til oppgaver i avsnitt 57 57 til oppgaver i avsnitt 57 Oppgaver som består i å finne symmetrigrupper til plane figurer, er blitt gitt regelmessig til eksamen i geometri De er som regel enkle å løse Her er et utvalg: 571 Eksamensoppgave mai 1997, oppgave a Hvilken symmetrigruppe har hver av disse skissene (tilnærmet)? Skissene er hentet fra arkitekturen b Betrakt følgende figur: m l n o p Figuren har en rotasjonssymmetri R, med minste positiv vinkel Hvor stor er denne vinkelen? Anta at symmetrien L er en speiling om linja l Hvilke symmetrier er da RL og LR? 101
til oppgaver i avsnitt 57 c Anta nå at R er en rotasjon en gitt vinkel v om et gitt punkt P Anta også at T er en parallellforskyvning bestemt ved en gitt vektor a Bestem da avbildningene TR (R 1 anvendes først), RT og T RT a i Figuren har to speilsymmetrier om x-aksen og om y-aksen og dermed også en rotasjon 180 Symmetrigruppen blir den dihedrale gruppen D 2 ii Her har vi tre rotasjonssymmetrier og også tre speilsymmetrier Symmetrigruppen blir den dihedrale gruppen D iii Her har vi fire rotasjonssymmetrier, men ingen speilsymmetrier Symmetrigruppen er Z iv Her har vi 5 rotasjonssymmetrier, ingen speilsymmetrier, så symmetrigruppen er Z 5 b Figuren, en regulær femkant, har den dihedrale gruppen D 5 som symmetrigruppe Den c minste rotasjonsvinkelen er 2 π 5 RL er en motsatt isometri, og vi ser at m er en fikspunktlinje Da må RL = S, speiling om m LR er også en motsatt isometri, og vi ser at p er en fikspunktlinje Da må LR = S p, speiling om m Alternativt: R = SmSl, så RL = SmSl Sl = Sm og herav 1 1 LR R RLR R SmR S psl SmSmSl S p = = = = m v/2 v/2 252 G F a 252 v/2 a P" 50 P P' TF er en direkte isomorfi med et fikspunkt F konstruert som på figuren, og dermed er den en R T rotasjon om F Rotasjonsvinkelen er v: P P P ' og PFP ' = v RT er også en direkte isometri, og den har G som fikspunkt, jfr figuren Punktet P, som er slik at P" P = a, avbildes på P, siden P er fikspunkt for R Rotasjonsvinkelen er P" GP = v RT er altså rotasjon vinkelen v om G 102
til oppgaver i avsnitt 57 1 T RT er også en direkte isometri, og den har P som fikspunkt: 1 1 1 1 1 T RTP" = T RTT P = T RP = T P = P" Ved å se på bildet av P ser vi at også denne 1 1 rotasjonen har rotasjonsvinkel v T RT er rotasjon vinkel v om P" = T P 572 Eksamen mai 1998, oppgave 2 Bestem symmetrigruppene til hver av disse figurene: a Figuren har 7 rotasjonssymmetrier, men ikke speilsymmetrier Symmetrigruppen er Z 7 b Figuren har rotasjonssymmetrier, ingen speilsymmetrier Symmetrigruppen er Z c Tilsvarende ser vi at symmetrigruppen her er Z 57 Eksamen mai 1999, oppgave 2 d Skriv ned symmetrigruppene til følgende figurer: 10
til oppgaver i avsnitt 57 e Tegn inn det felles fikspunkt for isometriene i symmetrigruppa til figur G 1 nedenfor Gjør det tilsvarende for figur G 2 G 1 G 2 a i Vi har fire rotasjonssymmetrier og også speilsymmetrier Symmetrigruppen er den dihedrale gruppen D ii Her er det rotasjonssymmetrier, men ingen speilsymmetrier Symmetrigruppen er Z iii Her er det 6 rotasjonssymmetrier, men ikke speilsymmetri Det blir Z 6 iv Her er 6 rotasjonssymmetrier og også speilsymmetri Det blir D 6 v Her er det rotasjonssymmetrier og også speilsymmetrier Det blir D vi Her er det fire rotasjonssymmetrier, men skravering ødelegger speilsymmetrien Det blir Z b Fikspunkt Fikspunkt G 1 G 2 10
til oppgaver i avsnitt 57 57 Eksamen mai 2001, oppgave Skriv ned symmetrigruppene til hver av følgende seks figurer: F 1 er den dihedrale gruppen D F 2 er den dihedrale gruppen D 2 F er rotasjonsgruppen Z F er rotasjonsgruppen Z F 5 er den dihedrale gruppen D 5 F 6 er den trivielle gruppen { I }, vi har altså ingen symmetrier 575 Eksamen august 200, oppgave 2 a Bestem symmetrigruppene til de seks figurene under: 105
til oppgaver i avsnitt 57 Gitt en trekant en trekant ABC = α, der hjørnet A har koordinater (1,1), B=(5,1) og C=(,) I x, x = x, x I x, x = x, x I x, x = x, x Gitt også isometriene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 b Klassifiser isometriene ved å se på I ( α ), I ( α ) og ( ) 1 2 c Klassifiser homotetien S hvor S ( x, x ) ( x,x 6) 1 2 1 2 forstørrelsesfaktoren og sentrum til homotetien a b I α = Det vil sis å finne i Her har vi 7 rotasjonssymmetrier og også speilsymmetrier Det blir den dihedrale gruppen D 7 ii Her har vi 6 rotasjonssymmetrier, og også speilsymmetrier Det blir den dihedrale gruppen D 6 iii Her har vi to rotasjonssymmetrier og to speilsymmetrier Det blir den dihedrale gruppen D 2 iv Her har vi fire rotasjonssymmetrier og ingen speilsymmetrier Symmetrigruppen blir Z v Her har vi ingen symmetrier Symmetrigruppen blir den trivielle gruppen{i} vi Her har vi to speilsymmetrier og to rotasjonssymmetrier Symmetrigruppen blir D 2 106
til oppgaver i avsnitt 57 C Ι 1 (α) α A B Ι 2 (α) Ι (α) I1 er speiling om y-aksen I2 er rotasjon 180 om origo, eller speiling om origo I er translasjon vektoren (0,-) c Vi har S ( x, x ) ( x,x 6) ( x, x ) ( 0, 6) 1 2 1 2 1 2 homotetisenteret er (0,6) ( ) = = Forstørrelsesfaktoren er, og 576 Mai 2005, oppgave 1 Gitt en firkant ABCD med hjørner A:(,0), B:(7,2), C:(5,) og D:(2,1) Denne firkanten er motivet i en symmetrisk figur a) Tegn figuren, når den skal være symmetrisk om origo og ha symmetrigruppe Z b) Tegn figuren, når den skal ha symmetrigruppe D c) Konstruer figuren, når den skal være symmetrisk om origo og ha symmetrigruppe Z 6 d) Gitt symbolet Skriv ned symmetrigruppen for symbolet, og oppgi koordinatene til et polygon som genererer symbolet ved denne symmetrigruppen a) b) 107
til oppgaver i avsnitt 57 C C D A B D A B c) d) C D A B Det genererende polygonet i oppgave d) har hjørnene A(0,0), B(6,0), C(6,2), D(5,1), E(1,1) 108
til oppgaver i avsnitt 57 577 Mai 2007, Oppgave a På svarark er det gitt 12 figurer Skriv ned symmetrigruppen for hver av figurene på svararket Skriv korte begrunnelser for svarene Marker på svararket eventuelle rotasjonssenter og speilsymmetriakser S1 S2 S S S5 S6 S7 S8 S9 S11 S12 S10 109
til oppgaver i avsnitt 57 S1=D 1 S2=Z 2 S=D 2 S=Z S5=Z 2 S6=Z 6 S7=Z S8=D 1 S9={I} S11=D 2 S12=Z 2 S10=D 1 110