Christoph Kirfel Hvordan lage pene krver? Bildet i figr er tegnet med tegneprogrammet Smopaint, et program som er gratis tilgjengelig på Internett, og som noen av leserne kanskje har rkt en gang. Andre har sikkert rkt liknende programmer (aint) til å lage invitasjoner til rsdager og konfirmasjoner are til å tegne «krsedller». Figr. I Smopaint finnes det en opsjon der man setter en rett strek på «arket» som man etterpå kan forandre til en pen e etter eget ønske. Bene lir pene, ehagelige krver som det er lett å lage gode former av. røv gjerne selv. Hvordan datamaskinen velger å lage disse Christoph Kirfel Universitetet i Bergen christoph.kirfel@math.i.no 8 krvene, får vi selvsagt ikke vite noe om i Smopaint, men det er opplagt at det er en god porsjon matematikk som ligger ak. I denne artikkelen vil vi først presentere en krvetegner som likner på den i Smopaint. Elevene kan selv være med og konstrere den i f.eks. GeoGera. Riktignok lir den egenkonstrerte graftegneren ikke like «flink» som den profesjonelle, men det går i alle fall an å se hvilken matematikk som ligger ak verktøyet, og en kan glede seg over de egenprodserte krvene. Disse lir noen ganger vel så fine som de programmet lager. Til sltt vil vi også komme inn på den krvetegneren som er rkt i Smopaint. Her trenger vi litt mer matematikk for å gjennomske virke måten. Opplegget er prøvd t med en R-klasse ved Tanks videregående skole i Bergen. Klassen fikk demonstrert Smopaint-programmet, og mange kjente igjen fnksjonaliteten. Elevene syntes krvene liknet iter av paraler, og vi le enige om å ta disse «paraelitene» som vårt tgangspnkt. Vi estemte oss for å sette sammen en rekke med paraeliter som går gjennom de pnktene som rkeren velger. Gjennom to påfølgende pnkter ønsket vi å legge en parael. I tillegg ønsket vi å tilpasse tangentstigningen i startpnktet. Senere skal vi se hvordan vi kan lage «glatte overganger» ten knekk. Her får vi rk for den deriverte av en parael. Vi viser her prosessen med tre pnkter og /0 tangenten
to paraeliter. Den kan selvsagt tvides til vilkårlig mange pnkter og tilsvarende mange paraeliter. Vi har valgt pnktene = (, ), = (, 4) og = (4, 0) og skal i første omgang legge en parael gjennom = (, ) og = (, 4). I neste omgang ser vi etter en ny parael gjennom = (, 4) og = (4, 0). Vi skal are rke de itene av paralene som går mellom de oppgitte pnktene. aralene strekker seg altså ikke i det endelige. De er are «synlige» over de angitte intervallene. Som startstigningstall for den første paraelen velger vi m =. For den andre velger vi m = 5. Den første paraelen, f (x) = a x + x + c, skal gå gjennom = (, ) og = (, 4). Vi rkte parametrene a, og c for senere å knne skille mellom de forskjellige paralene. Da får vi to likninger: f() = a+ + c = f () = 4 9a + + c = 4 Her var elevene ivrige og fant fort at straksjonsmetoden gir oss 4a + =. For tangentstigningen har vi f (x) = a x +. At starttangenten, dvs. stigningen i pnktet = (, ), er lik kan ttrykkes som en likning: f () = a + =. Dermed har vi to likninger med de kjente a og. Igjen knne vi rke straksjonsmetoden. Ved å trekke likningene fra hverandre finner vi a = og dermed = 5. Fra en av de første likningene finner vi deretter c = og vi har fnnet den første paraelen f (x) = a x + x + c = x + 5x. Den andre paraelen, f (x) = a x + x + c, skal gå gjennom = (, 4) og = (4, 0). Da får vi to nye likninger: f () = 4 9a + + c = 4 f () 4 = 0 6a + 4 + c = 0 som gir oss 7a + = 4. Starttangenten i = (, 4)skal ha stigningstall 5, som fører til Figr. f () = a x + = 6a + = 5. Ved å trekke likningene fra hverandre får vi a = og dermed = og c = 8. Det etyr at vi har fnnet den andre paraelen: f (x) = x + x + 8. Nå har vi egge paraelitene på plass, og fnksjonen som eskriver hele løsningen vil derfor se slik t: x x x, f( x) = + 5 [ ] x x + 8 x [ 4, ] Her ser vi også nytten av delte fnksjons ttrykk. Grafen er tegnet i figr. Ved å variere starttangentene i og, dvs. ved å variere tallene m og m, kan en få til forskjellige pene krver gjennom de oppgitte pnktene. røv selv! Vi kan ønske oss en tvidelse av den foreslåtte modellen der man ikke are ser på faste gitte pnkter (hos oss = (, ), = (, 4) og = (4, 0)), men der pnktene er variale og kan flyttes rndt på skjermen etter ehov. I tillegg må vi selvsagt inkldere mligheten for mer enn tre gitte krvepnkter. La oss først se på prolemstillingen med «variale pnkter». Vi kaller pnktene for = (, v ), = (, v ) og = (, v ). Den første paraelen, f (x) = a x + x + c, skal gå gjennom = (, v ) og = (, v ), noe som gir oss to likninger, tangenten /0 9
f ( ) = v f ( ) = v 40 a + + c = v. a + + c = v Igjen var elevene ivrige, og knne rke straksjonsmetoden, som gir oss a ( ) + ( ) = v v. () Vi kjenner også tangentstigningen m i startpnktet = (, v ). Dette kan ttrykkes som en likning: y ( ) = a + = m. () For å knne rke straksjonsmetoden på variaelen må vi dividere egge sider i likning () med. Dermed får vi v v a( + ) + =, som er likning (). Trekker vi likningene fra hverandre, forsvinner og vi får: v v a( + ) = m a v = v m. Siden vi nå har estemt a, har vi ved likning () også at = m a. Den siste parameteren, c, finner vi ved hjelp av likningen a + + c = v slik at c = v a. Dermed har vi alle de tre parameterne i den første paraelen på plass. For å estemme den neste paraeliten, f (x) = a x + x + c, kan vi gjennomføre de samme eregningene. Her tar = (, v ) plassen til = (, v ), og = (, v ) tar plassen til = (, v ) og til sltt overtar stigningstallet m plassen til m. Formlene er de samme. En må are ytte t indeksene. v v m a = = m a og c = v a. Elevene satte pris på at vi her én gang for alle hadde fnnet et ttrykk for de tre parameterne til paralene slik at gjentatte eregninger ved å løse likningssystemer (slik vi gjorde til å egynne med) le overflødige. Dette fikk dem til å innse at det kan være en fordel å løse et generelt system i stedet for mange spesielle likningssystemer med konkrete tallverdier. Vi diskterte også de forskjellige variaeltypene i denne sammenhengen. Både x,, v,, v,, v og a,, c, a,, c er variale. Mens x representerer tallinjen, står, v,, v,, v for pnktkoordinater som vil være kjente konkrete tall så snart pnktene er valgt. Dermed kan programmet GeoGera rke disse i eregninger. Varialene a,, c, a,, c er parameterne til paralene. Disse er avhengige av pnktkoordinatene og eregnes atomatisk av programmet så snart pnktkoordinatene er gitt. Disse tre forskjellige variaeltypene voldte elevene ingen større prolemer. For hvert nytt pnkt vi ønsker å inkldere i tegningen, får vi en ny paraelit som eregnes sksessivt med de angitte formlene. Vi trenger ikke å nøye oss med to paraeliter. å nettsiden www.caspar.no/tangenten/0/fig.html kan d prøve modellen med til sammen sj pnkter. nktene, og er allerede synlige. Ønsker d flere pnkter i modellen, så kan d i den tilhørende avkrysningsoksen krysse av for hvert av tilleggspnktene,, og 4 5 6 7 om de skal være synlige. Etterpå kan d selvsagt flytte pnktene dit d ønsker (men are til /0 tangenten
høyre for foregående pnkt pga. kravet om stigende x-verdi). Elevene lagde selv en slik krvetegner med to paraeliter, og eksperimenterte med denne. Etter hvert ville noen sikre seg at paraelitene passet etter hverandre med en glatt overgang. Vi ønsker oss altså en modell der vi ikke har knekker i hvert ankerpnkt. I pnktet kan vi få det til ved å velge stigningstallet til starttangenten for den andre paraeliten lik stigningstallet for avsltningstangenten på den første paraeliten. Det gir oss følgende sammenheng: m = a +. å samme måte kan vi få til glatte overganger ved de andre ankerpnktene også. En må da definere de andre starttangentene på liknende vis og skifte t indeksene. Nå kan vi selvsagt ikke lenger velge disse tangentstigningene, men det aller første stigningstallet m kan fortsatt velges fritt. Svakheter med modellen Etter å ha lekt litt med modellen så elevene fort at den har noen alvorlige svakheter. For det første ser vi at tegningene lir rare ekstreme når to pnkter får tilnærmet samme x-koordinat. Dette er lett å forklare siden ( ) står som nevner i formelen for a. Ligger pnktene rett over hverandre (samme x-koordinat), så ryter eregningen for a og dermed også alle de andre verdiene sammen, og vi får ingen løsning (ingen parael). Tangenten i dette pnktet lir da gjerne loddrett, og denne effekten forplanter seg ved at tangenten i endepnktet for intervallet også lir loddrett. Dermed lir alle de resterende «paralene» mer mindre loddrette streker. Dette gjelder den «glatte» modellen. Dette er selvsagt en alvorlig skavank og kan ikke tåles ved et profesjonelt prodkt. En annen lempe er at paralene ikke kan ha loddrette tangenter. I en tegning kan nettopp det være ønskelig. Vi kan h ikke få til en krve med et øvre og et nedre løp, noe som er svært ønskelig i en tegning. Vår modell egner Figr. En modell med 7 støttepnkter og glatte overganger seg i grnnen are til en rekke med pnkter på rad med stigende x-verdier (noe som likner litt på et fjellandskap). Vi har altså klart å lage en modell som har visse kvaliteter som et designerverktøy skal ha, men på langt nær alle kravene er innfridd. Elevene var fornøyd med sine egne graftegnere, men også litt skffet over at de ikke fikk til det samme som det profesjonelle verktøyet. Dermed var de klare for å lære noe nytt. Elevene var lydhøre for å vite mer om vektorfnksjoner som de lærte om i R. Vi startet med å lage en enkel vektorfnksjon (t) = t, der vi are forlenger forkorter en vektor ved hjelp av en variael t. Resltatvektorene ligger da på en linje. Dette fikk vi synliggjort ved at vi slo på «sporet» til resltatvektoren i GeoGera. Elevene foreslo også vektorfnksjoner som (t) = t +, som også representerer linjer. Kvantespranget kom da vi tvidet den siste vektorfnksjonen til følgende form: (t) = t + t +, en tvidelse som virker natrlig når man ser på paraler av formen y = ax + x + c. Vi så at de nevnte krvene liknet veldig på krvene i Smopaint. Riktignok var det også her snakk om paraler, men de «knne ligge skeivt i landskapet». Dermed steg optimismen, og elevene ville vite mer om disse nye vektorfnksjonene. Jeg presenterte nå Bézier-krver som en spesiell form for kvadratiske vektorfnksjoner. tangenten /0 4
t () = ( t) + t( t) + t = v ( t) + t ( ) + v t t v Elevene le først noe perplekse, men aksepterte etter hvert at det her dreide seg om en kvadratisk vektorfnksjon, riktignok i en noe tradisjonell forkledning. Dette gjorde det nødvendig å argmentere for fordelene med en slik fremstilling. Vi snakket en del om definisjonsmengden for variaelen t, som var intervallet [0, ], og hvordan start- og slttpnktet så t. Vi fikk oss en liten overraskelse da vi så at: (0) = ( 0) + ( 0) + 0 = () = ( ) + ( ) + = Dermed var etydningen til pnktene og avklart. Men pnktet forle noe mystisk. For å knne vise krven i GeoGera ikke are som sporet til en vektor, men som en krve som kan reagere på endring av parametrene i dette tilfelle plasseringen av de tre pnktene, og trengte vi kjennskap til en ny GeoGeraopsjon, nemlig krveopsjonen. Til dette formålet må Bézier-krven «deles opp» i én fnksjon for x-koordinaten og én for y-koordinaten: xt () t () = ( t) t( t) = yt () + v + t v v med x(t) = ( t) + ( t)t + t og y(t) = v ( t) + v ( t)t + v t. Dermed knne vi rke krveopsjonen og fikk se og stdere Bézier-krvene. Vi så tydelig at pnktet var ansvarlig for tangentene i sltt- og endepnktet, og egynte derfor å stdere den deriverte av vektorfnksjonen. Elevene var kjent med at den deriverte av en vektorfnksjon eskriver hastigheten til et pnkt som eveger seg langs krven. Vi fant (t) = ( t) + ( t) + t Figr 4. og knne så eregne start- og sltthastigheten: (0) = + = ( ) og () = + = ( ). Dette knne vi så tolke slik at tangenten til krven i startpnktet er en vektor som peker fra til, og at den tilsvarende tangentvektoren i slttpnktet peker fra til. Dermed lir et styringspnkt for tangentene i endepnktene, og vi egynner å få kontroll over krvenes tseende. Faktisk var vi nå like langt som det profesjonelle tegneverktøyet Smopaint. Fordeler med Bézier-krver Det viser seg nå at den nye krvetypen, Bézierkrvene, ikke har noen av de skavankene som vårt opprinnelige selvlagde tegneverktøy led av. Det er lett å lage loddrette tangenter. Vi kan velge pnkter over hverandre, og vi kan få til krvedeler som ligger over hverandre, dvs. krver som ikke lenger er slik at y er en fnksjon av x. Det hadde vært spennende å gå videre og sette sammen flere Bézier-krveiter etter hverandre. Det hadde også vært en tfordring 4 /0 tangenten
å eskrive hva som må til for å lage glatte overganger mellom krveitene. Men dette le det altså ikke tid til i dette prosjektet. Synd! Bézier-krver av høyere orden Se på følgende vektorfnksjon: t () = ( t) + t( t) + t ( t) + t = 4 ( t) + t t + t t t v v + v ( ) ( ) v 4 Dette er en tvidelse av den kvadratiske Bézierkrven til grad tre. Vi finner raskt at (0) = og () = 4, mens (0) = ( ) og (0) = ( 4 ). Dermed kan vi styre tangentvektorene i start- og slttpnktet helt avhengig av hverandre med pnktene og. Før hadde vi are ett styringspnkt til egge tangentvektorene. Med det nye regimet får vi altså en enda større frihet til å tilpasse krvene til våre ønsker. Det finnes også Bézier-krver av høyere orden. 4 kjente fra før, og der de måtte lære seg noe nytt, knne de likevel mestre de ekstratfordringene som dkket opp. Det er ikke alltid man er så heldig at de fenomenene som en ønsker å elyse, lar seg eskrive med matematikk som elevene kan forstå. Derfor er det viktig med mange gode eksempler på et nivå som ikke overskrider elevenes fortsetninger. å nettsiden www.caspar.no/tangenten/0/ ezier.html kan d selv prøve t en slik Béziermodell (med tangenter). D kan selv lage en modell med flere pnkter hvis d vil. Takk til Anne Bjørnestad og R-klassen hennes ved Tanks videregående skole som våren 0 ville være med på dette prosjektet. Note ierre Bézier introdserte disse krvene i 96. Han trengte dem for å knne designe ildeler da han areidet for Renalt. Avsltning Mitt didaktiske tgangspnkt for ndervisningsopplegget var noen overveielser som stammer fra den danske matematikkdidaktikeren Mogens Niss. Han kommer med følgende åstand : «Matematiken er en væsentlig faktor i formingen af rammerne for menneskers liv i kltr og samfnd, gennem den rolle matematikken spiller i eskrivelsen, forståelsen og emestringen af dele af verden.» rolem : «Denne rolle for matematikken er i vidt omfang synlig for en middelar etragtning, fordi matematikken i højere grad virker i nderstrømmen af kltr og samfnd end på overfladen.» Oppgave (for skolen/læreren): «At synliggøre matematikken i samfndet og i verden rndt os (f. eks. teknologi).» Det å avsløre matematikken ak et dagligdags fenomen (som et grafisk verktøy som tegner krver) lir dermed et forsøk på å synliggjøre den matematikken som s er skjlt for elevene. Her var matematikken på et nivå elevene tangenten /0 4