side 1 Innføring av potenser og standardform Dette er et forslag til et undervisningsopplegg der elevene skal komme fram til skrivemåter for potenser og tall på standardform. Tanken med opplegget er at gjennom eksempler og samtaler skal elevene også finne fram til de generelle reglene for potensregning. Å skrive og regne med store og små tall er en viktig del av opplæringen. For videre matematikkstudier er det vesentlig å beherske regnereglene for potenser. Kompetansemål 10. årstrinn: Elevene skal kunne samanlikne heile tal, brøkar, desimaltal, prosent, promille og tal på standardform og uttrykke slike tal på varierte måtar bruke faktorar, potensar, kvadratrøter og primtal i berekningar I veiledningen knyttes disse kompetansemålene til emnet Tallforståelse og De fire regneartene. Veiledningen knytter ulike læringsmål til kompetansemålene. Dette undervisningsopplegget tar utgangspunkt i flere læringsmål som i veiledningen er lagt til 9. årstrinn. Læringsmål Elevene skal kunne skrive tall på potensform og standardform regne med potenser Mål for dette undervisningsopplegget Elevene skal kunne begrepene potens, grunntall, eksponent og standardform og bruke dette i regneoperasjoner bruke potensreglene på potenser med bokstaver som grunntall lese og forstå tall av typen (tall på standardform) 2,5 10 2 3,2 10 3 regne oppgaver av typen 5 3 =
side 2 3 4 = 4 3 4 5 = 5 6 :5 2 = a 2 a 5 = b 7 : b 4 = c 3 : c 7 = a 3 b 2 a 2 b 5 = 2a 4 b 2 8a 3 b 3 = a 6 b 4 : ab 3 = Noen av disse eksemplene vil være utfordrende å diskutere for elever med høy måloppnåelse. Nødvendige forkunnskaper Elevene må ha et godt tallbegrep, kunne plassverdisystemet og faktorisering. De må også beherske brøkregning, spesielt forkorting av brøker. Ved å gi elevene enkle faktoriserings- og brøkoppgaver, kan man sjekke forkunnskapene gjennom samtale med elevene i full elevgruppe eller i smågrupper. Forslag til introduksjon av potenser Be elevene om å faktorisere en milliard som produkter av 10. Hvor mange 10-ere vil det bli? Be elevene gi eksempler på store tall, som million, billion, milliard, osv (ta gjerne med at i engelsktalende land er billion det samme som vår milliard). Hvor store kan tall bli? Hva med fantasillioner eller gogol? Det finnes nettsider med navn på store tall som elevene kan utforske. Diskusjoner og argumentasjoner er del av muntlig ferdighet i Elevene kan undersøke og diskutere skrivemåter for størrelser som avstand til månen, avstander til de nærmeste planetene m.m. Det blir mange nuller å skrive i store tall. I diskusjoner med elevene kan de utfordres på hvordan de kan skrive store og små tall. Når er det viktig å være nøyaktig, og hvordan kan de være nøyaktige når det handler om store og små tall? La elevene komme med eksempler på store og svært små tall fra naturfag og samfunnsfag (verdensrommet, atomer, statsbudsjett, oljefond, befolkningsstørrelse). Når man skal multiplisere et tall med seg selv mange ganger skriver man det på en spesiell måte som kalles potenser:
side 3 100 = 10 10 = 10 2 1000 = 10 10 10 = 10 3 10000 = 10 10 10 10 = 10 4 Utfordre elevene til å finne sammenhengen mellom antall nuller og eksponenten, og formulere en regel. Aktivitet Denne aktiviteten kan gi elever en visuell erfaring av hva som skjer ved gjentatt multiplikasjon med 10 (altså et eksempel på eksponentiell vekst). La elevene arbeide i grupper på to og to. Elevene trenger mange ruteark og tape til å lime sammen arkene. Del ut ganske mange ark og be elevene gjøre følgende: 1. tegn en firkant med 1 rute 2. tegne en firkant med 10 ruter 3. tegne en firkant med 100 ruter 4. tegne en firkant med 1000 ruter 5. tegne en firkant med 10000 ruter 6. osv La elevene diskutere hvor store de neste tallene vil bli og hvor mange ruteark de vil trenge for å lage neste firkant. Noen ganger er det nødvendig å lage firkanter med mange ruter for å få fram poenget for elevene. Da kan elevene ta gulvet til hjelp. Definisjon av begrepet tierpotens: Hele tallet 10 12 kalles tierpotens. Tallet 10 kalles grunntall og tallet 12 kalles eksponent. En potens med grunntall 10, kalles en tierpotens. Skriving av potenser er en ny notasjon for elevene. Symbolspråket er en del av den grunnleggende ferdigheten å uttrykke seg skriftlig i Forslag til introduksjon av standardform I det følgende opplegget skal elevene beskrive standardform, og kunne forklare hvordan det skrives, for eksempel 4,5 10 6. Et tall på standardform skrives som produktet av et tall mellom 1 og 10 multiplisert med en tierpotens. Be elevene skrive følgende avstander på standardform: Avstand månen ca. 384 000 000m Avstand solen ca. 149 600 000 000m Jordas omkrets ved ekvator: Diameter ved ekvator er 12 756,28 km. La elevene regne ut omkretsen. Diskuter hvor nøyaktig tallet bør skrives.
side 4 I forbindelse med disse avstandene kan du stille noen undrespørsmål til elevene: Hvis det gikk an - Hvor lang tid ville det ta og kjøre bil rundt ekvator? - Hvor lang tid ville det ta og kjøre bil til månen? - Hvor lang tid ville det ta og kjøre bil til sola? Det kan være lurt å ta utgangspunkt i tall og størrelser som elevene kan forholde seg til. Er det noen som har en bil som har kjørt så mye som 384 000 km? Da er den kanskje 10 15 år gammel? Hvis det hadde gått an å kjøre så langt i ett strekk, hvor lang tid ville det ta? Her må elevene selv lage forutsetninger. Aktivitet Det kan være spennende å gjøre et annet tankeeksperiment: Går det an å brette seg til månen? Gjennom dette eksempelet vil elevene kunne få en fornemmelse av hvor fort ting vokser når det vokser eksponentielt. Del ut A4-ark og be elevene brette arkene dobbelt. Hvor mange lag er det nå? Brett arkene dobbelt igjen. Hvor mange lag er det nå? Hvor mange lag klarer dere å brette? Hvor mange lag er det da? Hvor tykt er et A4-ark? Hent en pakke med kopipapir og finn ut hvor tykt hvert ark er. Hvis det hadde gått an å brette så mange ganger, hvor mange ganger måtte elevene brette for at det skulle bli like tykt som herfra og til månen? Hvis elevene gjør dette med et regneark, vil de finne ut at det er 41 ganger. Dette er overraskende for mange elever. Det som er like overraskende for mange, er at med en brett mindre, er man bare kommet litt over halvveis, og med en brett mer, vil man komme over dobbelt så langt! Lag liknende tankeeksperimenter med andre store tall. For eksempel hvor lang tid ville det ta å dele ut hele statsbudsjettet i 100-lapper? Potenser med andre grunntall enn 10 Et tall på standardform skrives som et tall mellom 1 og 10 multiplisert med en tierpotens. Potenser kan også skrives med andre grunntall enn 10. For eksempel 5 3 = 5 5 5 8 5 = 8 8 8 8 8 Be elevene regne ut hvor store disse tallene er og deretter skrive tallene på standardform! La elevene regne flere oppgaver av samme type med forskjellige grunntall.
side 5 Med hjelpemidler kan elevene regne ut verdier av potenser med forskjellig grunntall. Oppgavene bør tilpasses elevenes forskjellige nivåer. Potenser med tallet 2 som grunntall For å illustrere potenser med grunntall 2, kan man be elevene finne ut hvor mange forfedre de har når de går en del generasjoner tilbake. Start med antall foreldre, så besteforeldre, oldeforeldre, tippoldeforeldre og så videre. Hvor mange mennesker ville det vært i Norge for fem generasjoner siden, hvis alle hørte til ulike familier? Den gamle historien om riskorn på sjakkbrettet er en historie som kan brukes for å forstå potenser med 2 som grunntall og eksponentiell vekst. I følge en persisk legende ble sjakkspillet oppfunnet av en av tjenerne til den persiske kongen. Kongen ble så begeistret for spillet at han ville belønne tjeneren og ba han derfor ønske seg noe. Tjeneren tenkte seg om og ba om at han måtte få et hvetekorn for den første ruten på sjakkbrettet, to for den andre ruten, fire for den tredje, osv. For hver ny rute på brettet fordoblet han antall korn. Kongen ble forundret over det han trodde var et beskjedent ønske. Han ble imidlertid enda mer forbauset da han oppdaget hvor mye korn tjeneren hadde bedt om. Sjakkbrettet har 64 ruter og summen av alle kornene ble 18 446 744 073 709 551 615 som tilsvarer 175 milliarder tonn hvete som er mer enn hva som er produsert på jorda i historisk tid. (ref. Trondheim) Fra Den Matematiske Krydderhylle Rossing, N. K., Vitensentret, Elevene kan gjette hvor mye ris tjeneren ba om før de beregner hvor mye ris han vil ha. Utfordre elevene til å lese tallet, og skrive det på standardform. Diskuter nøyaktighet. Å skrive tall som potenser For at elevene skal få god kjennskap til begrepet potens, bør de også kunne gå motsatt vei, nemlig å skrive enkle tall som potenser. For eksempel: skrive tallene 9,16, 25, 49 eller andre kvadrattall som potenser skrive tallene 8, 27, 32 som potenser skrive 64 som potenser med forskjellige grunntall skrive 36 som produkt av potenser på ulike måter Regne med potenser Elevene skal gjennom praktiske regneeksempler komme fram til de generelle reglene for multiplikasjon og divisjon av potenser. Gi elevene utfordringen å regne ut:
side 6 2 4 2 3 = 4 3 4 7 = La elevene foreslå regneregler for multiplikasjon av potenser. Før de elevene kan komme fram til reglene, kan de for eksempel skrive ut potensene som gjentatt produkt: 2 4 = 2 2 2 2 og 2 3 = 2 2 2 Da kan de utføre multiplikasjonen 2 4 2 3 = (2 2 2 2) (2 2 2) = 2 2 2 2 2 2 2 = 2 7 Gjennom flere eksempler kan elevene utfordres til å finne en regel for å multiplisere potenser med samme grunntall. Elevene kan finne tilsvarende regneregeler for divisjon. Noen elever trenger et tips om å bruke brøkstrek i utregningen. For eksempel 5 6 : 5 2 5 5 5 5 5 5 = 5 5 5 5 5 5 = 5 4 1 Ved å bruke brøkstrek og forkorte brøkene kan det være lettere for elevene å komme frem til reglen for divisjon av potenser med samme grunntall. De første eksemplene bør gi positiv eksponent. Etter hvert kan elevene få oppgaver der eksponenten i telleren er mindre enn eksponenten i nevneren. 3 2 : 3 6 = 3 = 3 1 3 1 = 3 4 En del av elevene vil da kunne undre seg over om 3 4 1 = 4 3 Spør elevene om hva som skjer hvis dividend og divisor er like? Elevene vet at 8:8 = 1 og 14:14 = 1 Dette gjelder også når tallene er potenser: 5 2 :5 2 = 1 Spør elevene hva det betyr at et tall er opphøyd i null. Elevene har til nå regnet med potenser, og kan diskutere ulike potensregler. Neste steg er for elevgruppa sammen å komme fram til de generelle regnereglene for potenser med ord eller formler:
side 7 a n a m = a n+ m a n : a m = a n m Ved å bruke regnereglen for potenser får man følgende: 5 2 :5 2 = 5 2 2 = 5 0 La elevene få vite at matematikere har definert at et tall opphøyd i 0, er tallet 1. Det er for at potensreglene skal gjelde i dette tilfellet også. For elever med høy måloppnåelse: Når elevene har arbeidet med potenser med tall som grunntall, kan de arbeide med potenser med bokstaver som grunntall. Dette vil alle elevene komme tilbake til under algebra på 10. årstrinn. Eksempler: a a a a = a 4 b b b = b 3 Regnereglene for potenser gjelder også når grunntallet er en bokstav: a 2 a 4 = a a a a a a = a a a a a a = a 6 eller a 2 a 4 = a 2+4 = a 6 b 4 b 3 = b 4+3 = b 7 Etter hvert kan elevene regne oppgaver av typen 5a 3 b 4 6a 2 b 5. Grunnleggende ferdigheter I arbeidet med potenser og tall på standardform, vil elevene øve opp de grunnleggende ferdighetene på ulike måter. De skal lese og tolke store og små tall skrevet på standard form både i matematiske sammenhenger, i media, dagligliv og ulike fagtekster. Gjennom samtaler får elevene trening i muntlige ferdigheter når de skal formulere regler, se mønster og sammenhenger som gjelder potenser. De vil bli utfordret i muntlige ferdigheter når de skal diskutere store og små tall, og foreslå løsninger på problemløsningsoppgaven i eksempelet. De får trening i digitale ferdigheter både når de skal bruke nettsider som kilde til informasjon, og når de skal bruke regneark til å illustrere eksponentiell vekst eller se hvor fort potensene vokser når eksponentene øker. Vurdering
side 8 Bruk av kjennetegn på måloppnåelse i opplæringen kan bidra til å gjøre det tydelig for lærere og elever hva det er forventet at elevene skal mestre og hva som vektlegges i vurderingen av elevens kompetanse. Det kan også bidra til at elevene får økt forståelse for egen læringsprosess og hvordan de kan utvikle seg videre. Lærere vil ha behov for å beskrive ulik kvalitet på kompetanse både som del av skolens planleggingsarbeid og som del av elevenes læringsarbeid. I vurdering med karakter brukes tallkarakterer på en skala fra 1-6 som er beskrevet i forskrift til opplæringsloven. Når det gjelder vurdering uten karakter, er det ingen nasjonale føringer for hvor mange nivåer måloppnåelse kan beskrives på. Formålet med å beskrive kjennetegn på måloppnåelse er ikke først og fremst å plassere elevene på bestemte nivåer, men å bruke informasjonen om elevenes kompetanse i det videre læringsarbeidet. Det er ingen nasjonale føringer for hvor mange nivåer på måloppnåelse en lærer skal benytte i underveisvurdering. I dette eksemplet er det valgt tre nivåer for måloppnåelse. Elevene bør utfordres til å vurdere sin egen måloppnåelse i forhold til læringsmålene de har arbeidet med. Lærer kan også få innsikt i elevenes grad av måloppnåelse gjennom tester eller ved å samtale med enkeltelever, grupper av elever og felles klassesamtale. Nedfor følger et eksempel på hvordan det er mulig å definere grad av måloppnåelse i forhold til læringsmålene.
side 9 Lav måloppnåelse Eleven kan lese og skrive et tall på standardform med positiv eksponent. Eleven kan oversette fram og tilbake mellom et tall skrevet helt ut, og tallet skrevet på standardform. Eleven kan regne ut verdien av en potens, for eksempel 4 3. Middels måloppnåelse Eleven kan lese, skrive og regne med tall på standardform. Eleven kan finne fram eksempler på hvor store og små tall forekommer. Eleven kan regne ut et tall skrevet som potens, og kan multiplisere og dividere tall skrevet som potenser. Eleven mestrer enkle multiplikasjoner med potenser der grunntallet er bokstaver, eks a 3 a 4 =. Eleven kan skrive kvadrattall og noen enkle toerpotenser som 16, 32 og 64 som potenser. Høy måloppnåelse Eleven kan lese, skrive og regne med tall på standard form. Eleven kan lese tekster der slike tall forekommer, for eksempel i naturfag, og formidle hvor store og små de ulike størrelsene er. Eleven kan selv finne eksempler på situasjoner der slike tall er nyttige å bruke. Eleven regner lett med potenser i ulike sammenhenger, og skiller mellom potenser med ulike grunntall. Eleven kan forenkle og regne med bokstavuttrykk på potensform, og komme med verdifulle bidrag i diskusjoner om negative eksponenter og eksponent 0. Tilpasset opplæring Noen elever faller utenfor disse beskrivelsene av måloppnåelse i den ene eller andre retningen. Disse elevene må få spesiell oppmerksomhet, både underveis i undervisningsforløpet og etterpå. Det er en spesiell utfordring å følge opp slike elever, og det kan være nødvendig å gi dem andre oppgaver. Hvis elevene i utgangspunktet ikke har forutsetninger for å forstå potensbegrepet, må de arbeide mer med multiplikasjon og symbolbruk. La elevene arbeide konkret med utfordringer av typen: Her er 1 tellebrikke. Finn det dobbelte antallet. Skriv tallet. Finn det dobbelte av dette igjen. Skriv ned tallet. Hva er det dobbelte av dette igjen?
side 10 Gjør det samme med tredobling og firedobling. Innfør etter hvert skrivemåten med 2 2, 2 3, 2 4 og så videre. Gjør det samme med 3 2, 3 3, 3 4, og så videre. La eleven være med på aktiviteten med rutearkene ovenfor. Snakk med eleven om at dette handler om tidobling. Innfør tierpotenser for eleven. Når de andre elevene er klare til å gå videre, må du som lærer vurdere om eleven skal arbeide mer med dette, eller være med å arbeide med neste tema sammen med de andre elevene. Da vil eleven ha mulighet til å ta opp igjen dette temaet neste gang elevgruppa skal arbeide med det, eller når eleven møter det i videregående skole. Elever som forstår dette tema veldig raskt, vil kunne gå raskere gjennom opplegget. Slike elever kan arbeide med problemløsningsoppgaver som handler om små og store tall eller potenser. De kan også lage et prosjekt- eller temaarbeid om små og store tall i et fag eller emne de er interessert i, og presentere dette for resten av elevgruppa. Hva kommer deretter? Se kompetansemål for Vg1T og Vg1P. Elevene skal arbeide videre med potenser og tall på standardform. De skal kunne håndtere slike tall og uttrykk i formler og beregninger i matematikk og andre fag.