REPETISJON FYS2140. Susanne Viefers. Fysisk Institutt, Teorigruppa. REPETISJON FYS2140 p.1/31
|
|
- Christian Nilssen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 REPETISJON FYS2140 Susanne Viefers Fysisk Institutt, Teorigruppa REPETISJON FYS2140 p.1/31
2 Teoretisk pensum I Første del, Forelesningsnotater Enheter og størrelser i Fys2140 Sort legeme-stråling og Plancks kvantiseringshypotese Fotoelektrisk effekt Röntgenstråling Comptonspredning Bohrs atommodell Materiebølger og partikkel-bølge dualitet REPETISJON FYS2140 p.2/31
3 Teoretisk pensum II Andre del, det meste av kap. 1-4 i Griffiths + notater (se websiden for detaljer!!) Introduksjon til kvantemekanikk: Schrödingerligningen, sannsynlighetstolkning av bølgefunksjonen. Normering, forventningsverdier. Heisenbergs uskarphetsrelasjon Stasjonære / ikke-stasjonære tilstander Løsning av enkle kvantemekaniske systemer (Potensialbrønn, Harm. oscillator, tunnelering) Kvantemekanikkens matematiske formalisme (forenklet!) Sentralsymmetriske potensial og kvantisering av angulærmoment Hydrogenatomet Spinn (forelesningsnotat) REPETISJON FYS2140 p.3/31
4 Teoretisk pensum III Tredje del, deler av kap. 5 i Griffiths, forelesningsnotater Identiske partikler og kvantestatistikk. Fermioner, bosoner, to-partikkel-bølgefunksjoner. Atomfysikk. Det periodiske system. Molekyler (forelesningsnotat) Kjernefysikk. REPETISJON FYS2140 p.4/31
5 Teoretisk (praktisk) pensum IV Pensum defineres også ved regneferdigheter/oppgaver... Så et bra tips for eksamenslesingen er å repetere Obliger Tilleggsoppgaver Eksempler REPETISJON FYS2140 p.5/31
6 Ny fysikk, nye enheter... Kvantefysikken har en del egenskaper som skiller seg fundamentalt fra klassisk fysikk. Vi nevnte energikvantisering, bølge-partikkel-dualitet, Heisenbergs uskarphetsrelasjon og Pauliprinsippet. REPETISJON FYS2140 p.6/31
7 Ny fysikk, nye enheter... Kvantefysikken har en del egenskaper som skiller seg fundamentalt fra klassisk fysikk. Vi nevnte energikvantisering, bølge-partikkel-dualitet, Heisenbergs uskarphetsrelasjon og Pauliprinsippet. Siden vi skal beskrive fysikken på mikroskala, er det ofte hensiktsmessig å bruke enheten ev (MeV) for energi, nm (Å) for lengde, ev/c 2 (MeV/c 2 ) for masse, og ev/c (MeV/c) for bevegelsesmengde. REPETISJON FYS2140 p.6/31
8 Bruddet med klassisk fysikk Sort stråling: Termisk stråling fra et legeme som har null refleksjon. Frekvensfordelingen (Stefan-Boltzmanns lov, Wiens forskyvningslov) var kjent eksperimentelt men kunne ikke forklares fra klassisk fysikk. Den ultrafiolette katastrofen REPETISJON FYS2140 p.7/31
9 Bruddet med klassisk fysikk Sort stråling: Termisk stråling fra et legeme som har null refleksjon. Frekvensfordelingen (Stefan-Boltzmanns lov, Wiens forskyvningslov) var kjent eksperimentelt men kunne ikke forklares fra klassisk fysikk. Den ultrafiolette katastrofen Spekteret kunne forklares vha Planck s kvantiseringshypotese: Hulromsstrålingen består av kvantiserte energipakker (fotoner) med energi hν. REPETISJON FYS2140 p.7/31
10 Bruddet med klassisk fysikk Sort stråling: Termisk stråling fra et legeme som har null refleksjon. Frekvensfordelingen (Stefan-Boltzmanns lov, Wiens forskyvningslov) var kjent eksperimentelt men kunne ikke forklares fra klassisk fysikk. Den ultrafiolette katastrofen Spekteret kunne forklares vha Planck s kvantiseringshypotese: Hulromsstrålingen består av kvantiserte energipakker (fotoner) med energi hν. Kvantiseringshypotesen utgjorde det avgjørende bruddet med klassisk fysikk. Kvantemekanikkens unnfangelse. REPETISJON FYS2140 p.7/31
11 Sort stråling Mν(hν) [ev/nm 2 ] 2e e-06 1e-06 5e-07 k B T = 0.6 ev k B T = 0.5 ev k B T = 0.4 ev Klassisk k B T = 0.6 ev Energi hν [ev] 4 5 REPETISJON FYS2140 p.8/31
12 Lys som partikler I Elektromagnetisk stråling (lys) har - i tillegg til de velkjente bølgeegenskapene - også partikkelegenskaper. Den består av kvantiserte energipakker (fotoner) som kan delta i støt med f.eks. elektroner. Fotoner kan tilordnes både energi (E = hν) og bevegelsemengde (p = h/λ). REPETISJON FYS2140 p.9/31
13 Lys som partikler II Fotoelektrisk effekt: Lys sendt mot en metallplate slår ut elektroner. Eksperimentelle resultater (bl.a. eksistensen av en minstefrekvens og stoppespenningens uavhengighet av intensiteten) kunne ikke forklares klassisk. Kunne forklares ved å innføre fotonbegrepet (energikvantisering). REPETISJON FYS2140 p.10/31
14 Lys som partikler II Fotoelektrisk effekt: Lys sendt mot en metallplate slår ut elektroner. Eksperimentelle resultater (bl.a. eksistensen av en minstefrekvens og stoppespenningens uavhengighet av intensiteten) kunne ikke forklares klassisk. Kunne forklares ved å innføre fotonbegrepet (energikvantisering). På samme måte kunne eksistensen av en minste bølgelengde i Röntgenstråling forklares vha fotonbegrepet. REPETISJON FYS2140 p.10/31
15 Lys som partikler II Fotoelektrisk effekt: Lys sendt mot en metallplate slår ut elektroner. Eksperimentelle resultater (bl.a. eksistensen av en minstefrekvens og stoppespenningens uavhengighet av intensiteten) kunne ikke forklares klassisk. Kunne forklares ved å innføre fotonbegrepet (energikvantisering). På samme måte kunne eksistensen av en minste bølgelengde i Röntgenstråling forklares vha fotonbegrepet. Comptonspredning: Fotoner spres mot (effektivt) frie elektroner. Resultatene kan forklares ved å tilordne fotonene en bevegelsesmengde. REPETISJON FYS2140 p.10/31
16 Bohrs atommodell To dilemmaer i klassisk atomfysikk: Materiens stabilitet og spektroskopidata. Bohr løste disse med sin modell for hydrogenatomet. REPETISJON FYS2140 p.11/31
17 Bohrs atommodell To dilemmaer i klassisk atomfysikk: Materiens stabilitet og spektroskopidata. Bohr løste disse med sin modell for hydrogenatomet. Bohrs atommodell har mange svakheter, men var av avgjørende betydning for kvantefysikkens utvikling. REPETISJON FYS2140 p.11/31
18 Bohrs atommodell To dilemmaer i klassisk atomfysikk: Materiens stabilitet og spektroskopidata. Bohr løste disse med sin modell for hydrogenatomet. Bohrs atommodell har mange svakheter, men var av avgjørende betydning for kvantefysikkens utvikling. De viktigste egenskapene den forutsa var kvantisering av elektronets angulærmoment og dermed kvantiserte energinivåer for elektronet. REPETISJON FYS2140 p.11/31
19 Materiens bølgeegenskaper I Dobbeltspalte-eksperimentet viser at materie (f.eks. elektroner) også kan oppføre seg som bølger. (Interferens, diffraksjon). Hvert enkelt elektron går gjennom begge spaltene samtidig og interfererer med seg selv. REPETISJON FYS2140 p.12/31
20 Materiens bølgeegenskaper I Dobbeltspalte-eksperimentet viser at materie (f.eks. elektroner) også kan oppføre seg som bølger. (Interferens, diffraksjon). Hvert enkelt elektron går gjennom begge spaltene samtidig og interfererer med seg selv. Kvadratet av bølgens amplitude bestemmer sannsynligheten for at partikkelen skal observeres et gitt sted. REPETISJON FYS2140 p.12/31
21 Materiens bølgeegenskaper I Dobbeltspalte-eksperimentet viser at materie (f.eks. elektroner) også kan oppføre seg som bølger. (Interferens, diffraksjon). Hvert enkelt elektron går gjennom begge spaltene samtidig og interfererer med seg selv. Kvadratet av bølgens amplitude bestemmer sannsynligheten for at partikkelen skal observeres et gitt sted. Materiebølger tilordnes en bølgelengde (de Broglie bølgelengden) λ = h/p og frekvens ν = E/h. REPETISJON FYS2140 p.12/31
22 Materiens bølgeegenskaper I Dobbeltspalte-eksperimentet viser at materie (f.eks. elektroner) også kan oppføre seg som bølger. (Interferens, diffraksjon). Hvert enkelt elektron går gjennom begge spaltene samtidig og interfererer med seg selv. Kvadratet av bølgens amplitude bestemmer sannsynligheten for at partikkelen skal observeres et gitt sted. Materiebølger tilordnes en bølgelengde (de Broglie bølgelengden) λ = h/p og frekvens ν = E/h. Uttrykt ved bølgetallet k og vinkelfrekvensen ω blir de fundamentale relasjonene p = k og E = ω. REPETISJON FYS2140 p.12/31
23 Materiens bølgeegenskaper II Siden materien har bølgeegenskaper, må den beskrives vha en bølgefunksjon som er løsning av en bølgeligning Schrödingerligningen. REPETISJON FYS2140 p.13/31
24 Materiens bølgeegenskaper II Siden materien har bølgeegenskaper, må den beskrives vha en bølgefunksjon som er løsning av en bølgeligning Schrödingerligningen. En lokalisert partikkel beskrives som en sum av flere planbølger. REPETISJON FYS2140 p.13/31
25 Materiens bølgeegenskaper II Siden materien har bølgeegenskaper, må den beskrives vha en bølgefunksjon som er løsning av en bølgeligning Schrödingerligningen. En lokalisert partikkel beskrives som en sum av flere planbølger. Partikkelens energi ω er en funksjon av bevegelsesmengden k. Funksjonen ω(k) kalles dispersjonsrelasjon. REPETISJON FYS2140 p.13/31
26 Materiens bølgeegenskaper II Siden materien har bølgeegenskaper, må den beskrives vha en bølgefunksjon som er løsning av en bølgeligning Schrödingerligningen. En lokalisert partikkel beskrives som en sum av flere planbølger. Partikkelens energi ω er en funksjon av bevegelsesmengden k. Funksjonen ω(k) kalles dispersjonsrelasjon. Det vi er vant til som bølgens hastighet er fasehastigheten v f = ω/k. Men det som identifiseres med partikkelens hastighet er omhyllingskurvens hastighet, dvs gruppehastigheten, v g = dω/dk. REPETISJON FYS2140 p.13/31
27 chrödingerligningen og bølgefunksjonen Bølgeligningen som beskriver ikke-relativistiske materiebølger er Schrödingerligningen (SL). Den er en partiell differensialligning i x og t. Dens løsning er bølgefunksjonen. REPETISJON FYS2140 p.14/31
28 chrödingerligningen og bølgefunksjonen Bølgeligningen som beskriver ikke-relativistiske materiebølger er Schrödingerligningen (SL). Den er en partiell differensialligning i x og t. Dens løsning er bølgefunksjonen. SL er essensielt en energiligning. REPETISJON FYS2140 p.14/31
29 chrödingerligningen og bølgefunksjonen Bølgeligningen som beskriver ikke-relativistiske materiebølger er Schrödingerligningen (SL). Den er en partiell differensialligning i x og t. Dens løsning er bølgefunksjonen. SL er essensielt en energiligning. Bølgefunksjonen er en kompleks funksjon som koder all informasjon som er mulig å få om partikkelens posisjon, bevegelsesmengde osv. REPETISJON FYS2140 p.14/31
30 chrödingerligningen og bølgefunksjonen Bølgeligningen som beskriver ikke-relativistiske materiebølger er Schrödingerligningen (SL). Den er en partiell differensialligning i x og t. Dens løsning er bølgefunksjonen. SL er essensielt en energiligning. Bølgefunksjonen er en kompleks funksjon som koder all informasjon som er mulig å få om partikkelens posisjon, bevegelsesmengde osv. SL kan bare gi statistisk informasjon dvs informasjon om sannsynligheten for å få et visst måleresultat. (eller den fordelingen av måleresultater en ville få med mange identiske forsøk). REPETISJON FYS2140 p.14/31
31 chrödingerligningen og bølgefunksjonen Bølgeligningen som beskriver ikke-relativistiske materiebølger er Schrödingerligningen (SL). Den er en partiell differensialligning i x og t. Dens løsning er bølgefunksjonen. SL er essensielt en energiligning. Bølgefunksjonen er en kompleks funksjon som koder all informasjon som er mulig å få om partikkelens posisjon, bevegelsesmengde osv. SL kan bare gi statistisk informasjon dvs informasjon om sannsynligheten for å få et visst måleresultat. (eller den fordelingen av måleresultater en ville få med mange identiske forsøk). ψ(x, t) 2 er en sannsynlighetstetthet for å finne partikkelen nær posisjon x ved tiden t. Kan brukes til å beregne forventningsverdier og spredning/uskarphet (standardavviket) for ulike fysiske størrelser. REPETISJON FYS2140 p.14/31
32 chrödingerligningen og bølgefunksjonen Bølgeligningen som beskriver ikke-relativistiske materiebølger er Schrödingerligningen (SL). Den er en partiell differensialligning i x og t. Dens løsning er bølgefunksjonen. SL er essensielt en energiligning. Bølgefunksjonen er en kompleks funksjon som koder all informasjon som er mulig å få om partikkelens posisjon, bevegelsesmengde osv. SL kan bare gi statistisk informasjon dvs informasjon om sannsynligheten for å få et visst måleresultat. (eller den fordelingen av måleresultater en ville få med mange identiske forsøk). ψ(x, t) 2 er en sannsynlighetstetthet for å finne partikkelen nær posisjon x ved tiden t. Kan brukes til å beregne forventningsverdier og spredning/uskarphet (standardavviket) for ulike fysiske størrelser. En fysisk akseptabel bølgefunksjon må være normerbar, cfr sannsylighetstolkningen. En bølgefunksjon er normert når ψ 2 REPETISJON FYS2140 p.14/31 dx = 1. Normeringen er ikke tidsavhengig.
33 Forventningsverdier, uskarphet... Operatoren i / x representerer bevegelsesmengden. Settes inn for p når en beregner forventningsverdier av fysiske variable. REPETISJON FYS2140 p.15/31
34 Forventningsverdier, uskarphet... Operatoren i / x representerer bevegelsesmengden. Settes inn for p når en beregner forventningsverdier av fysiske variable. Heisenbergs uskarphetsrelasjon: σ x σ p /2 sier at posisjon og bevegelsesmengde ikke kan bestemmes skarpt samtidig. REPETISJON FYS2140 p.15/31
35 Forventningsverdier, uskarphet... Operatoren i / x representerer bevegelsesmengden. Settes inn for p når en beregner forventningsverdier av fysiske variable. Heisenbergs uskarphetsrelasjon: σ x σ p /2 sier at posisjon og bevegelsesmengde ikke kan bestemmes skarpt samtidig. Uskarphetsrelasjonen er en egenskap ved fysiske fenomen som har bølgenatur. REPETISJON FYS2140 p.15/31
36 Forventningsverdier, uskarphet... Operatoren i / x representerer bevegelsesmengden. Settes inn for p når en beregner forventningsverdier av fysiske variable. Heisenbergs uskarphetsrelasjon: σ x σ p /2 sier at posisjon og bevegelsesmengde ikke kan bestemmes skarpt samtidig. Uskarphetsrelasjonen er en egenskap ved fysiske fenomen som har bølgenatur. Uskarpheten for makroskopiske objekter er så liten at vi ikke merker noe til den i hverdagen (ikke observerbar) REPETISJON FYS2140 p.15/31
37 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander Stasjonære tilstander er separable løsninger av SL, dvs på formen ψ i (x)exp( ie i t/ ). ψ i (x) er løsninger av den tidsuavhengige SL, Hψ = Eψ der H er Hamiltonoperatoren. REPETISJON FYS2140 p.16/31
38 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander Stasjonære tilstander er separable løsninger av SL, dvs på formen ψ i (x)exp( ie i t/ ). ψ i (x) er løsninger av den tidsuavhengige SL, Hψ = Eψ der H er Hamiltonoperatoren. Stasjonære løsninger har SKARP energi E i. Deres sannsynlighetstetthet samt forventningsverdier av fysiske størrelser er konstante i tiden. REPETISJON FYS2140 p.16/31
39 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander Stasjonære tilstander er separable løsninger av SL, dvs på formen ψ i (x)exp( ie i t/ ). ψ i (x) er løsninger av den tidsuavhengige SL, Hψ = Eψ der H er Hamiltonoperatoren. Stasjonære løsninger har SKARP energi E i. Deres sannsynlighetstetthet samt forventningsverdier av fysiske størrelser er konstante i tiden. Alle andre løsninger av den fulle SL (de ikke-stasjonære) kan uttrykkes som lineærkombinasjoner av de stasjonære, dvs Ψ(x, t) = c i ψ i (x)exp( ie i t/ ) REPETISJON FYS2140 p.16/31
40 Partikkel i uendelig potensialbrønn Med partikkel i uendelig boks menes en partikkel som beveger seg i et endelig område der V (x) = 0, mens den potensielle energien er uendelig stor utenfor dette området. Tilnærmet beskrivelse av f.eks. en ladd partikkel fanget av sterke elektriske felt. REPETISJON FYS2140 p.17/31
41 Partikkel i uendelig potensialbrønn Med partikkel i uendelig boks menes en partikkel som beveger seg i et endelig område der V (x) = 0, mens den potensielle energien er uendelig stor utenfor dette området. Tilnærmet beskrivelse av f.eks. en ladd partikkel fanget av sterke elektriske felt. SL løses ved å skrive ned løsningene for hvert enkelt område og skjøte dem sammen. Her brukes kravet om kontinuitet av bølgefunksjonen. Generelt (for ENDELIG potensial) skal også den deriverte være kontinuerlig. REPETISJON FYS2140 p.17/31
42 Partikkel i uendelig potensialbrønn Med partikkel i uendelig boks menes en partikkel som beveger seg i et endelig område der V (x) = 0, mens den potensielle energien er uendelig stor utenfor dette området. Tilnærmet beskrivelse av f.eks. en ladd partikkel fanget av sterke elektriske felt. SL løses ved å skrive ned løsningene for hvert enkelt område og skjøte dem sammen. Her brukes kravet om kontinuitet av bølgefunksjonen. Generelt (for ENDELIG potensial) skal også den deriverte være kontinuerlig. Man finner et uendelig sett løsninger ( egenfunksjoner ) med tilhørende energier. En generell egenskap er at egenfunksjonene er ORTOGONALE. REPETISJON FYS2140 p.17/31
43 Harmonisk oscillator I Kommutatoren mellom to operatorer er definert som: [Â, ˆB] = Â ˆB ˆBÂ. Det er underforstått at disse virker på en hjelpefunksjon. Hvis kommutatoren ikke er lik null, betyr det at det gjør en forskjell i hvilken REKKEFØLGE operatorene virker på en funksjon. Spesielt: Den kanoniske kommutator [ˆx, ˆp] = i REPETISJON FYS2140 p.18/31
44 Harmonisk oscillator I Kommutatoren mellom to operatorer er definert som: [Â, ˆB] = Â ˆB ˆBÂ. Det er underforstått at disse virker på en hjelpefunksjon. Hvis kommutatoren ikke er lik null, betyr det at det gjør en forskjell i hvilken REKKEFØLGE operatorene virker på en funksjon. Spesielt: Den kanoniske kommutator [ˆx, ˆp] = i Den harmoniske oscillator (den kvantemekaniske versjonen av en klassisk fjær) spiller en meget sentral rolle i fysikken. Den dukker opp utallige steder fordi den gir en tilnærmet beskrivelse av mange realistiske systemer (spes. små svingninger rundt et likevektspunkt). REPETISJON FYS2140 p.18/31
45 Harmonisk oscillator I Kommutatoren mellom to operatorer er definert som: [Â, ˆB] = Â ˆB ˆBÂ. Det er underforstått at disse virker på en hjelpefunksjon. Hvis kommutatoren ikke er lik null, betyr det at det gjør en forskjell i hvilken REKKEFØLGE operatorene virker på en funksjon. Spesielt: Den kanoniske kommutator [ˆx, ˆp] = i Den harmoniske oscillator (den kvantemekaniske versjonen av en klassisk fjær) spiller en meget sentral rolle i fysikken. Den dukker opp utallige steder fordi den gir en tilnærmet beskrivelse av mange realistiske systemer (spes. små svingninger rundt et likevektspunkt). Potensialtermen i Hamiltonoperatoren for en harmonisk oscillator er gitt ved V (x) = 1/2 kx 2 = 1/2 mω 2 x 2. REPETISJON FYS2140 p.18/31
46 Harmonisk oscillator II Det finnes to måter å løse oscillatoren på. Algebraisk og ved rekkeutvikling. I den algebraiske løsningen faktoriserer vi Hamiltonoperatoren ved å innføre operatorene â og â +. Disse er essensielt kombinasjoner av x og d/dx. Får da Ĥ = (â + â + 1/2) ω. REPETISJON FYS2140 p.19/31
47 Harmonisk oscillator II Det finnes to måter å løse oscillatoren på. Algebraisk og ved rekkeutvikling. I den algebraiske løsningen faktoriserer vi Hamiltonoperatoren ved å innføre operatorene â og â +. Disse er essensielt kombinasjoner av x og d/dx. Får da Ĥ = (â + â + 1/2) ω. Disse operatorene kan brukes til å generere høyere/lavere bølgefunksjoner fra en gitt løsning. Spesielt finner en grunntilstanden ψ 0 (x) ved å kreve â ψ 0 = 0. Kan så generere de eksiterte ved å la â + virke på grunntilstanden gjentatte ganger. REPETISJON FYS2140 p.19/31
48 Harmonisk oscillator II Det finnes to måter å løse oscillatoren på. Algebraisk og ved rekkeutvikling. I den algebraiske løsningen faktoriserer vi Hamiltonoperatoren ved å innføre operatorene â og â +. Disse er essensielt kombinasjoner av x og d/dx. Får da Ĥ = (â + â + 1/2) ω. Disse operatorene kan brukes til å generere høyere/lavere bølgefunksjoner fra en gitt løsning. Spesielt finner en grunntilstanden ψ 0 (x) ved å kreve â ψ 0 = 0. Kan så generere de eksiterte ved å la â + virke på grunntilstanden gjentatte ganger. Hver gang vi anvender heveoperatoren â +, får vi en tilstand som ligger ω høyere i energi. Hele spekteret er gitt ved E n = (n + 1/2) ω. REPETISJON FYS2140 p.19/31
49 Endelig brønnpotensial, tunnelering Bundne tilstander: Er mulige når V (x) IKKE går mot uendelig for x ±. Med konvensjonen V (x) 0 i x ±, kan man ha bundne tilstander med E < 0 og ubundne tilstander med E > 0. REPETISJON FYS2140 p.20/31
50 Endelig brønnpotensial, tunnelering Bundne tilstander: Er mulige når V (x) IKKE går mot uendelig for x ±. Med konvensjonen V (x) 0 i x ±, kan man ha bundne tilstander med E < 0 og ubundne tilstander med E > 0. Partikkel i endelig boks: S.L. løses ved å skrive ned løsningene for hvert av områdene x < a, a < x < a og x > a. Kontinuitetskravene leder til en transcendental ligning som bestemmer tillatte verdier for E. REPETISJON FYS2140 p.20/31
51 Endelig brønnpotensial, tunnelering Bundne tilstander: Er mulige når V (x) IKKE går mot uendelig for x ±. Med konvensjonen V (x) 0 i x ±, kan man ha bundne tilstander med E < 0 og ubundne tilstander med E > 0. Partikkel i endelig boks: S.L. løses ved å skrive ned løsningene for hvert av områdene x < a, a < x < a og x > a. Kontinuitetskravene leder til en transcendental ligning som bestemmer tillatte verdier for E. Det finnes to klasser med løsninger: Symmetriske (like) og antisymmetriske (odde) omkring boksens midtpunkt. Løsningene svarer til stående bølger i brønnen, annenhver like og odde. De har lavere energi enn tilsvarende løsning i uendelig brønn. Bølgefunksjonen (sannsynligheten) kan trenge inn i det klassisk forbudte område. Denne effekten danner også utgangspunktet for TUNNELERING (barrieregjennomtrenging). REPETISJON FYS2140 p.20/31
52 Kvantemekanisk formalisme Det finnes en nær sammenheng mellom den kvantemekaniske formalismen og lineær algebra. REPETISJON FYS2140 p.21/31
53 Kvantemekanisk formalisme Det finnes en nær sammenheng mellom den kvantemekaniske formalismen og lineær algebra. En kvantemekanisk tilstand beskrives av en vektor ψ >. Ved valg av koordinatbasis blir denne vektoren vår vanlige bølgefunksjon ψ(x). For hver x er ψ(x) en komponent. REPETISJON FYS2140 p.21/31
54 Kvantemekanisk formalisme Det finnes en nær sammenheng mellom den kvantemekaniske formalismen og lineær algebra. En kvantemekanisk tilstand beskrives av en vektor ψ >. Ved valg av koordinatbasis blir denne vektoren vår vanlige bølgefunksjon ψ(x). For hver x er ψ(x) en komponent. Hver målbare størrelse representeres av en operator som beskrives ved en lineær transformasjon. I en gitt basis representeres operatoren som en matrise. REPETISJON FYS2140 p.21/31
55 Kvantemekanisk formalisme Det finnes en nær sammenheng mellom den kvantemekaniske formalismen og lineær algebra. En kvantemekanisk tilstand beskrives av en vektor ψ >. Ved valg av koordinatbasis blir denne vektoren vår vanlige bølgefunksjon ψ(x). For hver x er ψ(x) en komponent. Hver målbare størrelse representeres av en operator som beskrives ved en lineær transformasjon. I en gitt basis representeres operatoren som en matrise. Måleverdien som oppnås er en egenverdi for operatoren, og etter målingen beskrives systemet av en egenvektor/egentilstand svarende til den oppnådde egenverdien. (Vektoren / bølgefunksjonen kollapser ) REPETISJON FYS2140 p.21/31
56 Kvantemekanisk formalisme Det finnes en nær sammenheng mellom den kvantemekaniske formalismen og lineær algebra. En kvantemekanisk tilstand beskrives av en vektor ψ >. Ved valg av koordinatbasis blir denne vektoren vår vanlige bølgefunksjon ψ(x). For hver x er ψ(x) en komponent. Hver målbare størrelse representeres av en operator som beskrives ved en lineær transformasjon. I en gitt basis representeres operatoren som en matrise. Måleverdien som oppnås er en egenverdi for operatoren, og etter målingen beskrives systemet av en egenvektor/egentilstand svarende til den oppnådde egenverdien. (Vektoren / bølgefunksjonen kollapser ) Sannsynligheten for å observere en viss egenverdi er gitt ved absoluttkvadratet av tilstandens (vektorens) komponent langs tilsvarende egenvektor. REPETISJON FYS2140 p.21/31
57 S.L. i tre dimensjoner Generalisering av kvantemekanikken fra en til tre dimensjoner: Bruker enten kartesiske koordinater (x,y,z) eller sfæriske koordinater, avhengig av formen på potensialet. Tre kvantetall. REPETISJON FYS2140 p.22/31
58 S.L. i tre dimensjoner Generalisering av kvantemekanikken fra en til tre dimensjoner: Bruker enten kartesiske koordinater (x,y,z) eller sfæriske koordinater, avhengig av formen på potensialet. Tre kvantetall. S.L. for et sentralsymmetrisk potensial i 3D løses enklest i sfæriske koordinater ved separasjon av variable. Løsningene av vinkeldelen er uavhengige av potensialet. De er gitt ved de s.k. sfæriske harmoniske. REPETISJON FYS2140 p.22/31
59 S.L. i tre dimensjoner Generalisering av kvantemekanikken fra en til tre dimensjoner: Bruker enten kartesiske koordinater (x,y,z) eller sfæriske koordinater, avhengig av formen på potensialet. Tre kvantetall. S.L. for et sentralsymmetrisk potensial i 3D løses enklest i sfæriske koordinater ved separasjon av variable. Løsningene av vinkeldelen er uavhengige av potensialet. De er gitt ved de s.k. sfæriske harmoniske. For å løse radialdelen, må man spesifisere V (r). For hydrogenatomet brukes Coulombpotensialet. Bohrs energiformel reproduseres for egenenergiene. REPETISJON FYS2140 p.22/31
60 S.L. i tre dimensjoner Generalisering av kvantemekanikken fra en til tre dimensjoner: Bruker enten kartesiske koordinater (x,y,z) eller sfæriske koordinater, avhengig av formen på potensialet. Tre kvantetall. S.L. for et sentralsymmetrisk potensial i 3D løses enklest i sfæriske koordinater ved separasjon av variable. Løsningene av vinkeldelen er uavhengige av potensialet. De er gitt ved de s.k. sfæriske harmoniske. For å løse radialdelen, må man spesifisere V (r). For hydrogenatomet brukes Coulombpotensialet. Bohrs energiformel reproduseres for egenenergiene. Bølgefunksjonene i radiell retning avhenger av kvantetallene n og l mens vinkel-løsningene er gitt ved kvantetallene l og m. REPETISJON FYS2140 p.22/31
61 S.L. i tre dimensjoner Generalisering av kvantemekanikken fra en til tre dimensjoner: Bruker enten kartesiske koordinater (x,y,z) eller sfæriske koordinater, avhengig av formen på potensialet. Tre kvantetall. S.L. for et sentralsymmetrisk potensial i 3D løses enklest i sfæriske koordinater ved separasjon av variable. Løsningene av vinkeldelen er uavhengige av potensialet. De er gitt ved de s.k. sfæriske harmoniske. For å løse radialdelen, må man spesifisere V (r). For hydrogenatomet brukes Coulombpotensialet. Bohrs energiformel reproduseres for egenenergiene. Bølgefunksjonene i radiell retning avhenger av kvantetallene n og l mens vinkel-løsningene er gitt ved kvantetallene l og m. Kvantetallene n, l og m oppfyller n = 1, 2,...; l < n; m = 0, ±1,... ± l. Av dette følger at degenerasjonsgraden til energinivå n er d(n) = n 2. REPETISJON FYS2140 p.22/31
62 Kvantisering av angulærmoment Husk: Angulærmoment = banespinn REPETISJON FYS2140 p.23/31
63 Kvantisering av angulærmoment Husk: Angulærmoment = banespinn Ved å uttrykke L 2 og L z i kulekoordinater, så vi at det faktisk var egenverdiligningene for disse vi hadde løst ifm. vinkeldelen av den 3-dimensjonale S.L. REPETISJON FYS2140 p.23/31
64 Kvantisering av angulærmoment Husk: Angulærmoment = banespinn Ved å uttrykke L 2 og L z i kulekoordinater, så vi at det faktisk var egenverdiligningene for disse vi hadde løst ifm. vinkeldelen av den 3-dimensjonale S.L. De sfærisk harmoniske Yl m (φ, θ) er dermed felles egenfunksjoner for ˆL 2 og ˆL z, med egenverdier L z = m og L 2 = l(l + 1) 2 REPETISJON FYS2140 p.23/31
65 Spinn (dvs egenspinn) I Elektronet (og andre elementærpartikler) har et innebygd magnetisk moment og tilsvarende et EGENSPINN. Denne egenskapen ble oppdaget ifm Stern-Gerlach eksperimentet som var ment å bekrefte kvantiserngen av angulærmoment. REPETISJON FYS2140 p.24/31
66 Spinn (dvs egenspinn) I Elektronet (og andre elementærpartikler) har et innebygd magnetisk moment og tilsvarende et EGENSPINN. Denne egenskapen ble oppdaget ifm Stern-Gerlach eksperimentet som var ment å bekrefte kvantiserngen av angulærmoment. Utsettes f.eks. et H-atom for et ytre magnetfelt, får man en oppsplitting av energinivåene som skyldes både elektronets angulærmoment og dets egenspinn. Dette kalles Zeeman-effekten. REPETISJON FYS2140 p.24/31
67 Spinn (dvs egenspinn) I Elektronet (og andre elementærpartikler) har et innebygd magnetisk moment og tilsvarende et EGENSPINN. Denne egenskapen ble oppdaget ifm Stern-Gerlach eksperimentet som var ment å bekrefte kvantiserngen av angulærmoment. Utsettes f.eks. et H-atom for et ytre magnetfelt, får man en oppsplitting av energinivåene som skyldes både elektronets angulærmoment og dets egenspinn. Dette kalles Zeeman-effekten. Spinnet er en fysisk egenskap som er ULØSELIG knyttet til en partikkel, på samme måte som dens ladning eller masse. Det tilsvarende magnetiske dipolmomentet har samme form som for angulærmoment, bortsett fra en ekstra faktor g e 2, den gyromagnetiske faktor. REPETISJON FYS2140 p.24/31
68 Spinn II Kvantiseringen av spinn er analog med tilsvarende uttrykk for angulærmoment: S z = m s og S 2 = s(s + 1) 2 der m s = s, s + 1,..., s 1, s. REPETISJON FYS2140 p.25/31
69 Spinn II Kvantiseringen av spinn er analog med tilsvarende uttrykk for angulærmoment: S z = m s og S 2 = s(s + 1) 2 der m s = s, s + 1,..., s 1, s. Forskjellen er at s er FAST for en gitt partikkeltype. Elektroner har s = 1/2 ( spinn en halv ), fotoner har s = 1 ( spinn én ) osv REPETISJON FYS2140 p.25/31
70 Spinn III LS-kobling: Elektronets egenspinn S og angulærmoment L vekselvirker med hverandre og gir opphav til en liten energikorreksjon L S. Finstruktur (liten oppsplitting av energinivåer)) REPETISJON FYS2140 p.26/31
71 Spinn III LS-kobling: Elektronets egenspinn S og angulærmoment L vekselvirker med hverandre og gir opphav til en liten energikorreksjon L S. Finstruktur (liten oppsplitting av energinivåer)) Addisjon av angulærmoment: J = L 1 + L 2 : Har som vanlig at J 2 = j(j + 1) og m j = j,...j. Tillatte verdier er j = l 1 l 2, l 1 l 2 + 1,... l 1 + l 2. Gjelder addisjon av to spinn, to angulærmoment eller en av hver. REPETISJON FYS2140 p.26/31
72 Spinn III LS-kobling: Elektronets egenspinn S og angulærmoment L vekselvirker med hverandre og gir opphav til en liten energikorreksjon L S. Finstruktur (liten oppsplitting av energinivåer)) Addisjon av angulærmoment: J = L 1 + L 2 : Har som vanlig at J 2 = j(j + 1) og m j = j,...j. Tillatte verdier er j = l 1 l 2, l 1 l 2 + 1,... l 1 + l 2. Gjelder addisjon av to spinn, to angulærmoment eller en av hver. Singlet- og triplet-kombinasjon av to spinn: Summen av to s = 1/2 spinn er enten gitt ved j = 0 eller j = 1. Disse to svarer til hhv den antisymmetriske singlet-kombinasjonen og den symmetriske triplet en. REPETISJON FYS2140 p.26/31
73 Identiske/uskillbare partikler Kvantemekanikk for N partikler: Bølgefunksjonen er en funksjon av N sett variable, ett for hver partikkel. Potensialtermen i S.L.kan bestå av både det vanlige ytre potensialet (boks, harmonisk oscillator...) og vekselvirkning mellom partikene (f.eks. Coulomb). S.L. er separabel hvis det ikke er vekselvirkning mellom partiklene. REPETISJON FYS2140 p.27/31
74 Identiske/uskillbare partikler Kvantemekanikk for N partikler: Bølgefunksjonen er en funksjon av N sett variable, ett for hver partikkel. Potensialtermen i S.L.kan bestå av både det vanlige ytre potensialet (boks, harmonisk oscillator...) og vekselvirkning mellom partikene (f.eks. Coulomb). S.L. er separabel hvis det ikke er vekselvirkning mellom partiklene. IDENTISKE PARTIKLER er partikler som har helt identiske fysiske egenskaper (masse, ladning...), f. eks. to elektroner. REPETISJON FYS2140 p.27/31
75 Identiske/uskillbare partikler Kvantemekanikk for N partikler: Bølgefunksjonen er en funksjon av N sett variable, ett for hver partikkel. Potensialtermen i S.L.kan bestå av både det vanlige ytre potensialet (boks, harmonisk oscillator...) og vekselvirkning mellom partikene (f.eks. Coulomb). S.L. er separabel hvis det ikke er vekselvirkning mellom partiklene. IDENTISKE PARTIKLER er partikler som har helt identiske fysiske egenskaper (masse, ladning...), f. eks. to elektroner. I kvantemekanikken er identiske partikler USKILLBARE (indistinguishable). REPETISJON FYS2140 p.27/31
76 Identiske/uskillbare partikler Kvantemekanikk for N partikler: Bølgefunksjonen er en funksjon av N sett variable, ett for hver partikkel. Potensialtermen i S.L.kan bestå av både det vanlige ytre potensialet (boks, harmonisk oscillator...) og vekselvirkning mellom partikene (f.eks. Coulomb). S.L. er separabel hvis det ikke er vekselvirkning mellom partiklene. IDENTISKE PARTIKLER er partikler som har helt identiske fysiske egenskaper (masse, ladning...), f. eks. to elektroner. I kvantemekanikken er identiske partikler USKILLBARE (indistinguishable). Derfor må to bølgefunksjoner som bare skiller seg ved ombytte av koordinater beskrive samme tilstand, dvs ha samme sannsynlighetstetthet. Dette gir to muligheter (i 3D): Symmetriske eller antisymmetriske bølgefunksjoner (under ombytte av koordinater). REPETISJON FYS2140 p.27/31
77 Kvantestatistikk I Symmetrisk bølgefunksjon: BOSONER. Antisymmetrisk: FERMIONER. Alle partikler i 3D er enten fermioner (eks. elektroner) eller bosoner (eks. fotoner). REPETISJON FYS2140 p.28/31
78 Kvantestatistikk I Symmetrisk bølgefunksjon: BOSONER. Antisymmetrisk: FERMIONER. Alle partikler i 3D er enten fermioner (eks. elektroner) eller bosoner (eks. fotoner). Fermioner har halvtallig spinn, bosoner har heltallig spinn. REPETISJON FYS2140 p.28/31
79 Kvantestatistikk I Symmetrisk bølgefunksjon: BOSONER. Antisymmetrisk: FERMIONER. Alle partikler i 3D er enten fermioner (eks. elektroner) eller bosoner (eks. fotoner). Fermioner har halvtallig spinn, bosoner har heltallig spinn. I TO dimensjoner finnes det uendelig mange typer av kvantestatistikk, med en faktor exp(iθ) under ombytte. Kalles anyoner. Bosoner og fermioner er da bare to spesialtilfeller. REPETISJON FYS2140 p.28/31
80 Kvantestatistikk I Symmetrisk bølgefunksjon: BOSONER. Antisymmetrisk: FERMIONER. Alle partikler i 3D er enten fermioner (eks. elektroner) eller bosoner (eks. fotoner). Fermioner har halvtallig spinn, bosoner har heltallig spinn. I TO dimensjoner finnes det uendelig mange typer av kvantestatistikk, med en faktor exp(iθ) under ombytte. Kalles anyoner. Bosoner og fermioner er da bare to spesialtilfeller. Anyoner ble forutsagt av Leinaas og Myrheim i De forekommer i den såkalte kvante-halleffekten. REPETISJON FYS2140 p.28/31
81 Kvantestatistikk II Antisymmetriske bølgefunksjoner for to (eller flere) partikler konstrueres ved å sette sammen symmetrisk romdel og antisymmetrisk spinndel, eller omvendt. Symmetriske bølgefunksjoner for to (eller flere) partikler: Rom- og spinndel er begge symmetriske eller begge antisymmetriske. REPETISJON FYS2140 p.29/31
82 Kvantestatistikk II Antisymmetriske bølgefunksjoner for to (eller flere) partikler konstrueres ved å sette sammen symmetrisk romdel og antisymmetrisk spinndel, eller omvendt. Symmetriske bølgefunksjoner for to (eller flere) partikler: Rom- og spinndel er begge symmetriske eller begge antisymmetriske. Paulis eksklusjonsprinsipp: To identiske fermioner kan aldri ha samme sett med kvantetall, dvs de kan aldri befinne seg i samme én-partikkel-tilstand. REPETISJON FYS2140 p.29/31
83 Kvantestatistikk II Antisymmetriske bølgefunksjoner for to (eller flere) partikler konstrueres ved å sette sammen symmetrisk romdel og antisymmetrisk spinndel, eller omvendt. Symmetriske bølgefunksjoner for to (eller flere) partikler: Rom- og spinndel er begge symmetriske eller begge antisymmetriske. Paulis eksklusjonsprinsipp: To identiske fermioner kan aldri ha samme sett med kvantetall, dvs de kan aldri befinne seg i samme én-partikkel-tilstand. Exchange : Identiske partikler med symmetrisk rom-bølgefunksjon har en tendens til å være nærmere hverandre enn de med antisymmetrisk rom-bølgefunksjon. Dette er en ren kvanteeffekt. REPETISJON FYS2140 p.29/31
84 Atomer, periodisk system Pga vekselvirkning mellom elektronene finnes det ingen enkel (analytisk) løsning av S.L. for flerelektron-atomer. REPETISJON FYS2140 p.30/31
85 Atomer, periodisk system Pga vekselvirkning mellom elektronene finnes det ingen enkel (analytisk) løsning av S.L. for flerelektron-atomer. Elektronene fordeler seg likevel i skall som kvalitativt ligner på hydrogenatomet. Denne fordelingen følger Pauliprinsippet (maks ett elektron per tilstand) og Hund s regel (parallelle spinn foretrukket ved fylling av underskall). REPETISJON FYS2140 p.30/31
86 Atomer, periodisk system Pga vekselvirkning mellom elektronene finnes det ingen enkel (analytisk) løsning av S.L. for flerelektron-atomer. Elektronene fordeler seg likevel i skall som kvalitativt ligner på hydrogenatomet. Denne fordelingen følger Pauliprinsippet (maks ett elektron per tilstand) og Hund s regel (parallelle spinn foretrukket ved fylling av underskall). Elektronfordelingen, og spesielt de ytterste elektronene, avgjør stoffets kjemiske egenskaper. (Eks. edelgasser) REPETISJON FYS2140 p.30/31
87 Molekyler Molekyler formes vha ulike typer bindinger, f.eks. ionebinding, kovalent binding. Alle skyldes elektrostatisk tiltrekning. REPETISJON FYS2140 p.31/31
88 Molekyler Molekyler formes vha ulike typer bindinger, f.eks. ionebinding, kovalent binding. Alle skyldes elektrostatisk tiltrekning. Molekyler kjennetegnes ved sine rotasjons- og vibrasjonsspektre. Rotasjonsenergiene for diatomiske molekyler er gitt ved E rot = L 2 /2I cm med kvantisert L 2 = l(l + 1) 2 (bare like l for identiske atomer!). Vibrasjonsspektret er E vib = (n + 1/2) ω (harmonisk oscillator). REPETISJON FYS2140 p.31/31
89 Molekyler Molekyler formes vha ulike typer bindinger, f.eks. ionebinding, kovalent binding. Alle skyldes elektrostatisk tiltrekning. Molekyler kjennetegnes ved sine rotasjons- og vibrasjonsspektre. Rotasjonsenergiene for diatomiske molekyler er gitt ved E rot = L 2 /2I cm med kvantisert L 2 = l(l + 1) 2 (bare like l for identiske atomer!). Vibrasjonsspektret er E vib = (n + 1/2) ω (harmonisk oscillator). Strålingsoverganger forekommer mellom disse energinivåene, med utvalgsreglene l = 1 og n = 1. REPETISJON FYS2140 p.31/31
90 Molekyler Molekyler formes vha ulike typer bindinger, f.eks. ionebinding, kovalent binding. Alle skyldes elektrostatisk tiltrekning. Molekyler kjennetegnes ved sine rotasjons- og vibrasjonsspektre. Rotasjonsenergiene for diatomiske molekyler er gitt ved E rot = L 2 /2I cm med kvantisert L 2 = l(l + 1) 2 (bare like l for identiske atomer!). Vibrasjonsspektret er E vib = (n + 1/2) ω (harmonisk oscillator). Strålingsoverganger forekommer mellom disse energinivåene, med utvalgsreglene l = 1 og n = 1. Spektrallinjene kan brukes til å bestemme noen av molekylets fysiske egenskaper. REPETISJON FYS2140 p.31/31
REPETISJON FYS2140. Susanne Viefers. Fysisk Institutt, Teorigruppa. REPETISJON FYS2140 p.1/31
REPETISJON FYS2140 Susanne Viefers s.f.viefers@fys.uio.no Fysisk Institutt, Teorigruppa REPETISJON FYS2140 p.1/31 Teoretisk pensum I Første del, Forelesningsnotater Enheter og størrelser i Fys2140 Sort
DetaljerSiste uke, mai
Siste uke, 10. - 14. mai Mandag: Repetisjon Tirsdag: Ingen forelesning Onsdag: Gjennomgang av oblig 12. Siste frist for levering av etterslengere Torsdag/fredag: Fri Pensum Kompendium Læreboka (se kursets
DetaljerFYS2140 KVANTEFYSIKK
FYS2140 KVANTEFYSIKK Susanne Viefers s.f.viefers@fys.uio.no Fysisk Institutt, Teorigruppa FYS2140 KVANTEFYSIKK p.1/55 Første uke, 16-20 januar Mandag: Første time: Presentasjon av kurset med opplegg m.m.
DetaljerFYS2140 KVANTEFYSIKK
% % * FS2140 KVANTEFSIKK $#! " 465 '& Første uke, 1014 januar Mandag: Første time: Presentasjon av kurset med opplegg m.m. Mandag: Andre time, enheter og størrelser i FS2140 Tirsdag: Sort legemestråling
DetaljerLøsningsforslag for FYS2140 Kvantefysikk, Mandag 3. juni 2019
Løsningsforslag for FYS210 Kvantefysikk, Mandag 3. juni 201 Oppgave 1: Stern-Gerlach-eksperimentet og atomet Stern-Gerlach-eksperimentet fra 122 var ment å teste Bohrs atommodell om at angulærmomentet
DetaljerFYS2140 Kvantefysikk Forelesning 29. Maria V. Bøe og Marianne E. Bathen
FYS2140 Kvantefysikk Forelesning 29 Maria V. Bøe og Marianne E. Bathen I dag Oppsummering av pensum Basert på vår oppfatning og erfaring (ikke eksamen) 1. Brudd med klassisk fysikk (15 min) 2. Schrödingerlikningen
DetaljerForelesningsnotater om spinn, FYS2140 (Erstatter kap. 4.4 i Griffiths) Susanne Viefers
Forelesningsnotater om spinn, FYS2140 (Erstatter kap. 4.4 i Griffiths) Susanne Viefers 20. april 2005 Dette notatet sammenfatter forelesningene om elektronets egenspinn og erstatter dermed avsnitt 4.4
DetaljerFYS2140 Kvantefysikk, Oblig 11. Sindre Rannem Bilden og Gruppe 4
FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 11 Sindre Rannem Bilden og Gruppe 4 30. april 2015 Obliger i FYS2140 merkes med navn og gruppenummer! Denne obligen er satt sammen av den første delen av eksamen våren 2010
DetaljerFasehastighet: Gruppehastighet:
Hjelpeark, FYS4 Fra kompendiet. Fotoelektrisk eekt Lys innfallende på en metallplate, elektroner rives løs. Observeres med elektrisk krets gitt ved gur. V > : Frigjorte elektroner dratt mot anoden. Store
DetaljerLøsningsforslag for FYS2140 Kvantemekanikk, Tirsdag 29. mai 2018
Løsningsforslag for FYS40 Kvantemekanikk, Tirsdag 9. mai 08 Oppgave : Fotoelektrisk effekt Millikan utførte følgende eksperiment: En metallplate ble bestrålt med monokromatisk lys. De utsendte fotoelektronene
DetaljerOppgave 2 Vi ser på et éndimensjonalt system hvor en av de stasjonære tilstandene ψ(x) er gitt som { 0 for x < 0, ψ(x) = Ne ax (1 e ax (1)
Oppgave Gjør kort rede for hva den fotoelektriske effekt er, hva slags konklusjoner man kunne trekke fra observasjoner av denne i kvantefysikkens fødsel, og beskriv et eksperiment som kan observere og
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Side Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS4 Kvantefysikk Eksamensdag: 8. juni 5 Tid for eksamen: 9. (4 timer) Oppgavesettet er på fem (5) sider Vedlegg: Ingen
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Side Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS40 Kvantefysikk Eksamensdag: 6. august 03 Tid for eksamen: 4.30 (4 timer) Oppgavesettet er på 5 (fem) sider Vedlegg:
DetaljerFigur 1: Skisse av Franck-Hertz eksperimentet. Hentet fra Wikimedia Commons.
Oppgave 1 Franck-Hertz eksperimentet Med utgangspunkt i skissen i figuren under, gi en konsis beskrivelse av Franck-Hertz eksperimentet, dets resultater og betydning for kvantefysikken. [ poeng] Figur
DetaljerTFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 1 1 LØSNING ØVING 1
TFY425 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving Løsning oppgave a. LØSNING ØVING Vi merker oss at sannsynlighetstettheten, Ψ(x, t) 2 = A 2 e 2λ x, er symmetrisk med hensyn på origo. For normeringsintegralet
DetaljerTFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv
TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 Frist for innlevering: mandag 26. januar ØVING 1 En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv Eksempel: Terningkast Ved terningkast er
DetaljerEksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Tid:
Side 1 av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 51 72) Sensurfrist: Tirsdag 12. juni 2007
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS14, Kvantefysikk Eksamensdag: 17. august 17 4 timer Lovlige hjelpemidler: Rottmann: Matematisk formelsamling, Øgrim og Lian:
DetaljerEksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Fredag 30. mai 2008 Tid: a 0 = 4πǫ 0 h 2 /(e 2 m e ) = 5, m
Side av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 5 7 Sensurfrist: Fredag 0 juni 008 Eksamen
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Side Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS240 Kvantefysikk Eksamensdag: 3. juni 206 Tid for eksamen: 09.00 4 timer) Oppgavesettet er på fem 5) sider Vedlegg: Ingen
DetaljerFY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv
FY16/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 Frist for innlevering: mandag 28. januar (jf Åre) ØVING 1 En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv Eksempel: Terningkast Ved terningkast
DetaljerA.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander
TFY4250/FY2045 Tillegg 4 - Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander 1 Tillegg 4: A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander a. Stasjonære tilstander (Hemmer p 26, Griffiths p 21) Vi har i TFY4215 (se
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: KJM1060 Struktur og spektroskopi Eksamensdag: 14 oktober 2004 Tid for eksamen: kl. 15:00 17:00 Oppgavesettet er på 2sider.
Detaljer(θ,φ) er de sfæriske harmoniske. Disse løsningene har energiene 1. = nm, (4) x = rsinθcosφ, (6) y = rsinθsinφ, (7) z = rcosθ, (8) 1 r 2 sinθ
Oppgave 1 Variasjoner over hydrogen Løsningen av den tidsuavhengige Schrødingerligningen for potensialet til hydrogenatomet Vr) = k ee r, 1) er som kjent ψ nlm r,θ,φ) = R nl r)yl m θ,φ), ) hvor R nl r)
DetaljerLøsningsforslag for FYS2140 Kvantemekanikk, Torsdag 16. august 2018
Løsningsforslag for FYS140 Kvantemekanikk, Torsdag 16. august 018 Oppgave 1: Materiens bølgeegenskaper a) De Broglie fikk Nobelprisen i 199 for sin hypotese. Beskriv med noen setninger hva den går ut på.
Detaljerψ(x) 2 dx = 1. (3) For det siste integralet har vi brukt fra Rottmann at
Det er mulig å oppnå i alt 80 poeng på denne eksamen. Oppgave er inspirert av en tidligere eksamensoppgaver gitt ved NTNU, laget av Ingjald Øverbø og Jon Andreas Støvneng. Oppgave 1 En-dimensjonal harmonisk
DetaljerLøsningsforslag Konte-eksamen 2. august 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Konte-eksamen SIF448.aug. 3 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 a. Hamilton-operatoren er Løsningsforslag Konte-eksamen. august 3 SIF448 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Ĥ = h m x + V (x), og den tidsuavhengige
DetaljerTFY Løsning øving 4 1 LØSNING ØVING 4. Vibrerende to-partikkelsystem
TFY45 - Løsning øving 4 Løsning oppgave 3 LØSNING ØVING 4 Vibrerende to-partikkelsystem a. Vi kontrollerer først at kreftene på de to massene kommer ut som annonsert: F V V k(x l) og F V V k(x l), som
DetaljerEKSAMEN I FAG SIF4065 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fakultet for naturvitenskap og teknologi 13. august 2002 Tid:
Side 1 av 5 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Ola Hunderi Tlf.: 93411 EKSAMEN I FAG SIF465 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fakultet for naturvitenskap
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 5. august 2009 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY4215 5. august 29 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 5. august 29 TFY4215 Kjemisk fysikk kvantemekanikk a. Med ψ A (x) = C = konstant for x > har vi fra den tidsuavhengige
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 28. mai 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen SIF4048 8.05.03 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 8. mai 003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Da sannsynlighetstettheten Ψ(x, 0) = β/π exp( βx ) er symmetrisk med
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 26. mai 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY415 6. mai 006 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 6. mai 006 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. For bundne tilstander i én dimensjon er degenerasjonsgraden lik 1;
DetaljerFasehastighet: Gruppehastighet:
Hjelpeark, FYS4 Fra kompendiet. Fotoelektrisk eekt Lys innfallende på en metallplate, elektroner rives løs. Observeres med elektrisk krets gitt ved gur. V > : Frigjorte elektroner dratt mot anoden. Store
DetaljerTFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 2 1 ØVING 2. Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner
TFY415 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 Oppgave 5 ØVING Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner En partikkel med masse m beveger seg i et endimensjonalt potensial V (x). Partikkelen
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Tirsdag 9. desember 2003
NTNU Side 1av7 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Dette løsningsforslaget er på 7 sider. Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk Tirsdag 9. desember 003 Oppgave 1. a) Amplituden
DetaljerKJM Molekylmodellering
KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO KJM3600 - Molekylmodellering p.1/29 Introduksjon Introduksjon p.2/29 Introduksjon p.3/29 Molekylmodellering Flere navn på moderne teoretisk
DetaljerKursopplegg for TFY4250 og FY2045
TFY4250 Atom- og molekylfysikk/fy2045 Kvantefysikk, høsten 2007 - kursopplegg 1 Kursopplegg for TFY4250 og FY2045 (under utarbeidelse) Pensum-litteratur PC Hemmers Kvantemekanikk er et must. En annen god
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: Fys-2000 Kvantemekanikk Dato: 5. juni 2013 Tid: Kl Sted: Åsgårdveien 9. og fysikk, lommekalkulator
FAKUTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOOGI EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Fys-2000 Kvantemekanikk Dato: 5. juni 2013 Tid: Kl 09.00-13.00 Sted: Åsgårdveien 9 Tillatte hjelpemidler: Formelsamlinger i matematikk
DetaljerA.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett
TFY4250/FY2045 Tillegg 2 1 Tillegg 2: A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett Ikke-degenererte egenverdier La oss først anta at en operator ˆF har et diskret og ikke-degeneret spektrum. Det siste betyr at
DetaljerKursopplegg for TFY4250 og FY2045
TFY4250 Atom- og molekylfysikk/fy2045 Kvantefysikk, høsten 2004 - kursopplegg 1 Kursopplegg for TFY4250 og FY2045 Felles undervisning i to emner De to emnene TFY4250 Atom- og molekylfysikk for teknologistudiet,
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 1.juni 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY45. juni 004 - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen.juni 004 TFY45 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne energiegentilstander i et éndimensjonalt potensial er ikke-degenererte
DetaljerEnkel introduksjon til kvantemekanikken
Kapittel Enkel introduksjon til kvantemekanikken. Kort oppsummering. Elektromagnetiske bølger med bølgelengde og frekvens f opptrer også som partikler eller fotoner med energi E = hf, der h er Plancks
DetaljerOppgave 1. NORSK TEKST Side 1 av 4. NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk
NORSK TEKST Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 7 55 96 4 Ingjald Øverbø, tel. 7 59 18 67 EKSAMEN I TFY415
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 16. august 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY415 16. august 008 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 (Teller 34 %) Løsningsforslag Eksamen 16. august 008 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Siden potensialet V () er symmetrisk, er grunntilstanden
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY4215 7. august 2006 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne tilstander i et symmetrisk éndimensjonalt potensial
DetaljerFYS2140 Kvantefysikk, Hjemmeeksamen V Leveringsfrist fredag 20. mars kl.14:45 (før ekspedisjonen stenger!!!)
FYS2140 Kvantefysikk, Hjemmeeksamen V-2009 Leveringsfrist fredag 20. mars kl.14:45 (før ekspedisjonen stenger!!!) 9. mars 2009 Viktig info les: Merk besvarelsen med kandidatnummer, ikke navn! Lever og
DetaljerEksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 10. mai 2004, kl. 14.00-17.00 (3 timer)
1 NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi Eksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 1. mai 24, kl. 14.-17. (3 timer) Tillatte hjelpemidler:
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 12. august 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY4215 12. august 2004 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 12. august 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Den tidsuavhengige Schrödingerligningen, Ĥψ = Eψ, tar for
DetaljerFYS2140 Kvantefysikk, Løsningsforslag for Oblig 2
FYS2140 Kvantefysikk, Løsningsforslag for Oblig 2 12. februar 2018 Her finner dere løsningsforslag for Oblig 2 som bestod av Oppgave 2.6, 2.10 og 3.4 fra Kompendiet. Til slutt finner dere også løsningen
DetaljerOppgave 1 (Teller 34 %) BOKMÅL Side 1 av 5. NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk
BOKMÅL Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67, eller 97 01 23 55 Jon Andreas Støvneng, tel. 73 59
DetaljerInstitutt for fysikk. Eksamen i TFY4215 Innføring i kvantefysikk
Institutt for fysikk Eksamen i TFY4215 Innføring i kvantefysikk Faglig kontakt under prøven: Jon Andreas Støvneng Tlf.: 45 45 55 33 Dato: 3. juni 2019 Tid (fra-til): 15.00-19.00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerFY1006/TFY Øving 3 1 ØVING 3. Gjør unna så mye du kan av dette før veiledningstimene, slik at disse kan brukes på utfordringene i denne øvingen.
FY006/TFY45 - Øving 3 ØVING 3 Gjør unna så mye du kan av dette før veiledningstimene, slik at disse kan brukes på utfordringene i denne øvingen. Oppgave 8 Ikke-stasjonær bokstilstand En partikkel med masse
DetaljerFYS2140 Kvantefysikk, Obligatorisk oppgave 10. Nicolai Kristen Solheim, Gruppe 2
FYS2140 Kvantefysikk, Obligatorisk oppgave 10 Nicolai Kristen Solheim, Gruppe 2 Obligatorisk oppgave 10 Oppgave 1 a) Ligningene 1, 2 og 3 er egenverdifunksjoner, mens ligning 4 er en deltafunksjon. b)
DetaljerEksamen i TFY4170 Fysikk 2 Mandag 12. desember :00 18:00
NTNU Side 1 av 5 Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Professor Arne Brataas Telefon: 73593647 Eksamen i TFY417 Fysikk Mandag 1. desember 5 15: 18: Tillatte hjelpemidler: Alternativ C Godkjent
DetaljerForelesningsnotat om molekyler, FYS2140. Susanne Viefers
Forelesningsnotat om molekyler, FYS Susanne Viefers. mai De fleste grunnstoffer (unntatt edelgassene) deltar i formingen av molekyler. Molekyler er sammensatt av enkeltatomer som holdes sammen av kjemiske
DetaljerTFY Løsning øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Krumning og stykkevis konstante potensialer
TFY4215 - Løsning øving 5 1 Løsning oppgave 16 LØSNING ØVING 5 Krumning og stykkevis konstante potensialer a. I et område hvor V er konstant (lik V 1 ), og E V 1 er positiv (slik at området er klassisk
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 27. mai 2005 FY2045 Kvantefysikk
Eksamen FY2045 27. mai 2005 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2005 FY2045 Kvantefysikk a. Ifølge den tidsuavhengige Shrödingerligningen, Ĥψ = Eψ, har vi for x < 0 : E = Ĥψ ψ
DetaljerEn samling av mer eller mindre relevante formler (uten nærmere forklaring) er gitt til slutt i oppgavesettet.
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet NTNU Institutt for fysikk Lade EKSAMEN I: MNF FY 44 KVANTEMEKANIKK I DATO: Tirsdag 4. desember 999 TID: 9.00 5.00 Antall vekttall: 4 Antall sider: 3 Sensurdato:
DetaljerTFY4215_S2018_Forside
Kandidat I Tilkoblet TFY4215_S2018_Forside Institutt for fysikk ksamensoppgave i TFY4215 Innføring i kvantefysikk Faglig kontakt under eksamen: Jon ndreas Støvneng Tlf.: 45 45 55 33 ksamensdato: 6. august
DetaljerEksamen FY1006/TFY mai løsningsforslag 1
Eksamen FY1006/TFY415 7. mai 009 - løsningsforslag 1 Løsningsforslag, Eksamen 7. mai 009 FY1006 Innføring i kvantefysikk/tfy415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Oppgave 1 a. For E > V 0 har vi for store
DetaljerFY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 6 1 ØVING 6. Fermi-impulser og -energier
FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, 2012 - øving 6 1 ØVING 6 Oppgave 6 1 Fermi-impulser og -energier a. Anta at en ideell gass av N (ikke-vekselvirkende) spinn- 1 -fermioner befinner seg i grunntilstanden
DetaljerLøysingsframlegg øving 1
FY6/TFY425 Innføring i kvantefysikk Løysingsframlegg øving Oppgåve Middelverdien er x = x Ω X xp (x) = 2 + 2 = 2. (.) Tilsvarande har vi x 2 = x Ω X x 2 P (x) = 2 2 + 2 2 = 2. (.2) Dette gjev variansen
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 20. desember 2012 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I
Eksamen FY045/TFY450 0. desember 0 - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen 0. desember 0 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I a. For x < 0 er potensialet lik null. (i) For E > 0 er da ψ E = (m e E/
DetaljerHermiteske og ikke-hermiteske operatorer, kommutatorer,
TFY4250/FY2045 Tillegg 1 1 Tillegg 1: Hermiteske og ikke-hermiteske operatorer, kommutatorer, etc a. Reelle forventningsverdier krever Hermiteske operatorer I avsnitt 2.2 i Hemmer kan du først se hvordan
DetaljerLØSNING ØVING 2. Løsning oppgave 5. TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 2 1
TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 2 1 Løsning oppgave 5 LØSNING ØVING 2 Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner a. For oscillator-grunntilstanden i oppgave 3b har vi
DetaljerKJM Molekylmodellering. Introduksjon. Molekylmodellering. Molekylmodellering
KJM3600 - Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Introduksjon KJM3600 - p.1/29 Introduksjon p.2/29 Flere navn på moderne teoretisk kjemi: Theoretical chemistry (teoretisk kjemi) Quantum chemistry (kvantekjemi)
DetaljerFYS2140 Kvantefysikk, Løsningsforslag Oblig 7
FYS4 Kvantefysikk, Løsningsforslag Oblig 7 4. mars 8 Her finner dere løsningsforslag for Oblig 7 som bestod av Oppgave.,.45 og.46 fra Griffiths, og et løsningsforslag for Oppgave., som var tilleggsoppgave.
DetaljerEKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Torsdag 12. august 2004 kl
NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 7 55 96 4 Ingjald Øverbø, tel. 7 59 18 67, eller 970155 EKSAMEN
DetaljerEKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fredag 19. august 2005 kl
NORSK TEKST Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 18 67, eller 97012355 EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK
DetaljerFYS2140 Kvantefysikk, Oblig 8. Sindre Rannem Bilden, Gruppe 4
FYS240 Kvantefysikk, Oblig 8 Sindre Rannem Bilden, Gruppe 4 9. april 205 Obliger i FYS240 merkes med navn og gruppenummer! Denne obligen dreier seg om partikkel i en endelig brønn. Dere får bruk for Python
DetaljerNTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg prøveeksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk
NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk øysingsframlegg prøveeksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon:
DetaljerKapittel 7 Atomstruktur og periodisitet Repetisjon 1 ( )
Kapittel 7 Atomstruktur og periodisitet Repetisjon 1 (04.11.01) 1. Generell bølgeteori - Bølgenatur (i) Bølgelengde korteste avstand mellom to topper, λ (ii) Frekvens antall bølger pr tidsenhet, ν (iii)
DetaljerInstitutt for fysikk. Eksamensoppgave i TFY4215 Innføring i kvantefysikk
Institutt for fysikk ksamensoppgave i TFY4215 Innføring i kvantefysikk Faglig kontakt under eksamen: Jon ndreas Støvneng (med forbehold om streik) Tlf.: 45 45 55 33 ksamensdato: 30. mai 2018 ksamenstid
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk august 2004
NTNU Side 1av7 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Dette løsningsforslaget er på 7 sider. Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 1. august 004 Oppgave 1. Interferens a)
DetaljerFYS 3710 Biofysikk og Medisinsk Fysikk, Bindingsteori - atomorbitaler
FYS 3710 Biofysikk og Medisinsk Fysikk, 2017 3 Bindingsteori - atomorbitaler Einar Sagstuen, Fysisk institutt, UiO 28.08.2017 1 Biologiske makromolekyler DNA PROTEIN t-rna 28.08.2017 2 Biologiske makromolekyler
DetaljerEKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Mandag 2. juni 2008 kl
NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 9702355 EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Mandag
DetaljerFY juni 2015 Side 1 av 6
FY6019 12. juni 2015 Side 1 av 6 Oppgave 1. Flervalgsoppgaver. (Poeng: 2.5 8 = 20) a) Hva er forventningsverdien av posisjonen, x, til en partikkel i grunntilstanden i en endimensjonal potensialboks mellom
DetaljerFYS 3710 Biofysikk og Medisinsk Fysikk, Bindingsteori - atomorbitaler
FYS 3710 Biofysikk og Medisinsk Fysikk, 2016 3 Bindingsteori - atomorbitaler Einar Sagstuen, Fysisk institutt, UiO 26.08.2016 1 Biologiske makromolekyler DNA PROTEIN t-rna 26.08.2016 2 Biologiske makromolekyler
DetaljerFY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Kvantekraft. L x. L 2 x. = A sin n xπx. sin n yπy. 2 y + 2.
FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, øving 5 1 øsning oppgave 5 1 a Med finner vi energien til egenfunksjonen ØSNING ØVING 5 Kvantekraft nπx sin = n xπ x x x ψ nx,n y,n z = A sin n xπx x sin nπx x, sin n yπy
DetaljerB.1 Generelle egenskaper til energiegenfunksjoner
TFY4250/FY2045 Tillegg 6 - Generelle egenskaper til energiegenfunksjoner 1 Tillegg 6: Noe av stoffet i dette Tillegget er repetisjon fra Tillegg 3 i TFY4215. B.1 Generelle egenskaper til energiegenfunksjoner
DetaljerFY1006/TFY Løsning øving 3 1 LØSNING ØVING 3. Ikke-stasjonær bokstilstand
FY006/TFY45 - Løsning øving 3 Løsning oppgave 8 LØSNING ØVING 3 Ikke-stasjonær bokstilstand a. For 0 < x < L er potensialet i boksen lik null, slik at Hamilton-operatoren har formen Ĥ = K + V (x) = ( h
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 8. august 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I
Eksamen FY45/TFY45 8. august - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen 8. august FY45/TFY45 Kvantemekanikk I a. For E < V blir området x > klassisk forbudt, og den tidsuavhengige Schrödingerligningen
DetaljerEksamen FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Løsninger
Eksamen FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag. mai 007 Løsninger 1a Et hydrogenlikt atom har ett elektron med masse m og ladning e som er bundet til en atomkjerne med ladning Ze. Siden kjernen har
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling Lommekalkulator med tomt minne
EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-000 Kvantemekanikk Dato: Mandag 6. september 016 Tid: Kl 09:00 1:00 Sted: Auditorium Maximum, Administrasjonsbygget Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling
DetaljerFY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 1 LØSNING ØVING 14. ψ 210 z ψ 100 d 3 r a.
FY45/TFY45 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 1 LØSNING ØVING 14 Løsning Oppgave 14 1 Fra oppg 3, eksamen august 1 a. Med Y = 1/ 4π og zy = ry 1 / 3 kan vi skrive matrise-elementene av z på formen (z)
DetaljerFY1006/TFY Løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9
FY1006/TFY415 - Løsning øving 9 1 Løsning oppgave Numerisk løsning av den tidsuavhengige Schrödingerligningen LØSNING ØVING 9 a. Alle leddene i (1) har selvsagt samme dimensjon. Ved å dividere ligningen
DetaljerEKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Onsdag 8. august 2007 kl
NORSK TEKST Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Onsdag 8. august 2007 kl. 09.00-13.00
DetaljerEn partikkel med masse m befinner seg i et éndimensjonalt, asymmetrisk brønnpotensial
NORSK TEKST Side av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 7 59 8 67, eller 9755 EKSAMEN I TFY45 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 27. mai 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk
Eksamen FY1006/TFY4215 27. mai 2011 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk a. For en energiegenfunksjon med energi E V 1 følger det fra
DetaljerFY1006/TFY Øving 7 1 ØVING 7
FY1006/TFY4215 - Øving 7 1 Frist for innlevering: 5. mars kl 17 ØVING 7 Den første oppgaven dreier seg om den tredimensjonale oscillatoren, som behandles i starten av Tillegg 5, og som vi skal gå gjennom
DetaljerE. MAGNETISKE MOMENTER. SPINN E.1 Energibidrag knyttet til dreieimpuls og spinn
TFY4250/FY2045 2005 - Tillegg 15 - E. Magnetiske momenter. Spinn 1 Tillegg 15: E. MAGNETISKE MOMENTER. SPINN E.1 Energibidrag knyttet til dreieimpuls og spinn (Se avsnittene 1.5, 6.8 og 12.2 i B&J, 8.3
DetaljerFYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2014
FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2014 18. mars 2014 Viktig info: Merk besvarelsen med kandidatnummer, ikke navn! Innleveringsfrist fredag 28. mars kl. 14.30 i skranken på ekspedisjonskontoret. (Ikke oblighylla!)
DetaljerPensum og kursopplegg for FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk
FY1006/TFY4215 våren 2012 - pensum og kursopplegg 1 Pensum og kursopplegg for FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk våren 2012 Litt om de to emnene De to emnene FY1006 og TFY4215 er identiske både når
DetaljerEKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Tirsdag 13. august 2002 kl
Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 73 55 96 4 Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67 EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK
DetaljerFYS2140 Hjemmeeksamen Vår Ditt kandidatnummer
FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2016 Ditt kandidatnummer 8. mars 2016 Viktig info: Elektronisk innlevering på devilry med frist fredag 18. mars kl. 16.00. Leveringsfristen er absolutt. Bevarelsen må merkes tydelig
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 13. august 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk
Eksamen FY1006/TFY415 13. august 011 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 13. august 011 FY1006/TFY415 Innføring i kvantefysikk a. Fra den tidsuavhengige Schrödingerligningen har vi for
Detaljer2. Postulatene og et enkelt eksempel
FY619 Moderne fysikk 1 Dette notatet kan leses parallelt med deler av kapitlene 2 og 3 i Hemmer; fortrinnsvis delkapitlene 3.1, 3.2 og 2.1. NOTAT 2 2. Postulatene og et enkelt eksempel I kapittel 2 i Hemmer
DetaljerFY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 2. juni 2016 Side 1 av 8
FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 2. juni 2016 Side 1 av 8 I. FLERVALGSOPPGAVER (Teller 2.5% 30 = 75%) En fri partikkel med masse m befinner seg i det konstante potensialet V = 0 og beskrives
DetaljerTFY Øving 7 1 ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator
TFY4215 - Øving 7 1 Oppgave 20 ØVING 7 -dimensjonal isotrop harmonisk oscillator Vi har tidligere studert egenfunksjonen (orbitalen) for grunntilstanden i hydrogenlignende atomer, og skal senere sette
Detaljer