Modellering oppgaver Innhold Modul 1: Lineære modeller og lineær regresjon... 2 Modul 2: Potensfunksjon som modell... 5 Modul 3: Eksponentialfunksjon som modell... 6 Modul 4: Polynomfunksjon som modell... 9 Modul 5: Andre typer modeller og mønstre... 12 Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA... 19 Bildeliste... 20 1
Modul 1: Lineære modeller og lineær regresjon 1.1 Tabellen viser folkemengden i Mandal i 1990 og i 2006. Årstall 1990 2006 Folkemengde 12 465 14 069 Vi antar at folkemengden i Mandal har steget tilnærmet lineært. a) Finn en lineær modell som beskriver utviklingen av folkemengden i Mandal. La x være antall år etter 1990 og F x folkemengden. b) Hva blir folkemengden i Mandal etter denne modellen i år 2050? c) Når vil folkemengden i Mandal passere 20 000 etter denne modellen? 1.2 I denne tabellen har vi folkemengden i Mandal for fem utvalgte år i perioden 1990 til 2006. Årstall 1990 1995 1998 2002 2006 Folkemengde 12 465 12 910 13 181 13 417 14 069 a) Plott punktene i tabellen i et koordinatsystem, og bruk regresjon i et digitalt hjelpemiddel til å finne en lineær modell for folkemengden i Mandal. La x være antall år fra 1990 og folkemengden. b) Sammenlikn uttrykket du fikk i denne oppgaven med det du fikk i forrige oppgave. Hvorfor er de to uttrykkene ikke like? F x c) Når vil folkemengden i Mandal passere 20 000 etter denne modellen? d) Sammenlikn resultatet du fikk i c) med tilsvarende resultat fra forrige oppgave. 2
1.3 Tabellen under viser utslipp av svoveldioksid til luft i Norge i 1973 og i 2000. Årstall 1973 2000 SO 2 i 1000 tonn 156,4 27,3 Vi antar at nedgangen av utslippene av SO 2 har vært tilnærmet lineær i perioden fra 1973 til 2000. a) Finn en lineær modell som beskriver utviklingen av utslippene av svoveldioksid, SO 2. La x være antall år fra 1973 og S x utslippene av svoveldioksid i tusen tonn. De virkelige utslippene av SO 2 var 73,1 tusen tonn i 1987 og 33,1 tusen tonn i 1996. b) Bruk modellen du fant i a og vurder hvor godt modellen treffer. c) Hva vil utslippet være i år 2010 dersom vi følger denne modellen? Kommenter svaret. 1.4 I denne tabellen har vi utslipp av svoveldioksid til luft i Norge for seks utvalgte år fra 1973 til 2000. Årstall 1973 1980 1987 1992 1996 2000 SO 2 i 1000 tonn 156,4 136,4 73,1 37,0 33,1 27,3 a) Plott punktene i tabellen i et koordinatsystem, og bruk regresjon i et digitalt hjelpemiddel til å finne en lineær sammenheng mellom årstallene og utslippene av svoveldioksid, SO 2. La x være antall år fra 1973 og S x utslippene av svoveldioksid i tusen tonn. b) Sammenlikn modellen du fikk i denne oppgaven med den modellen du fikk i forrige oppgave. Kommenter eventuelle forskjeller. c) Hva vil utslippene være i år 2010 dersom vi følger denne modellen? Kommenter svaret. 3
1.5 Årstall 1998 2000 2002 2004 2006 2008 Prisindeks for frukt, F 100 105 103 106 110 107 Prisindeks for tobakk, T 100 118 124 154 162 175 Prisindeks for sko etc. S 100 104 99 88 83 84 Tabellen viser utviklingen i prisindeksen på frukt, tobakk og sko. a) Plott punktene i tabellen i et koordinatsystem, og bruk regresjon i et digitalt hjelpemiddel til å finne en lineær sammenheng som viser prisutviklingen for hver av varene i tabellen ovenfor. La x være antall år fra 1998, F x prisutviklingen på frukt, S x prisutviklingen for sko og annet fottøy. T x prisutviklingen for tobakk og b) Bruk modellene du fant i a), og finn prisindeksen på frukt, tobakk og sko og annet fottøy i 2005. c) Hvordan synes du modellene dine stemmer med punktene? 1.6 Tabellen viser prisutviklingen for varegruppen klær i perioden 1997 til 2004. År 1997 1998 1999 2000 2001 2003 2005 2008 Prisindeks 102,5 100 99,0 93,5 93,2 77,1 68,1 58,5 a) Bruk tabellen og et digitalt hjelpemiddel til å finne en lineær sammenheng mellom årstallene og prisutviklingen på klær. La x være antall år fra 1990 og P x prisutviklingen på klær. b) Hva var prisindeksen i 2007 og 1990 etter denne modellen? c) Tabellen ovenfor er hentet fra Statistisk sentralbyrå (SSB). Ifølge SSB var prisindeksen for varegruppen klær i 2007 på 61,6 og i 1990 på 99,5. Hvordan stemmer denne indeksen med indeksen du fikk ved å bruke modellen? 4
Modul 2: Potensfunksjon som modell 2.1 Tabellen under viser utslipp av svoveldioksid til luft i Norge for noen utvalgte år fra 1981 til 2003. 1981 1983 1992 1996 2000 2003 SO 2 i 1000 tonn 136,4 104,0 37,0 33,2 27,1 23,2 a) Legg punktene i et koordinatsystem og bruk potensregresjon til å finne et funksjonsuttrykk som passer med punktene. La x være antall år fra 1980 og S x utslippene av svoveldioksid i tusen tonn. Plott punktene og grafen til uttrykket du finner. Norge har forpliktet seg til ikke å la utslippene av svoveldioksid i 2010 overstige 22 000 tonn. b) Bruk modellen du fant i a og finn ut om Norge vil oppfylle denne forpliktelsen innen 2010. c) Statistisk sentralbyrå publiserer tabeller som viser utslipp av ulike klimagasser. Følg lenken Klimagasser og vurder hvordan vår modell stemmer med de virkelige verdiene de siste årene. 5
Modul 3: Eksponentialfunksjon som modell 3.1 Tabellen viser daglig bruk av tid på hjemme-pc i perioden 1994 til 2006 i minutter for en bestemt gruppe personer. Årstall 1994 1998 1999 2003 2006 Tid i minutter 10 13 18 35 50 a) Legg punktene i et koordinatsystem og bruk eksponentialregresjon til å finne et funksjonsuttrykk som passer med punktene. La x være antall år fra 1994 og Plott punktene og grafen til uttrykket du finner. T x bruk av tid på hjemme-pc. b) Bruk modellen du fant i a) og finn ut hvor mye tid som vil bli brukt på hjemme-pc i 2010 og 2020. c) Vurder gyldigheten av teorien fram i tid. 3.2 Tabellen viser temperaturen i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd. Antall timer etter strømbruddet 0 4 8 12 16 20 Antall grader i o C 4,0 4,4 6,0 8,9 12,5 17,9 a) Plott punktene i et koordinatsystem og bruk eksponentialregresjon til å finne et funksjonsuttrykk som passer med punktene. La x være antall timer etter strømbruddet og kjøleskapet. Plott punktene og grafen til uttrykket du finner. b) Vurder gyldigheten til modellen framover i tid. Begrunn svaret ditt. T x temperaturen i 6
3.3 Tabellen viser utslippene av karbondioksid CO 2 i verden målt i millioner tonn. Årstall 1980 1990 2000 2005 2006 Utslipp av CO 2 i millioner tonn 18 054 20 988 23 509 27 146 28 003 a) Plott punktene i tabellen i et koordinatsystem, og finn en matematisk modell som beskriver utslippene av CO 2. La x være antall år etter 1980 og U x utslippene av CO 2. b) Mange land har vedtatt å senke utslippet av CO 2 i tiden framover. Vurder gyldigheten framover i tid av modellen du fant i a. 3.4 Sol Sikke ville finne ut hvordan en solsikke hun hadde i hagen vokste uke for uke. Hun målte høyden til solsikken hver uke i 8 uker. De observerte verdiene ser du i tabellen nedenfor. Etter x uker 1 2 3 4 5 6 7 8 Høyde i cm 16 20 27 40 56 68 107 140 a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et funksjonsuttrykk som passer til punktene. b) Vurder gyldigheten til modellen du fant i a. 7
3.5 Punktene i koordinatsystemet nedenfor viser fem observasjoner av lufttrykket målt i millibar på fem ulike høyder over havet. a) Finn en matematisk modell som beskriver luftrykket målt i millibar. Norges høyeste fjell, Galdhøpiggen, ligger 2 469 meter over havet. b) Hva blir lufttrykket på Galdhøpiggen dersom vi bruker modellen vi fant i a? 8
Modul 4: Polynomfunksjon som modell Andregradsfunksjoner 4.1 a) Bruk GeoGebra til å tegne 7 ulike rektangler. Alle rektanglene skal ha en omkrets på 24 cm. La x - verdien være bredden på rektangelet. Velger du for eksempel at bredden x skal være 4 cm, så blir høyden 8 cm. b) Bruk Avstand- og lengde - knappen til å måle arealet og omkretsen av rektanglene. c) Lag en liste i GeoGebra der x -verdien er bredden på rektangelet og y - verdien er arealet. Plott punktene i et koordinatsystem. Hva slags kurve likner dette på? d) Bruk regresjon og finn det andregradsuttrykket som passer best til punktene i tabellen. Tegn grafen til andregradsuttrykket. La A være arealet av rektanglet og x være bredden på rektanglet. e) For hvilken verdi av x har rektanglet størst areal, og hva er arealet da? En bonde har 600 meter gjerde til disposisjon. Har vil gjerde inn et område til sauene sine. f) Hvordan bør bonden sette opp gjerdet dersom sauene skal få mest mulig plass å boltre seg på? 9
4.2 Camilla kaster en ball rett opp i lufta. Tabellen viser ballens høyde h i meter etter x sekunder. x-sekunder 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 høyde over bakken 1,8 7,6 11 11,9 10,4 6,4 0 a) Plott punktene i tabellen i et koordinatsystem. Bruk regresjon, og finn den andregradsfunksjonen som passer best til punktene i tabellen. b) Finn grafisk når ballen er 10 meter over bakken. c) Når treffer ballen bakken? d) Når er ballen 15 meter over bakken? e) Hvor høyt når ballen og når er ballen på sitt høyeste punkt? 4.3 Per målte temperaturen hver 4. time gjennom et døgn. Tabellen viser klokkeslett med tilhørende temperaturt. Klokkeslett 14.00 18.00 22.00 02.00 06.00 10.00 14.00 Temperatur T i C 2,5 0,3-1,4-2,0-2,6-2,1-0,2 a) Bruk regresjon og finn den andregradsfunksjonen som passer best til punktene i tabellen. La x være antall timer etter kl. 14.00. b) Legg inn punktene i et koordinatsystem og tegn grafen til uttrykket du fant i a. Hvordan passer grafen med temperaturmålingene? c) Hva vil temperaturen ifølge modellen være 30 timer etter at Per startet målingene? d) Hva vil temperaturen ifølge modellen være 48 timer etter at Per startet målingene? Vurder hvor realistisk modellen er. 10
Tredjegradsfunksjoner 4.4 Tabellen viser observert vannstand på Tregde 1. februar 2008. Observert vannstand er i cm over middelvann. I tabellen er x timer etter midnatt og h er høyden målt i cm over middelvann. x 0 2 4 6 8 10 12 h -9-13 -12-6 -3-1 -7 a) Legg punktene inn i et koordinatsystem. Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn det tredjegradsuttrykket som passer best med verdiene i tabellen. b) En større båt skal legge til kai i nærheten av Tregde. Båten kan ikke komme inn til kaien dersom vannstanden avviker mer enn 10 cm fra middel vannstand. I hvilket tidsrom kan båten gå inn til kaien? c) Vurder gyldigheten til modellen lenger fram i tid. 4.5 Tabellen viser temperatursvingningene gjennom et flott sommerdøgn i Mandal. Temperaturen T er gitt i grader og x er antall timer etter midnatt. x 0 1 4 7 9 10 12 13 15 17 20 22 24 T C 19 17 15 17 19 21 25 26 27 26 24 22 18 a) Plasser punktene i et koordinatsystem. b) Finn en matematisk modell som beskriver temperaturen i Mandal dette døgnet. c) Vurder gyldigheten til modellen du fant ovenfor når vi lar tiden x etter midnatt bli mer enn 24 timer. 11
Modul 5: Andre typer modeller og mønstre 5.1 Vi har tallrekken 3 7 11 15 a) Hvilket mønster følger denne tallrekken? Hva blir de to neste leddene? b) Vis at ledd nummer n i tallrekken er gitt ved formelen a 4n 1. n 5.2 Vi har tallrekken 2 4 8 16 a) Hvilket mønster følger denne tallrekken? Hva blir de to neste leddene? b) Vis at ledd nummer n i tallrekken er gitt ved formelen a 2 n n. 5.3 Rektangeltallene kan framstilles slik figuren viser. Vi kaller det første rektangeltallet R1 2 Det neste rektangeltallet R2 6 Det tredje rektangeltallet R3 12 osv. a) Forklar hva vi gjør for å komme fra en figur til den neste? Hva er mønsteret i det vi gjør? b) Forklar at det fjerde rektangeltallet inneholder 20 prikker. c) Gitt tabellen nedenfor Rektangeltall nummer 1 2 3 4 5 6 8 Antall prikker 2 6 12 20 30 42 72 Plott punktene i et koordinatsystem og finn en matematisk modell som beskriver antall prikker i rektangeltallene. La x være nummeret på rektangeltallet og la P x være antall prikker i tallet. 12
5.4 Vinkelsummen i en trekant er 180, i en firkant 360, i en femkant 540. a) Lag en formel som viser vinkelsummen i en mangekant med n antall sider. I en regulær mangekant er vinklene like store. For eksempel er vinklene i en regulær trekant 60, i en regulær firkant 90 og i en regulær femkant er vinklene 108. b) Finn et uttrykk som viser vinkelen i en regulær 5-kant og en regulær 7-kant. Kan du tenke deg hva som kan være en formel for vinkelen i en regulær n-kant? 5.5 Sammenhengen mellom temperatur målt i fahrenheit, F, og celsius, C, er gitt ved formelen F 1,8C 32 a) Hvor mange grader fahrenheit har vi når vi har 0 grader celsius? b) Løs formelen med hensyn på C. c) Hvor mange grader celsius har vi når temperaturen er 65 fahrenheit? 5.6 Skriv opp alle oddetallene til og med 29. Det første tallet er 1. Hva er summen av de to neste oddetallene? Hva er summen av de tre neste? Fortsett etter samme mønster. Ser du noe mønster i summene du får? 1 3 5 7 9 11 13 1 8? 13
5.7 Bytur i Kristiansand Gatebildet i sentrum av Kristiansand, kvadraturen, er regelmessig bygd opp med rette gater hvor gater som krysser hverandre danner vinkler på omtrent 90 grader. «Kvartalene», områdene avgrenset av gater, har tilnærmet form av rektangler. Vi tenker oss nå byen enda mer regelmessig slik at alle «kvartaler» har en kvadratisk grunnflate. Tenk deg at du skal gå fra gatehjørne A til gatehjørne B. a) Hvor mange forskjellige «korteste veier» er det mellom A og B? Det er seks «kvartaler» (grønne kvadrater) i rektanglet som dannes av gatehjørnene A og B, start- og sluttpunktene for turen. b) Er det andre muligheter for formen til rektanglet som dannes av gatehjørnene A og B når det skal inneholde seks «kvartaler»? Hvor mange «korteste veier» får vi da? Lag tegninger som viser disse veiene. c) Prøv å finne antall «korteste veier» når antall «kvartaler» som omsluttes av gatehjørnene A og B varierer fra 1 til 9. Skriv svarene i tabellen. Finner du noe mønster i dine oppdagelser? Antall kvartaler som omsluttes Antall korteste veier 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 og 10 d) Kan du si noe om sammenhengen mellom antall kvartaler som omsluttes og formen på de omsluttende kvartaler? e) Det viser seg at tallene i Pascals talltrekant forteller hvor mange «korteste veier» som leder fra toppen og fram til et krysningspunkt i talltrekanten. Studer talltrekanten nedenfor, og se at dette stemmer med dine resultater. 14
f) Utvid Pascals talltrekant og finn ut hvor mange former 12 kvartaler kan danne, og hvor mange forskjellige «korteste veier» de enkelte har. g) Hvis du ønsker det: Utvid Pascals talltrekant og finn ut hvor mange former 24 kvartaler kan danne, og hvor mange forskjellige «korteste veier» de enkelte har. 5.8 Nedenfor ser du fire figurer som består av prikker. I figur 1 er det 1 prikk. I figur 2 er det 3 prikker. I figur 3 er det 6 prikker og i figur 4 er det 10 prikker. a) Hva slags geometriske former har disse figurene? b) Kan du fortsette og lage figur 5, 6, 7 og 8 etter samme mønster? Antall prikker i figurene kalles for trekanttall. Vi skriver t 1 1, t 2 3, t3 6 osv. c) Kan du forklare hvorfor vi kan skrive t, t2 1 2 3, t3 1 2 3 6, t4 1 2 3 4 10 og generelt t 1 2 3 n? n 1 1 d) Fyll ut tabellen. Finner du igjen noen av tallkolonnene i Pascals talltrekant? Hva slags tall får du i kolonnen til høyre? n t n tn 1 tn tn 1 1 2 3 4 5 6 7 15
e) Kan du finne en formel, modell, for antall prikker i figur nummer n? f) Sett sammen to nabofigurer. Hva slags figur får du? Ser du noen sammenheng med den høyre kolonne du fikk i oppgave d)? g) Finn summen av to tilfeldige nabotrekanttall mellom t 10 og t 20. Hva slags tall får du? 5.9 Tenk deg at en av dine forfedre i år 1900 satte inn kroner 100 i banken. Han fikk en avtale med banksjefen om en garantert årlig rente på 10 %. Din forfar døde, og nå viser det seg at du er den heldige arving til bankkontoen. a) Lag en matematisk modell for hvordan pengene har vokst i banken. b) Vis et grafisk bilde av modellen. Hva er beløpet på kontoen i år 2014? c) Du lar være å bruke pengene i dag og velger i stedet å la pengene stå på kontoene inntil du nærmer deg pensjonsalderen. Hva står på kontoen i år 2064? d) Albert Einstein sa en gang. «Renters rente-effekten er den sterkeste kraften vi kjenner». Hva mente Einstein med det? 5.10 Flytt på 2 piler (fyrstikker) og få 4 like kvadrater. Alle pilene skal brukes. Hver pil utgjør én side i et kvadrat. 16
5.11 4 3 Formelen V r viser sammenhengen mellom radius til en kule og volumet av kula. 3 a) Lag en plan for hvordan du kan bruke denne modellen for å finne radius til en fotball. b) Få tak i en fotball og utfør planen! 5.12 I teorikapitlet «3.2 Modell for svingetiden til en pendel» ble du utfordret på en praktisk øvelse. a) Hent dine resultater fra denne oppgaven, eller gjør oppgaven nå. l En modell for svingetiden til en pendel er T 2 hvor T er svingetiden, l er snorlengden og g er g tyngdens akselerasjon. b) Sammenlikn din modell med denne modellen. Hva finner du? c) Hvor lang må snorlengden være for at du på en enkel måte kan bruke pendelen til å telle sekunder. d) Kanskje har noen i din familie et pendelur hjemme. I så tilfelle, undersøk hvordan du kan «stille» dette uret til å gå riktig. 17
5.13 En kortkunst! Ta ut 21 kort fra en kortstokk. Fordel disse kortene i 3 kolonner med 7 kort i hver kolonne. La kortene ligge med billedsiden opp og la dem ikke overlappe mer enn at det er mulig å se hvilke kort som ligger i hver kolonne. Be en venn av deg om å velge ut og tenke på ett bestemt kort og fortelle deg i hvilken kolonne dette kortet ligger. Så samler du inn kortene, kolonne for kolonne, men du passer på å legge kolonnen med det valgte kortet i midten. Så legger du ut kortene igjen i 3 kolonner, men slik at de 3 øverste kortene blir de første kortene i hver kolonne, de tre neste kortene blir kort nummer 2 i hver kolonne osv. Du ber så din venn fortelle i hvilken kolonne det valgte kortet nå ligger. Du gjentar prosedyren beskrevet ovenfor, og ber din venn for tredje gang fortelle i hvilken kolonne det valgte kortet ligger. Så samler du inn kortene, kolonne for kolonne, og du passer igjen på å legge kolonnen med det valgte kortet i midten. Nå vil alltid det valgte kortet ligge som nummer 11 i bunken. Du kan nå, på en kreativ og mystisk måte, fortelle din venn hvilket kort hun har valgt. Din oppgave Hvorfor er det slik at det valgte kortet alltid vil havne på plass nummer 11? 5.14 Magisk kvadrat! Klarer du å skrive inn hvert av tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 i hver sin rute slik at når du summerer tallene i tre ruter, enten vannrett, loddrett eller diagonalt, så blir summen alltid den samme? 18
Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA Eksamen våren 2015 del 1: oppgave 5, oppgave 7. Eksamen våren 2015 del 2: oppgave 2, oppgave 4, oppgave 5, oppgave 7. Eksamen høsten 2014 del 1: oppgave 5, oppgave 6. Eksamen høsten 2014 del 2: oppgave 2, oppgave 3, oppgave 4, oppgave 5, oppgave 6, oppgave 7. Eksamen våren 2014 del 1: oppgave 8, oppgave 9. Eksamen våren 2014 del 2: oppgave 2, oppgave 3, oppgave 4, oppgave 6. Eksamen høsten 2013 del 1: oppgave 4, oppgave 5, oppgave 7. Eksamen høsten 2013 del 2: oppgave 3, oppgave 4, oppgave 5. Eksamen våren 2013 del 1: oppgave 4, oppgave 6, oppgave 8. Eksamen våren 2013 del 2: oppgave 2, oppgave 5, oppgave 6. Eksamen høsten 2012 del 1: oppgave 2, oppgave 9. Eksamen høsten 2012 del 2: oppgave 1, oppgave 5, oppgave 6, oppgave 7. Eksamen våren 2012 del 1: oppgave 3. Eksamen våren 2012 del 2: oppgave 4, oppgave 6, oppgave 7. Eksamen høsten 2011 del 1: oppgave 1. Eksamen høsten 2011 del 2: oppgave 3, oppgave 4, oppgave 6. Eksamen våren 2011 del 2: oppgave 5, oppgave 7. Eksamen høsten 2010 del 1: oppgave 1. Eksamen høsten 2010 del 2: oppgave 5, oppgave 6, oppgave 7, oppgave 8. 19
Bildeliste Ball Foto: Christoffer Askman/Scanpix Denmark Tekst og oppgaver Stein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA 20