ÇÚ Ö Ø ØÓÖ Ö ÓÑ ÔÚ Ö Ö ÓÔ ÓÒ Ò ÔÖ ÒÓÑ ÔÖ Ò Ö ØÖ Ö ÔÖ Ò Ú ÓÔ ÓÒ Ê ÓÒ ÝØÖ Ð ÔÖ Ò Ð ¹Ë ÓÐ ¹Å ÖØÓÒ Ëŵ

à Ժ ½ ÈÖ Ò Ú ÓÔ ÓÒ Ö

ÇÚ Ö Ø ØÓÖ Ö ÓÑ ÔÚ Ö Ö ÓÔ ÓÒ Ò ÔÖ ÒÓÑ ÔÖ Ò Ö ØÖ Ö ÔÖ Ò Ú ÓÔ ÓÒ Ê ÓÒ ÝØÖ Ð ÔÖ Ò Ð ¹Ë ÓÐ ¹Å ÖØÓÒ Ëŵ

ØÓÖ Ö ÓÑ ÔÚ Ö Ö ÓÔ ÓÒ Ò ÔÖ Ò ÔÖ S T + ÍØ Ú Ð ÙÖ X Ì Ø Ð ÓÖ ÐÐ T + ÎÓÐ Ø Ð Ø Ø ÐÐ Ö Ò Ý Ø Ø σ + Ê ÒØ Ò Ú Ø r f + Ú Ò Div t +

ÈÖ Ò ÔÔ Ö Ñ ÓÖ ÒÓÑ ÔÖ ÔÖÓ º u Ö ÔÓ Ø Ú Ò Ö Ò ÙÔ µ Ó d Ö Ò Ø Ú Ò Ö Ò ÓÛÒ µ S ½u = ½½¼ C ½u = ½½¼ ½¼¼ = ½¼ S ¼ = ½¼¼ X = ½¼¼ S ½d = ¼ C ½d = ¼ ÈÖ ÔÖÓ ÅØ Ò ÔÖ Ò ÙØÚ Ð Ö Ôº À Ö ÒØ Ò ÓÔÔ ÐÐ Ö Ò ºÚº º ÒÓÑ

Ä Ò Ö Ø Ø Ð ÓÖ ÐÐ ½¾¼ ½½¼ ½½¼ ½¼¼ ½¼¼ ½¼¼ ¼ ¼ ¼ Ä Ò Ö Ø Ø Ð ÓÖ ÐÐ ØÝÖ Ö Ò Ö Ø Ð Ò Ý Ú Ö Öº

ÇÔ ÓÒ Ò ÒØÖ Ò Ú Ö Ã ÔØ Ô ÓÔ ÓÒ ¼ Ì Ú Ö ÁÒØÖ Ò Ú Ö S T ¹

ÎÓÐ Ø Ð Ø Ø Ö Ö ½¾¼ ½ ¼ ½½¼ ½¾¼ ½¼¼ ½¼¼ ½¼¼ ½¼¼ ¼ ¼ ¼ ¼

ÒÓÑ ÔÖ Ò ÇÔ ÓÒ ÔÖ ÓÖÑ Ð Ò Ð Ö Ø ÙØÚ Ð Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø Ú Ð Ò Ë ÓÐ ½ µ Ó Å ÖØÓÒ ½ µº Î ÐÐ Ö Ò Ëź ÀÓÚ ÔÖ Ò ÔÔ Ò ÓÔ ÓÒ ÔÖ Ò Ò Ò ÐÝ Ö Ú ÐÔ Ú Ò ÒÓÑ Ø ÐÒÖÑ Ò ÓÜ Ø Ðº ½ µº Ò ÒÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö ÑÓØ Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ËŹÑÓ ÐÐ Ò ÒÖ Ø ÐÐ Ø Ô Ô Ö Ó Ö º Ö ØÖ Ö ÔÖ Ò ÇÔÔÖ ÒÒ Ð Ú Ö ÓÒ Ò ÇÔ ÓÒ Ò Ñ ÑÑ ÔÖ ÓÑ Ò ÔÓÖØ Ð Ú Ò Ó Ø ÐÒ Ñ ÑÑ ÓÒØ ÒØ ØÖ Ñ Ê ÓÒ ÝØÖ Ð ÔÖ Ò Ä Ö Ò Ö Ó Ù Ø ÖØ ÒÒ ÝÒÐ Ø ÓÑ Ú Ö Ø Ð Ø Ò ÓÒØ Ö Ñ

ÓÖ Ð Ö Ñ Ò ÒÓÑ ÑÓ ÐÐ ÈÖ Ò ÔÔ Ò ÓÖ ÓÔ ÓÒ ÔÖ Ò Ò Ú Ñ Ò Ð Ñ Ø Ñ Ø º Ð Ö Ô ÓÒ Ö Ö ÑÙÐ ÓÖ ÑÔ Ð Ø Ò Ö Ò Ò Ö Ò Ô Ö Ó Ø Ð Ò Ø Ö ÙÐ º Ò ÒÓÑ ÑÓ ÐÐ Ò Ö Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÓÑ Ö Ò º

ÒÓÑ ÓÖ Ð Ò Ø Ò Ö Ö ÑÓØ Ò ÒÓÖÑ Ð ÒÖ Ø ÐÐ Ø Ô Ô Ö Ó Ö Ö 4.0 3.5 Kombinasjoner Kombinasjoner 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 22.5 20.0 17.5 15.0 12.5 10.0 7.5 5.0 2.5 0.0 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 1000 Kombinasjoner 800 600 400 200 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Perioder Á Ú Ö Ø Ð ÙÖ Ö Ø ÐÐ Ø Ô Ô Ö Ó Ö T = Ò Ñ Ø Ö Ø T = Ó Ò Ò Ö Ø Ð ÙÖ Ò Ö Ø ÐÐ Ø Ô Ô Ö Ó Ö T = ½¾º

ÓÖÙØ ØÒ Ò Ò ÓÖ ÑÓ ÐÐ Ò ½º Å Ö Ò Ö Ô Ö Ø Ó ÓÑÔÐ ØØ Ú º Ø Ö Ò Ò Ö ØÖ ÑÙÐ Ø Ö Ó ÐÐ Ò Ð Ö ÔÖ º Î Ö ÁÒ Ò ØÖ Ò ÓÒ Ó ØÒ Ö Ò Ò Ö Ú Ø Ð Ð ÒÒ Ø Ð Ò Ó Ò Ò ØØ Öº Ò Ð Ö Ú Ò Ð Ö Ò Ô º ¾º ÀÚ Ö Ô Ö Ó Ö ÒØ r f Ó Ú Ö Ô Ö Ó ÔÓ Ø Ú Ò Ö Ò u Ó Ò Ø Ú Ò Ö Ò d Ö Òغ

Ä ÓÒØ Ò ØÖ ÑÑ Ö ÑÑ Ú Ö ÇÔ ÓÒ ÄÒ ÃÓÒØ ÒØ ØÖ Ñ ÃÓÒØ ÒØ ØÖ Ñ Ë ÑÑ Ú Ö Ñ ÓÔ ÓÒ ÚÖ Ð Ò Ñ Ò Ö Ó Ø ÐÒ ÇÔ ÓÒ = +ÄÒ ÒÒ Ö ØÖ ÑÑ Ò Ò Ò ÙØÒÝØØ ÓÖ ÒÒ Ú Ö Ò Ø Ð ÓÔ ÓÒ Ò

Ö ØÖ Ö ÔÖ Ò Ö Ñ Ò ÑØ ½º Ò Ö Ò ÔÖ ÔÖÓ º ØØ Ò ÔÖ Ò Ò Ò Ú ØÓ Ú Ö Ö Ò Ø Ô Ö Ó ÒØ Ò S ¼ (½+u) ÐÐ Ö S ¼ (½+d)º ¾º Ø Ñ Ú Ö Ò Ú Ô ÓÔ ÓÒ Ò Ú ÓÖ Ðк Ø Ú Ð Ö ÚÖ ØÓ ÑÙÐ ÔÖ Ö Ô Ô ÓÔ ÓÒ Ò Ú ÓÖ Ðк º Ë ØØ Ú Ö Ò Ú Ò Ù ÒØ Ð Ú Ö ÔÓÖØ Ð Ú Ò Ó ÐÒ Ð Ñ ÓÒØ ÒØ ØÖ ÑÑ Ò Ú Ô ÓÔ ÓÒ Òº ØØ Ö ØÓ Ð Ò Ò Ö Ñ ØÓ Ù ÒØ º º ÒÝØØ ÐÓÚ Ò ÓÑ Ò ÔÖ ÆÖ ØÓ Ò Ð Ö Ö ÑÑ ÓÒØ ÒØ ØÖ ÑÑ Ö Ô Ø Ö ÑØ Ø ÔÙÒ Ø Ñ ØÓ Ò Ð Ò ÚÖ Ð ÑÝ Ú Ö Ø º Ë Ò ÔÓÖØ Ð Ò Ó Ô ÓÔ ÓÒ Ò Ö ÑÑ ÓÒØ ÒØ ØÖ ÑÑ Ö Ñ ÚÖ Ð ÑÝ Ú Ö Øº

Ø ÐÐÙ ØÖ ÓÒ ÑÔ Ð Ò Ö Ú Ö ¼º¼¼ ÓÑ Ó Ö Ô ÓÔ ÓÒ Ò ÙØ Ú Ð ÔÖ º Á Ò Ø Ô Ö Ó Ò ÔÖ Ò ÓÔÔ ½¼º¼± ÐÐ Ö ÐÐ º¼±º Ê Ó Ö Ö ÒØ Ñ Ö Ø Ö º¼±º ÀÚ Ö Ô ÓÔ ÓÒ Ò ÔÖ

ËØ ½ Ò ÔÖ ÔÖÓ ¼.¼¼.¼¼. ¼

ËØ ¾ ØÐ Ú Ö Ò Ú Ô ÓÔ ÓÒ Ò Ò Ø Ô Ö Ó C u = max[¼,.¼¼ ¼.¼¼] =.¼¼ C ¼ C d = max[¼,. ¼ ¼.¼¼] = ¼.¼¼

ËØ ÒÒ Ò ÔÓÖØ Ð Ñ Ò Ò Ð Ú Ò Ó Ø ÓÒØ ÒØ Ð Ô B Ó ØØ Ð ÓÔ ÓÒ Ò S ¼ +B S u +(½+r f )B =.¼¼ S d +(½+r f )B = ¼.¼¼

ËØ ÌÓ Ð Ò Ò Ö Ñ ØÓ Ù ÒØ,B Î Ö Ò Ñ ÚÖ S u +(½+r f )B =.¼¼ S d +(½+r f )B = ¼.¼¼ = ¼. ¾ ½; B =.½ ÐØ ÄÒ º¾¼ Ó ÓÐ Ò Ò Ð ¼º Ú Òº

Î Ö ÖÑ C ¼ = ¼. ¾ ½ ¼.¼¼.½ =.¾ ÁÐÐÙ ØÖ Ö Ö Ö ØÖ ÔÖ Ò ÔÔ Ø ÇÔ ÓÒ Ò Ö Ð ÑÝ Ú Ö Ø ÓÑ Ò Ò Ð Ò Ó Ø ÐÒ Ò Ö ÑÑ ÓÒØ ÒØ ØÖ Ñº ÌÓÐ Ò Ò Ò Ð Ú Ö ÔÓÖØ Ð Ò Ú Ò Ò Ò ÖØ Ñ ÐÒ ÖÙ Ø Ð ØØ Ö Ø ÔÖ Ô ÓÔ ÓÒ Òº Î Ö ÇÔ ÓÒ Ò Ú Ð ÚÖ Ñ Ö ÚÓÐ Ø Ð ÒÒ Ò ÐÚº Ò Ö ÐØ Ö Ú ÐØ Ø C ¼ = S ¼ B ½µ Ë ÑÑ Ò Ò Ò Ö ÚÖØ ÒÝØØ ËŹÑÓ ÐÐ Ò Ó Ú Ö ØØ Ò Ú Ø Ð Ô Ò Ð Öº

Ò Ö ÐÐ Ö Ñ Ò ÑØ S ¼ S u = (½+u)S ¼ S d = (½+d)S ¼ C u = max[¼,s u X] = max[¼,(½+u)s ¼ X] C ¼ C d = max[¼,s d X] = max[¼,(½+d)s ¼ X] S ¼ +B S u +(½+r f )B = (½+u)S ¼ +(½+r f )B = C u S d +(½+r f )B = (½+d)S ¼ +(½+r f )B = C d

Ò Ö ÐÐ ÓÖÑ Ð C ¼ = ½ ½+r f [ rf d u d C u + u r ] f u d C d ¾µ ÈÖ Ú ÑÔÐ Ø C ¼ = ½ ½.¼ [ ¼.¼ ( ¼.¼ ) ¼.½¼ ¼.¼.¼¼+ ¼.½¼ ( ¼.¼ ) ¼.½¼ ( ¼.¼ ) ¼.¼¼ ] =.¾ ÃÓÒØÖÓÐÐ C ¼ = S ¼ B = ¼. ¾ ½ ¼.¼¼.½ =.¾

Ê ÓÒ ÝØÖ Ð ÔÖ Ò Ø Ð Ø Ð ¾µ C ¼ = ½ ½+r f Ó ÑÔРغ Ê Ò ÙØ Ö Ò [ rf d u d C u + u r ] f u d C d q = r f d u d ¼.¼ ( ¼.¼ ) ¼.½¼ ( ¼.¼ ) = ¼. ¾ ½ q = u r f u d ¼.½¼ ¼.¼ ¼.½¼ ( ¼.¼ ) = ¼. ¼ q Ò Ö ÓÒ ÝØÖ Ð ÒÒ ÝÒÐ Ø Ò ÓÖ ÓÔÔ¹Ø Ð Ø Ò Ò ½ q Ò Ö ÓÒ ÝØÖ Ð ÒÒ ÝÒÐ Ø Ò ÓÖ Ò ¹Ø Ð Ø Ò Ò

Ê ÓÒ ÝØÖ Ð ÔÖ Ò Æ Ò Ú Ö Ú ¾µ C ¼ = ½ ½+r f [qc u +(½ q)c d ] µ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ò Ö Ô ÐØ ÒÝØØ ÒÖ Ø Ö Ö Ô Ö Ó Öº ÌÓ Ô Ö Ó Ö C ¼ = ½ [ ] q ¾ C (½+r f ) ¾ uu + ¾q(½ q)c ud +(½ q) ¾ C dd µ

ÑÔ Ð Ô Ö ÓÒ ÝØÖ Ð ÔÖ Ò ÓÖØ ØØ ÑÔÐ Ø Ú ÐÐ Ö Öº C uu = ½.½¼ ¼ = ½¼. ¼ C ud = ¼. ¼ =. C dd =. ¼ ¼. ¼ = ¼.¼¼ Ó C du =. ¼ ½.½¼ ¼ =. º Î ÖÙ Ö ÐØ Î Ö C ¼ = ½ [ ] q ¾ C (½+r f ) ¾ uu + ¾q(½ q)c ud +(½ q) ¾ C dd C ¼ = ½ ½.¼ ¾ [ ¼. ¾ ¾ ½¼. ¼+¾ ¼. ¾ ¼. ¼. + ¼. ¼ ¾ ¼.¼¼ ] =. ¾

Ð ¹Ë ÓÐ ¹Å ÖØÓÒ Ëŵ ÇÔ ÓÒ ÔÖ ÑÓ ÐÐ ÓÖ ÔÖ ÔÖÓ Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø º ÃÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø Ã Ò Ø Ò Ô Ô Ô Ö Ø ÙØ Ò Ð Ø Ô ÒÒ Òº Ê Ð Ø ÚØ ÙØ Ð Ò Ð Ñ Ø Ñ Ø ¹ Ú ÓÖ ÓÐ Ö Ó Ø Ð Ö ÙÐØ Ø Ò º ds = µsdt +σsdz µ µ Ö ÓÖÚ ÒØ Ø Ú ØÒ Ò Ô Ò σ Ö Ò ÚÓÐ Ø Ð Ø Ø dt Ö Ò ÚÖØ Ð Ø Ò Ò Ö Ò Ø Ó dz Ø Ð Ö Ö Ò ÐØ Ï Ò Ö¹ÔÖÓ ÀÙÐÐ ¾¼¼¼ º ¾¾¼¹¾¾ µº

Ê ÒØ Ö Ò Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø ÒØ Ù ÑÓØØ Ö m Ö ÒØ ÙØ Ø Ð Ò Ö Ø Ð r/m ÔÖº Öº ØØ Ö ØØ Ö ( ½+ r ) m m ÒØ Ò Ø m º Ú Ð ( ½+ r ) m = e mln(½+(r/m)) e r m ØØ Ö Ø Ø Ö ØØ t Ô Ö Ó Ö e rt ÓÖÖ ÒØÒ Ò e rt ÓÒØ Ö Ò µ Ã˺ Ë ØØ r = ½¼%,t = ¼.¾ º Ø ÒÒ Ù Ô ½¼¼ Ú Ð ÚÓ Ø Ð ½¼¼ e ¼.½ ¼.¾ = ½¼¾. Ø Ð Ô Ô ½¼¼ ÓÑ ÑÓØØ Ô Ø ÔÙÒ Ø t = ¼.¾ Ö ÒÚ Ö Ò ½¼¼ e ¼.½ ¼.¾ =.

ÓÖÙØ ØÒ Ò Ö Ò Ò ÐÐ Ñ Ö Ò Ö Ô Ö Ø Ú º ÙØ Ò ØÖ Ò ÓÒ Ó ØÒ Ö Ó ØØ Öº Ë ÓÖع Ð Ö Ø ÐÐ ØØ Ó Ò Ð Ò Ö Ô Ö Ø ÓÔÔ Ð Ö º ÐÐ ÒÚ ØÓÖ Ö Ò ÐÒ Ó ÐÒ ÙØ Ø Ð ÑÑ Ö Ó Ö Ö ÒØ ÓÑ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ö Ñ Ø Ð ÓÔ ÓÒ Ò ÓÖ Ðк Ò Ö ÒÓ ÙØ ÝØØ º Å Ö Ò Ö ÓÑÔÐ ØØ Ú º ÐÐ Ò Ð Ö ÓÒÓÑ Ò Ö Ò ÔÖ Ñ Ö Ò Ö ÐÐØ ÔÒ Ó Ò Ð Ò Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ º

ËŹÓÔ ÓÒ ÔÖ Ò C ¼ = S ¼ N (d ½ ) X e rft N (d ¾ ) ) ln( S¼ X + ( r f + ½σ¾) T ¾ d ½ = σ T d ¾ = d ½ σ T µ σ ÎÓÐ Ø Ð Ø Ø Ú º Ø Ò Ö ÚÚ Ø Ð Ú ØÒ Ò¹ Ò ds ln(s ¼ /X) Ò Ò ØÙÖÐ ÐÓ Ö ØÑ Ò Ø Ð S ¼ /X e r ft ÆÚ Ö ¹ ØÓÖ Ò ÒÖ r f Ö Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø N( ) Ö Ð Ø Ú Ò ÒÓÖÑ Ð ÖØ ÒÓÖÑ Ð ÓÖ Ð Ò Ò ÓÔÔ Ø Ð Ú Ö Ò Ô Ö ÒØ Ò

ËÅ Ø ÑÔ Ð ÙÖ Ò Ö ¼º¼¼ ÙØ Ú Ð ÙÖ Ò Ö Ø ÑÑ Ò ÚÓÐ Ø Ð Ø Ø Ö ¼º ¼ Ö Ó Ö Ö ÒØ Ö º¼¼± Ó Ø Ö Ø ÐÚØ Ö Ø Ð ÓÖ Ðк ½º ÀÚ Ö ÓÔ ÓÒ ÔÖ Ò ¾º ÀÚ Ð Ö ÓÔ ÓÒ ÔÖ Ò Ú ÚÓÐ Ø Ð Ø Ø Ò ÝÒ Ö Ø Ð ¼º¾ º ÀÚ Ð Ö ÓÔ ÓÒ ÔÖ Ò Ú Ø Ø Ð ÓÖ ÐÐ Ö Ø Ð ØØ Ö

ËÅ ¹ Ä Ò Ò ÖÙ ÓÖÑ Ð Ò µº ËØ ÖØ Ñ d ½ ( ln( ¼.¼¼/ ¼.¼¼) + d ½ = ¼. ¼ ¼. ¼ = ¼.¼¼+¼.½ ¼ ¼. ¼.¾ ¾ = ¼.¼ ¼.¾ ¾ = ¼.¾ ¼.¼ + ¼. ¼¾ ¾ ) ¼. ¼ d ¾ = ¼.¾ ¼. ¼ ¼. ¼ = ¼.¼ Î Ö Ò Ò ÒÓÖÑ Ð ÖØ ÒÓÖÑ Ð ÓÖ Ð Ò N(¼.¾ ) ¼. N( ¼.¼ ) ¼.

ËÅ ¹ Ä Ò Ò ÁÒÒ ØØ Ö Ø Ð Ò C ¼ = S ¼ N (d ½ ) X e rft N (d ¾ ) = ¼.¼¼ ¼. ¼.¼¼ e ¼.¼ ¼. ¼ ¼. = ¾. ¼.¼¼ ¼. ¼ ¼. =. ½ ¾º ÀÚ σ = ¼.¾ C ¼ =.¾ º ÀÚ T = ½ C ¼ =.¾

Ä ØØ Ö ØÙÖ Ð º Ò Åº Ë ÓÐ ½ µº Ì ÔÖ Ò Ó ÓÔØ ÓÒ Ò ÓÖÔÓÖ Ø Ð Ð Ø º ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÈÓÐ Ø Ð ÓÒÓÑÝ ½ º ÓÜ Âº º ˺ º ÊÓ Ò Åº ÊÙ Ò Ø Ò ½ µº ÇÔØ ÓÒ ÔÖ Ò ÑÔÐ ÔÔÖÓ º ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ò Ò Ð ÓÒÓÑ ¾¾ ¾ º ÀÙÐРº º ¾¼¼¼µº ÇÔØ ÓÒ ÙØÙÖ ² ÇØ Ö Ö Ú Ø Ú ÓÙÖØ ºµº ÍÔÔ Ö Ë Ð Ê Ú Ö Æ ÈÖ ÒØ ¹À Ðк Å ÖØÓÒ Êº º ½ µº Ì ÓÖÝ Ó Ö Ø ÓÒ Ð ÓÔØ ÓÒ ÔÖ Ò º ÐÐ ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÒÓÑ Ò Å Ò Ñ ÒØ Ë Ò ½ ½ ½ º