Formelark for eksamen i TE 559 Signaler og systemer Kontinuerlig tid Diskret tid Beskrivelse Dierensialligning Dieranseligning y(t) =y (t) +3u(t) +5u (t) y[k] =,y[k, ] + u[k] Beskrivelse Impulsrespons, h(t) Impulsrespons, h[k] og konvolusjon og konvolusjon y(t) = R, h( )u(t, )d y[k] = P i=, h[i]u[k, i] Hvordan nne Fag: Dig. og analoge ltre Fag: Dig. og analoge ltre beskrivelse RC! dierensialligning Finne eksplisitt Laplace! delbrøk z-transformasjon! delbrøk løsning for y! invers laplace! invers z-transformasjon Transferfunksjon H(s) =Lfh(t)g H(z) =Zfh[k]g = Y (s)=u (s) = Y (z)=u (z) Stabilitet H(s) har poler i H(z) har poler venstre halvplan innenfor enhetssirkelen Frekvensanalyse, Fourier-rekke Diskr.-tid Fourier-rekke periodiske signaler =Diskr. Fourier-transf. Frekvensanalyse, Fourier-transformasjon Diskr.-tid Fourier-transf. aeriodiske signaler Signaler: Periodisk signal: f (t + P ) = f (t); kontinuerlig; f [k + N ] = f [k]; diskret: () Kompleks eksponential (Eulers formel): e jx = cos x + j sin x () f u [k]+ u [k]g!f y [k]+ y [k]g for diskrete systemer. Totalrespons til lineært system: y(t) = y zi (t) +y zs (t); kontinuerlig; y[k] = y zi [k] +y zs [k]; diskret: (5) Systemer: Integrator: Z t y(t) = u( )d (3), Forsinkelse: y(t) = u(t, ); kontinuerlig; y[k] = u[k, k ]; diskret: (4) Superposisjonsprinsippet: f u (t) + u (t)g! f y (t) + y (t)g for kontinuerligige systemer og Tidsinvarians: Initialtilstand x(t )=x og inngang u(t) for t t gir utgang y(t);t t medfører at initialtilstand x(t + T ) = x og inngang u(t) for t t + T gir utgang y(t);t t + T. Tilsvarende for diskrete systemer med t og T lik heltall k ;K. Kausalitet: h(t) = for t<; kontinuerlig; h[k] = for k<; diskret: (6)

Konvolusjon, dieranse- og differensiallikninger: Egenskaper ved Laplacetransformasjonen: Tabell. Impulsrespons: u[k] = [k] ) y[k] =h[k] diskret ([k] er enhetspulsen); u(t) = (t) ) y(t) =h(t) kontinuerlig ((t) er Dirac's deltapuls): (7) Diskret konvolusjon: y[k] = h[k, i]u[i] =h[k] u[k] (8) i=, Dieranselikning for lineært tidsinvariant diskret system: y[k + N ]+a N, y[k + N, ] + + a y[k +]+a y[k] =b M u[k +M]+b M, u[k + M, ] + + b u[k +]+b u[k] Kontinuerlig konvolusjon: Z y(t) = h(t, ) u( )d = u(t) h(t), (9) Dierensiallikning for lineært tidsinvariantkontinuerlig system: y (n) (t)+a n, y (n,) (t)++ a y () (t)+ a y(t) = b m u (m) (t) + b m, u (m,) (t) + + b u () (t) +b u(t) Laplacetransformasjonen og kontinuerlig systemanalyse: Laplacetransformasjonen: F (s) =L[f (t)] = Z, Invers Laplacetransformasjon: f (t) = L, [F (s)] for t f (t)e,st dt () Z = c+j j F (s)e st ds() c,j Laplacetransformasjons-par: Tabell. Transferfunksjon for lineært tidsinvariant kontinuerlig system: H(s) = L[h(t)] = Y (s) (initialbet. ) U (s) = b ms m + + b s + b s n + + a s + a () Poler i transferfunksjon (også for diskrete systemer): De p i som gjør at H(p i )=: (3) Nullpunkter i transferfunksjon (også for diskrete systemer): De z i som gjør at H(z i )=: (4) Stabilitet av kausalt system: Stabilt system dersom alle poler p i = i + j! i har i <. z-transformasjonen og analyse av diskrete systemer: Ensidig z-transformasjon: F (z) =Z[f [k]] = k= Invers z-transformasjon: f [k] = Z, [F (z)] = j Z C f [k]z,k (5) F (z)z k, dz (6) for k (C er en lukket kontur i z- planet). Sammenheng Laplacetransformasjon z- transformasjon: Z[f (kt )] = L[f s (t)]j s= T,z, (7) +z,

Egenskap Tids-funksjon Laplace-transformasjon Linearitet f (t) + f (t) F (s) + F (s) s-skift e,at f (t) F (s + a) Tids-skift f (t, T )q(t, T ); for T e,st F (s) s-derivasjon Tidsderivasjon,d tf (t) ds F (s) df (t) dt sf (s), f () d f (t) dt s F (s), sf (), f () d n f (t) dt s n F n (s), s n, f (),,f (n,) () R t, (s) s F Tids-integrasjon f ( )d Tids-skalering f (at); for a > a F s R a Konvolusjon t h(t, )u( )d H(s)U (s) Endeverdi f () lim s! sf (s) Initialverdi f (+) lim s! sf (s) Tabell : Egenskaper ved Laplacetransformasjonen f (t), t (t) s t s F (s) t n, t positivt heltall e,at s+a te,at t n e n! s n+ (s+a),at n! (s+a) n+! s +! s s +!! s (s +! ) s,! (s +!! ) (s+a) +! s+a (s+a) +! sin(! t) cos(! t) t sin(! t) t cos(! t) e,at sin(! t) e,at cos(! t) Tabell : Laplacetransformasjons-par 3

Egenskap Tidssekvens z-transformasjon Linearitet f [k] + f [k] F (z) + F (z) df (z) Multiplikasjon med k kf[k],z dz Multiplikasjon med a k a k z f [k] F a Tidsforsinkelse (i >) f [k, l] z,l F (z) + Tidsfremskyndelse (i >) f [k + l] z "F l (z), P Konvolusjon ki= h[k, i]u[i] H(z)U (z) Tabell 3: Egenskaper ved z-transformasjonen l n= l, n= f [,n]z,l+n # f [n]z,n f [k], k F (z) F (z) [k] [k, n] z,n z,n z z, e,akt z z,e,at b k z,b z,bz, kb k bz bz, (z,b) ) k b k sin(k! T ) cos(k! T ) b k sin(k! T ) b k cos(k! T ),z,,e,at z, b(z+b)z b(+bz, )z, (z,b) 3 (,bz, ) 3 (sin(! T ))z z,(cos(! T ))z+ (sin(! T ))z,,(cos(! T ))z, +z, (z,cos(! T ))z,(cos(! T ))z, z,(cos(! T ))z+,(cos(! T ))z, +z, (b sin(! T ))z (b sin(! T ))z, z,b(cos(! T ))z+b,b(cos(! T ))z, +b z, (z,b cos(! T ))z z,b(cos(! T ))z+b,b(cos(! T ))z,,b(cos(! T ))z, +b z, Tabell 4: z-transformasjons-par 4

Egenskaper ved z-transformasjonen: Tabell 3. z-transformasjons-par: Tabell 4. Transferfunksjon for lineært tidsinvariant kontinuerlig system: Y H(z) = Z[h[k]] = (z) (initialbet. ) U (z) = b mz m + + b z + b z n + + a z + a (8) Stabilitet av kausalt system: Stabilt system dersom alle poler p i = r i e j i har r i <. Frekvensanalyse av kontinuerlige signaler: Fundamentalfrekvens for periodisk signal:! = P (9) Normalisert energi: Z E = jf (t)j dt (), Normalisert eekt: P = Fourierrekke: lim T! T Z T,T f (t) = c m e jm! t m=, Fourierkoesienter: c m = P Z t +P t jf (t)j dt () f (t)e,jm! t dt () = m + j m (3) Parsevals formel for Fourierrekker: P av = P Z P jf (t)j dt = m=, jc m j (4) Fouriertransformasjonen: Z F (!) = f (t)e,j!t dt for alle! (5), Invers Fouriertransformasjon: Z f (t) = F (!)e j!t d! for alle t, (6) Sammenheng Laplacetransformasjon Fouriertransformasjon: F[f (t)] = L[f + (t)]j s=j! + L[f, (,t)]j s=,j! (7) Fouriertransformasjon av periodiske funksjoner: F (!) = c m (!, m! ) (8) m=, Parsevals formel for ikkeperiodiske signaler: Z E =,Z =, jf (t)j dt jf (!)j d! (9) Konvolusjon og Fouriertransformasjonen: Z Y (!) = F[ h(t, )u( )d ], = H(!)U (!) (3) Egenskaper ved Fouriertransformasjonen: Tabell 5. Frekvensanalyse av diskrete signaler: Normalisert vinkelfrekvens:! = f f s (3) Normalisert fundamentalfrekvens for periodisk signal:! = N (3) 5

Egenskap Tidsfunksjon Fourier-transformasjon Linearitet f (t) + f (t) F (!) + F (!) Frekvensskifting f (t)e j! t F (!,! ) Tidsskift f (t, t ) e,j!t F (!) Tidsskalering f (t) jj F! Tidsreversering f (,t) F (,!) Dualitet F (!) =Fff (t)g f (,!) = FfF (t)g Tabell 5: Egenskaper ved Fouriertransformasjonen Normalisert energi: Normalisert eekt: P = E = jf [k]j (33) k=, lim T! N jf [k]j (34) N + k=,n Tidsdiskret Fourierrekke (DTFS): f [k] = N, m= Fourierkoesienter: N, c m e jm! k (35) c m = f [k]e,jm! k = m + j m N k= (36) Parsevals formel for tidsdiskrete Fourierrekker: P av = N Tidsdiskret (DTFT): N, k= jf [k]j = F (!) =F d [f [k]] = for alle!. N, m= jc m j (37) Fouriertransformasjon k=, f [k]e,j!k ; (38) Invers tidsdiskret Fouriertransformasjon: f [k] = Z F (!)e jk! d! for alle k (39) Sammenheng z-transformasjon tidsdiskret Fouriertransformasjon: F d [f [k]] = Z[f + [k]]j z=e j! + Z[f, [,k]]j z=e,j! (4) Tidsdiskret Fouriertransformasjon av periodiske funksjoner: F (!) = N, m= c m (!, m! ) (4) Parsevals formel for ikkeperiodiske tidsdiskrete signaler: Z E = jf [k]j = jf (!)j d! k=, (4) Konvolusjon og tidsdiskret Fouriertransformasjon: Y (!) = F[ h[k, i]u[i] i=, = H(!)U (!) (43) Egenskaper ved tidsdiskret Fouriertransformasjon: Tabell 6. Diskret Fouriertransformasjon (DFT): F [m] =D[f [k]] = N, k= f [k]e,jkm=n (44) Invers diskret Fouriertransformasjon: f [k] = D, [F [m]] = N N, k= F [m]e jkm=n (45) 6

Egenskap Tidsfunksjon Fourier-transformasjon Linearitet f [k] + f [k] F (!) + F (!) Frekvensskifting f [k]e j! k F (!,! ) Tidsskift f [k, k ] e,j!k F (!) Tidsskalering f [k] jj F! Tidsreversering f [,k] F (,!) Dualitet F (!) =Fff [k]g f (,!) = FfF [k]g Tabell 6: Egenskaper ved tidsdiskret Fouriertransformasjon Diverse: har løsningen Løsnings av andregradsligninger: ax + bx + c = (46) x b p b, 4ac = : (47) a 7