TMA400 Høst 206 Norges tekiskaturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag Øvig 2 2..0: Vi bruker eisjoe for ikke-vertikale tagetlijer sie 97 i læreboke). Tagetlije gjeom et pukt x 0, y 0 ) er gitt ve y = mx x 0 ) + y 0. I vårt tilfelle er x 0 = og y 0 = 5 2 = 2. Stigigstallet m til tagetlija i et vilkårlig pukt er gitt ve 5 x + h) m 2 h 5 x + h) 2 ) 5 x + h) 2 + ) 5 h x + h) 2 + ) 5 x + h) 2 ) ) 5 h x + h) 2 + ) 2hx h 2 5 + x 2 5 h x + h) 2 + ) h 2 2hx 5 h x + h) 2 + ) h 2x 5 x + h) 2 + ) lim h + 2x = 5 lim x + h) 2 + ). I et første steget har vi brukt metoe me å multiplisere teller og ever me e kojugerte til tellere. I et siste steget har vi brukt Teorem 2, pukt 5, sie 69 i læreboke. Når h 0 har vi å at tellere går mot 2x og evere går mot 2. Dette gir m = 2x + = 2x 2 5 x = x. 2 Ve å sette x =, får vi m = 4 = 2. Tagetkurve blir å y = 2 x ) + 2 = 5 x). 2 2. september 206 Sie av 6
Løsigsforslag Øvig 2 Observasjo: Vi kue ha satt i for x = alleree fra starte av år vi reger ut m. Det ville gitt oe eklere regig, me vi har her valgt å vise hvora ette ka gjøres mer geerelt. Merk også at uttrykket vi får for m er lik e eriverte av kurve vi ser på. Merk også at stigigstallet ka es mye eklere ve å erivere fuksjoe og sette i x =, me her var et meige å bruke eisjoe av taget. 2.2.27: Fuksjoe fx) = x 2 + 3x + 2 ) har ullpukter i x = og x = 2, og e er ikke eriverbar i isse puktee. For x = er grue at f + h) f ) f + h) f ) lim =. 2) h + h Forklarige for puktet x = 2 er ietisk. Hit: et ka være lurt å tege fuksjoe.) 2.2.54: Vi skal vise at x xr = rx r, er r = og er et positivt heltall. Vi bruker eisjoe på e eriverte sie 00 i læreboke) og et oppgitte hitet. Da har vi at x x x + h) x h x + h) x ) x + h) x ) Viere bruker vi formele for faktoriserig av ierase mellom uttrykk i 'te potes sie 03 i læreboke): a b = a b)a + a 2 b + a 3 b 2 +... ab 2 + b ). Dersom vi setter a = x + h) og b = x ka vi skrive om evere vår til: ) x + h) ) x ] [ = [x + h) x x + h) + + ) x + h) x + h) ) 2 x ) 3 x 2 +... ) + x + h) x 2 ] + x. 2. september 206 Sie 2 av 6
Løsigsforslag Øvig 2 [ ] De første faktore, x + h) x, kaselleres mot tellere i grese vår. For e are faktore ka vi la h 0, og vi står igje me x x = ) ) 2 ) + x + x 3 2 x +... + = = x x + x 2 x + + x 3 + 2 +... + x + 2 x + x } + x +... + x {{ + x } le = x = x = x = rx r. + x ) x x 2 + x 2.3.30: Vi starter me å erivere tellere, x x2 + )x 3 + 2) = 2xx 3 + 2) + x 2 + )3x 2 = 5x 4 + 3x 2 + 4x. Deretter evere, x x2 + 2)x 3 + ) = 2xx 3 + ) + x 2 + 2)3x 2 = 5x 4 + 6x 2 + 2x. Ve å bruke kvotietregele på hele uttrykket får vi å at x 2 + )x 3 ) + 2) x x 2 + 2)x 3 + ) = x2 + 2)x 3 + )5x 4 + 3x 2 + 4x) x 2 + )x 3 + 2)5x 4 + 6x 2 + 2x) x 2 + 2) 2 x 3 + ) 2 Ve å løse ut paretesee og trekke samme kommer ma fram til et eelige svaret, x 2 + )x 3 ) + 2) x x 2 + 2)x 3 = 2x7 3x 6 3x 4 6x 2 + 4x + ) x 2 + 2) 2 x 3 + ) 2. 2.3.40: Vi starter me å erivere uttrykket ve hjelp av prouktregele for faktorer sie 2 i læreboke), her me = 4, ) + t) + 2t) + 3t) + 4t) = + 2t) + 3t) + 4t) t + + t)2 + 3t) + 4t) + + t) + 2t)3 + 4t) + + t) + 2t) + 3t)4. 2. september 206 Sie 3 av 6
Løsigsforslag Øvig 2 Vi setter eretter i for t = 0 og får at ) + t) + 2t) + 3t) + 4t) t t=0 = + 2 + 3 + 4 = + 2 + 3 + 4 = 0. 2.4.9: Her er et lurt å skrive om fuksjoe til obbel forskrift: { fx) = x 2 x 2 hvis x < eller x = x 2 hvis x < Nå er et bare å erivere isse elee hver for seg, og vi får { f 2x hvis x < eller x > x) = 2x hvis < x < 3) 4) Merk at f x) ikke er eert i x = ±; ette fremgår av ulikhetee i uttrykket. 2.5.2: Vi bereger si 2x cos 2x) = 2 cos 2x + si 2x). 5) x 2.6.3: Formele er x x = )! x + 6) Hvis =, er x x = x 2 7) som er e korrekte eriverte, og vi ser at formele stemmer. Ata så at formele stemmer for = k. I så fall er x k x = x x k x = x ) k k )! x k = )k k! x k+. 8) Dette mefører at ersom formele stemmer for = k, stemmer e også for = k, og iuksjosargumetet er fullført. Formele gjeler for alle. 4.3.8: Dee oppgave ka løses ve å bruke l'hôpitals regel to gager. Vi går gjeom ette gruig steg for steg. 2. september 206 Sie 4 av 6
Løsigsforslag Øvig 2 La fx) = cos x og gx) = l + x 2 fx) ). Vi skal evaluere grese lim x 0 gx), og ser at uttrykket er på ubestemt form av type [0/0]. Vi vet at båe f og g er eriverbare, så vi prøver å bruke l'hôpitals regel. De eriverte er gitt ve f x) = si x, g x) = 2x + x 2. Vi har at f 0) = g 0) = 0, slik at vi fortsatt har et uttrykk på ubestemt form av type [0/0]. Dersom vi eriverer fuksjoee på ytt får vi at f x) = cos x, g x) = + x2 ) 2 2x 2x + x 2 ) 2 = 2 2x2 + x 2 ) 2. Altså er f x) og g x) eriverbare og vi ser at g 0) = 2 0. Vi ka erfor beytte l'hôpitals regel på grese lim x 0 f x) g x), Sie vi å har vist at lim x 0 f x) g x) f x) lim x 0 g x) f x) x 0 g x) cos x x 0 2 2x 2 +x 2 ) 2 x 0 cos x lim x 0 2 2x 2 +x 2 ) 2 = 2. eksisterer, vet vi fra l'hôpitals regel at fx) lim x 0 gx) f x) x 0 g x) = 2. OBS! Ma ka gjøre ette fortløpee ve å erivere teller og ever hver for seg itil ma ikke leger har et uttrykk på ubestemt form, me ma må a hele tie sjekke at båe teller og ever faktisk er eriverbar på et åpet itervall rut e verie som x går mot og at også evere er ulik ull i et slikt itervall. 4.4.2: Vi starter me å e e eriverte til f, f x) = x ) 2. Vi har tre kategorier me kaiater til lokale og globale maksimum- og miimumsverier: i) Kritiske pukter, er f x) = 0. Det es ige x slik at f x) = x ) 2 = 0. ii) Sigulære pukter, er f x) ikke eksisterer. Vi ser at f x) eksisterer i alle pukter uteom x =, me ette puktet ligger ikke i itervaller [2, 3]. iii) Eepukter av eisjosmege. Vi har to eepukter, x = 2 og x 2 = 3. 2. september 206 Sie 5 av 6
Løsigsforslag Øvig 2 Vi reger til slutt ut fuksjosveriee i alle kaiatee for å e maksimum og miimum. fx ) = 2 =, fx 2) = 3 = 2. Koklusjoe er at et globale maksimumet til f på itervallet [2, 3] er, mes et globale miimumet er 2. Det es ige are lokale ekstremverier. 4.5.34: Vi starter me å rege ut e eriverte til f, f x) = 2xe x + x 2 3)e x = x 2 + 2x 3)e x, f x) = 2x + 2)e x + x 2 + 2x 3)e x = x 2 + 4x )e x. Vi er så e kritiske puktee er f x) = 0. Sie e x alri er ull, må e kritiske puktee tilfrestille x 2 + 2x 3 = 0. Dee aregraligige har to løsiger, x =, x 2 = 3. Vi har ige sigulære pukter sie f x) eksisterer for alle x. Viere har vi heller ige eepukter a fx) er eert for alle x, et vil si Df) = R. Vi utfører areerivertteste, f x ) = + 4 )e = 4e > 0, f x 2 ) = 0 2 )e 3 = 4e 3 < 0. Vi kokluerer me at x = er et lokalt miimum, mes x 2 = 3 er et lokalt maksimum. Fra pleumsregige: 2..24: https://vieo.am.tu.o/pres/5437c904459 og https://vieo.am.tu.o/pres/5437c93a47f68 2. september 206 Sie 6 av 6