Tall og algebra Vg1 og Vg2

Transkript

1 side 1 Tall og algebra Vg1 og Vg2 Veiledningen fordeler kompetansemålene i hovedområdet tall og algebra på tre gjennomgående emner: tallforståelse, de fire regneartene og algebra. Veiledningen tar også for seg emnet tekster i Til sammen dekker veiledningen alle kompetansemålene innenfor hovedområdet. Tabellen gir oversikt over progresjon innenfor de fire emnene og gir eksempler på hvordan du kan jobbe med kompetansemål innenfor hvert emne og på hvert årstrinn.

2 side 2 Logaritmer (ikke i P) Nedenfor finner du eksempler på hvordan kompetansemålene som handler om tallforståelse for heltall, brøk, desimaltall, prosent, potenser og logaritmer kan tolkes og operasjonaliseres som læringsmål i Vg1T, Vg1P og Vg2P. Logaritmer gjelder bare for Vg1T. I Vg1P skal elevene konsolidere sin tallforståelse fra hele grunnskolen. Dette er et viktig utgangspunkt for å forstå matematikk i dagligliv og yrkesliv. I Vg1T skal elevene konsolidere sin tallforståelse fra hele grunnskolen. Dette er et viktig utgangspunkt for forståelse av algebra og abstrakte begreper i de andre hovedområdene. Kompetansemål Vg1P Eleven skal kunne gjere overslag over svar, rekne praktiske oppgåver, med og utan tekniske hjelpemiddel, og vurdere kor rimelege resultata er Kompetansemål Vg2P Eleven skal kunne gjere greie for nokre plassverdisystem og gje praktiske døme på dei Kompetansemål Vg1T Eleven skal kunne rekne med potensar med rasjonal eksponent og tal på standardform, bokstavuttrykk, formlar, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tal og bokstavar, og bruke kvadratsetningane til å faktorisere algebrauttrykk løyse likningar, ulikskapar og likningssystem av første og andre grad, og enkle likningar med eksponential- og logaritmefunksjonar, både med rekning og med digitale hjelpemiddel Læringsmål Vg1P, Vg2P og Vg1T Eksempler på innhold og arbeidsmåter knyttet til læringsmålene finner du nedenfor. Vg1P: bruke tallforståelsen som er bygd opp i løpet av grunnskolen til å gjøre fornuftige overslag For å få oversikt over elevenes kompetanse, kan du stille en rekke spørsmål om måltall. Begynn med konkrete eksempler: hvor langt er det mellom Oslo og Stockholm, i km eller i meter?

3 side 3 hvor mye veier en bil, i kilo eller i tonn? hvor mange meter bord trengs for å dekke en husvegg? Skriv deretter en rekke måltall som kan være avstander, mengde, vekt og liknende. Elevene kan diskutere hva disse tallene kan være måltall for. Varier områdene som måltallene hentes fra. Finn situasjoner fra dagliglivet der det er naturlig å gjøre overslag. For eksempel: sparer jeg mest tid på å gå, sykle eller ta bussen til skolen? Hva må jeg ta hensyn til? hvor mye koster det å være medlem av et helsestudio? Hvor mange ganger må jeg gå dit per uke for at det skal koste under 100 kr hver gang? Hvor mange ganger må jeg gå dit for at det skal koste under 50 kr hver gang? hvor mye ville det koste for meg å ta en skiferie i Åre i forhold til å dra til Alpene? Vg1P: vurdere rimeligheten av svar på beregninger som er gjort for å løse praktiske oppgaver med og uten tekniske hjelpemidler Lag eksempler på besvarelser på praktiske oppgaver med feil i, og be elevene finne feilene. Sammenlign feil som avsløres av rimeligheten i svaret med regnefeil eller andre feil. Dette er oppgaver som elevene med fordel kan diskutere to og to. Vg2P: bruke og vurdere store og små tall Se eksemplene Tallforståelse, 9. årstrinn: skrive tall på potensform og standardform sammenlikne ulike store og små tall skrevet på standardform, og finne praktiske eksempler på hvor slike tall forekommer Vg2P: bruke erfaring med titallsystemet til å beskrive totallsystemet Repeter i felleskap sifrenes betydning i titallsystemet, og vis hvordan denne gir en modell for tallsystemer med andre grunntall. Del ut cuisenairestaver med lengder 1, 4 og 8, men kun én av hver til hver elev. Utfordre elevene til å lage så mange lengder som mulig ved å sette sammen staver eller bruke dem hver for seg. Elevene vil ganske raskt se at de kan bygge 1, 2, 1 + 2, 4, 1 + 4, 2 + 4, , 8, 1 + 8, 2 + 8, , 4 + 8, , og , altså alle tallene fra 1 til 15. Spør elevene hva de vil ha hvis de kan få velge en ny stav for å skrive så mange tall som mulig etter 15. De vil innse at de trenger en stav med lengde 16 for å skrive tallene fra 16 til 31. De trenger altså 0 eller 1 av hver av stavene med lengde 1, 2, 4, 8, 16, 32, osv. Da kan de klare seg med to sifre, og posisjoner som svarer til disse verdiene, helt tilsvarende titallsystemet. Lag gjerne en tabell for disse første tallene, og be elevene fylle inn med 1 eller 0 på de ulike plassene, omtrent slik:

4 side (osv) Nå kan elevene skrive opp de første tallene (alle tallene med høyst fem sifre). Vg2P: omforme representasjoner av tall fra et tallsystem til et annet Se eksempel om å bruke erfaring med titallsystemet til å beskrive totallsystemet. Fortell elevene at tallsystemet de har funnet fram til, kalles totallsystemet. Diskuter med elevene hvorfor tallsystemet har fått dette navnet. Drøft overgangen fra titallsrepresentasjon til totallsrepresentasjon. Hvordan skrives 17 i totallsystemet? Og 23? Hvordan kan man omforme store tall som 583 til totallsystemet? Be elevene finne og formulere en framgangsmåte for denne overgangen, gjerne to og to. Hvis de trenger et hint, kan du spørre hva som er den største toerpotensen som er mindre enn tallet de skal finne. Se eksempel om å bruke erfaring med titallsystemet til å beskrive totallsystemet. Gjør tilsvarende for å introdusere tretallsystemet. Del ut staver med lengde 1, 3 og 9. Kan elevene lage mange tall nå? Nei, men det hjelper hvis de får to av hver! Da kan de lage 1, 1 + 1, 3, 1 + 3, , 3 + 3, , , 9, osv, helt til 26. Neste staver de trenger er to utgaver av 27. Nå kan tretallsystemet introduseres på samme måte som totallsystemet i eksemplet. La elevene arbeide med overganger mellom tallsystemene, og finne og formulere framgangsmåter. Vg2P: finne praktiske eksempler på bruk av totallsystemet Undersøk sammen med elevene ASCII-koder og de ulike representasjonene av tall og tegn i titallsystemet, totallsystemet og 16-tallsystemet, og hvordan dette brukes. Vg2P: bygge opp ulike plassverdisystem Se eksemplet om å omforme representasjoner av tall fra et tallsystem til et annet og diskuter hvordan elevene kan videreføre denne logikken med antall siffer og plassverdier.

5 side 5 Undersøk bruk av ulike plassverdisystemer i ulike kulturer til ulike tider. Se spesielt på hvordan 60- tallsystemet fortsatt brukes for tid, klokke og kalender. Vg1T: utvide potensbegrepet til å omfatte negative og rasjonale eksponenter Begynn med å repetere og diskutere i felleskap potenser med positive heltallige eksponenter, og regnereglene spesielt for multiplikasjon av slike. Formuler så behovet for å utvide mulige eksponenter ved talleksempler: Siden 3 6 = ( 3 3 ) 2, hva må x være hvis 3 5 = ( 3 x ) 2? Tilsvarende siden 5 6 : 5 4 = = 5 2, hva må x være hvis? Diskuter hva 5 3 : 5 3 = = 5 0 må være. Formuler de generelle definisjonene for potenser med rasjonale eksponenter. Presiser for elevene at utvidelsen er hensiktsmessig for at potensreglene skal gjelde for negative og rasjonale eksponenter. Se også eksempel De fire regnartene, 9. årstrinn: skrive tall på potensform og standardform. Vg1T: bruke potenser og standardform i hensiktsmessige representasjoner for tall Hent eksempler fra den mikroskopiske molekylverden og det makroskopiske verdensrommet til å motivere kortformer for måltall ved å benytte potenser eller standardformer. La elevene finne den minste og største størrelsen de kan tenke seg, og skriv disse på standardform. Drøft gjerne regnereglene for tall på standardform. Se også eksemplene: Tallforståelse, 9. årstrinn: skrive tall på potensform og standardform Tallforståelse, 9. årstrinn: sammenlikne ulike store og små tall skrevet på standardform, og finne praktiske eksempler på hvor slike tall forekommer Tallforståelse, Vg2P: bruke erfaring med titallsystemet til å beskrive totallsystemet Vg1T: skrive tall på logaritmeform med 10 som grunntall (briggske logaritmer) Begrunnelsen for å innføre briggske logaritmer på dette nivået, er at elevene skal arbeide med enheten ph i naturfag. Et annet eksempel der man bruker logaritmiske enheter, er måling av lyd i desibel. Start med et tall på standardform, som for eksempel a 10 b. Hvis man kunne skrive a = 10 x, ville a 10 b = 10 x+b. Velg noen verdier for a der elevene kjenner x. Velg noen a-verdier slik at x er positiv, og noen som gir negative x-verdier. For hvilke verdier av a kan det ikke finnes en slik x?

6 side 6 La elevene bruke eksponentialfunksjonen på kalkulator eller i et regneprogram til å finne en tilnærmet verdi for x når a = 0.3, 3, 6. Ved å bruke alle reelle tall som koeffisienter kan man finne x for alle positive a. Kan man finne x dersom a er negativ?

7 side 7 Fleksible regnestrategier Nedenfor finner du eksempler på hvordan kompetansemål som beskriver regneartene for tall kan tolkes og operasjonaliseres som læringsmål i Vg1T, Vg1P og Vg2P. I Vg1P skal elevene konsolidere sine regneferdigheter fra hele grunnskolen. Dette er et viktig utgangspunkt for å forstå matematikk i dagligliv og yrkesliv. Kompetansemål Vg1P Elevene skal kunne gjere overslag over svar, rekne praktiske oppgåver, med og utan tekniske hjelpemiddel, og vurdere kor rimelege resultata er rekne med forhold, prosent, prosentpoeng og vekstfaktor behandle proporsjonale og omvendt proporsjonale storleikar i praktiske samanhengar Kompetansemål Vg2P Elevene skal kunne rekne med potensar og tal på standardform med positive og negative eksponentar, og bruke dette i praktiske samanhengar gjere suksessive renteberekningar og rekne praktiske oppgåver med eksponentiell vekst Kompetansemål Vg1T Elevene skal kunne rekne med potensar med rasjonal eksponent og tal på standardform Læringsmål Vg1P, Vg2P og Vg1T Eksempler på innhold og arbeidsmåter knyttet til læringsmålene finner du nedenfor. Vg1P: bruke avrundingsregler ved overslag Ta utgangspunkt i situasjoner der det er nødvendig å gjøre overslag, for eksempel ved handling i en klesbutikk, beregning av maling til et rom, hvor mye det koster å bruke moped til skolen hver dag, osv. Diskuter hvordan avrundinger bør gjøres for ulike situasjoner. I klesbutikken lønner det seg for eksempel å runde oppover, mens ved beregning av maling er det viktigere å ikke sitte igjen med for mye. Diskuter om svaret blir for stort eller for lite hvis man noen ganger runder oppover og andre ganger nedover. Eksempel: En vegg er litt over 3 meter bred, og litt under 2,5 meter høy. Hvis elevene beregner areal ved å bruke 3 2,5 vil svaret da bli for stort eller for lite?

8 side 8 Vg1P: bruke effektive hoderegningsstrategier Elevene har arbeidet med hoderegning gjennom hele grunnskolen. Det er fortsatt viktig å kunne regne effektivt i hodet uten å bruke hjelpemidler. La elevene arbeide to og to. Gi de oppgaver som skal regnes i hodet. Elevene kan forklare hverandre hvordan de tenker, og diskutere hvilken strategi som er mest effektiv. Det kan for eksempel være dobling og halvering, regning om nærmeste tier eller hundrer, eller oppdeling av regneoperasjonene. Vg1P: regne med brøk, desimaltall og prosent Elevene bør øve på å finne effektive måter å regne på, og bruke sin tallforståelse til å velge metode. Det er ikke alltid at standard oppsett er det mest effektive. La elevene øve på ulike måter å regne på, for eksempel for å se at multiplikasjon med er det samme som å dividere med 3 multiplikasjon med 0,25 er det samme som å dividere med 4 det er hensiktsmessig å forkorte så mye som mulig før en multipliserer sammen brøker, for eksempel = det finnes ulike metoder for prosentregning a) øking med 30% er det samme som å multiplisere med 1,3 b) når noe avtar med 30%, kan man multiplisere med 0,7 c) man kan beregne prosentvis økning eller nedgang ved å finne forholdet mellom ny og gammel verdi Vg1P: regne om fra prosent til brøk eller desimaltall og omvendt Elevene kan repetere at prosent betyr hundredel, at desimaldelene for et tall er tideler, hundredeler, osv, og at brøkstrek kan tolkes som et divisjonstegn. For å øve på sammenhengen, kan elevene bruke terningsett med brøk, desimal og prosent. La elevene spille to eller tre sammen. Kast 6 terninger (2 av hver). Den som ser et par, sier PAR, og peker på terningene. Hvis eleven kan forklare hvorfor de er like, får eleven et poeng. Hvis noen ser tre som har lik verdi, får vedkommende 4 poeng. Hvis dere ikke har terninger, kan elevene lage tre spinnere (sirkler delt inn i sektorer med binders som "pil"), der det er brøk i sektorene på den ene sirkelen, desimaltall i den andre og prosent i den tredje. Alle spillerne spinner sine spinnere og leter etter par og tripler ved å se på alle spinnerne samlet. Se også eksempel Tallforståelse, 9. årstrinn: velge gode strategier for å sammenlikne størrelser som kan skrives som brøk, desimaltall, prosent eller promille.

9 side 9 Vg1P: bruke vekstfaktor i prosentregning Forholdet mellom vekstfaktor og prosent er sentralt i omtale av endring. Når noe øker med for eksempel 5% skal opprinnelig verdi adderes med 0,05 ganger opprinnelig verdi. Elevene kan eksperimentere med kalkulator for å komme fram til at en økning med 5 prosent er det samme som økning med en faktor 1,05. Hvordan kan de regne ut verdien etter to etterfølgende endringer med 5%? Diskuter økningen over ti år dersom den årlige veksten er 20 prosent. Hvordan kan man bruke årlig vekstfaktor til å regne på økningen over ti år? Lag og diskuter grafen som illustrerer veksten over flere år med gitt årlig vekstfaktor. Utfordre elevene til å finne praktiske eksempler der noe øker med en fast prosent hvert år. Vg1P: lage 1. gradsligninger ut fra en praktisk problemstilling, og løse dem Start med en praktisk problemstilling der det ikke er så lett å se løsningen ved prøving og feiling. For eksempel: Tre bøker koster til sammen 375 kr. Den billigste og den dyreste koster til sammen dobbelt så mye som den tredje. Den dyreste boka koster 70 kr mer enn den billigste. Hvor mye koster hver av bøkene? En mulig likning som løser problemet er: Repeter likningsbegrepet i felleskap og be elevene lage likningen som løser et gitt praktisk problem. Diskuter ulike løsningsstrategier. Vg1P: beregne priser med og uten merverdiavgift (før og etter), sette opp og utføre beregninger for å løse praktiske oppgaver La elevene få en oversikt over en del priser med og uten merverdiavgift (MVA). Gi elevene følgende utfordring: Undersøk prisene med og uten MVA. Hvordan ser det ut til at MVA beregnes? Er det en fast sum? Er det en prosentandel av nettoprisen? Hvor stor er merverdiavgiften? Etter dette kan elevene få oppgaver der de skal beregne priser med og uten MVA. Vg1P: behandle proporsjonale størrelser og gjenkjenne situasjoner der proporsjonale størrelser inngår, slik som valutakurser, kroneverdi, prisindeks, oppskrifter, forstørring og forminsking Elevene kan se på tabeller over valutakurser og priser i ulike valutaer. Be elevene diskutere i grupper hvordan sammenhengene mellom prisene er, og hvordan de kan regne om mellom valutaer. Gjør tilsvarende med oppskrifter, målestokk og liknende.

10 side 10 Utfordring til elevene: Hva er felles for alle disse størrelsene? Hvordan er sammenhengen mellom tallene? Innfør etter hvert begrepet proporsjonalitet og proporsjonale størrelser. Vg1P: behandle omvendt proporsjonale størrelser og gjenkjenne situasjoner der omvendt proporsjonale størrelser inngår, som stykkpris, pris per ringeminutt og så videre Se forrige eksempel og gjør tilsvarende for omvendt proporsjonale størrelser. Vg1P: gjøre beregninger med og uten kalkulator og datamaskin, og kunne vurdere når det er hensiktsmessig å bruke hjelpemidler Elevene skal bli i stand til å vurdere når det går raskest å regne i hodet eller på papir, og når det er nødvendig å bruke digitale hjelpemidler. La elevene innimellom få oppgaver og utfordringer der de ikke får bruke hjelpemidler, og i andre situasjoner få oppgaver der de kan bruke hjelpemidler. Vg2P: regne sikkert med potenser når alle grunntall er hele tall eller brøker, mens alle eksponenter er naturlige tall Se Tallforståelse, 9. årstrinn: skrive tall på potensform og standardform. Lag to sett med lapper, der det ene settet er potensuttrykk og det andre settet er tall som svarer til potensuttrykkene. Elevene skal finne tallene som hører sammen. Se også første eksempel til Vg1T nedenfor, men bruk naturlige tall som eksponenter. Vg2P: skrive store og små tall kan på standard form og bruke potensregning til å regne med slike tall Bruk sammenhenger, der sammenhenger forekommer naturlig, til å motivere repetisjon og regning med tall på standardform. Avstanden til sola kan måles i km, men også i minutter som lyset bruker fra sola til jorda (lysminutter). Bruk lyshastigheten til å beregne hvor mange lysminutter det er fra sola til jorda. La elevene gjøre beregninger med størrelse på molekyler, for eksempel et vannmolekyl, og antall molekyler i en liter vann. Se også Tallforståelse, 9. årstrinn: skrive tall fpå potensform og standardform. Vg2P: regne med rentes rente i låneberegninger ved å bruke vekstfaktor og eksponentiell vekst Elevene kan bruke konkrete eksempler til beregning av rentes rente og vekst. Hvor mye koster et lån på en million kroner med 10 prosent årlig rente dersom det ikke betales renter eller avdrag de første 10 årene? Hvor mange år tar det før lånet dobles?

11 side 11 Gjør realistiske begrensninger, som årlige avdrag og betaling av fortløpende renteutgifter. Vg2P: regne på ulike praktiske situasjoner med eksponentiell vekst I tillegg til rentes rente brukes eksponentiell vekst ofte til å illustrere vekst i befolkning, forurensing, etc. Bruk aktuelle situasjoner til å illustrere og regne på eksponentiell vekst. Vg1T: regne sikkert med potenser og potensuttrykk der eksponentene er hele tall eller brøk. La elevene uttrykke regnereglene for potenser. Lag to sett med lapper der det ene settet er potensuttrykk og det andre settet er tall som svarer til potensuttrykkene. Elevene skal finne parene som hører sammen. Vg1T: Regne med store og små tall på standard form Se Tallforståelse, 9. årstrinn: skrive tall på potensform og standardform sammenlikne ulike store og små tall skrevet på standardform, og finne praktiske eksempler på hvor slike tall forekommer

12 side 12 Mer bokstav- og formelregning Nedenfor finner du eksempler på hvordan kompetansemål som handler om bruk av og regning med formler i Vg1P og bokstavregning, formelregning, likninger og ulikheter i Vg1T, kan tolkes og operasjonaliseres som læringsmål. I mange tilfeller vil arbeidet med nye læringsmål utfordre elevene til å bruke det de har lært tidligere. Slik får elevene stadig møte de samme begrepene i nye situasjoner, og får bekreftet og utvidet sine kunnskaper. Kompetansemål Vg1P Elevene skal kunne tolke og bruke formlar som gjeld daglegliv, yrkesliv og programområde Kompetansemål Vg1T Elevene skal kunne rekne med bokstavuttrykk, formlar, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tal og bokstavar, og bruke kvadratsetningane til å faktorisere algebrauttrykk løyse likningar ulikskapar og likningssystem av første og andre grad og enkle likningar med eksponential- og logaritmefunksjonar, både med rekning og med digitale hjelpemiddel omforme ei praktisk problemstilling til ei likning, ein ulikskap eller eit likningssystem, løyse det og vurdere kor gyldig løysinga er Læringsmål Vg1P og Vg1T Eksempler på innhold og arbeidsmåter knyttet til læringsmålene finner du nedenfor. Vg1P: velge riktig formel for å gjøre beregninger i dagligliv, yrkesliv og programområde Del ut formler til elevene, for eksempel vei-fart-tid, pris per tellerskritt, overflate-volum, formler fra programfagene, etc. Elevene kan finne ut når disse formlene skal brukes, hva de kan beregne når de bruker formlene, uttale formlene med ord, diskutere benevninger og så videre. Elevene kan lage oppgaver til hverandre knyttet til de ulike formlene. Vg1P: tolke og bruke former som kan være oppgitt som vanlig tekst, eller med symboler som gjelder for eksempel mobilabonnement, strømregning, avbetaling, tilbud på varer, spareordninger, lån og annet Ta utgangspunkt i en strømregning med forbruk og kostnader representert på mange ulike måter. Lag andre målingstall og be elevene beregne hvordan strømregningen ville ha sett ut med de nye tallene. Arbeid gjerne to og to, og utnytt muligheten for muntlig presentasjon av resultatet.

13 side 13 Vg1P: tolke og bruke formler som gjelder de spesielle programområdene Samarbeide med lærere som underviser i programfag og finn relevante formler og problemstillinger. Vg1T: løse opp parenteser med bokstavuttrykk ved å bruke assosiativ, kommutativ og distributiv lov, eller kvadratsetningene direkte, og trekke sammen like ledd La elevene uttrykke regnereglene med ord, og diskutere sammenhenger mellom bokstavregning og tallregning. Oppmuntre elevene til å kontrollere rimeligheten av svarene ved å erstatte bokstavene med talleksempler. Det finnes algebrabrikker som kan brukes til å illustrere regnereglene. Alternativt kan elevene lage og tolke illustrasjoner bygget på multiplikasjon som areal og addisjon som summering av linjestykker. Eksempel: Vg1T: trekke sammen rasjonale uttrykk med bokstaver ved å finne fellesnevner og utvide de rasjonale uttrykkene Repeter regnereglene for brøk, og bevisstgjør elevene på hvilke regneoperasjoner som kan gjøres direkte og hvilke som krever fellesnevner. Start med enkle eksempler med rasjonale bokstavuttrykk. Oppmuntre elevene til å kontrollere rimeligheten av svarene ved å erstatte bokstavene med talleksempler.

14 side 14 Vg1T: faktorisere parentesuttrykk ved å finne største felles faktor, eller ved å benytte kvadratsetningene "motsatt vei" Her kan du bruke ideen med lapper som skal passe sammen. Denne er presentert for eksempel: De fire regneartene, Vg1T: regne sikkert med potenser og potensuttrykk der eksponentene er hele tall eller brøk Tallforståelse, 9. årstrinn: sammenlikne ulike store og små tall skrevet på standardform, og finne praktiske eksempler på hvor slike tall forekommer Vg1T: forenkle rasjonale uttrykk ved å faktorisere og forkorte Se de tre forrige eksemplene til Vg1T. La elevene diskutere regnereglene som de bruker når de faktoriserer og forkorter. Ha spesiell oppmerksomhet på forkorting der telleren eller nevneren er en sum av flere ledd. Det kan være en hjelp å bruke ord som faktor, ledd, sum, dividend, divisor og så videre. Oppmuntre elevene til hele tiden å sammenlikne med tallregning. Vg1T: løse likninger og ulikheter av første grad, også med parameter Dersom dette er første gang elevene møter begrepet parameter, bør elevene arbeide med et enkelt og praktisk eksempel. For eksempel: Du har 1000NOK å handle for. Hvor mye er dette i Euro? I utgangspunktet oppfatter elevene dette som en enkel likning, der den ukjente x, er summen i Euro. Siden kursen på Euro kan endre seg fra dag til dag, er dette en parameter. La elevene diskutere ulike måter å sette opp sammenhengen som en likning, der parameteren inngår La elevene finne liknende eksempler der det inngår en parameter. Finn andre og mer kompliserte eksempler etter hvert. Drøft også om det er løsning for alle parameterverdiene, for eksempel har ikke ax = 3 løsning når a = 0. Arbeid deretter med likninger grafisk, og vis hvordan løsningen varierer med parameteren. Sammenlign de to metodene. Hvilken informasjon får man på den ene måten og ikke den andre? Bruk gjerne PC eller grafisk kalkulator. Eksempel på muntlig oppgave i løsningsstrategier for likninger: Elevene kan gå sammen to og to. En elev lager en likning som den andre eleven finner en løsning til. Eleven som finner løsningen dikterer så muntlig en løsningsstrategi steg for steg for eleven som laget likningen.

15 side 15 Den som dikterer skal ikke se hva den andre skriver. Diskuter løsningsstrategien. Etter hvert kan elevene bytte roller og lage nye likninger. Samme øvelse kan elevene gjøre for mange type oppgaver. Et viktig moment er å øve på å beskrive en framgangsmåte eller løsningsstrategi. Vg1T: løse likninger av andre grad med ulike metoder, også formel Start med eksempler der konstantleddet eller førstegradsleddet er 0. Oppmuntre elevene til å komme med ulike forslag til løsningsmetoder (grafisk, ulike algebraiske metoder, prøving og feiling). Etter hvert kan du gi andregradslikninger der ingen koeffisienter er 0. Drøft ulike metoder som elevene har for løse andregradslikninger, og vis noen enkle metoder som alltid lykkes. Vis hvordan formlene kan forklares ved hjelp av en slik metode. Vg1T: løse likninger med eksponential- og logaritmeuttrykk for å kunne bruke det i anvendelser fra andre fag Vis sammenhengen mellom eksponential- og logaritmeuttrykk, og drøft relasjonen mellom regneregler for disse. Deretter kan elevene arbeide med lineære likninger der den ukjente er log x eller e x. Utfordre elevene til å komme med forslag til løsningsmetoder. Oppmuntre elevene til å finne log x eller e x først. Alternativt kan du gi elevene et tips om å erstatte log x med y (eller e x med y). Løs likningen med y som ukjent, løs så likningen log x = y eller e x = y. Vg1T: løse praktiske problemer ved å omformulere problemet til en likning, et likningssystem eller en ulikhet, kunne løse dem tolke og vurdere løsningen Ta utgangspunkt i problemer som kan løses ved prøving og feiling. For eksempel: En skrue og en mutter veier 50 gram. To skruere og tre muttere av samme type veier 120 gram. Hvor mye veier en slik skrue, og hvor mye veier en slik mutter? La elevene løse problemet og diskutere ulike løsningsmetoder. Sammenlikne metodene og diskuter hvorfor flere metoder kan gi samme svar. Utfordre deretter elevene til å sette opp problemet som et likningssett. Diskuter hvorfor det er nødvendig å lære en slik metode. Når har elevene bruk for det, og når kan de klare seg med andre metoder? Gjør tilsvarende med eksempler for ulikheter og andre likninger og likningssystemer.

16 side 16 Hverdagstekst Her finner du eksempler på hvordan du kan formulere læringsmål som vektlegger arbeidet med matematiske tekster i form av oppgavetekster, tabeller, diagram, litteratur, fagtekster og hverdagstekster på Vg1T, Vg1P og Vg2P. Kompetansemål Vg1P Elevene skal kunne tolke, tilarbeide, vurdere og diskutere det matematiske innhaldet i skriftlege, munnlege og grafiske framstillingar tolke og bruke formlar som gjeld daglegliv, yrkesliv og programområde Kompetansemål Vg2P Elevene skal kunne rekne praktiske oppgåver med eksponentiell vekst Kompetansemål Vg1T Elevene skal kunne tolke, tilarbeide og vurdere det matematiske innhaldet i ulike tekstar bruke matematiske metodar og hjelpemiddel til å løyse problem frå ulike fag og samfunnsområde omforme ei praktisk problemstilling til ei likning, ein ulikskap eller eit likningssystem, løyse det og vurdere kor gyldig løysinga er Grunnleggende ferdigheter Flere av de grunnleggende ferdighetene er sentrale når det gjelder arbeid med matematiske tekster. I læreplanen beskrives det slik: Å kunne lese i matematikk inneber å tolke og dra nytte av tekstar med matematisk innhald og med innhald frå daglegliv og yrkesliv. Slike tekstar kan innehalde matematiske uttrykk, diagram, tabellar, symbol, formlar og logiske resonnement. Å kunne uttrykkje seg skriftleg i matematikk inneber å løyse problem ved hjelp av matematikk, beskrive og forklare ein tankegang og setje ord på oppdagingar og idear. Ein lagar teikningar, skisser, figurar, tabellar og diagram. I tillegg nyttar ein matematiske symbol og det formelle språket i faget. Læringsmål Vg1P, Vg2P og Vg1T Eksempler på innhold og arbeidsmåter knyttet til læringsmålene finner du plassert nedenfor.

17 side 17 Vg1P: arbeide med tekster, som artikler, reklame, brosjyrer og svare på matematiske spørsmål knyttet til tekstene Se eksempel på detaljert undervisningsopplegg. Elevene kan arbeide med utvalgte tekster ved å utgangspunkt i spørsmål som for eksempel: hvilke tall finnes i teksten og hva står de for? bruker teksten, direkte eller indirekte, matematiske metoder til å gi informasjon som ikke ligger eksplisitt i teksten? kan du finne ny tallinformasjon på grunnlag av tallene som står i teksten? Eleven kan gjerne også svare på konkrete matematiske spørsmål knyttet til teksten, og bruk dette til å vise fram mulig matematisk informasjon. Eksempel på spørsmål: gjengi tallinformasjonen i teksten på en annen måte, som annen tekst eller med ulike tabeller eller figurer drøft rimeligheten av tallinformasjonen både i størrelse og i bruk av enheter Vg2P: lese om og kjenne igjen praktiske situasjoner som kan beskrives med eksponentiell vekst Se eksempel på detaljert undervisningsopplegg. Eksempler på eksponentiell vekst: befolkningsvekst når fødsels- og dødsrate er konstant over tid omsetningsvekst over tid, dersom vekstraten er konstant lystyrke som funksjon av intensiteten Eksponentiell vekst forekommer ofte i presentasjon av dramatiske utviklingsscenarier. Det kan gjelde befolkningsvekst, forurensing, klimaendringer, etc. Elevene kan ta utgangspunkt i slike dagsaktuelle tema og formulere oppgaver som leder til matematiske problemer. De kan drøfte mulige matematiske modeller som kan beskrive utviklingen. Vg1T: Arbeide med tekster, som artikler, reklame, brosjyrer og svare på matematiske spørsmål knyttet til tekstene Se eksempel på detaljert undervisningsopplegg. Elevene kan arbeide med tekster ved å utgangspunkt i ulike problemstillinger som for eksempel: hvilke tall finnes i teksten og hva står tallene for?

18 side 18 bruker teksten, direkte eller indirekte, matematiske metoder til å gi informasjon som ikke ligger eksplisitt i teksten? kan du finne ny tallinformasjon på grunnlag av de tallene som står i teksten? gjengi tallinformasjonen i teksten på en annen måte, som annen tekst eller med ulike tabeller eller figurer drøft rimeligheten av tallinformasjonen både i størrelse og i bruk av enheter Vg1T: Lese tekster fra andre fagområder og kjenne igjen matematiske spørsmål og problemstillinger som tas opp i tekstene Se forrige eksempel. Vg1T: Lese og løse problemer i ulike faglige sammenhenger ved å omformulere et praktisk problem til et matematisk problem, finne riktig eller relevante matematiske metoder, løse problemet og tolke det tilbake i den praktiske situasjonen Se eksempel på detaljert undervisningsopplegg. I grunnskolen får elevene trening i å løse matematiske problemer som er knyttet til en praktisk oppgave. På Vg1T bør elevene øve seg på problemer som er godt motivert i praktiske oppgaver, og som er åpne for ulike framgangsmåter. Den første delen av oppgaven kan for eksempel være "å kle av" teksten for å finne fram til det matematiske problemet. Ofte er det matematisk problemet greit å løse når elevene har klart å avdekke hva det handler om. Et eksempel er det klassiske håndtrykksproblemet: Det er 20 personer i et selskap. Alle skal hilse på hverandre én gang, men ingen skal hilse på samme person to ganger. Hvor mange håndtrykk blir utvekslet i selskapet? Problemet kan løses ved å finne summen av de naturlige tallene fra 1 til 19. Det er vesentlig at elevene selv finner fram til, og velger blant relevante metoder. Som variasjon kan du lage et løsningsforslag til en praktisk oppgave, med eventuelle innlagte feil av forskjellig art som du ber elevene finne og drøfte. Hvilke feil er regnefeil og hvilke skyldes feiltolkning av den praktiske sammenhengen?