c) Løs likningen 6 4 x 4 x 6 4 x 4 x Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.011 DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Regn ut 10 8 3 3 10 8 3 3 10 8 1 10 3 a) 3 5 4 5 3 5 5 4 5 3 5 5 3 5 5 4 5 1 3 5 1 5 1 1 3 1 5 1 3 3 5 b) Skriv så enkelt som mulig a3 b ab 3 a3 b 3 a 3 b 6 6b 4 1 48b 4 1 48b 4 6b 4 c1) Løs likningen x 5x 3 0 Må bruke: x b b 4ac a x 5x 3 0 x 1 1 x 3 3 a 3 a 3 b b 6 6 b 4 3 1 b 8 6 b 4 1 3 6 b 4 x 5 5 4 3 x 5 4 7 x 1 5 4 7 1 x 5 4 7 3 Prøve: hs: 4 4 96 vs: 6 4 96 x c3) Løs likningen 3 lgx 4 lgx 30 4 x x 4 6 x 4 4 x x Side 1 av 6
Prøve vs: 3 3 4 3 30 x 1000 3 lgx 4 lgx 30 6 lgx 4 lgx 30 10 lgx 30 lgx 3 x 1000 d) Løs likningssettet I: 4x y 10 II: x y 8 Ved regning Addisjonsmetoden I II: 6x 18 x 3 Innsettingsmetoden: I: y 10 4x Setter inn i II: x 10 4x 8 x 10 4x 8 x 3 y 10 4 3 Grafisk 4x y 10 y 4x 10 x y 8 y x 8 y 10 8 6 4 0-1 3 4 5 x x 3 y -4-6 -8-10 e) Faktoriser og forkort så mye som mulig 4x3 x x x 4x 3 x x x x x 1 x x 1 4x x 1 f) Løs ulikheten x 4x 0 Faktoriserer: x 4x x x 4 Tegner fortegnsskjema eller setter opp en fortegnstabell x 4x 0 når x 0, 4, 0 0 0, 4 4 4, x 0 x 4 0 x x 4 0 0 g) I en rettvinklet trekant er hypotenusen lik 5 og tan v 3. Tegn trekanten. 4 Side av 6
Oppgave Under ser du grafen til en andregradsfunksjon f sammen med tangenten T i punktet, f a) Bruk grafen og bestem f Symbolet f betyr y-verdien i punktet hvor x. Den kan vi lese av fra grafen. f 3 b) Når er f x 0? Det leser vi også av. f x 0 når x 3 x 1 c) Begrunn hvorfor f x a x 3 x 1. Uttrykket a x 3 x 1 har samme nullpunkt som funksjonen i oppgaven. Vi vet også at funksjonen ikke har andre nullpunkt. Alle funksjoner med de to nullpunktene kan uttrykkes ved a x 3 x 1 d) Vis at a 1 Fra c) vet vi at funksjonen kan uttrykkes som a x 3 x 1. Nå må vi bestemme hva a er i det spesielle tilfellet. Det kan vi gjøre ved å se på et bestemt punkt på grafen. Her er det enkleset å bruke punktet 0, 3. Det betyr at hvis x 0, så skal y-verdien bli 3 Side 3 av 6
a 0 3 0 1 3 e) Bestem f x og f. Hva forteller dette? f x 1 x 3 x 1 x x 3 f x x 3a 3 a 1 f kan vi enten regne ut eller se på figuren. På figuren kan vi se at stigningstallet til tangenten er f f f) Bestem likningen for tangenten T. Vi vet at likninga til tangenten kan skrives som y ax b Vi vet at a og at tangenten går gjennom punktet, 3. Da kan vi sette opp denne likninga Likninga til tangenten er y x 7 3 b b 3 4 7 DEL Oppgave 3 Vi skal bestemme bredden av ei elv mellom punktene A og B. Vi måler avstandene AC 33 m, CE 18 m og ED 1 m. a) Forklar at trekant ABC og CED er formlike Vi tegner opp trekantene på nytt ved siden av hverandre. Side 4 av 6
De to trekantene er formlike fordi ACB ECD. De er toppvinkler CAB CED 90 b) Hva er bredden AB av elva? Vi kan sette opp to forhold som må være like hverandre: AC AB ED EC Vi regner ut: AB AC ED EC AB 33 m 18 1 m m AB 33 m 1 18 m m m Bredden av elva er m c) En 5,0 meter lang stige står 3, meter fra veggen. Bruksanvisningen sier at hellingen til stigen bør være ca 65. Undersøk om stigen står forsvarlig. cosv 3. v 5.0 cos 1 3. 50. 08 5.0 Hellningen til stigen er mindre enn hva bruksanvisningen sier. Stemmer det som står der, så er det ikke helt forsvarlig! Oppgave 4 Orkan videregående skole har 80 elever i første klasse. En uke har 57 elever sett Idol, 35 har sett Hotell Cæsar, mens 13 elever ikke har sett noen av programmene. a) Astrid har tegnet venndiagrammet under. Forklar venndiagrammet. Side 5 av 6
Én av de 80 elevene trekkes tilfeldig for å bli intervjuet i skoleavisa. Definerer disse hendingene A - eleven har sett Idol B - eleven har sett hotell Cæsar b1) Hva er sannsynligheten for at denne eleven har sett Idol P A 57 0. 71 5 80 Sannsynligheten for at denne eleven har sett Idol er 0.713 b) Hva er sannsynligheten for at denne eleven har sett begge programmene P A B 5 5 0. 31 5 80 16 Sannsynligheten for at eleven har sett begge programmene er 0.313 b3) Hva er sannsynligheten for at denne eleven har sett Idol når vi vet at eleven har sett Hotell Cæsar P A B P B P A B P A B P A B P B 5 80 35 80 5 7 0. 714 9 Sannsynligheten er 0.714 En dag har skolen straffesparkkonkurranse i fotball for Vg1. Det er Silje sin tur. Anta at sannsynligheten alltid er 0,6 for at hun scorer mål når hun tar et straffespark. Dette er et binomisk forsøk: P X x n x p x 1 p n x hvor p 0. 6 c1) Silje tar fem straffespark. Hva er sannsynligheten for at hun bommer alle fem gangene P X 0 5 0 0. 6 0 1 0. 6 5 0 0. 4 5 0. 010 4 Sannsynligheten er 0.010 c) Hva er sannsynligheten for at hun scorer akkurat fire ganger P X 4 5 4 0. 6 4 1 0. 6 5 4 0. 59 Sannsynligheten er 0.59 c3) Hva er sannsynligheten for at hun scorer minst fire mål Hendingen at hun scorer minst fire mål vil si at hun enten scorer fire eller fem mål. Vi har allerede funnet sannsynligheten for at hun scorer fire. Legger vi til sannsynligheten for at scorer fem, har vi svaret. Sannsynligheten for at hun scorer fem mål: 0. 6 5 0. 077 76 Sannsynligheten for at hun scorer minst fire mål: 0. 59 0. 077 76 0. 336 96 Vi kan også finne svaret ved å bruke funksjonenen i Nspire. binomcdf (n,p,x) finner summen av alle sannsynlighetene i alle forsøk fra 0 til x. binomcdf (5,0.6,3) binompdf(5,0.6,0) binompdf(5,0.6,1) binompdf(5,0.6,) binompdf(5,0.6,3) Side 6 av 6
Sannsynligheten er 0.337 d) Hvor mange straffespark må Silje minst ta for at sannsynligheten for å score minst én gang skal være større enn 0,999? Sannsynligheten for at scorer minst en gang 1-sannsynligheten for at ikke scorer 1 0. 4 n Grafisk y 1.010 1.005 1.000 0.995 0.990 4 5 6 7 8 9 10 x Ved regning Nspire 1 0. 4 n 0. 999 0. 4 n 0. 999 1 0. 4 n 0. 001 0. 4 n 0. 001 n lg0. 4 lg0. 001 lg0. 001 n lg0. 4 n 7. 538 8 Hun må ta minst 8 straffespark Oppgave 5 Finn ved regning arealet av ei tomt som har form som en firkant ABCD, der A 105, B 80, AB 50 m, BC 40 m og AD 30 m Her er det viktig å lage en hjelpefigur Side 7 av 6
Det er flere alternative løsninger på denne oppgaven. Det gjelder å finne sider og vinkler slik at vi kan regne ut arealet. Her følger to alternativ Alternativ I Finner først sida AC AC AB BC AB BC cos ABC AC AB BC AB BC cos ABC Så finner vi BCA ved å bruke sinussetningen sin BCA AB sin B AC sin BCA AB sin B AC BCA sin 1 AB sin B AC 50 40 50 40 cos80 58. 356 sin 1 50 sin 80 58. 356 57. 54 Da kan vi utnytte at vinkelsummen i en trekant er 180 grader. BAC 180 80 57. 54 4. 46 Vi finner den siste vinkelen : CAD 105 BAC 105 4. 46 6. 54 Nå kan vi bruke arealsetningen på ACD og ABC T ACD 1 AC AD sin CAD 1 58. 36 30 sin 6. 54 776. 77 T ABC 1 AB AC sin BAC 1 50 58. 36 sin 4. 46 984. 93 Arealet av firkanten ABCD: 776. 77 984. 93 1761. 7 Alternativ II Finner føst side BD BD AD AB AD AB cosa BD AD AB AD AB cosa 30 50 30 50 cos105 64. 66 Så finner vi BAD ved å bruke sinusproporsjonen sin ABD AD sin A BD sin ABD AD sin A BD ABD sin 1 30 sin 105 64. 66 Da finner vi DBC 80 6. 641 53. 359 6. 641 Side 8 av 6
Nå kan vi bruke arealsetningen på ABD og BCD T ABD 1 AB BD sin ABD 1 50 64. 66 sin 6. 641 74. 46 T BCD 1 BD BC sin DBC 1 64. 66 40 sin 53. 359 1037. 1 Arealet av firkanten ABCD: 74. 46 1037. 1 1761. 6 Arealet av tomta er 176 m Oppgave 6 På figuren over ser vi hvordan en eskeprodusent har tenkt å produsere esker med lokk ved å skjære ut ei papplate. Utgangspunktet er ei papplate som er 40cm bred og 60cm lang. Vi kaller høyden på eska x. a) Bestem definisjonsmengden til x Definisjonsmengden til x bestemmes av hcva som er praktisk mulig. Ser vi på figuren så er det ikke mulig å klippe ut mer en halvparten av bredden, dvs. 0 cm. Klipper vi ut 0 cm får ikke eska noen høyde. Vi må derfor begrense x-verdien til å være mindre enn 0 cm. Samtidig må høyden være mer enn null. x 0, 0 b) Vis at volumet av eska kan skrives som: V x 100x 100x x 3 Bredden av eska vil være 40 x Lengden av eska kaller jeg l og kan sette opp dette uttrykket: l x 60, lengden blir l 30 x Volumet av eska: 40 x 30 x x x 3 100x 100x c) Finn lengde, bredde og høyde til den eska som gir det største volumet. Ved regning V x 6x 00x 100 V x 0 6x 00x 100 0 x 5. 486 x 7. 847 5 Bare den ene x-verdien er i definisjonsmengden x 7. 847 5 Nspire Side 9 av 6
Høyde h 7. 8 cm. Lengde l. cm. Bredde b 4. 4 cm Side 10 av 6