3 Funksjoner R Oppgaver 3.1 Trigonometriske definisjoner... 3. Trigonometriske sammenhenger... 6 3.3 Trigonometriske likninger... 1 3.4 Trigonometriske funksjoner og funksjonsdrøfting... 14 3.5 Omforming av trigonometriske uttrykk... 0 3.6 Ubestemte integraler... 8 Integrasjon med variabelskifte... 31 Delvis integrasjon... 3 Delbrøkoppspalting... 3 Diverse integrasjonsoppgaver... 33 3.7 Bestemte integraler... 34 3.8 Arealberegninger og andre anvendelser av bestemte integraler... 38 3.9 Modellering... 46 Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA... 5 Øvingsoppgaver Stein Aanensen og Olav Kristensen 1
3.1 Trigonometriske definisjoner 3.1.1 a) Bruk symmetri på enhetssirkelen til å finne en vinkelv 0,360 som har samme sinusverdi som en vinkel på 1) 30 ) 60 3) 90 4) 135 5) 5 6) 330 b) Bruk symmetri på enhetssirkelen til å finne en vinkelv 0,360 som har samme cosinusverdi som en vinkel på 1) 30 ) 60 3) 90 4) 135 5) 180 6) 5 7) 330 c) Bruk symmetri på enhetssirkelen til å finne en vinkelv 0,360 som har samme tangensverdi som en vinkel på 1) 30 ) 60 3) 90 4) 135 5) 150 6) 5 7) 330
3.1. Gitt en vilkårlig vinkel u 0,360. Finn en generell formel som viser hvilke vinkler som har samme a) sinusverdi som vinkel b) cosinusverdi som vinkel c) tangensverdi som vinkel 3.1.3 Finn vinklene i første omløp som har følgende verdier for sinus, cosinus og tangens. I hvilken kvadrant ligger hver av vinklene? a) 0,5 b) 0,8 c) 0,5 d) 0,8 e) 1 f) 1 g) 0 h) 1,5 i) Kommenter resultatet i h). Hvorfor er det kun tangens som gir svar? 3
3.1.4 I hvilket omløp ligger hver av vinklene nedenfor? a) 67 b) 840 c) 360 d) 1500 3.1.5 Du får vite følgende om vinklene u, v - Vinklene ligger i første omløp - cosu cosv - sinu sinv - tanu 0 I hvilken kvadrant ligger u og i hvilken kvadrant ligger v? 3.1.6 Du får vite følgende om vinklene u, v Finn vinklene. - Vinklene ligger i første omløp - sinu sinv - cosv 0 - tanu 1 3.1.7 Lag en oppgave etter samme mønster som 3.1.5 og 3.1.6. Test oppgaven ut på en av dine medelever! 4
3.1.8 Finn radiantallet til vinklene nedenfor. 30, 45, 60, 90, 10, 135, 150, 180, 70, 360 3.1.9 Gjør om disse vinklene fra grader til radianer. a) 50, 75, 105, 310 b) 50, 75, 105, 310 c) 400, 70, 900, 1080 3.1.10 Gjør om disse vinklene fra radianer til grader. a) 0,5 b) 0,8 c),5 d) -4, 3.1.11 Vinklene nedenfor er gitt i radianer. I hvilken kvadrant ligger hver av vinklene? a) b) 3,5 c) 1, d) 5 5
3. Trigonometriske sammenhenger 3..1 Finn den eksakte verdien til a) cos10 b) sin10 c) tan10 3.. Finn den eksakte verdien til a) cos330 b) sin330 c) tan330 3..3 Finn de eksakte verdiene til koordinatene til punktene A og B på figuren nedenfor. 6
3..4 Finn de eksakte verdiene til koordinatene til punktene A og B på figuren nedenfor. 3..5 Finn de eksakte verdiene til koordinatene til punktene A og B på figuren nedenfor. 7
3..6 Finn de eksakte verdiene til koordinatene til punktene A og B på figuren nedenfor. 3..7 I firkanten ABCD er AB AC AD 1, BAC 60 og BAD 90. a) Finn lengden BC. b) Finn den eksakte høyden fra C til linjen gjennom AB. c) Finn det eksakte arealet av firkanten ABCD. d) Sett AB r og finn arealet av firkanten ABCD uttrykt ved r. 8
3..8 Bruk enhetsformelen til å regne ut uttrykkene nedenfor hvis mulig. a) sin30 cos30 b) sin 30 cos 30 c) sin cos 6 6 d) 4cos 10 4sin 10 e) 3sin 4cos f) sin 0 sin 70 g) cos 15 cos 65 h) 3cos 3cos 3 6 3..9 Bruk formlene for sum og differanse av vinkler og skriv uttrykket ved hjelp av sinus og cosinus. a) sin30v b) cos60v c) sinv 45 d) cosv 45 9
3..10 Bruk formlene for sum og differanse av vinkler og skriv uttrykket ved hjelp av sinus og cosinus. a) cosv 3 b) 3sin x c) 3 cos x 6 d) sinx 4 3..11 Bruk formlene for sum og differanse av vinkler til å finne eksakte verdier for a) sin75 b) cos75 sin75 cos75 1. c) Bruk resultatene fra a) og b) til å vise at 3..1 Bruk formlene for sum og differanse av vinkler til å finne eksakte verdier for a) cos15 b) sin15 c) cos105 Vis hvordan du kan bruke resultatet fra a) til å finne d) sin75 e) sin85 10
3..13 Bruk formlene for sum og differanse av vinkler for sinus og cosinus, og vis at a) tanu v b) tanu v tanu tanv 1 tanu tanv tanu tanv 1 tanu tanv 3..14 Bruk formlene for sum og differanse av vinkler til å vise at sin u sinucos u a) cos u cos u sin u b) tan u tanu 1 tan u c) d) cos usin u 1 sin u 3..15 Du skal nå bevise formlene for sinus til sum og differanse mellom to vinkler. Her er starten, så fortsetter du u v u v cos90 uv cos90 u v sin cos 90... 11
3.3 Trigonometriske likninger 3.3.1 Løs likningene når x 0,360. a) 4sin x 0 b) cos x c) tan3x 3 d) 4cos4x 5 3.3. a) Gitt likningen sin v a b) Gitt likningen tan v b der a er en konstant. For hvilke verdier av a der b er en konstant. For hvilke verdier av b vil likningen ha løsning? vil likningen ha løsning? c) Gitt likningen sinv 0,5 der v 0,. 1) Hvor mange løsninger vil vi få i første omløp? ) Løs likningen. 3) Løs likningen i ) ved hjelp av det digitale verktøyet du bruker. Merk deg hvordan du endrer innstillingene slik at du regner i radianer finner eksakte løsninger bare finner løsningene i 1. omløp 1
3.3.3 Løs likningene når x 0,. a) cos vcosv 0 b) tan v 10 c) sinvsinv 3 d) 3sinx 3 cosx 0 e) Løs likningene i a) d) ved CAS i GeoGebra.. 3.3.4 Finn de generelle løsningene til likningene. a) sin x 1 sinx cos x 3cos x 0 b) 6sin x 1 sinx cos x 8cos x 5 c) cos xsin x 1 13
3.4 Trigonometriske funksjoner og funksjonsdrøfting 3.4.1 Deriver funksjonene. f x 4x x a) 3 b) fx f x lnx x x 1 c) 3 x d) fx ln e) x ln f x e x f) f x 3x 1 5 3.4. Deriver funksjonene. g x e a) 4 x 3 b) gx x e lnx c) 3 g x 3x g x 3x x d) e) gx x x 14
3.4.3 Bruk GeoGebra og undersøk grafen til sinusfunksjonen slik som beskrevet i teorien i begynnelsen til kapittel 3.4. 3.4.4 Bruk GeoGebra og undersøk grafen til cosinusfunksjonen slik som beskrevet i teorien. Hva er sammenhengen mellom sinusfunksjonen og cosinusfunksjonen? 3.4.5 Funksjonen f er gitt ved Nedenfor har vi tegnet grafen til f. tan, f x x x a) Finn funksjonens nullpunkt grafisk og ved regning. b) Finn de vertikale asymptotene til f. 15
3.4.6 Deriver funksjonene. a) sin cos b) fx f x x x x 3cos x c) sin f x x x d) sin cos f x x x x e) cos f x e x 3.4.7 Deriver funksjonene. a) ft sint cost b) f t tan c) t t f t e sint g x x x 3 d) 4sin 3cos e) gx lnx tan x g x sin x cos x f) 16
3.4.8 Funksjonen h er gitt ved a) Finn h x og h ( x). h x x x 3 ( ) 6 1 b) Finn infleksjonspunktet og vendepunktet. c) Finn likningen for vendetangenten. 3.4.9 En funksjon f er gitt ved 3 f x x 4x 4x 16 Grafen til f for x - verdier fra,5 til 5 er vist på figuren a) Les av nullpunktene til f. b) Finn f x. Regn ut f a x -aksen. c) Finn likningen for tangenten i punktet, når a ligger midt mellom de to nullpunktene lengst til høyre på a f a. d) Bestem skjæringspunktet mellom tangenten og x - aksen. Kommenter svaret. e) Gjenta utregningene i b), c) og d) når a ligger midt mellom de to nullpunktene som ligger lengst fra hverandre. 17
3.4.10 Funksjonen f er gitt ved. a) Finn f x f x cos 3x 1 x 0,. b) Finn eventuelle topp og bunnpunkt på grafen til f ved å sette f x 0 c) Finn toppunkt og bunnpunkt til f uten å derivere funksjonen. d) Finn ved regning når funksjonen f stiger raskest. 3.4.11 Funksjonen h er gitt ved h x x x x 3 3 cos sin 0, 10 a) Finn nullpunktene til h grafisk og ved bruk av CAS. b) Bruk CAS og finn toppunktene til h. c) Finn likningen til den vendetangenten som ligger nærmest origo. 18
3.4.1 Gitt funksjonen f x sinx x x 0, a) Finn eventuelle ekstremalpunkter og infleksjonspunkter til funksjonen. b) Finn eventuelle toppunkter, bunnpunkter og vendepunkter på grafen til funksjonen. c) Finn også likningen for én vendetangent hvis grafen har vendepunkt. d) Lag en skisse av grafen til f. For løsning: Se teorien 19
3.5 Omforming av trigonometriske uttrykk 3.5.1 Skriv funksjonsuttrykkene nedenfor på formen Asinkx a) sin cos f x x x. b) 3sin cos g x x x 3.5. Finn de generelle løsningene til likningene a) cosx sinx 0 b) cosx sinx c) cosxsinx 1 3.5.3 a) Omform uttrykket 3sinx cos x til et uttrykk på formen Asinkx. b) Finn den generelle løsningen til likningen 3sinxcos x 1. 0
3.5.4 Gitt likningen cos x 6 sinx x 0, a) Vis at denne likningen kan omformes til cosx 1 3 x 0, b) Finn de eksakte løsningene på likningen. 3.5.5 Funksjonen f er gitt ved f x 3sin x 3cos x 1 1 x0, 4 a) Vis at fx kan omskrives til f x 5 3 sin x 1 4 b) Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter ved regning. 1
3.5.6 Funksjonene f og g er gitt ved f x sinx g x sinx a) Ovenfor har vi tegnet grafen til f og grafen til g for x, 4 Hvilken graf tilhører hvilken funksjon? Begrunn svaret.. b) For hver av grafene skal du finne - Likevektslinjen - Amplitude - Periode - Faseforskyvning c) Finn nullpunktene til f ved regning. d) Tegn grafen til f og grafen til g for x, 4 i det digitale verktøyet du bruker.
3.5.7 Funksjonene f og g er gitt ved cos cos f x x g x x Nedenfor har vi tegnet grafen til f og grafen til g for x, 4. Forklar hvorfor de to grafene er like. 3.5.8 Funksjonen f er gitt ved x f x cos 3 1 a) Bruk funksjonsuttrykket til f til å finne amplitude, likevektslinje, faseforskyvning og periode. b) Finn den minste verdien funksjonen f kan ha. c) Finn ved regning for hvilke verdier av x funksjonen f har denne verdien. 3
3.5.9 Funksjonen g er gitt ved g x sin 3x 3 x 0, a) Bruk funksjonsuttrykket til g til å finne amplitude, likevektslinje, faseforskyvning og periode. b) Finn den største verdien funksjonen g kan ha. c) Finn for hvilke verdier av x funksjonen g har den største verdien. d) Løs likningen gx grafisk og ved CAS.. Hva har du funnet nå? 3.5.10 Ovenfor har vi tegnet grafen til en periodisk funksjon g gitt ved for x1,9 g( x) Asin( kx ) d a) Bestem d, A, k og ut fra grafen. b) Finn topp- og bunnpunkt ved regning. 4
3.5.11 a) Finn funksjonsuttrykket til sinusfunksjonen til grafen ovenfor. b) Finn funksjonsuttrykket til cosinusfunksjonen til grafen ovenfor. 3.5.1 a) Finn funksjonsuttrykket til sinusfunksjonen til grafen ovenfor. b) Finn funksjonsuttrykket til cosinusfunksjonen til grafen ovenfor. 5
3.5.13 Eksamen 3MX (Privatister), Våren 007 Funksjonen nedenfor er en modell for hvordan temperaturen endrer seg i løpet av en vårdag i Bergen. x T x 3,1sin 0,6,34 8,3 Temperaturen T er målt i C, og x er antall timer etter midnatt. a) Tegn grafen til T. Marker følgende størrelser på grafen: amplitude, periode, likevektslinje og faseforskyvning. b) I hvor stor del av døgnet er temperaturen over 10 C? Grafen nedenfor viser middeltemperaturen i Bergen et bestemt år, der x er antall dager etter nyttår. c) Bruk grafen til å bestemme et funksjonsuttrykk som beskriver hvordan middeltemperaturen endrer seg gjennom året. 6
3.5.14 Figuren viser varslet tidevann i Stavanger 10. Januar 009. Kilde: Matematisk institutt Uio Bruk grafen til å bestemme et funksjonsuttrykk som beskriver hvordan tidevannet endrer seg gjennom døgnet. 7
3.6 Ubestemte integraler 3.6.1 Bestem integralene. a) dx b) xdx c) d) x dx 10 x dx e) x dx f) 3 3 x x dx g) Sjekk svarene i a) til e) ved å derivere det ubestemte integralet du fikk til svar. h) Hva er et annet ord for integrasjon? 8
3.6. Bestem integralene. a) 1 1 3 3 x x x dx b) 1 1 3 x 3x dx x c) 1 dx x x x d) e e e dx e) x a dx f) g) 1 e x 3 1 x dx 3.6.3 Bestem integralene. a) 1 t t dt 1 b) ln3 3 s e s ds 3 s c) 3 00 0,013 5 x x 1 e a x dx 9
3.6.4 Bestem integralene. a) cos xdx b) cos xdx c) sinxdx d) sinxdx e) cos xdx f) sinxdx 3.6.5 Bestem integralene. a) 4cosxdx 1 sin x dx b) c) cos 4x d) sin3x dx dx 30
3.6.6 Bestem integralene. a) x cos 4 1 dx b) x 0,5sin 3 0,3x dx c) cos0,5 3 0,3x x e dx Integrasjon med variabelskifte 3.6.7 Bruk integrasjon med variabelskifte. a) lnx dx x x b) dx x 1 c) cos x 1 d) sinx cos xdx e) 6 x x dx xdx 31
Delvis integrasjon 3.6.8 Bruk delvis integrasjon. a) x lnxdx b) cos x xdx x c) 4x e dx d) e x x dx x e) sin x e dx Delbrøkoppspalting 3.6.9 Bruk delbrøkoppspalting. 1 a) x 1 dx x 6 b) dx x 4 3x 1 c) dx x x6 d) x x13 dx 5 6 3 x x x 3
Diverse integrasjonsoppgaver 3.6.10 Bestem integralene. a) x x e x 1 dx b) lnxdx x e c) x dx x d) e x dx x e) dx x 4 x 4 f) dx 3 x x 3.6.11 Eksempelsett R, 008 4 Bestem integralet x 1 dx 33
3.7 Bestemte integraler 3.7.1 Funksjonen f er gitt ved a) Tegn grafen til f. 1 f x x x 4 4 x 0,10 b) Skraver det området som er avgrenset av grafen til f, x - aksen og linjene x 3 og x 6. c) Finn en tilnærmet verdi for arealet av det skraverte området ved å dele området opp i 1) tre rektangler med lik bredde. ) seks rektangler med lik bredde. 3.7. Funksjonen S er gitt ved 3 3 x x, S x a) Tegn grafen til S og skraver området avgrenset av grafen til S, x - aksen og linjene x x. og b) Finn en tilnærmet verdi for arealet av det skraverte området ved å dele området opp i 1) fire rektangler med lik bredde ) åtte rektangler med lik bredde c) Hvordan kunne du ha funnet en enda bedre tilnærmingsverdi for arealet av det skraverte området i oppgave a)? 34
3.7.3 Gitt funksjonen g 0, 4 g x x x a) Tegn grafen til g og skraver området avgrenset av grafen til g, x - aksen, y - aksen og linjene x 0 og x 4. b) Finn en tilnærmet verdi for arealet av det skraverte området ved å dele området opp i 1) fire rektangler med lik bredde ) åtte rektangler med lik bredde c) Finn den eksakte verdien for arealet av det skraverte området i oppgave a) uten å bruke integralregning. 3.7.4 Regn ut det bestemte integralet. 4 a) x 0 dx b) x dx c) e 1 1 d x x d) lne 0 e x dx e) 3 0 10 x dx 35
3.7.5 a) Regn ut det bestemte integralet 6 3 1 4 d 4 x x x b) Sammenlikn svaret du fikk i a) med svaret du fant i oppgave 3.7.1. 3.7.6 Regn ut det bestemte integralet. a) cos x 0 dx b) sinx 0 c) sinx 0 d) sinx 0 dx dx dx e) cos 0 x dx f) 0 sin d 3 x x 36
3.7.7 Regn ut det bestemte integralet. Bruk variabelskifte. a) x 0 sin cos x dx b) t 3 0 t dt 1 3.7.8 Finn det bestemte integralet. Bruk delvis integrasjon. a) cos 0 x x dx b) cos 0 x x dx 3.7.9 a) Regn ut det bestemte integralet 3 dx 3 x b) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn det bestemte integralet gitt i a). Skraver området. 37
3.8 Arealberegninger og andre anvendelser av bestemte integraler 3.8.1 I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f gitt ved f x x Grafen skjærer x - aksen i x 1.. a) Arealet A1 er avgrenset av grafen til f, førsteaksen og linjene x1 og x 3. 1) Bestem arealet A1 ved integrasjon. ) Vis hvordan du kan finne dette arealet uten å integrere. b) Arealet A er avgrenset av grafen til f, førsteaksen og linjene x 1 og x 1. Bestem arealet A ved integrasjon. c) Bestem integralet f x 3 dx. 1 Kommenter resultatet. d) Bestem arealet avgrenset av funksjonen f, førsteaksen og linjene x 1 og x 3. 38
3.8. 1 x. I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f gitt ved f x a) Vis ved regning at grafen skjærer x - aksen når x og når x. b) Bestem arealet A1 avgrenset av grafen til f, førsteaksen og linjene x1 og x. c) Bestem arealet A avgrenset av grafen til f, førsteaksen og linjene x og x 3. d) Arealet A3 er avgrenset av grafen til f, førsteaksen, andreaksen og linjen x 3. 1) Skisser grafen til f og marker arealet A3. ) Bestem arealet A3. 39
3.8.3 f x x x. Funksjonen f er gitt ved a) Finn nullpunktene til f ved regning. b) Tegn grafen til f for x 3,. c) Finn arealet, A1, avgrenset av grafen til f, førsteaksen og linjene x og x 1. d) Finn arealet, A, avgrenset av grafen til f, førsteaksen og linjene x 3 og x. e) Finn arealet, A3, avgrenset av grafen til f, førsteaksen, andreaksen og linjen x. 3.8.4 Funksjonen g er gitt ved gx sin x. a) Tegn grafen til g for x 0,. dx. b) Regn ut sinx 0 c) Regn ut arealet, A1, avgrenset av grafen til g og førsteaksen i området 0,. d) Regn ut arealet, A, avgrenset av grafen til g, førsteaksen og linjene x og x. 40
3.8.5 Funksjonene f og g er gitt ved f x x 3 og gx x 3 1 3. a) Tegn grafene til og f g for x4, 5 i samme koordinatsystem. b) Bestem arealet, A1, av området som ligger mellom de to grafene. c) Bestem arealet, A, av området som ligger mellom de to grafene og linjene x 3 og x 3 3.8.6 f x e. Funksjonen f er gitt ved x a) Bestem arealet A1 avgrenset av grafen til f, førsteaksen, andreaksen og linjen x 1. b) Lag en skisse og marker arealet A som er avgrenset av grafen til f, andreaksen og linjen y e. c) Bestem arealet A. g x e. Nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen g gitt ved 0,5x d) Vis at arealet, A, av det markerte området er A e 1 41
3.8.7 En fabrikk produserer nå 500 enheter per måned av en vare. Bedriften vil satse på et nytt marked og regner med at produksjonen vil øke med % per måned de to kommende årene. Bruk integrasjon og finn samlet produksjon av varen de neste to årene. 3.8.8 En bedrift slipper i dag ut 100 tonn av en klimagass per måned. Bedriften har som målsetting å redusere dette utslippet med 4 % per måned de neste månedene. a) Hvor stort er det månedlige utslippet, Kx, av klimagassen om 1 år dersom bedriften klarer målsettingen sin? b) Finn hvor lang tid det tar før utslippet er nede i 4 tonn per måned. c) Finn samlet utslipp, S, de neste tre årene. 3.8.9 Ved produksjon av en vare er etterspørselen per uke gitt ved 0,01 100 x 1, 5 E x e x, der x 1 betyr uke 1, x er uke osv. a) Finn etterspørselen av varen etter 6 uker. b) Finn hvor mange uker det går før etterspørselen er på 160 enheter i uka. c) Finn samlet etterspørsel, S, i hele definisjonsområdet. 3.8.10 Funksjonen T gitt ved T x 3,sin 0,3x 4,5 10,5 x 0, 4 er en modell for hvordan temperaturen endrer seg i løpet av et døgn et sted i Norge. Temperaturen T er målt i C, og x er antall timer etter midnatt. Bruk integrasjon og finn gjennomsnittstemperaturen denne dagen. 4
3.8.11 Funksjonen f er gitt ved f x x. Nedenfor har vi markert området avgrenset av x - aksen, y - aksen, linjen x 3 og grafen til f. Finn volumet av det omdreiningslegemet vi får dersom vi dreier det markerte området 360 om x - aksen. 3.8.1 1 Funksjonen f er gitt ved f x x. Nedenfor har vi markert området avgrenset av x - aksen, y - aksen, linjen x 4 og grafen til f. a) Hvilken geometrisk figur får vi dersom vi dreier det markerte området 360 om x - aksen? b) Finn volumet, V, av den geometriske figuren du fikk i a) ved å bruke formelen for volum av omdreiningslegemer. c) Finn volumet, V, ved å bruke formelen for volum av en kjegle. 43
3.8.13 Funksjonen g er gitt ved g x e x. 1 Nedenfor har vi markert området avgrenset av x - aksen, y - aksen, linjen x ln8 og grafen til g. Bestem volumet, V, av det omdreiningslegemet vi får dersom vi dreier grafen til g 360 om førsteaksen. 3.8.14 Gitt funksjonen f x ax Nedenfor har vi markert området avgrenset av x - aksen, y - aksen, linjen x h og grafen til f. a) Forklar at stigningstallet, a, kan uttrykkes ved r h. b) Bruk formelen for volum av et omdreiningslegeme og utled formelen for volumet av en kjegle. 44
3.8.15 (Eksempeloppgave R, 008) Funksjonen f x 4 er gitt. x a) Vis at likningen for tangenten i punktet 4, 4 f er gitt ved 3 y x 18. b) Bestem arealet av det området som er avgrenset av grafen til f, tangenten i 4, 4 linja x. f og 45
3.9 Modellering 3.9.1 Tabellen under viser utslipp av svoveldioksid til luft i Norge for noen utvalgte år fra 1981 til 003 Årstall 1981 1983 199 1996 000 003 SO i 1000 tonn 136,4 104,0 37,0 33, 7,1 3, Bruk eksponentiell regresjon i et digitalt verktøy til å finne et funksjonsuttrykk som passer med punktene. La x være antall år fra 1980 og S x utslippet av svoveldioksid i tusen tonn. Plott punktene og tegn grafen til uttrykket du finner. 3.9. Tabellen viser bruk av tid på hjemme-pc i perioden 1994 til 003 i minutter. Årstall 1994 1998 1999 003 Tid i minutter 10 13 18 35 a) Bruk eksponentialregresjon i et digitalt verktøy til å finne et funksjonsuttrykk som passer med punktene. La x være antall år fra 1994 og Plott punktene og grafen til uttrykket du finner. Tx bruk av tid på hjemme-pc. b) Bruk modellen du fant i a) og finn ut hvor mye tid som vil bli brukt på hjemme-pc i 010 og 00. c) Vurder gyldigheten av teorien fram i tid. 46
3.9.3 Tabellen viser temperaturen i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd. Antall timer etter strømbruddet 0 4 8 1 16 0 Antall grader i C 4,0 4,4 6,0 8,9 1,5 17,9 a) Bruk eksponentialregresjon i et digitalt verktøy til å finne et funksjonsuttrykk som passer med punktene. La x være antall timer etter strømbruddet og punktene og tegn grafen til uttrykket du finner. Tx temperaturen i kjøleskapet. Plott b) Vurder gyldigheten til modellen framover i tid. Begrunn svaret ditt. La oss nå anta at vi får greie på at temperaturen i kjøleskapet etter timer er 0,0 C, etter 6 timer er den 1, C og etter 30 timer er temperaturen i kjøleskapet 1,5 C. c) Bruk logistisk regresjon i et digitalt verktøy til å finne et funksjonsuttrykk T opplysningen du nå har fått sammen med det du vet fra tidligere. L x som passer med d) Marker datamaterialet fra tabellen ovenfor som punkter i et koordinatsystem. Tegn grafen til den logistiske funksjonen du fant i c) i samme koordinatsystem. e) Vurder gyldigheten til denne modellen framover i tid. Begrunn svaret ditt. 47
3.9.4 Sol Sikke ville finne ut hvordan en solsikke i hagen vokste fra uke til uke. Hun målte høyden til solsikken hver uke i 8 uker. De observerte verdiene ser du i tabellen nedenfor. Etter x uker 1 3 4 5 6 7 8 Høyde i cm 16 0 7 40 56 68 107 140 a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et funksjonsuttrykk som passer til punktene. b) Vurder gyldigheten til modellen du fant i a). Sol Sikke fortsatte å måle solsikken sin 4 uker til. Høydene ser du i tabellen nedenfor. Etter x uker 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 Høyde i cm 16 0 7 40 56 68 107 140 145 148 149 149 c) Bruk logistisk regresjon i et digitalt verktøy og finn et funksjonsuttrykk Sx som passer til punktene. d) Marker datamaterialet fra tabellen ovenfor som punkter i et koordinatsystem. Tegn grafen til den logistiske funksjonen du fant i c) i samme koordinatsystem. e) Vurder gyldigheten til modellen du fant i c) 48
3.9.5 Eksamen 1MX, Høsten 005 En dag løp en ungdomsskoleelev 100-meteren på 14 sekunder. Med moderne måleutstyr får vi oversikt over hvor lang strekning utøveren har tilbakelagt som funksjon av tiden. Måleresultatene er satt opp i tabellen nedenfor: Tid i sek. 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 Strekning I meter 0 3 8 15 3 30 38 46 54 6 70 78 86 93,5 100 a) Tegn inn punktene i et koordinatsystem, og tegn en glatt kurve gjennom dem. b) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn et funksjonsuttrykk som passer godt med måleresultatene. c) Bestem grafisk en tilnærmet verdi for den momentane farten etter sekunder og etter 7 sekunder. d) Nedenfor ser du tre grafer som beskriver fart som funksjon av tid. Hvilken av de tre grafene beskriver 100-meteren som utøveren har løpt? e) Anta at du ikke kjenner strekningen som ble tilbakelagt på de 14 sekundene. Hvordan kan du bruke fartsgrafen til å bestemme strekningen? 49
3.9.6 x 0 4 6 8 10 1 14 16 18 1 3 4 h -9-13 -1-6 -3-1 -7-1 -10-3 -1-4 -7 Tabellen ovenfor viser vannstanden utenfor Tregde 1. februar 008. I tabellen er x antall timer etter midnatt og h er vannstanden målt i cm over middelvann. a) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn en sinusfunksjon som passer godt til dataene. Tegn grafen til funksjonen. b) Bruk funksjonsuttrykket du fant i a) og bestem ved CAS når vannstanden var lavest og når den var høyest. Hvor langt under middelvann var vannstanden da? 50
3.9.7 Tid 0 4 6 8 10 1 14 16 18 0 4 Temperatur,8 1, 1,,8 5,4 8,6 31, 3,8 3,8 31, 8,6 5,4,8 Tabellen viser temperaturen målt i C annenhver time etter midnatt på et feriested. a) Merk av punktene i et koordinatsystem, og tegn en glatt kurve gjennom dem. b) Finn en modell for temperaturen y 1 gitt på formen y1 asin( cx ) d, der x er antall timer etter midnatt. På et annet feriested varierer temperaturen mer. Minimumstemperaturen er 18 C, og maksimumstemperaturen er 34 C. Maksimumstemperaturen og minimumstemperaturen inntreffer på samme tidspunkt på døgnet som på det første feriestedet. c) Finn en modell for temperaturen y på dette feriestedet, når vi antar at y er på samme form som y 1. Tegn grafene til y 1 og y i samme koordinatsystem. d) Hvor stor del av døgnet har det andre feriestedet høyere temperatur enn det første feriestedet? 51
Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA Bruk farger og marker de eksamensoppgaver du har regnet! Jo mere farger, jo bedre eksamenskarakter! Geometri Algebra Funksjoner Differensiallik ninger Del 1 Del Del 1 Del Del 1 Del Del 1 Del H15 5, 7 4 9 3 1,, 3, 4, 6 1, 5 8 V15 5 4, 6 1,, 3a, 7, 8, 9 3, 4 3b 1 H 14 4 3, 5 7 1 1,, 5, 6 4 3 V 14 5 1, 4 4 1,, 3, 6 5, 6 7 3 H 13 3 6 4, 7 4 1,, 6 1,, 5 5 3 V 13 3 3 5, 7 6 1,, 6, 4, 5 4 1 H 1 3 3 5, 8 4 1,, 6, 7 1, 5, 6 4 V 1 8 1e, 3c 7 1a, 1b, 1c, 3 4, 5 1d 6 H 11 1g 5 1c 3 1a, 1b, 1e, 4 1f 6 V 11 1d, 1e 5 1f 4 1a, 1b, 1c 3, 6, 7 H 10 1d 3 1a, 1b, 4 1c 5 V 10 5, 6 alt 1a, 1b, 1d, 1e 4 1c 3, 6 alt1 H 09 3 1e, 1f 1a, 1b, 1d 4 1c 5 V 09 1d, 1c 5 1a, 1b, 1f 4 1e 3 E 08 1g 3 1d, 1i 1a, 1b, 1c, 1e, 1f 1h 4 5