Kaittel 5 Komlekse tall Utgangsunktet for all regning er de naturlige tallene N = {,,3,...,} Den berømte matematikeren Leoold Kronecker formulerte dette som Gud skate de naturlige tallene, resten er menneskets verk. De naturlige utvidelsene av de naturlige tallene er de hele tallene, hvor vi inkluderer negative tall og 0; Z = {..., 3,,,0,,,3,...,} og de rasjonale tallene, eller brøkene. Q = { m m,n Z} n Alle de rasjonale tallene har sin lass å tallinjen, men de utgjør ikke alle tallene å tallinjen. Det finnes masse hull, de såkalte irrasjonale tallene. Dette er tall som ikke kan skrives som en brøk, f.eks.. Proosisjon 5.0.. er ikke rasjonal. (Ho gjerne over dette beviset hvis du ikke er interessert): Bevis. Anta at kan skrives som en brøk, = m som er forkortet mest mulig, dvs. at m og n ikke har noen felles faktor. Hvis vi kvadrerer begge sider og ganger o, får vi n n = m som betyr at m må være et artall, vi skriver m = k. Setter vi dette inn i uttrykket over får vi n =(k) = 4k eller forkortet n = k Som betyr at n også må være et artall. Men vi antok at m og n ikke hadde noen felles faktor, så vi har fått en motsigelse. Det betyr at antagelsen vår om at kunne skrives som en brøk må ha vært feil. Altså er et irrasjonalt tall. Dette er et eksemel å en veldig utbredt måte for å bevise matematiske åstander. Det kalles et kontraositivt bevis, vi antar noe og viser at det fører til en motsigelse, noen som viser at antagelsen måtte være gal. Da går vi tilbake til hovedsoret vårt, de komlekse tallene. For å løse. gradslikninger bruker vi abcformelen. Gitt en.gradslikning ax + bx + c = 0 Da er løsningene til likningen gitt ved I likningen er a = og b = c = x = b ± b 4ac a x x = 0 og vi har løsninger x = ( ) ± ( ) 4 ( ) Men ser vi å likningen vil løsningen være gitt ved x x + = 0 x = ± 4 = ± = ( ± 5) 80
Siden alle kvadrater er ositive tall vil vi normalt si at denne likningen ikke har noen løsning. Men før vi gir helt o tar vi et blikk tilbake i tid. På 500-tallet var det stor aktivitet i Italia omkring løsning av 3.gradslikninger. I likhet med.gradslikninger, så finnes det en formel for disse løsningene. Flere matematikere var med å utviklingen, fra Sciione del Ferros første resultater i 50 til Gerolamo Cardano sin endelige og fulle løsning i 545. Cardano satt lenge og lurte å et roblem han hadde med en sesiell likning. Dersom vi ser å 3.gradslikningen (x )(x )(x + 3)=x 3 7x + 6 = 0 så følger det umiddelbart at løsningene er x =, x = og x = 3. Et helt senttralt uttrykk i Cardanos formel er r ( q ) +( 3 )3 hvor = 7 og q = 6 er de to koeffisientene i likningen over. Setter vi dette inn i formelen får vi q ( 6 ) +( 3 7)3 = 0 9 3 og Cardanos formel gir da at en av løsningene er gitt ved ( 3 + 0 9 3) 3 0 +( 3 9 3) 3 Cardano visste at dette tallet ikke fantes. Samtidig visste han at formelen hans var riktig, og at likningen faktisk hadde tre løsninger;,, 3. Hans konklusjon var at selv om ikke 3 finnes, så tvinger løsningen av likningen oss til å forholde oss til 3 = 3. Siden dette kun var en størrelse vi bare tenkte oss til, og som ikke fantes å den vanlige tallinjen, ga han navnet imaginært tall (Ordet betyr noe vi forestiller oss). Størrelsen, som siden har fått betegnelsen i utgjør sammen med de reelle tall, og alle mulige regnekombinasjoner mellom disse, de komlekse tallene. Definisjon 5.0.. Mengden der i = C = {a + ib a,b R} kalles de komlekse tallene. La z = a + ib C være et komleks tall. Vi sier at (z)=a er realdelen til det komlekse tallet og (z)= b er imaginærdelen. Det gir z = (z)+i (z) og to komlekse tall er like hvis og bare hvis realdelene er like og imaginærdelene er like for de to tallene. Regneoerasjonene for de komlekse tallene følger helt vanlige rinsier; Eksemel 5.0.. Addisjon av komlekse tall: ( + i)+( + 3i)=( )+i( + 3)= + 4i og multilikasjon: ( + i) ( + 3i)=( )+ 3i + i( )+i 3i hvor vi har brukt at i =. = + 6i i + 3i = + 5i 3 = 5 + 5i Nå kan vi faktisk (med litt strev) regne ut Cardanos løsning og vi finner at ( 3 + 0 9 3) 3 0 +( 3 9 3) 3 = Den generelle løsningen av 3.gradslikningen er for øvrig gitt som følger: Gitt en likning Ved å sette x = y x 3 + a x + a x + a 0 = 0 a 3 får vi den litt enklere likningen y 3 + y + q = 0 a hvor = a 3 og q = a3 7 La nå z ± = a a 3 + a 0. r q ± ( q ) +( 3 )3 3 og w er et komleks tall (6= ) slik at w 3 =. Da vil løsningene av likningen y 3 + y + q = 0 være gitt ved y = z + + z y = wz + + w z y 3 = w z + + wz Når vi regner med komlekse tall vil abc-formelen alltid gi oss løsninger av.gardslikninger. Men komlekse tall gir oss enda større muligheter. Vi kan faktisk finne løsninger til alle olynomiale likninger. Dette resultatet kalles algebraens fundamentalsats. Teorem 5.0.3. La P(x) være et vilkårlig olynom med reelle (eller komlekse) koeffisienter. Da finnes det et komleks tall z 0 C slik at P(z 0 )=0. Det finnes mange forskjellige bevis for dette resultatet, og vi henviser til litteraturen for de som måtte være interessert. 8
5. Det komlekse lanet En naturlig måte å visualisere de komlekse tallene er som et reelt lan R. Et komleks tall z = a + ib svarer til unktet (a,b) R. Dette asser godt til den additive strukturen, siden og z + z =(a + ib )+(a + ib ) =(a + a )+i(b + b ) (a,b )+(a,b )=(a + a,b + b ) Vi sier at et komleks tall z = a + ib er å normalform. Når vi skal multilisere sammen komlekse tall kan det ofte være hensiktsmessig å skrive tallet å olarform, noe som svarer til å betrakte z = a + ib som et unkt (a,b) R og så angi dette unktet ved olarkoordinater (r,q). Overgangen mellom de to formene er som vanlig gitt ved a = r cosq, b = r sinq. Vi kaller r = z = a + b for absoluttverdien eller modulus av det komlekse tallet, mens vinkelen q kalles argumentet til z. Vi skal senere se at vi kan bruke skriveformen z = re iq for å uttrykke z å olarform. Merk at modulus av et komleks tall z alltid er et ikke-negativt tall. F.eks. vil det reelle tallet - å olarform være gitt ved (,). Vi har sett at addisjon av komlekse tall å normalform har en veldig enkel formel, mens det ikke finnes noen tilsvarende måte å addere to komlekse tall å olarform. Derimot har multilikasjon av komlekse tall en vakker formel når vi reresenterer dem å olarform; (r,q ) (r,q )=(r r,q + q ) som asser svært godt med skrivemåten z = re iq. Med denne notasjonen tar multilikasjon formen r e iq r e iq = r r e i(q +q ) som svarer resis til vanlig multilikasjon av otensfunksjoner. Vi kan gi et formelt argument for denne formelen ved å bruke summeformelene for cosinus og sinus. La Da har vi (a + ib )(a + ib ) =(r cosq + ir sinq )(r cosq + ir sinq ) = r r (cosq cosq + icosq sinq + isinq cosq + i cosq cosq ) = r r (cosq cosq cosq cosq + icosq sinq + isinq cosq ) = r r (cos(q + q )+sin(q + q )) Eksemel 5... La z = + i og z = i være to komlekse tall. På olarform har vi z = e i 4 z = e i Addisjon av tallene gjør vi å normalform; z + z =( + i)+i = + i mens multilikasjon enklest utføres å olarform; z z = e i 4 e i = e i 3 4 Ogave. a) Skriv tallene i, + 3 og - å olarform. b) Skriv tallene e i,e i og 3e 0i å normalform. Vi har sett at modulus av det komlekse tallet a + ib er gitt ved a + b. Vi har også (a + ib)(a ib)=a i b = a + b Det følger at a + ib = a + b = (a + ib)(a ib) For et komleks tall z = a + ib bruker vi betegnelsen komleks konjugert om a ib, og skriver z = a ib. Dermed har vi at z = zz Vi har følgende regneregler for komleks konjugasjon: La z,w C være to komlekse tall. Da har vi z ± w = z ± w z w = z w a + ib = r cosq + ir sinq a + ib = r cosq + ir sinq ( z w )= z w z = z 8
Ved å bruke de komleks konjugerte får vi formler for real- og imaginærdelene til et komleks tall z C gitt ved (z)= z + z (z)= z z i Vi har også en formel for den inverse til et komleks tall z = z zz = z z Merk at nevneren her er et reelt tall. Siden et komleks tall inneholder en kvadratrot (kvadratroten av -), og vi normalt ikke liker å ha kvadratrøtter i nevneren, sørger vi alltid for å fjerne komlekse tall fra nevneren i et svar ved å bruke formelen over. Eksemel 5... + 3i i = ( + 3i)( + i) ( i)( + i) = + 5i = + 5 i Eksemel 5..4. Vi skal regne ut måten. Vi skriver -4 å olarform; Det gir kvadratrøtter 4 = 4e i e i = i e i + = e i 3 0 i 4 å denne Vi kan også regne ut kvadratrøtter av komlekse tall, f.eks. 3i. Eksemel 5..5. Vi skriver 3i å olarform Kvadratrøttene er gitt ved 3i = 3e i 3e i 4 = 3(cos 4 + isin 4 ) = 3( + i ) Eksemel 5..3. Vi skal løse likningen Ved abc-formelen har vi x + x + = 0 og 6 = ( + i) 3e i( 4 +) = 3(cos 5 4 + isin 5 4 ) x = ± 4 = ± 3 = ± i 3 Uttrykket D = b 4ac under rottegnet i abcformelen kalles diskriminanten til. gradslikningen. Dersom D > 0 har likningen to reelle røtter, dersom D = 0 så vil likningen ha to sammenfallende røtter (de to røttene er like), og dersom D < 0, så har likningen to komlekse røtter, og disse er komleks konjugerte av hverandre. Vi kan bruke olarformen til et komleks tall til å regne ut kvadratrøtter. Vi har sett at for z = re iq så har vi z =(re iq ) = r e i(q) Det betyr at Men det betyr også at ( re i q ) = re iq ( re i( q +) ) = re i(q+) = re iq siden e i() =. Vi har funnet to kvadratrøtter av z, og siden et tall ikke kan ha mer enn to kvdratrøtter betyr det at vi har funnet begge røttene. 5. Eulers formel = 3( i ) 6 = ( + i) Vi kan bruke formalismen rundt rekkeutvikling til å utlede en viktig formel innen komleks analyse. Selv om hele teorien for rekkeutvikling dreier seg om reelle tall og reelle funksjoner, kan vi driste oss til å late som om de også gjelder for komlekse tall. Så lenge rekkene konvergerer (og de gjør de i dette tilfellet) er det ingen formelle roblemer med følgende resonnement: Eksemel 5... Vi har rekkeutviklingen for eksonensialfunksjonen e x = + x +! x + 3! x3 + 4! x4 +... og for de trigonometriske funksjonene sinx = x 3! x 3 + 5! x5 7! x7 +... cosx =! x + 4! x4 6! x6 +... 83
Setter vi inn ix for x i rekkeutviklingen for e x,får vi e ix = + ix +! (ix) + 3! (ix)3 + 4! (ix)4 +... dvs. at vi har = + ix! x 3! ix3 + 4! x4 + 5! ix5 +... =(! x + 4! x4...) + i(x 3! x 3 + 5! x5...) = cosx + isinx e ix = cosx + isinx Setter vi inn x = i dette uttrykket får vi det osiktsvekkende uttrykket som kalles Eulers formel. e i = Ogave. Løs likningene a) x + 9 = 0 b) x + x + = 0 c) 3x 4x + = 0 d) 4 x + 7 = 0 Ogave 3. Skriv følgende komlekse tall å normalform a) (3 + i)+( + 4i) b) (3 + i)(4 3i) c) i 5 + i + d) (3 + i) Ogave 4. Skriv følgende komlekse tall å normalform a) +i i b) 3 i +i c) d) 3+i (+i)(3 i) +i e) 4+7i +5i 4i f) +i 3 Ogave 5. Løs likningene med hensyn å z: a) z( + i)=3 i b) (z + i)( i)= + 3i c) z + i = 3 +i Ogave 6. Finn reelle tall x og y som asser i likningen a) x i + iy i+3 = +i b) x +i + y i = Ogave 7. Skriv de komlekse tallene å olarform: a) i b) + 3i c) 3 3i d) 3 + i Ogave 8. Skriv de komlekse tallene å normalform: a) (4, 3 ) b) (5, ) c) (3, 3 4 ) d) (4,3) Ogave 9. Regn ut otensene ved ågå via olarformen til de komlekse tallene: a) (3 + 3i) 8 b) ( )00 Ogave 0. La z = cosq + i sinq. Vis at a) z + z = cosq b) z + z = cos(q) Ogave. a) La w C være et komleks tall, z 6=, slik at w 3 =. Vis at + w + w = 0. b) Regn ut ( + w )( w) + w Ogave. Vis at dersom z er løsning av en olynomial likning med reelle koeffisienter, så er også z en løsning av den samme likningen.. 84
Ogave 3. La z,w C. Vis at z w + z + w = ( z + w ) Ogave 4. Finn alle komlekse tall z C som tilfredsstiller a) z = b) z + = z c) z + i 3 = z + 3i Ogave 5. Finn alle komlekse tall z C som tilfredsstiller a) z + z = 6 b) z 4iz + 6 = 0 c) 3iz (3 + i)z = + i 85