Oppgaver Innhold Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 10 4.3 Andre funksjoner... 18 Polynomfunksjoner... 1 Rasjonale funksjoner... Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner... 3 4.4 Vekstfart og derivasjon... 6 4.5 Drøfting av polynomfunksjoner på grunnlag av derivasjonsregler... 35 Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA... 39 Noen av oppgavene er merket med symbolet Disse oppgavene bør du klare å løse uten hjelpemidler. Oppgaver og løsningsforslag Stein Aanensen og Olav Kristensen 1
4.1 Funksjonsbegrepet 4.1.1 Marker punktene 1, 1, 1,,, 1,, 3, 3, 0 og 0, i et koordinatsystem. 4.1. Gitt koordinatsystemet til høyre. Angi koordinatene for punktene A til I. Utfordring! Kan du finne avstanden fra origo til punktet H?
4.1.3 Nedenfor har vi tegnet grafene til fire funksjoner, f, g, h og j. Bestem definisjonsmengden og verdimengden til hver av funksjonene. a) b) c) d) 3
4.1.4 Foreslå en rimelig definisjonsmengde og verdimengde for funksjonene. Lag skisser av grafene og sett benevning på aksene. a) Funksjonen f viser temperaturen gjennom et sommerdøgn på Sørlandet. b) Funksjonen g viser middeltemperaturen hvert døgn gjennom et år på Sydpolen c) Funksjonen h viser vannstanden i forhold til laveste observerte vannstand i Bergen fra en flomåling til neste flo-måling. d) Funksjonen i viser saldoen på kontoen din under en 5-timer lang handletur til nærmeste handlesenter. 4.1.5 Foreslå en rimelig definisjonsmengde og verdimengde for funksjonene. Lag skisser av grafene og sett benevning på aksene. a) Funksjonen B viser folketallet i verden fra og med 1900 til 000. b) Funksjonen S viser antall sau (og lam) gjennom et år i en besetning på 100 vinterforede sauer. c) Funksjonen R viser verdien på en bil fra den ble kjøpt ny for 40 000 kr og fem år framover. d) Funksjonen E viser antall elever på skolebussen fra den starter til den er framme på skolen en time senere. 4
4.1.6 Foreslå en rimelig definisjonsmengde og verdimengde for funksjonene. a) Funksjonen L viser antall lærere på en videregående skole i Norge som funksjon av antall elever på skolen. b) Funksjonen E viser antall elever på en videregående skole i Norge som funksjon av antall lærere på skolen. c) Funksjonen V viser hvor mye en bærepose med appelsiner veier som funksjon av antall appelsiner i posen. d) Funksjonen M viser melkeforbruket per uke i en husstand som funksjon av antall personer i husstanden. 5
4.1.7 Hvilken eller hvilke av grafene nedenfor representerer en funksjon? Begrunn svaret. a) b) c) d) 6
4.1.8 Skriv opp funksjonsuttrykket for en funksjon som a) viser hva du må betale for x liter melk når hver liter koster 1,40 kroner. b) viser strekningen du har kjørt etter t timer når hastigheten er 80 km/time. c) viser arealet av et rektangel når omkretsen er 36 m og du kaller grunnlinja x. d) viser hva hver elev må betale, dersom en gruppe elever skal leie en buss. Det koster 3000 kroner å leie bussen og x er antall elever i gruppa. 4.1.9 Tegn grafene til følgende funksjoner med digitalt verktøy. For hver graf skal du tilpasse vinduet og enhetene på aksene slik at du får et best mulig bilde av grafen. a) f x x x ( ) 10 0 b) g x x x 3 ( ) c) i x x x 3 ( ) 0 D 15,3 f D, g D 5,5 i d) A x ( ) 10x 0 e) K x x x ( ) 0,1 100 0000 f) Bx ( ) 00000 1,07 x D 1,1 A D f 0,1000 D 0,0 f 7
4.1.10 Verdens beste maratonløpere løper med tilnærmet konstant fart og bruker ca. timer og 4 minutt på en maraton (4 195 meter). a) Hvor mange km tilbakelegger disse løperne per minutt? b) Lag en funksjon som viser sammenhengen mellom distansen, d, løperne tilbakelegger og tiden, t. c) Hva blir definisjonsmengden til funksjonen i b)? d) Lag en verditabell for følgende t-verdier 30, 60, 90, 10 e) Tegn grafen og finn ut hvilken distanse løperne har tilbakelagt når de har løpt i 45 minutt. Marker i koordinatsystemet. f) Hva er verdimengden til funksjonen i b)? 4.1.11 Temperatursvingningene gjennom et romjulsdøgn er gitt ved funksjonen 3 T x 0,005x 0,1x der x er antall timer etter midnatt. a) Forklar at definisjonsmengden til funksjonen T er fra og med 0 til og med 4. b) Tegn grafen til funksjonen T. c) Bruk grafen og finn når temperaturen er 6C. d) Finn verdimengden til funksjonen T og forklar hva verdimengden forteller om temperatursvingningene dette døgnet. 8
4.1.1 Camilla har et mobilabonnement. Hun betaler 99 kroner i fast pris per måned og 0,49 kroner per ringeminutt, t. Kostnadene, k, ved å bruke mobiltelefonen en måned kan vi skrive som 0,49t 99 k t der t varierer fra og med 50 til og med 00. a) Hva er definisjonsmengden til k? b) Lag en verditabell for k. c) Tegn grafen til k. d) Finn grafisk hvor mange minutt Camilla har ringt når kostnadene er 160 kroner. e) Finn verdimengden til k. 4.1.13 Et rektangel har en omkrets på 100 m. a) Sett grunnlinja lik x og forklar at høyden da blir 50 x. b) Forklar at funksjonen A gitt ved ulike verdier av x. A( x) x 50x gir arealet av rektangelet for c) Tegn grafen til A. d) Bestem D A og V A e) Hva er den største verdien arealet kan få? f) For hvilke x-verdier er arealet lik 400 m? Forklar hvorfor du får to løsninger. 9
4. Lineære funksjoner 4..1 a) De tre lineære funksjonene f, g og h er gitt ved f x x gx 3x hx x Skriv ned stigningstallet og konstantleddet til hver av de tre funksjonene. a) Hva forteller stigningstallet og konstantleddet oss om grafen til en lineær funksjon? 4.. De tre lineære funksjonene f, g og h er gitt ved 0,5x x x f x g x h x For hver av de tre funksjonene skal du - Lage en verditabell som inneholder 3 ulike x-verdier - Markere punktene du finner i et koordinatsystem - Tegne ei rett linje gjennom punktene 10
4..3 De tre lineære funksjonene f, g og h er gitt ved f x g x h x x 1 x x 3 a) Tegn grafene til de tre funksjonene i samme koordinatsystem. b) Hvor skjærer hver av disse grafene andreaksen? c) Kan du si noe om hvordan disse grafene går i forhold til hverandre og hvorfor det er slik? 4..4 Bruk det du vet om stigningstallet og konstantleddet til en lineær funksjon til å tegne de rette linjene gitt ved a) f x x b) gx x c) hx x 0,5 4..5 På figuren til høyre ser du to rette linjer i et koordinatsystem. Hva er konstantleddet i funksjonsuttrykket til hver av disse to linjene? 11
4..6 a) Finn stigningstallet til den rette linja som er tegnet i koordinatsystemet til høyre. b) Skriv opp funksjonsuttrykket til den lineære funksjonen som gir denne rette linja. c) Hva er nullpunktet til funksjonen? 4..7 I koordinatsystemet ovenfor er det tegnet fire grafer. Forklar hvilket av funksjonsuttrykkene nedenfor som hører sammen med hvilken graf. x 1 hx f x x 1
x ix g x 4..8 I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet grafene til de fem funksjonene f, g, h, i og j. Skriv ned funksjonsuttrykket til hver av de 5 funksjonene. 4..9 Ei rett linje går gjennom punktene 0, 1 og 1, 1. a) Finn stigningstallet til denne rette linja. b) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja gjennom disse punktene. c) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning 13
4..10 Ei rett linje har stigningstall og går gjennom punktet (,). a) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja. b) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning. 4..11 Gitt funksjonen f x 3x 1 gjennom punktet 1,. Finn funksjonsuttrykket til funksjonen g.. Grafen til en annen funksjon g er parallell med grafen til f og går 4..1 Ei rett linje går gjennom punktene, 100 og 5, 4800. a) Finn stigningstallet til denne rette linja. b) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja gjennom disse punktene. c) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning. 4..13 Ei rett linje går gjennom punktene 0,, 0,5 og 0,5,,6. a) Finn stigningstallet til denne rette linja. b) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja gjennom disse punktene. c) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning. 14
4..14 Ei rett linje har stigningstall 0,01 og går gjennom punktet, 0,05. a) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja. b) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning. 4..15 Gitt funksjonene 3 x 5 og gx x f x a) Tegn grafene til de to funksjonene i samme koordinatsystem. b) Finn skjæringspunktet mellom grafene grafisk. c) Finn skjæringspunktet mellom grafene ved regning, både med og uten digitale hjelpemidler. d) Finn nullpunktene til funksjonene grafisk og ved regning. Ved regning både med og uten digitale hjelpemidler. 4..16 Per jobber som telefonselger. Lønnen er basert på en grunnlønn per time på 105 kroner. I tillegg får han 10 kroner for hvert salg han oppnår. a) Lag en funksjon L som viser timelønnen i kroner når han oppnår s antall salg. b) D 0,15 L. Tegn grafen til funksjonen L i et koordinatsystem. c) Hvor mange salg har Per hatt når timelønnen var 175 kroner? d) Finn verdimengden til funksjonen L. 15
4..17 På en terminprøve i matematikk har Trine tatt med seg en flaske med kaldt kildevann. Temperaturen i vannet var 5 C ved starten av prøven og stiger jevnt med 5,4 C i timen i løpet av de 3 første timene prøven varer. a) Lag en funksjon T for temperaturen i vannet etter x antall minutt. b) Hva er temperaturen i vannet etter 1,5 timer? c) Tegn grafen til T i et koordinatsystem. La x variere fra 0 til 180. d) Når var temperaturen i vannet 14 C? Anette hadde også med seg en flaske med kildevann på prøven. Funksjonen f viser temperaturen i vannet til Anette x antall minutt etter at prøven startet 0,08x 6,5 f x e) Hva var temperaturen i vannet til Anette da prøven startet? 4..18 Løs likningssettene grafisk. a) x y x3y6 b) 6xy8 xy6 c) 5xy 4 x3y6 d) 4x 3y 6y 8x 4 e) y x 6 4y 4x 16
4..19 Tabellen nedenfor viser folkemengden i Norge for noen utvalgte år i perioden fra 1950 til 000. År 1950 1960 1970 1980 1990 000 Folkemengde 3 49 954 3 567 707 3 863 1 4 078 900 4 33 116 4 478 497 a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon f som beskriver sammenhengen mellom år og folkemengde ved å bruke et digitalt verktøy. La x være antall år etter 1950 og f x folkemengden i millioner. b) Hvor mye øker folkemengden med per år ut fra uttrykket du fant i a)? c) Dersom denne utviklingen fortsetter, hva vil folkemengden i Norge være i år 050? 4..0 Tabellen nedenfor viser utslipp av svoveldioksid til luft i Norge for noen utvalgte år fra 1973 til 000. År 1973 1980 1987 199 1996 000 Utslipp til luft SO i 1000 tonn 156,4 136,4 73,1 37,0 33,1 7,3 a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon S som beskriver sammenhengen mellom år og utslipp. La x være antall år etter 1973 og b) Når var utslippet av svoveldioksid 100 tusen tonn? Sx utslippet av svoveldioksid i tusen tonn. c) Hva vil utslippet være i år 010 dersom vi følger denne modellen. Kommenter svaret. 17
4.3 Andre funksjoner Andregradsfunksjoner 4.3.1 a) Se på de fire funksjonsuttrykkene nedenfor og finn ut ved regning - hvilken vei grafene til funksjonene krummer (smil eller sur ) - hvilke av grafene som har toppunkt og hvilke som har bunnpunkt - hvor grafene skjærer andreaksen - likningen for symmetrilinja til hver av grafene - koordinatene til topp- eller bunnpunktet til hver av grafene - verdimengden til funksjonene - nullpunktene til funksjonene f x x 7x 1 g x x x 4 x h x 8 i x 3x 1x b) Sjekk svarene i a) ved å tegne grafene til funksjonene i et koordinatsystem. 4.3. Funksjonen f er gitt ved f x x x 6 for x - verdier mellom 4 og 3. a) Tegn grafen til f b) Bestem bunnpunktet til grafen til f grafisk og ved regning. c) Bestem grafisk hvor grafen til f skjærer koordinataksene. d) Bestem ved regning hvor grafen til f skjærer koordinataksene. e) Hva er verdimengden til f? 18
4.3.3 Andreas kaster et spyd. Grafen til funksjonen f gitt ved f x 0,01x 0,85x,0 beskriver banen spydet følger gjennom luften. Her er x meter målt langs bakken fra stedet hvorfra Andreas kaster spydet, og høyden spydet har over bakken. a) Tegn grafen til f for x 0. fx meter er b) Bestem skjæringspunktene mellom grafen til f og aksene. Bestem toppunktet på grafen til f. c) Hva forteller svarene i b) om spydkastet? 4.3.4 Camilla kaster en ball rett opp i lufta. Etter t sekund er høyden h meter over bakken gitt ved andregradsfunksjonen ht t t 14,1 4,9 1,8. a) Tegn grafen til h for de første 3 sekundene. b) Når er ballen 10 meter over bakken? c) Når treffer ballen bakken? d) Når er ballen 15 meter over bakken? e) Hvor høyt når ballen og når er ballen på sitt høyeste punkt? 19
4.3.5 Gitt grafene nedenfor. Sett riktig bokstav (A, B, C) foran den andregradsfunksjonen du mener tilhører Graf A, Graf B og Graf C. OBS! Tre av funksjonsuttrykkene hører ikke til noen av grafene. f x x x f x x x f x x x f x x x 0,5 f x x x 0,5 6 f x x x 4 6 0
Polynomfunksjoner 4.3.6 a) Tegn grafen til funksjonen f gitt ved 3 - toppunkter - bunnpunkter - skjæringspunkter med koordinataksene f x 0,5x 3x 3x 3 og finn grafisk eventuelle b) Tegn grafen til funksjonen g gitt ved 3 - toppunkter - bunnpunkter - skjæringspunkter med koordinataksene g x 0,0x 0,60x 4 og finn grafisk eventuelle 4.3.7 Gitt en sylinder der summen av diameter og høyde er, dm. a) Kall høyden i sylinderen h og vis at et utrykk for radius r uttrykt ved h er, h rh () V h h h 4 b) Vis at volumet av sylinderen, Vh kan uttrykkes som ( ), c) Hva slags funksjon erv? d) Finn volumet når høyden er 1,0 dm. e) Finn høyden når volumet er 1,0 liter. f) Finn radius i de sylindrene som har et volum på 1,0 liter. 1
Rasjonale funksjoner 4.3.8 Tegn grafen til funksjonene gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor og bestem asymptotene. a) fx b) gx c) hx d) ix x x 3x 1 x x 4 x x 1 4.3.9 Morten har et mobilabonnement der han betaler 59 kroner i fast avgift per måned. I tillegg betaler han 0,49 kroner per minutt når han ringer. Kostnadene K per minutt for Mortens mobilbruk en måned når han ringer x minutt kan skrives som K x 0,49x 59 x a) Tegn grafen til K for x - verdier mellom 0 og 1400. b) Hva nærmer kostnadene seg per minutt når Morten ringer svært mye? c) Finn likningen for den horisontale asymptoten. d) Hva blir prisen per minutt dersom Morten en måned ringer 300 minutt? e) Hvor mye må Morten ringe dersom det skal koste 60 øre per minutt?
Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner 4.3.10 Potensfunksjonene f, g og h er gitt ved f x g x h x 3x 3x 3x 0,6 1,,1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene i samme koordinatsystem. a) Hvilken betydning har eksponenten x - leddet er opphøyd i for stigningen til grafen? 4.3.11 Eksponentialfunksjonene f, g og h er gitt ved f x g x h x 30,6 31, 3,1 x x x a) Tegn grafene til de tre funksjonene i samme koordinatsystem. b) Grafene skjærer andreaksen i 3. Hvorfor? c) Hvilken betydning har vekstfaktoren for stigningen til grafen? 4.3.1 Miriam kjøpte en scooter for 10 000 kroner i begynnelsen av 008. Vi regner med at verdien S synker med 15 % per år. Vi kan da skrive verdien x år etter 008 som Sx 10 000 0,85 x a) Tegn grafen til S. Velg x - verdier mellom 0 og 8. b) Finn grafisk scooterens verdi når den er 3 år gammel. c) Finn grafisk når scooterens verdi er 3 000 kroner. 3
4.3.13 Temperaturen i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd er gitt ved Tx 31,15 x der x er antall timer etter strømbruddet. a) Hva var temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet? b) Tegn grafen til T La x variere mellom 0 og 0. c) Hvor lang tid går det før temperaturen er 10 grader i kjøleskapet? d) Er det realistisk å bruke denne modellen dersom strømmen er borte over en lengre periode (mer enn 1 døgn)? Begrunn svaret ditt. 4.3.14 Høyden til et frukttre er gitt ved funksjonen 0.7 x h x 0,85 0,5 der x er antall år etter utplanting. a) Tegn grafen til h. Velg x - verdier mellom 0 og 10. b) Hvor høyt er treet etter 3 år? c) Når er treet 4 meter høyt? 4
4.3.15 Gitt en sylinder med et volum på én liter. a) Vis at radius i sylinderen kan uttrykkes som r 1 h b) Vis at overflata av sylinderen kan uttrykkes som O( h) h h c) Tegn grafen til O. Du skal lage en sylinderformet boks som skal romme én liter. d) Hvor høy må boksen være, og hvor stor radius må den ha, dersom overflata skal bli minst mulig? e) Hva er forholdet mellom diameter og høyde i denne boksen? Neste gang du er i butikken, kan du ta med en linjal og måle diameter og høyde på noen litersbokser. Hvordan er målene i forhold til resultatene du har funnet her? 5
4.4 Vekstfart og derivasjon 4.4.1 Funksjonene g, h og i er gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor. For hver av funksjonene skal du først tegne grafen. Deretter velger du ut punkter på grafen og bruker disse punktene til å regne ut vekstfarten. Sjekk om vekstfarten er lik stigningstallet du kan lese direkte av grafen. a) gx x 4 b) hx x 8 c) ix 1 x 4.4. Funksjonene g, h, i og f er gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor. For hver av funksjonene skal du velge ut to verdier for x. Deretter regner du ut veksthastigheten ved å regne ut funksjonsverdiene til de valgte x - verdiene. Sjekk om vekstfarten er lik stigningstallet du kan lese direkte av funksjonsuttrykket. a) gx x 4 b) hx 3x c) ix 600 5 d) f x x x 7 3 6
4.4.3 Grafen til en lineær funksjon går gjennom to oppgitte punkter. Regn ut stigningstallet a til grafen når de oppgitte punktene er a) 3,7 og 5,9 b) 1, 8 og 4,1 4.4.4 Du får oppgitt at funksjonen f er en lineær funksjon. Du får videre oppgitt at f f 4 9. Finn vekstfarten a til f. 3 og at 4.4.5 Funksjonen hx 0.003 x 3 0.09x 1 x 0,0 viser høyden til et morelltre x antall år etter at det ble plantet i 1986. a) Finn grafisk hvor mye treet vokste i gjennomsnitt per år i perioden 1994 til 1999. b) Finn videre hvor mye treet vokste i gjennomsnitt per år i perioden 003 til 006. 7
4.4.6 3 3 Funksjonene f og g er gitt ved f x 0,5x 3x 3x 3 og gx x x For hver av funksjonene skal du a) Finne gjennomsnittlig vekstfart når x vokser fra x 1 1 til x b) Finne gjennomsnittlig vekstfart når x vokser fra x 1 1 til x 1,1 0,0 0,60 4 c) Sammenlikn svarene i a) og b). Hvilket av disse svarene gir en mest korrekt verdi for vekstfarten når x 1? 4.4.7 Forskere har undersøkt veksten til trær i et bestemt skogområde. Det viser seg at høyden til et tre, ht (), målt i meter tilnærmet kan beskrives med en matematisk modell. De første åtte årene gjelder funksjonen 3 h t 0,0t 0,5t 1,15t 0,15 der t er antall år etter utplanting. a) Hva er den gjennomsnittlige vekstfarten fra år 1 til år 4? b) Skriv noen ord om hvordan høyden til treet forandrer seg fra år til år. 4.4.8 Morten har et mobilabonnement der han betaler 59 kroner i fast avgift per måned. I tillegg betaler han 0,49 kroner per minutt når han ringer. Kostnadene K per minutt for Mortens mobilbruk en måned når han ringer x minutt kan skrives som K x 0,49x 59 x Hva er den gjennomsnittlige veksthastigheten når ringetiden øker fra a) 0 minutt til 00 minutt per måned? b) 00 minutt til 400 minutt per måned? c) 400 minutt til 100 minutt per måned? d) Hvilken benevning får du? Kan du forklare hva det betyr i praksis? 8
4.4.9 Russen skal ha fest. De leier et selskapslokale. Prisen per deltaker, er gitt ved f x 8500 175 hvor x er antall festdeltakere. x fx kroner, a) Hva er den gjennomsnittlige veksthastigheten når antall festdeltakere øker fra 50 til 60? b) Hva betyr i praksis det svaret du fikk i a)? 4.4.10 Funksjonen f gitt ved f x x x D R 6 f a) Finn grafisk den momentane vekstfarten til f for x x 1 x 0 x 1 b) Ser du noen sammenheng mellom fortegnet til den momentane vekstfarten og formen til grafen? 4.4.11 Funksjonen g er gitt ved g x x x 4 a) Finn grafisk den deriverte, g'( x ) for x 1 x 0 x 1 x b) Ser du noen sammenheng mellom fortegnet til den deriverte og formen til grafen? 9
4.4.1 Gå tilbake til oppgave 4.4.9. Finn grafisk den momentane vekstfarten (den deriverte) for x 50 og x 60. Hva forteller svarene deg? 4.4.13 Funksjonene f og g er gitt ved f x x x 6 og g x x x 4. a) Bruk definisjonen til den deriverte og regn deg fram til et generelt uttrykk for f x b) Regn ut f. c) Bruk definisjonen til den deriverte og regn deg fram til et generelt uttrykk for g x d) Regn ut g. e) Ser du noe mønster i svarene i a) og c)?.. 4.4.14 Bruk regnereglene for derivasjon og finn x f når a) fx 34 b) fx Husk at er en konst ant! c) fx 10 30
4.4.15 Bruk regnereglene for derivasjon og finn x f når a) f x 3x b) f x 3 x 4 c) f x 5x 4.4.16 Bruk regnereglene for derivasjon og finn x f når a) 5 f x x b) 7 f x x c) 6 f x 3x 4.4.17 Bruk regnereglene for derivasjon og finn x f når 3 a) f x x x b) 1 f t 4t 3t 7 c) 3 f x x 5x 4x 9 31
4.4.18 Bruk regnereglene for derivasjon og finn x f når 3 a) f x x 5x 4x 9 b) 3 1 f x x x 4x 9 c) 3 1 f x x 10x 4x 9 4.4.19 Deriver uttrykkene. a) b) c) 3 x 5x 4x 9 3 t t t 4 9 5 3 10 19 100 x x x 4.4.0 3 Funksjonen f er gitt ved f x x x. a) Finn f x b) Finn ved regning likningen for tangenten når x 1. 3
4.4.1 Funksjonen f er gitt ved f x x x a) Finn den momentane vekstfarten til funksjonen i punktene 0,, 1, 3 og,. b) Finn likningene for tangentene i de tre punktene. 4.4. Funksjonen g er gitt ved g x x x a) Finn den momentane vekstfarten til funksjonen i punktene,, 1, 1 og 0,. b) Finn likningene for tangentene i de tre punktene. c) Tegn grafen til g og de tre tangentene i et koordinatsystem. d) Ser du noen sammenheng mellom fortegnet til den momentane veksthastigheten og forløpet til grafen? 33
4.4.3 Forskere har undersøkt vekstutviklingen til trær i et bestemt skogsområde. Det viser seg at høyden til et tre ht (), målt i meter, tilnærmet kan beskrives med en matematisk modell. Innenfor et avgrenset tidsrom gjelder funksjonen h gitt ved 3 h t 0,0t 0,5t 1,15t 0,15 der t er antall år etter utplantingen. a) Hvor fort vokser treet etter 5 år? b) Hvor fort vokser treet etter 7 år? 4.4.4 Morten har et mobilabonnement der han betaler 59 kroner i fast avgift per måned. I tillegg betaler han 0,49 kroner per minutt når han ringer. Kostnadene K per minutt for Mortens mobilbruk en måned når han ringer x minutt kan skrives som K x 0,49x 59 x Regn ut den momentane vekstfarten (den deriverte) for ringetidene 0, 00, 400 og 100 minutt. Hva forteller svarene deg? Hvilken benevning får du? Sammenlign svarene med svarene du fikk i oppgave 4.4.8. 34
4.5 Drøfting av polynomfunksjoner på grunnlag av derivasjonsregler 4.5.1 Finn ved regning når grafen til funksjonen eventuelle topp- og bunnpunkter. Tegn grafen. f x x 1x 16 stiger og når den synker. Finn også 4.5. Finn ved regning når grafen til funksjonen eventuelle topp- og bunnpunkter. Tegn grafen. f x x x 3 stiger og når den synker. Finn også 4.5.3 Finn ved regning når grafen til funksjonen 3 også eventuelle topp- og bunnpunkter. Lag en skisse av grafen. f x x 3x 9x 10 stiger og når den synker. Finn 4.5.4 3 Finn ved regning når grafen til funksjonen f x x 3x eventuelle topp- og bunnpunkter. Lag en skisse av grafen. stiger og når den synker. Finn også 35
4.5.5 Anders kaster en stein rett opp i lufta. Høyden til steinen over bakken etter tiden t er gitt ved 5 4.9 0,6 h t t t t a) Finn ved regning når steinen er i sitt høyeste punkt. b) Hva er steinens maksimale høyde over bakken? c) Finn et uttrykk for farten til steinen. d) Finn et uttrykk for akselerasjonen til steinen. 4.5.6 Ved en bedrift blir det produsert treningsdresser. Ledelsen ved bedriften har funnet ut at overskuddet i kroner er gitt ved O x 40000 400x 0,4x hvor x er antall treningsdresser som produseres per år. Hvor mange treningsdresser er det mest lønnsomt for bedriften å produsere per år? 36
4.5.7 Figuren viser grafen til en funksjon f. Tegn fortegnslinjene til f og f. 37
4.5.8 Vi skal lage en eske uten lokk av en rektangelformet papplate med sider 50 cm og 40 cm. Vi gjør dette ved å klippe ut et kvadrat med side x i hvert hjørne. Deretter bretter vi opp kantene og får en eske med høyde x. Se figur. a) Finn et uttrykk for volumet av esken som en funksjon av x. b) Finn ved regning hvilken verdi av x som gir størst volum av esken. c) Hva blir det største volumet til esken? De mørke blå kvadratene klippes bort. 4.5.9 For de to funksjonsuttrykkene nedenfor skal du ved regning i CAS finne nullpunktene, summen av nullpunktene og produktet av nullpunktene a) f x x 7x 1 b) g x x x 4 Gjør det samme med den generelle andregradsfunksjonen hx ax bx c. Stemmer resultatet med det du fant for funksjonene fx og gx? 38
Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA Oppgaver del 1 Oppgaver del Høst 015 10 1 og 3 Vår 015 9 og 1 1 og Høst 014 6 og 10 1, og 6 Vår 014 9 og 10 1, og 8 Høst 013 6 og 8 1 og 7 Vår 013 4 og 7 6 og 7 Høst 01 1 og 6 og 7 Vår 01 4 og 8 Høst 011 5, 6 og 7 Vår 011 4 og 6 Vår 010 1a, 1e og 4 og 6 39