Eksamen S1 høsten 014 løsning Tid: timer Hjelpemiddel: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (3 poeng) Løs likningene a) x 10 xx 5 x x 10 x 5x 7x 10 0 7 49 40 x 7 3 x x 5 x b) x lg 3 5 x lg x 10 x 00 Oppgave (1 poeng) Bruk en kvadratsetning til å bestemme verdien av produktet 995 995 1000 5 1000 5 1000 5 1000 5 1000000 10000 5 990075 995 995 Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 014 - løsning
Oppgave 3 ( poeng) Løs likningssystemet x y4 4x 3y 1 y x4 4x 3 x 4 1 4x 6x1 1 x 3x 0 x x3 0 x 0 y 0 4 4 3 3 x y 4 1 3 Løsningene er 0,4,1 Oppgave 4 ( poeng) Skriv så enkelt som mulig a b lg lg ab lg b a a b lg lga b lg lg a lgb lg a lg b lg b lg a 5lg a b a Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 014 - løsning
Oppgave 5 (5 poeng) Funksjonen f er gitt ved f x x x D f 3 3, a) Bestem f x. fx 3 x x x x 3 b) Bruk den deriverte til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. Setter uttrykket for deriverte lik null. x x 0 x x1 0 x 0 x 1 Vi vet nå at uttrykket xx 1 er lik null når x 0 og når x 1. Det er bare for disse verdiene av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x - verdier mindre enn 0, x - verdier mellom 0 og 1 og for x - verdier større enn 1. xx 1 Vi setter inn x 1og finner: 1 1 1 " " negativ Vi setter inn 1 Vi setter inn x Vi kan da sette opp fortegnslinja - verdier 1 1 1 " " positiv 1 " " negativ x og finner: og finner: 0 1 0 0 Grafen til funksjonen synker i intervallene,0 og 1, og stiger i intervallet 0,1. Det betyr at x 0 er et minimalpunkt og x 1 er et maksimalpunkt. Bunnpunkt 0, f 0 0, Toppunkt 7 1, f 1 1, 1 1, 3 3 c) Regn ut f 3. Forklar ved hjelp av det du fant i oppgave b), at f bare har ett nullpunkt. 3 f 3 3 3 18 9 7 3 Grafen av funksjonen er kontinuerlig i definisjonsområdet. Funksjonen har ingen nullpunkt i intervallet,0 fordi grafen av funksjonen synker i dette intervallet mot Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 014 - løsning
bunnpunktet, som har positiv y -verdi, og grafen krysser ikke x -aksen. I intervallet 0,1 stiger funksjonsverdien fra til 7 3 og vil dermed heller ikke krysse x -aksen. I intervallet 1, synker funksjonen, og vil dermed krysse x -linja en gang, og vi har derfor bare et nullpunkt. Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 014 - løsning
Oppgave 6 (4 poeng) Med bokstavene A, B, C og D skal vi lage en kode på tre bokstaver. a) Hvor mange ulike koder kan vi lage dersom vi tillater at én bokstav kan brukes flere ganger? 3 Ordnet utvalg med tilbakelegging: 4 444 64 ulike koder b) Hvor mange ulike koder kan vi lage dersom hver bokstav kan brukes bare én gang? Ordnet utvalg uten tilbakelegging: 4 3 4 ulike koder c) Hvor mange ulike koder kan vi lage dersom hver av kodene skal inneholde minst to like bokstaver? Antall kombinasjoner for tre like bokstaver: 4 Antall kombinasjoner for to like bokstaver: 433 36 Antall kombinasjoner til sammen: 4 36 40 ulike koder Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 014 - løsning
Oppgave 7 (5 poeng) En bedrift produserer x enheter av en vare. Enhetskostnaden produsert enhet er gitt ved 0000 Ex 4x 100, x 0 x E x kroner per a) Hvor stor er enhetskostnaden dersom bedriften produserer 00 enheter av varen? Hva blir da den samlede produksjonskostnaden? 0000 E 00 4 00 100 800 100 100 100 00 Enhetskostnaden ved produksjon av 00 varer er 100 kr Samlet produksjonskostnad er 00 100 kr 40000 kr Bedriften har inngått en avtale der de får solgt alt de produserer, for 000 kroner per enhet. b) Forklar at bedriftens overskudd O når det produseres x enheter, er gitt ved O x 4x 800x 0000 Overskudd = Inntekt kostnad 0000 Ox 000x Ex x 000x 4x 100 x 000x 4x 100x 0000 x 4x 800x 0000 c) Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd? Størst overskudd finner vi ved x-verdien til toppunktet av andregradsfunksjonen O x, som vender sin hule side ned pga. negativ koeffisient foran andregradsleddet. b 800 Vi finner symmetriaksen ved x 100 a 8 En produksjonsmengde på 100 enheter vil gi det største overskuddet. Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 014 - løsning
Oppgave 8 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved 3 f x x x D, f Bruk definisjonen til den deriverte til å vise at x0 x0 x0 x0 f x 3x 1 3 3 f( x x) f( x) ( x x) ( x x) x x f x lim lim x0 x x0 x lim 3 x xx x ( x x) x x x x x 3x x x x x x lim x 3 3 3 3 x x x x x x x x x x x x x x lim x lim x x xx x 3 1 x 3x 1 Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 014 - løsning
Tid: 3 timer Hjelpemiddel: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (4 poeng) Funksjonen f er gitt ved f x x 3x 5, D f a) Bestem den momentane vekstfarten til f i punktet, vekstfarten til f i intervallet 1,3. Vi bruker CAS i GeoGebra. f og den gjennomsnittlige Den momentane vekstfarten i punktet, f er lik 7. Den gjennomsnittlige vekstfaten til f i intervallet 1,3 er lik 7. b) Bestem den momentane vekstfarten til f i punktet, vekstfarten til f i intervallet 1, 1 a f a og den gjennomsnittlige a a. Tallet a er en konstant. Sammenlign svarene og kommenter. Bruker samme fremgangsmåte som i oppgave a), men bytter ut tallet med a. Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 014 - løsning
Vi ser at den momentane vekstfarten til f i punktet a, f( a ) er lik den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet a1, a 1. Dette gjelder for alle verdier av a. Det er interessant av vi her har funnet en ny metode for å regne ut den deriverte i et punkt for akkurat denne funksjonen. Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 014 - løsning
Oppgave (5 poeng) For nøyaktig tre år siden satte Per inn 10 000 kroner på en sparekonto. Kontoen har en fast årlig rente på 4,0%. a) Hvor mye penger har Per på sparekontoen i dag? Per har 11 48,64 kr på sparekontoen etter 3 år. b) Hvor mange år vil det gå fra han satte inn pengene, til han har 5 000 kroner på kontoen, dersom han lar pengene bli stående på kontoen? Vi løser likningen Det vil ta omtrent 3,4 år før Per har 5 000 kr i banken. Per bestemmer seg for å sette inn mer penger på kontoen. c) Hvor mye penger må han sette inn på sparekontoen i dag for at det til sammen skal stå 5 000 kroner på kontoen om sju år? Vi løser likningen Per må sette inn 7750 kr i dag for å kunne ta ut 5 000 kr om 7 år. Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 014 - løsning
Oppgave 3 (6 poeng) På en bussrute er det 10 stoppesteder i tillegg til endeholdeplassen. Dersom bussen kjører ruten uten å stoppe, tar turen 0 min. For hver gang bussen stopper, går det ett minutt ekstra. Sannsynligheten for at bussen må stoppe på et vilkårlig stoppested er 0,40. a) Bestem sannsynligheten for at bussturen tar nøyaktig 3 min. Vi har en binomisk situasjon med p0,40 og n 10, og finner sannsynligheten for at bussen stopper 3 ganger. Sannsynligheten for at bussturen tar 3 minutter er 1,5. b) Bestem sannsynligheten for at bussturen tar mindre enn 5 min. Vi har en binomisk situasjon med p0,40 og n 10, og finner sannsynligheten for at bussen stopper 0, 1,, 3 eller 4 ganger. Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 014 - løsning
Sannsynligheten for at bussturen tar mindre enn 5 minutter er 63,3 %. En dag er det billettkontroll. I bussen er det 30 passasjerer. Fire av dem har ikke billett. Fem vilkårlige passasjerer blir kontrollert. c) Bestem sannsynligheten for at minst én av de fire uten billett blir kontrollert. Vi har en hypergeometrisk situasjon med populasjon på 30, n 4 uten billett og utvalget er 5. Finner sannsynligheten til at 1,, 3 eller 4 trekkes ut. Det vil være 53,8 % sannsynlighet for at minst en av de uten billett blir trukket ut. Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 014 - løsning
Oppgave 4 (6 poeng) En vanntank har form som en rett kjegle. Tanken er 10,0 m høy. En pumpe fyller vann på tanken hver time. Det tappes ikke noe vann ut av tanken. Tabellen viser vannstanden i tanken ved ulike tidspunkt. 3 18 m Tid i timer 1 4 6 8 10 Vannstand i meter 3,3 4, 5, 6,0 6,6 7,1 a) Sett punktene fra tabellen inn i et koordinatsystem med tiden langs x-aksen og vannstanden langs y-aksen. Lag en potensfunksjon som passer med tallene fra tabellen. La inn tabellen i regneark i GeoGebra. Brukte regresjonsanalyse. Potensfunksjonen for høyden på vannstanden i meter etter tiden x i timer, er 0,33 h x 3,31 x. b) Bestem hvor mange timer det går før tanken er full. Hvor mye vann er det i tanken da? Tanken er full når høyden er 10 meter. Løser likningen Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 014 - løsning
Etter 8,5 timer (8 timer og omtrent 30 minutter), er tanken full. 3 3 Det fylles 18 m per time, så etter 8,5 timer er det 513, m i tanken. Det skal bygges en ny tank med samme form, men høyere. Den nye tanken skal romme 3 1000 m. c) Hvor lang tid tar det for pumpen å fylle den nye tanken? Hvor høy blir den nye tanken? 3 Pumpen fyller 18 m per time. Vi løser likningen 3 Pumpen bruker 55.56 timer (55 timer og 34 minutter) på å fylle opp 1000 m. Vi finner høyden i den nye tanken ved å regne ut h55,55 1,46 hvor vi forutsetter at modellen fra oppgave a) også gjelder for den nye tanken. Høyden i den nye tanken er 1,5 m. Oppgave 5 (5 poeng) Avstanden mellom byene A og B er 00 km. En bil starter i A og kjører mot B med farten 60 km/h. Vi setter i gang en klokke idet bilen i A starter. En annen bil starter i B 0 min senere og kjører mot A med farten 40 km/h. La t være tiden klokken viser, målt i timer. Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 014 - løsning
a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å bestemme hvor langt det er fra A til stedet der bilene møtes. s60t 1 s 00 40 t 3 Strekningen som bil A kjører med farten 60 km/timer er gitt ved s v t 60t. Bil B starter 00 kilometer fra bil A, og kjører med farten v= 40 km/t i motsatt retning. Tiden til bil B er 0 minutter (1/3 time) mindre enn bil A. 1 s 00 ( v t) 00 40t 3 b) Løs likningssystemet og bestem hvor langt fra A de møtes. Bilene møtes 18 meter fra A. Anta at føreren av bilen som starter i B, ønsker at de skal møtes midt mellom de to byene. c) Bestem hvilken fart bilen hans må ha for at dette skal skje. Midt mellom byene gir s 100, Vi beregner tiden ut fra bil A. Vi setter farten lik x og løser likningen Bilen som starter i B må ha farten 75 km/t for at de to bilene skal treffes midt mellom byene. Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 014 - løsning
Oppgave 6 (3 poeng) Vi skal lage en pakke med form som en rett prisme. Pakken har bredde lik y cm, lengde lik x cm og høyde lik x cm. Vi vil sikre pakken med svart pakkebånd. Se figuren nedenfor. Vi ser at lengden av pakkebåndet er 8x 4y. Vi vil lage pakken slik at den har størst mulig volum når vi bruker akkurat 900 cm med pakkebånd. a) Vis at volumet Vx av pakken kan skrives som V x x 5x 3 Begrensning av pakkebånd 8x 4y 900 y x 5 Volum l bh x y x x 5 x 5x 3 b) Bestem x og y slik at volumet av pakken blir størst mulig. Kommenter svaret ditt. Bestem det største volumet, målt i kubikkdesimeter. Vi deriverer volumfunksjonen og finner toppunktet i CAS i GeoGebra. Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 014 - løsning
Vi sjekker at punktet er et toppunkt ved å se at deriverte endres fra positivt til negativt. Esken har størst volum når x 75 og y x 5 75, altså når esken er en kube med like sider. Størst mulig volum er 3 3 41875 cm 4 dm Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 014 - løsning
Oppgave 7 (7 poeng) En matbutikk lager to typer kjøttkaker. Tabellen nedenfor viser hvor mye kjøttdeig og mel som går med til å lage 1 kg kjøttkaker for hver av de to typene. Kjøttkaketype Kjøttdeig Mel A 0,40 kg 0,60 kg B 0,80 kg 0,0 kg Matbutikken har hver uke tilgang på 1000 kg kjøttdeig og 800 kg mel. La x være antall kilogram kjøttkaker av type A og y antall kilogram kjøttkaker av type B som lages hver uke. a) Forklar at x og y må oppfylle ulikhetene nedenfor. x 0 y 0 0,60x0,0y 800 0,40x0,80y 1000 Ulikhetene avgrenser et område. Marker dette området i et koordinatsystem. x0 og y 0 : Både antall kilogram kjøttdeig og mel må være positive. 0,60 x0,0 y 800 : Forbruket av mel i de to typene kan ikke være mer enn 800 0,40 x0,80 y 1000 : Forbruket av kjøttdeig i de to typene kan ikke være mer enn 1000. Vi tegner linjene i GeoGebra, bruker kommandoen "Skjæring mellom to objekt", og Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 014 - løsning
tegner en mangekant gjennom skjæringspunktene. Prisen på kjøttkaker av type A er 70 kroner per kilogram. Prisen for type B er 110 kroner per kilogram. b) Anta at butikken får solgt alle kjøttkakene. Hvor mye av hver type kjøttkaker må de produsere for at salgsinntektene skal bli størst mulig? Vi setter inn linjen 70x110y0 inn i GeoGebra, og parallellforskyver den til vi finner punktet i det skraverte området hvor salgsinntektene er størst mulig. Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 014 - løsning
Vi finner at salgsinntekten blir størst i punkt A. Da må de selge 1100 kg kjøttkaker av type A og 700 kg kjøttkaker av type B. En uke er en av de ansatte i butikken syk. De klarer derfor ikke å produsere mer enn 1500 kg kjøttkaker til sammen. c) Hvor mye av hver kjøttkaketype må de produsere denne uken for at salgsinntektene skal bli størst mulig? Vi tegner inn linjen xy1500 i GeoGebra, og finner skjæringspunktene mellom linjene med kommandoen "Skjæring mellom to objekt". Vi skraverer deretter det nye området. For å finne størst mulig salgsinntekter, parallellforskyver vi linjen 70x110y 0 til den treffer punktet i det skraverte området som gir størst mulig salgsinntekt. Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 014 - løsning
Vi ser at størst mulig salgsinntekter oppnås i punktet E. Da må de produsere 500 kg kjøttkaker av type A og 1000 kg kjøttkaker av type B. Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 014 - løsning
Kilder Oppgaver med bilder, tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Løsninger: Elisabet Romedal, NDLA matematikk. Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 014 - løsning