjon i massefordeling i jordkroppen vil geoiden ha mange buklingar, og såleis avvike frå ellipsoiden. Geoiden er referanseflate for vanlege høgder, høgder over havet. Det er såleis tre flater ein må ta omsyn til når ein talar om form og storleik på jorda.(jfr. Fig. 4): 1. Topografien - den fysiske jordoverflata. 2. Geoiden - ekvipotensialflata (som og er ein fysisk realitet ~ medelvatn i verdshava). 3. Ellipsoiden - den matematiske overflata eller referanseflata for utrekningar (som berre er ei teoretisk flate). (NB! Som fig 4 syner treng retninga til tyngdekrafta (geoidenormalen) ikkje samsvare med ein normal til ellipsoiden) Fig. 4: Referanseflater og terreng

4. KORDINATSYSTEM 4.1 Geodetiske- (geografiske-) koordinatar- Breidd og Lengd For å gi posisjonar på ellipsoiden trengst eit koordinatsystem. Det enklaste og mest nytta er det geografiske nettet, eller geografiske koordinatar (kalla geodetiske- koord. når ellipsoiden er referaneflate sidan geografiske- og omfattar astronomisk fastlagde koordinatar som er referert til loddlina og dermed relatert til geoiden). Dette nettet er orientert etter jordaksen, og vert laga av plan som skjer gjennom ellipsoiden. Alle plan som går gjennom jordsenteret lagar storsirklar på ellipsoiden. (Ein storsirklar gjennom to punkt på ellipsoiden gir den kortaste veg mellom punkta langs ellipsoiden). Storsirklar som går frå pol til pol er meridianar. Meridianen som går gjennom observatoriet i Greenwich, ved London, vert nytta som referanse og vert gjerne kalla nullmeridianen eller Greenwichmeridianen. Plan som står normalt på jordaksen skjer ellipsoiden i sirklar, kalla parallellsirklar. Paralellsirkel- planet som inneheld jordsenteret lagar ein storsirkel - ekvator, som er referanse-parallellsirkelen. Alle andre parallellsirklar er småsirklar, og radien i desse minkar med avstanden frå ekvator til null på polane. Det geodetiske koordinatsystemet gir posisjonar på ellipsoiden med lengd og breidd. Alle punkt på ein parallellsirkel har same breidd, og likeeins har alle punkt på ein meridian same lengd. Breidda (φ) til eit punkt P er vinkelen mellom ellipsoidenormalen gjennom P og ekvatorplanet. Breidda er null i ekvatorplanet (φ = 0 ) og veks mot polane til maksimumsverdet (φ = 90 ). Lengda (λ) er vinkelen mellom Greenwichmeridianen og meridianen som går gjennom det aktuelle punktet. Vinkelen vert målt langs ekvator frå Greenwichmeridianen, anten austover til 360, eller austover til 180, og vestover til 180. Breidd og lengd vert nytta til å definere posisjonen til eit punkt P som synt i Fig. 5. Definisjonen av breidd vert litt klarare ved å Fig. 5 Jorda - geodetisk lengd og breidd. sjå på Fig. 7 som syner eit snitt av meridianplanet gjennom P. Fig. 6 Meridianar og parallellsirklar Fig. 7 Meridiankvadrant - Geo. breidd.

Dersom ein hadde nytta ei kule i staden for ein ellipsoide, ville breidda til P vere vinkelen ψ i sentrum av kula ettersom normalane på ei kuleflate vil gå gjennom sentrum. Breidd og lengd vert alltid gitt i vinkelmål. Det kan vere interessant å sjå på samanhengen mellom vinkelmål og avstandar på overflata til ellipsoiden. Me vel ein ellipsoide med dimensjonane: store halvakse (a) = 6378137,0 m - flattrykking (f) = 1 : 298,26. Me hoppar over den matematiske utrekninga, men resultatet er sett opp i tabell 1. Breidd er avstand i nord-sør retning, medan lengd er avstand aust-vest. Breidd Avst. på ell. (runda til m) (φ ) φ= 1' λ = 1' 0 1843 1855 30 1848 1608 45 1852 1314 60 1857 930 90 1862 0 Tabell 1: Avstand i meter for 1 i lengd og breidd ved ulike geografiske breidder. Ellipsoiden nytta er den som dannar grunnlaget for det globale referansesystemet WGS-84 - World Geodetic System -84, som m.a. GPS systemet nyttar. Andre ellipsoidar kunne vore nytta, men i dette tilfellet ville verka lite inn på resultatet. Avvika mellom ulike ellipsoidar som er i bruk i dag er opptil nokre hundre meter for akselengdene, og nokre hundredelar for flattrykking. Ulike ellipsoidar kan verke inn med mange meter på koordinatar, men lite på vinkelavstandar. Geodetiske koordinatar er to-dimensjonale (flatekoordinatar) høgdeinformasjon til punktet som vert referert manglar, men me kan kombinere dei med ellipsoidiske eller ortometriske høgde (sjå nedanfor under Høgdesystem) for å gi ein tredimensjonal referering til punktet. 4.2 Geosentriske Kartesiske Koordinatar Eit alternativ til geodetiske koordinatar som universell posisjonsreferanse globalt er kartesiske koordinatar. Dette er eit rettvinkla tre-dimensjonalt system med origo i jorda sitt tyngdesenter (sentrum av jorda). Alle punkt (på, i og utanfor) jorda kan refererast med ein XYZkoordinat. XY-referanseplanet ligg i ekvatorplanet med X-akse i Greenwichmeridianen og Z-aksen går langs rotasjonsaksen til jorda (Fig. 8). Dette koordinatsystemet vert nytta i mange samanhengar, m.a. av GPS-satellittane, men ulempa er at ein koordinat er lite intuitiv for kvar me er på jorda, og høgder vert baka inn i alle tre koordinatelementa. Fig. 8 Geosentrisk koordinatsystem. Ein kan rekne mellom geodetiske og geosentriske koordinatar med eksakte formlar for ein gitt ellipsoide/datum. Slik eksakt omrekning kallar ein konvertering av koordinatar.

5. HØGDESYSTEM - HØGDER Som nullnivå for høgder refererer ein gjerne til medelvatn i havet, seier at det er høgder over havet. Meir eksakt definert er denne høgdereferansen geoiden. Slike høgder kallar ein normalhøgder, og eksakt definert er det lengda av den krumme loddlina frå punktet og ned til geoiden (jfr. Fig. 9). Høgder kan og uttrykkast som lengda av normalen frå eit punkt til ellipsoiden, ellipsoidisk høgd. Serleg ved bruk av satellittsystem i posisjons-fastlegging er det aktuelt å bruke ellipsoidiske høgder. Skilnaden mellom normal- og ellipsoidiske høgder er lik skilnaden mellom ellipsoide og geoide, geoidehøgden (Fig. 9). Dersom geoidehøgden er kjent kan ein rekne mellom dei to systema. Me kan litt forenkla seie at ellipsoidiske målingar kjem frå satellittmålingar, medan normalhøgder er resultat av vanleg landmåling med optiske instrument. For å få høgder over havet frå satellittmåling må geoidehøgden vere kjent. Fig. 9 Normalhøgd og ellipsoidisk høgd. h = H + N, der h er høgd over ellipsoiden, H er høgd over geoiden og N er geoidehøgden. (Vestøl 2008) Noreg er i ferd med å skifte høgderefereansesystem frå det tidlegare NN1954 (Normal null 1954) der referansepunktet låg ved Tregde utanfor Mandal, til eit felles europeisk datum (EVRF2000) med utgongspunkt i Amsterdam. Punkt med presise høgder (presisjonsnivellement) finst t.d. langs dei fleste hovudvegar. 6. TERRENG - REFERANSEFLATE - KARTPROJEKSJONSPLAN Kartlegging av ein del av jordoverflata kan definerast som fastlegging og framstilling av relative posisjonane til eit større eller mindre tal på terrengpunkt i det utvalde området. Alternativt kan me definere kartlegging som fastlegging av koordinatar til terrengpunkt (objekt). Kva koordinatsystem ein vel til representasjon av punkta er for så vidt likegyldig, men det mest praktiske er å nytte ein projeksjon som resulterer i X,Y-koordinatar i eit plan. Høgder til punkta (over eit referansenivå) gir høgde-koordinaten, men denne er ikkje naudsynt for den plane framstillinga i kartet. 6.1 Kartprojeksjonar Sidan den fysiske jordoverflata har særs uregelrett form projiserer me fyrst terrengpunkta til ei referanseflate, dvs. ellipsoiden, der punkta er representert ved geodetiske koordinatar. Frå den dobbelkrumme referanseflata kan ein finne koordinatar i kartplanet gjennom ein kartprojeksjon (Fig. 10). Kartprojeksjonen kan vere ei geometrisk projisering, men det vanlegaste (som t.d. UTM-kart-projeksjonen) er at projiseringa er matematiske relasjonar mellom (geodetiske-) koordinatar på ellipsoiden og koordinatar i kartplanet. Kort framstilt kan ein illustrere ein kartprojeksjon som to funksjonar: X = f 1 (φ,λ) og Y = f 2 (φ,λ), der og dei inverse funksjonane φ = f 3 (X,Y) og λ = f 4 (X,Y) eksisterer. Ein deler inn kartprojeksjonar etter ulike typar, og har to hovudtypar inndeling: (Fig. 11) A: Generell inndeling Plan Kjegle (konisk) Sylinder

Fig. 10 Kartprojeksjon: Avbilding av ein del av ellipsoiden til eit plan. Merk at sentralmeridianen på ellipsoiden vert til Nord-aksen i kartplanet. B: Inndeling etter avbildingseigenskap (knytt til vilkår / eigenskapar til avbildinga) vinkelrett (konform) arealrett (ekvivalent) avstandsrett (ekvidistant) Den dobbelkrumme forma til ellipsoiden gjer at berre ein av eigenskapane, vinkelrett, arealrett eller avstandsrett, kan framstillast i kartplanet. Eit kart i ein vinkelrett projeksjon vil innføre feil på avstandar og areal, med unntak av ein eller nokre få liner som kan vere avstandsrette. Ein avstandsrett projeksjon har t.d. rette avstandar berre i høve til eitt punkt. Fig. 11 Ulike kartprojeksjonar - plan, kjegle og (normal) sylinderprojeksjon. Det finst svært mange kartprojeksjonar, men berre eit lite tal er i praktisk bruk. Innanfor ein kartprojeksjon har ein variantar ved at kartplanet ein projiserer til kan plasserast på ulike måtar i høve til ellipsoiden. Planet kan t.d. tangere i polen eller i eit vilkårleg punkt, eller skjere inn i ellipsoiden, og såleis gi projeksjonen ulike eigenskapar. Tilsvarande gjeld for kjegler og sylindrar som kan tangere eller skjere gjennom jordkroppen. Ein sylindarprojeksjon er oftast anten normal (sylindarakse langs jordaksen) eller transversal (sylindarakse vinkelrett på jordaksen)

Type kartprojeksjon vert vald ut frå føremålet med kartet, og det området ein skal dekke. 6.2 Kartprojeksjonar i Noreg I 1993 vart UTM kartprojeksjon med EUREF89 som referansesystem (datum) innført som nasjonalt referansesystemet for kart i Noreg. Innføringa har teke tid, og jamvel i dag er det ikkje uvanleg å kome over kart og data referert i eitt av dei to systema som det nye skulle ta over for. NGO1948 som var både geodetisk datum og ein kartprojeksjon vart nytta til kart i større målestokkar (ØK og alle kommunale kart). Den landsdekkande hovudkartserien (N50/M711) var basert på UTM-kartprojeksjon og Europeisk Datum 1950. Det nasjonale referansesystemet EUREF89 er ein definisjon for Europa av det satellittbaserte geodetiske datumet WGS 84 knytt til eit tidspunkt (Epoke 0-1989). Koordinatar for punkt i EUREF89 er faste for punkt på den eurasiske tektoniske plata, med koordinatverde slik dei kunne målast i WGS84 pr. 1. januar 1989. Sidan denne plata flytter seg vil koordinatane endre seg med tida i WGS84 referansesystemet, medan EUREF89 har faste koordinatar for eit gitt punkt, dvs koordinatar endrar seg ikkje med tida. 6.3 Eldre datum - referansesystem NGO1948 er eit norsk geodetisk datum med fundamentalpunkt ved Oslo Observatorium. Ellipsoiden i NGO48 er basert på Bessels ellipsoide frå 1848, men akselengdene i den norske versjonen avvik frå den originale og vert gjerne omtala som den norske Bessel ellipsoiden. Kartprojeksjonen i NGO48 er ein tangerande sylinderprojeksjon der Noreg er dekt med 8 projeksjonsstriper (I-VIII) (Fig. 12). Kvar stripe har eit eige koordinatsystem med origo på 58 Nord, X-akse nordover langs tangeringsmeridianen og Y-akse vinkelrett på denne med positiv retning austover. Akse III er lagt gjennom Oslo Observatorium og dannar utgangspunktet i systemet. Projeksjonen er lagt slik at maksimal feil i kartet vert mindre enn 1:10 000. Fig. 12 Gauss-Krüger (NGO) systemet i Noreg. ED50 eller Europeisk Datum 1950 dekkjer Europa med fundamentalpunkt i Potsdam i Tyskland. ED50 er basert på den Internasjonale ellipsoiden av 1924 (Hayford 1909). ED50 er uttrykt på kart gjennom UTM projeksjonen var NATO sin standard for kart i Europa fram til WGS84 vart teke i bruk. I Noreg vart ED50 nytta til kartserien N50 (M711) og dei fleste kart i mindre målestokkar (<1:20000). ED50 koordinatar er ganske like EUREF89, med skilnad på ca 200m i Nordkoordinat og ca. 70. meter i Austkoordinat, og koordinatar kan difor forvekslast i dei to systema om ein ikkje får med fullstendig informasjon om referansesystem. 7. AKSESYSTEM OG KOORDINATAR I ein konform transversal sylinderprojeksjon vert striper av jordoverflata projisert til ein sylinder som så vert bretta ut og utgjer kartplanet. Sylinderen kan anten tangere langs ein meridian (som i NGO48), eller vere krympa litt i høve til jordkroppen slik at den skjer inn i jorda symmetrisk kring ein sentralmeridian (Fig. 13). Koordinatar på ellipsoiden (φ,λ) kan reknast om til samsvarande koordinatar på kartplanet (sylinderen) i eit definert koordinatsystem. Slik kan områda nær ein meridian projiserast utan å innføre for store feil. Di lenger ut frå referansemeridianen ein kjem, di større vert målestokksfeilen. Sidan Noreg er

langt både i nord-sør retning og aust-vest (Finnmark) må ein for å unngå for store projeksjonsfeil nytte fleire sylindrar for å dekkje heile landet. NB! Ein nyttar i kartsamanheng omvend namnsetjing på koordinataksane i høve til matematikken. I Europa har kart koordinatsystem X/N-akse mot nord (primærakse), Y/E-akse mot aust og retningar rekna frå nord med positiv retning med sola. I USA er det vanleg å ha Y/E som primærakse, slik at koordinatar er snudd t.d. i amerikansk programvare. 7.1 UTM-systemet (Universal Transverse Mercator) UTM-systemet er og basert på ein konform sylinderprojeksjon med ein sylinder som er litt mindre enn ellipsoiden, slik at den skjer gjennom Jorda (Fig. 13). Projeksjonen forminskar sentralmeridianen i kvar stripe med ein faktor på 4/10 000 (faktor 0,9996). Ved å nytte ein slik krympa sylinder kan eit større område projiserast innanfor ein gitt maksimal projeksjonsfeil. Fig. 13 Tangerande og skjerande transversal sylindarprojeksjon. UTM-systemet dekkjer heile kloden frå 80 S til 82 N med 60 striper (kalla soner) som kvar dekkjer 6 i lengd, med 183 E, UTM-sone 1, som referanse. Kvar stripe har to definerte koordinatsystem, eitt for den nordlege- og eitt for den sørlege- halvkula. UTM-koordinatsystemet har for den nordlege halvkula positiv X-akse, kalla N- Northing, nordover langs referanse meridianen med verdet null for ekvator. Y-aksen (E Easting) fell langs ekvator, og verdet for origo er sett til 500 000 for å unngå negative koordinatverde. På den sørlege halvkula er alle X/N-koordinatar (som skulle vere negative) gitt eit tillegg på 10 000 000 og er definert som koordinaten S Southing. (I UTM systemet er det såleis berre definert positive koordinatverde). Fig. 14. UTM-projeksjonen (koordinatsystem), soneinndeling globalt og for Europa..

Koordinatsystemet i marka For å kunne bruke stadfesting med koordinatar treng ein samanheng mellom punkt i marka og koordinatsystemet. Denne samanhengen vert gitt eksakt gjennom referansepunkt, trigonometriske punkt, men tilnærma kan me og finne koordinatar med satellittmåling ved bruk av ein GPS mottakar. Ein enkel liten GPS mottakar gir oss koordinatar med nokre meters presisjon, medan meir avanserte mottakarar som vert nytta til landmåling kan gi cm presisjon relativt til eit referansepunkt. Ved fotogrammetrisk kartkonstruksjon brukar ein og punkt med kjent koordinat, passpunkt, som ein finn att i bileta til å lage ein samanheng mellom det ein måler i biletet/stereomodellen og koordinatar i kartet, i tillegg til at posisjonen til flyet vert målt med satellittsystem. Koordinatar ein måler er knytt til det referansesystemet (datum) og den kartprojeksjonen ein nyttar. Ein kan rekne om koordinatar til ein annan kartprojeksjon innanfor same datum ved eksakte formlar konvertere koordinatar. Ein slik eksakt samanheng eksistrer normal ikkje mellom ulike referansesystem (datum) og vil ein rekne mellom slik trengs det empiriske samanhengar transformasjonsformlar. APPENDIX UTM-referansesystemet I UTM kan ein nytte koordinaten (N,E) til eit punkt saman med sone nr. for å gi ein unik referanse for punktet. Eit alternativt system for posisjonar er UTM-referansesystemet eller UTM-rutetilvising. Dette systemet nyttar i tillegg til 60 soner, gitt med tala 1-60 (jfr. 7.1 og fig. 14) ei deling av kvar sone (frå 80 S til 84 N) i 20 belte nemnde med bokstavane C - X, unnateke I og O. Kvart belte dekkjer 8 i breidde - det nordlegaste 12 grader. Jorda er såleis delt i 20 X 60 (1200) ruter avgrensa av meridianar og parallellsirklar. Rutene kallar ein sonebelte og dei vert definert av sone (tal) + belte (bokstav). I sør-noreg er ein t.d. i sonebelte 32V, jfr. fig. 10 og 12. I kvart sonebelte vert delt i 100 km ruter som svarar til 100 km ruter i koordinat- systemet, t.d. frå 400000-500000 E og 6500000-6600000 N. Kvar 100 km rute vert gitt med to bokstavar, slik at sone + belte + 2 bokstavar definerer ei unik 100 km rute. Kvar rute har eit lokalt koordinatsystem i nedre venstre hjørne i ruta. Fig. 15. UTM Sonebelte med 100 km ruter Relativt dette hjørnet gir ein aust og nord koordinaten til eit punkt med så mange siffer som ein vil ha presisjonen på tilvisinga - like mange siffer for aust og nord. Koordinaten refererer seg til ei rute som har storleik gitt ved talet på siffer i tilvisinga. Fig. 16. 100 km rute MP I fig 16 er gitt eit eksempel på rutetilvising for Galdhøpiggen: 32V MP 6364534080-10-sifra tilvising - definerer ei 1 m rute 32V MP 63643408-8-sifra tilvising - definerer ei 10 m rute 32V MP 636340-6-sifra tilvising - definerer ei 100 m rute 32V MP 6334-4-sifra tilvising - definerer ei 1 km rute Ruta som tilvisinga definerer er gitt med koordinaten ligg ned til venstre for sjølve punktet, slik at punktet ligg i ruta med gitt storleik. Storleiken til ruta vert gitt med talet på siffer. Merk: Det skal vere

like mange siffer i AUST og i NORD tilvisinga, dvs. det må setjast 0 framom i tilfelle den aktuelle koordinaten er mindre enn 10 kilometer. MÅLEEININGAR Lengdemål Lengdeeiningar var i tidlege tider knytt til vilkårlege storleikar; ei fingerbreidd, ei handslengd og ein fot var vanleg nytta einingar. Var det tale om større avstandar nytta ein gjerne talet på dagsmarsjar, anten for menneske eller dyr. Då den fyrste franske republikken i 1791 innførde metersystemet var det tanken at det skulle vere eit uforanderleg naturmål, nemleg ein timilliontedel av meridiankvadranten (avstanden frå ekvator til polen). Det synte seg seinare at meridiankvadranten ikkje var eksakt 10 000 000 meter, men eitpar kilometer meir. No (frå 1983) er difor meteren gitt ein ny definisjon, definert som avstanden lyset (c) beveger seg i vakuum i løpet av 1/299 792 458 sekund. I Noreg vart meteren teken i bruk som lengdemål på slutten av 1800-talet. Måleeininga for lengdemål er 1 meter, men i landmåling vert det og nytta avleidde einingar av grunneininga. Kilometer km 10 3 m 1000 m Meter m Desimeter dm 10-1 m 0.1 m Centimeter cm 10-2 m 0.01 m Millimeter mm 10-3 m 0.001 m Mikrometer mm 10-6 m 0.000001 m Til Flate- og Volummål nyttar ein einingane kvadratmeter, m 2, for flate- og kubikkmeter, m 3, for volummål. Andre einingar vert og avleidd av grunneininga meter. Vinkelmål Til måling av vinklar er det fleire ulike system i bruk alt etter kva føremålet med bruken er. Radianar SI-eininga for vinklar er radian. Ein radian - 1 rad - er vinkelen mellom to radier som avgrensar ein boge av sirkelomkrinsen som har lengd lik radien. Radian vert og kalla absolutt vinkelmål. Storleiken til ein vinkel i radianar er såleis lik høvet mellom bogen og radien. Heile sirkelomkrinsen er lik 2 π rad, ein kvart omkrins er π /2 rad som er lik ein rett vinkel. Gradmål a. Seksagesimal eller gamal graddeling 1/360 av sirkelomkrinsen (eller 1/90 av den rette vinkel) er definert som ei vinkeleining, og vert kalla ei grad og har symbolet ( ). Kvar grad vert delt i 60 (minutt / vinkelminutt) og kvart minutt i 60 (sekund (vinkel-)) Ein vilkårleg vinkel kan skrivast som 108 37' 18". Brøkdelen av sekund vert gitt i desimalform, t.d. 18,7". Det hender at vinklar vert skrivne som desimalbrøkar t.d. 108,62167. b. Centesimal eller ny graddeling 1/400 av sirkelomkrinsen er definert som vinkeleining og vert kalla gon eller ny-grad med symbolet ( g ). Ein rett vinkel er 100 g. Vinklar vert skrivne som desimalbrøkar: 99,14357 g. I SI-systemet er det tilrådd å nytte fylgjande avleidde storleikar: Gon ( g ) : 1 g = (π/200)radian Centigon (cgon) : 0,01 g = (1/100) g Milligon (mgon) : 0,001 g = (1/1000) g

Gamal deling (seksagesimal) vert nytta ved astronomiske målingar (breidd og lengdefastlegging) av di samanhengen med tidsinndelinga er einfeld. I vanleg landmåling vert det nesten berre nytta ny deling i Noreg. Denne har praktiske føremuner både ved måling og utrekning. Strekdeling I ein del samanhengar, m.a. i forsvaret vert ein sirkel delt i 6400 strekar nytta. Eininga vert her gitt med ein strek i øvre indeksposisjon, til dømes 2520. Føremonen med dette systemet er at på ein kilometer avstand er bogen vinkelen spenner over (i meter), tilnærma lik vinkelen målt i strekar. (Ein kilometer radius gir ein sirkelperiferi på 6283 meter) Tilleggs - / alternativ litteratur: Grunnleggende landmåling, Redaktør: Terje Skogseth, (1998) ISBN/EAN: 9788200424536 T. Eiken: Kompendium i landmåling, tilgjengeleg på Web-sidene til kurset GEG2210. (http://www.uio.no/studier/emner/matnat/geofag/geg2210/v11/pensumliste.xml) - 18 kapittel, kap. 1 er om kartprojeksjonar.