Siste uke, mai

Transkript

1 Siste uke, mai Mandag: Repetisjon Tirsdag: Ingen forelesning Onsdag: Gjennomgang av oblig 12. Siste frist for levering av etterslengere Torsdag/fredag: Fri

2 Pensum Kompendium Læreboka (se kursets webside for detaljer) Andre notater som er lagt ut i løpet av kurset. Oppgavene -- alle obliger! HELE pensum er eksamensrelevant

3 Eksamensforberedelser: Noen tips Repeter/regn alle obliger, gjerne tilleggsoppgavene Regn gamle eksamensoppgaver Pass på å beherske formalismen, terminologien, sammenhengene språket. Orakel?

4 Enheter, kvantisering Kvantefysikken har en del egenskaper som skiller seg grunnleggende fra klassisk fysikk. Vi nevnte energikvantisering, uskarphet, bølge-partikkel-dualitet... Siden vi skal beskrive fysikken på mikroskala, er det ofte hensiktsmesig å bruke enheten ev (MeV) for energi, nm (Å) for lengde, ev/c^2 for masse og ev/c for bevegelsesmengde. Plancks kvantiseringshypotese: E.m. stråling med frekvens v består av kvantiserte energipakker (fotoner), hver med energi hv. Denne hypotesen utgjorde det avgjørende bruddet med klassisk fysikk.

5 Fotoner Fotolektrisk effekt: Lys sendt mot en metallplate slår ut elektroner. Eksperimentelle resultater (bl.a. eksistensen av en minste frekvens, og stoppespenningens uavhengighet av intensiteten), kunne ikke forklares klassisk. Kunne forklares ved å innføre fotonbegrepet (energikvantisering). På samme måten forklarer fotonbegrepet eksistensen av en minste bølgelengde i Röntgenstråling. I tillegg til energi kan fotoner også tilordnes en bevegelsesmengde. Så dette ifm Comptoneffekten.

6 Fotoner forts Comptonspredning: Fotoner spres mot (effektivt) frie elektroner. Måleresultatene kan forklares ved å tilordne fotonene en bevegelsesmengde og se på prosessen som en støtprosess. Illustrerer lysets partikkelegenskaper

7 Bohrs atommodell To dilemmaer i klassisk atomfysikk: Materiens stabilitet og spektroskopidata. Bohr løste disse med sin modell for hydrogenatomet. Bohrs atommodell hadde avgjørende betydning for kvantefysikkens videre utvikling men hadde også en rekke svakheter. De viktigste egenskapene den forutsa var kvantisering av elektronets angulærmoment i hydrogenatomet, og dermed kvantiserte energinivåer (Rydbergformelen).

8 Materiebølger Dobbeltspalte-eksperimentet viser at materie (f.eks. elektroner) også kan oppføre seg som bølger. (Interferens, diffraksjon). Hvert elektron går gjennom begge spaltene samtidig og interfererer med seg selv. Kvadratet av bølgens amplitude bestemmer sannsynligheten for at partikkelen skal observeres på et gitt sted.

9 Materiebølger Materiebølger tilordnes en bølgelengde (de Brogliebølgelengden) λ=h/p og frekvens ν = E/h. Uttrykt ved bølgetallet k og vinkelfrekvensen ω blir de fundamentale relasjonene Siden materien har bølgeegenskaper, må den beskrives vha en bølgefunksjon som er løsning av en bølgeligning -- Schrödingerligningen.

10 Materiebølger En lokalisert partikkel beskrives som en sum av flere planbølger. Partikkelens energi bevelgelsesmengden dispersjonsrelasjonen. er en funksjon av. Funksjonen ω(k) kalles Det vi er vant til som bølgens hastighet er fasehastigheten v f = ω/k. Men det som identifiseres med partikkelens hastighet er omhyllingskurvens hastighet, dvs gruppehastigheten v g = dω/dk.

11 Schrödingerligningen Bølgeligningen som beskriver ikke-relativistiske materiebølger er Schrødingerligningen (SL). Den er en partiell differensialligning i x og t. Dens løsning er bølgefunksjonen. SL er essensielt en energiligning. Bølgefunksjonen er en kompleks funksjon som koder all tilgjengelig informasjon om partikkelens posisjon, bevegelsesmengde osv. SL kan bare gi statistisk informasjon dvs informasjon om sannsynligheten for å få et visst måleresultat (eller den fordeling av måleresultater en ville få med mange identiske forsøk)

12 Bølgefunksjonen Komplekskvadratet av bølgefunksjonen har tolkning som en sannsynlighetstetthet og kan brukes til å beregne forventningsverdier og spredning/uskarphet (standardavviket) for ulike fysiske størrelser: En fysisk akseptabel bølgefunksjon må være normerbar, jfr sannsynlighetstolkningen. En bølgefunksjon er normert når Normeringen er ikke tidsavhengig.

13 Bevegelsesmengde Operatoren representerer bevegelsesmengden. Settes inn for p når en beregner forventningsverdier av fysiske variable.

14 Uskarphetsrelasjonen Heisenbergs uskarphetsrelasjon sier at posisjon og bevegelsesmengde ikke kan bestemmes skarpt samtidig: Uskarphetsrelasjonen er en egenskap ved fysiske fenomen som har bølgenatur Uskarpheten for makroskopiske objekter er så liten at vi ikke merker den i hverdagen (ikke observerbar).

15 Stasjonære tilstander Stasjonære tilstander er separable løsninger av Schrödingerligningen, dvs på formen : løsninger av den tidsuavhengige S.L der H er Hamiltonoperatoren. Stasjonære løsninger har SKARP energi. Deres sannsynlighetstetthet samt forventningsverdier av fysiske størrelser er konstante i tiden. Alle andre (ikke-stasjonære) løsninger av den fulle S.L kan uttrykkes som lineærkombinasjoner (superposisjoner) av de stasjonære, dvs

16 Kvantemekanikk i 1D Uendelig boks, endelig boks, tunnelering : Er alle varianter over samme tema, med nøyaktig samme angrepsmåte (løse SL I ulike områder og bruke kontinuitetskrav for å sette sammen bølgefunksjonen). Dere bør beherske denne tenkemåten/teknikken uavhengig av den eksakte formen på potensialet.

17 Uendelig bokspotensial Med partikkel i uendelig boks menes en partikkel som beveger seg i et endelig område der V(x)=0, mens V er uendelig stor utenfor dette området. Tilnærmet beskrivelse av f.eks. et elektron fanget av sterke elektriske felt. SL løses ved å skrive ned de tidsuavhengige løsningene for hvert enkelt område og skjøte dem sammen. Her brukes kravet om kontinuitet av bølgefunksjonen. Generelt (for ENDELIG potensial) skal også den deriverte være kontinuerlig. Man finner et uendelig sett løsninger ( egenfunksjoner ) med tilhørende energier. En viktig generell egenskap er at egenfunksjonene er ortogonale.

18 Harmonisk oscillator Kommutatoren mellom to operatorer er definert som Det er underforstått at disse operatorene virker på en hjelpefunksjon (typisk bølgefunksjonen). Hvis kommutatoren ikke er lik null, betyr det at det gjør en forskjell i hvilken rekkefølge operatorene virker på en vilkårlig funksjon. Spesielt: Den kanoniske kommutator, Den harmoniske oscillator (den kvantemekaniske versjonen av en klassisk fjær) spiller en meget sentral rolle i fysikken. Gir en (tilnærmet) beskrivelse av en rekke fenomener som karakteriseres ved svingninger rundt et likevektspunkt.

19 Harmonisk oscillator Potensialtermen i Hamiltonoperatoren for en harmonisk oscillator er gitt ved To løsningsmetoder: Algebraisk og ved rekkeutvikling. I den algebraiske løsningen faktoriserer vi Hamiltonoperatoren ved å innføre heve- og senkeoperatorer. Disse er kombinasjoner av x og d/dx. Får da Disse operatorene kan brukes til å generere høyere/lavere egentilstander fra en gitt løsning. Spesielt finner man grunntilstanden ved å kreve

20 Harmonisk oscillator Kan så generere de eksiterte tilstandene ved å la heveoperatoren virke på grunntilstanden gjentatte ganger. Hver gang vi anvender heveoperatoren, genererer vi en tilstand som ligger høyere i energi. Annenhver like og odde. Hele energispekteret er gitt ved

21 Bundne tilstander, tunnelering Ubundne tilstander: Eksisterer når V(x) ikke går mot uendelig for store x. Med konvensjonen V(x) -> 0 langt ute kan man da ha bundne tilstander med E < 0 og ubundne tilstander med E > 0. Viktig forskjell fra klassisk fysikk: Kvantemekaniske partikler kan trenge inn i klassisk forbudte områder, dvs områder der de iflg klassisk fysikk ikke har nok energi til å befinne seg. Dette fører til fenomenet tunnelering dvs at en partikkel kan gå gjennom en potensialbarriere uten å ha nok energi til å komme over den. Eksempler på tunnelering i virkeligheten: α-henfall, feltemisjon (STM, flatskjermer)

22 Endelig boks Partikkel i endelig boks: S.L. løses ved å skrive ned løsningene for hvert av områdene på vanlig måte. Kontinuitetskravene leder til en transcendental ligning som bestemmer de tillatte verdier for E. Det finnes to klasser med løsninger: Symmetriske (like) og antisymmetriske (odde) omkring boksens midtpunkt. Løsningene svarer til stående bølger i brønnen, annenhver like og odde. De har lavere energi enn tilsvarende løsning i uendelig brønn.

23 Formalisme Det finnes en nær sammenheng mellom den kvantemekaniske formalismen og lineær algebra. En kvantemekanisk tilstand beskrives av en vektor. Ved valg av koordinatbasis blir denne vektoren vår vanlige bølgefunksjon (en komponent for hver verdi på x). Hver målbare størrelse representeres ved en operator som beskrives ved en lineær transformasjon. I en gitt basis representeres operatoren som en matrise.

24 Formalisme Måleverdien som oppnås er en egenverdi for operatoren, og etter målingen beskrives systemet av en egenvektor/egentilstand svarende til den målte egenverdien. (Vektoren/bølgefunksjonen kollapser) Sannsynligheten for å observere en viss egenverdi er gitt ved (absoluttkvadratet av) tilstandens/ vektorens komponent langs tilsvarende egenvektor.

25 Kvantemekanikk I 3D Generalisering av kvantemekanikken fra en til tre dimensjoner: Bruker enten kartesiske (x,y,z) eller sfæriske koordinater, avhengig av formen på potensialet. Tre kvantetall. SL for sentralsymmetrisk potensial i 3D løses enklest i sfæriske koordinater ved separasjon av variable. Løsningene av vinkeldelen er uavhengig av potensialet. De er gitt ved de s.k. sfærisk harmoniske. For å løse radialdelen, må man spesifisere V(r).

26 Hydrogenatomet For Hydrogenatomet løses SL med V(r) gitt ved Coulombpotensialet. Bohrs energiformel reproduseres for egenenergiene. Bølgefunksjonene i radiell retning avhenger av kvantetallene n og l, mens vinkelløsingene er gitt ved kvantetallene l og m. Kvantetallene n, l og m oppfyller n = 1,2,...; l < n; m = 0, ±1, ±2,... ±l. Av dette følger at degenerasjonsgraden til energinivå n i hydrogenatomet er d(n) = n^2. Radiell sannsynlighet P(r)=r 2 R(r) 2 :Nyttig for å visualisere elektronets avstand fra kjernen, uavhengig av vinklene.

27 Angulærmoment Ved å uttrykke det totale angulærmoment og dets z- komponent i sfæriske koordinater, så vi at det faktisk var egenverdiligningene for disse vi hadde løst ifm vinkeldelen av den 3-dimensjonale S.L. De sfærisk harmoniske er dermed felles egenfunksjoner for disse to operatorene, med egenverdier

28 Zeemaneffekt og spinn Utsettes f.eks. et H-atom for et ytre magnetfelt, får man en oppsplitting av energinivåene som skyldes både elektronets angulærmoment og dets egenspinn. Dette kalles Zeemaneffekten. SPINN: Elektronet og andre elementærpartikler har et innebygd magnetisk moment og tilsvarende egenspinn. Denne egenskapen ble oppdaget ifm Stern-Gerlacheksperimentet som var ment å bekrefte kvantiseringen av angulærmoment. Spinnet er en fysisk egenskap som er uløselig knyttet til elektronet på samme måte som dets ladning eller masse. Det tilsvarende magnetiske dipolmomentet har samme form som for angulærmoment bortsett fra den gyromagnetiske faktor.

29 Spinn Kvantiseringen av spinn er analog med tilsvarende uttrykk for angulærmoment: Forskjellen er at s er FAST for en gitt partikkeltype. Elektroner har s=1/2 ( spinn en halv ), fotoner har s=1 ( spinn én ) osv.

30 Spinn, mange partikler Singlet - og tripletkombinasjonen av to spinn: Summen av to s=1/2 spinn er enten gitt ved j=0 eller j=1. Disse to svarer til hhv den antisymmetriske singlet en og den symmetriske triplet en. Kvantemekanikk for N partikler: Bølgefunksjonen er en funksjon av N sett variable, ett for hver partikkel. Potensialtermen i SL kan bestå av både ytre potensial (boks, harmonisk oscillator osv) og av vekselvirkning mellom partiklene (f eks Coulomb). SL er separabel dersom det ikke er vekselvirkning mellom partiklene.

31 Identiske partikler Identiske partikler er partikler som har identiske fysiske egenskaper (masse, ladning,...), f.eks. to elektroner. I kvantemekanikken er identiske partikler helt uskillbare (indistinguishable). Derfor må bølgefunksjoner som bare skiller seg ved ombytte av koordinater for identiske partikler beskrive samme tilstand, dvs ha samme sannsynlighetstetthet. I 3D gir dette to muligheter: Symmetriske eller antisymmetriske bølgefunksjoner (under ombytte).

32 Identiske partikler Symmetrisk bølgefunksjon: Bosoner. Antisymmetrisk: Fermioner. Alle partikler i 3D er enten fermioner (eks elektroner) eller bosoner (eks fotoner). Fermioner har halvtallig spinn (1/2, 3/2, 5/2,...), bosoner har heltallig spinn. Antisymmetriske bølgefunksjoner for to (eller flere) partikler konstrueres ved å kombinere symmetrisk romdel med antisymmetrisk spinndel eller omvendt. For bosoner kombineres rom- og spinndel som begge er (anti)symmetriske.

33 Identiske partikler Paulis eksklusjonsprinsipp: To identiske fermioner kan aldri ha samme sett med kvantetall, dvs de kan aldri befinne seg i samme én-partikkeltilstand. Exchange : Identiske partikler med identisk rombølgefunksjon har en tendens til å være nærmere hverandre enn de med antisymmetrisk romlig bølgefunksjon. Dette er en ren kvanteeffekt (symmetrieffekt). Jfr Hunds regel for atomer!

34 Anyoner (ikke pensum) I TO dimensjoner finnes det uendelig mange typer av kvantestatistikk, med en kompleks fase under ombytte. Kalles anyoner. Fermioner og bosoner er da bare to spesialtilfeller. Anyoner ble teoretisk forutsagt av Leinaas og Myrheim i De forekommer i den såkalte kvante-halleffekten.

35 Atomer Pga vekselvirkningen mellom elektronene finnes det ingen enkel (analytisk) løsning av S.L. for flerelektron-atomer. Elektronene fordeler seg likevel i skall som kvalitativt ligner hydrogenatomets. Denne fordelingen følger Pauliprinsippet (maks ett elektron per tilstand) og Hunds regel (parallelle spinn foretrukket ved fylling av underskall) Elektronfordelingen, og spesielt de ytterste elektronene (valenselektronene) avgjør stoffets kjemiske egenskaper. Eks edelgasser.

36 Molekyler Molekyler formes vha ulike typer bindinger, f.eks. Ionebinding, kovalent binding... Alle skyldes elektrostatisk tiltrekning. Molekyler kjennetegnes ved sine kvantiserte rotasjons- og vibrasjonsspektre. For diatomiske molekyler: Strålingsoverganger forekommer mellom disse energinivåene, med utvalgsreglene Spektrallinjene kan brukes til å bestemme noen av molekylets fysiske egenskaper.

37 Faste stoffer Faste stoffer opptrer i ulike kystallstrukturer, som kubisk, fcc, bcc,... Finner igjen de samme bindingstypene som for molekyler. En klassisk beskrivelse av ledningevnen til et metall gir et kvalitativt korrekt uttrykk for Ohms lov, men man trenger kvantemekanikken for å forstå hvorfor noen stoffer leder strøm, mens andre ikke gjør det. Når atomer kombineres i en krystall, vil de tillatte energinivåene for elektronene organisere seg i bånd. Det er fyllingen av disse båndene i grunntilstanden (og båndgapene) som bestemmer om stoffet er et metall, en isolator eller en halvleder.

38 Faste stoffer Halvlederes ledningsevne kan forbedres vha doping (p-type, n-type) Pn-overgang som diode, likeretter. Leder strøm bare en vei. Utsendelse av fotoner ved rekombinasjon (LED), mens absorbsjon kan skape elektron-hull par (solceller). Transistor