FYS2140 KVANTEFYSIKK

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "FYS2140 KVANTEFYSIKK"

Transkript

1 FYS2140 KVANTEFYSIKK Susanne Viefers Fysisk Institutt, Teorigruppa FYS2140 KVANTEFYSIKK p.1/55

2 Første uke, januar Mandag: Første time: Presentasjon av kurset med opplegg m.m. Mandag: Andre time, enheter og størrelser i FYS2140 Tirsdag: Sort legeme-stråling og Plancks kvantiseringshypotese (Tirsdag: Fotoelektrisk effekt) Torsdag og fredag: Datalab med repetisjonsoppgaver (matematikk). FYS2140 KVANTEFYSIKK p.2/55

3 En hund etter kvantefysikk.. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.3/55

4 Undervisningsopplegg Forelesninger: mandag ( ) og tirsdag ( , dessverre...) FYS2140 KVANTEFYSIKK p.4/55

5 Undervisningsopplegg Forelesninger: mandag ( ) og tirsdag ( , dessverre...) Forelesningsnotater for første del av kurset er lagt ut på kursets hjemmeside. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.4/55

6 Undervisningsopplegg Forelesninger: mandag ( ) og tirsdag ( , dessverre...) Forelesningsnotater for første del av kurset er lagt ut på kursets hjemmeside. Onsdagstimen brukes til gjennomgang av obliger samt tilleggsoppgaver. Første gang 25. januar. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.4/55

7 Undervisningsopplegg Forelesninger: mandag ( ) og tirsdag ( , dessverre...) Forelesningsnotater for første del av kurset er lagt ut på kursets hjemmeside. Onsdagstimen brukes til gjennomgang av obliger samt tilleggsoppgaver. Første gang 25. januar. Regneverksted og datalab: tre grupper, 9-13 torsdag og fredag. Fredag er for MEF of ELDAT. Maks 30 studenter per gruppe. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.4/55

8 Undervisningsopplegg Forelesninger: mandag ( ) og tirsdag ( , dessverre...) Forelesningsnotater for første del av kurset er lagt ut på kursets hjemmeside. Onsdagstimen brukes til gjennomgang av obliger samt tilleggsoppgaver. Første gang 25. januar. Regneverksted og datalab: tre grupper, 9-13 torsdag og fredag. Fredag er for MEF of ELDAT. Maks 30 studenter per gruppe. Oppgavene som skal leveres inn kunngjøres mandagen i uka før. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.4/55

9 Undervisningsopplegg Av 12 innleveringsoppgaver (= ukeoppgaver) skal 6 være godkjent for å gå opp til eksamen. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.5/55

10 Undervisningsopplegg Av 12 innleveringsoppgaver (= ukeoppgaver) skal 6 være godkjent for å gå opp til eksamen. Kurset består av tre hoveddeler, og oppgavene følger disse. For hver del må minst to oppgaver være godkjent. Innleveringsobligene 1-4 hører til del 1, 5-8 til del 2 og 9-12 til del 3. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.5/55

11 Undervisningsopplegg Av 12 innleveringsoppgaver (= ukeoppgaver) skal 6 være godkjent for å gå opp til eksamen. Kurset består av tre hoveddeler, og oppgavene følger disse. For hver del må minst to oppgaver være godkjent. Innleveringsobligene 1-4 hører til del 1, 5-8 til del 2 og 9-12 til del 3. Oppgavene returnes rettet påfølgende labtime. Gjennomgås første onsdagen etter innlevering. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.5/55

12 Undervisningsopplegg Av 12 innleveringsoppgaver (= ukeoppgaver) skal 6 være godkjent for å gå opp til eksamen. Kurset består av tre hoveddeler, og oppgavene følger disse. For hver del må minst to oppgaver være godkjent. Innleveringsobligene 1-4 hører til del 1, 5-8 til del 2 og 9-12 til del 3. Oppgavene returnes rettet påfølgende labtime. Gjennomgås første onsdagen etter innlevering. Tilleggsoppgaver gjennomgås også på onsdagstimen. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.5/55

13 Undervisningsopplegg Av 12 innleveringsoppgaver (= ukeoppgaver) skal 6 være godkjent for å gå opp til eksamen. Kurset består av tre hoveddeler, og oppgavene følger disse. For hver del må minst to oppgaver være godkjent. Innleveringsobligene 1-4 hører til del 1, 5-8 til del 2 og 9-12 til del 3. Oppgavene returnes rettet påfølgende labtime. Gjennomgås første onsdagen etter innlevering. Tilleggsoppgaver gjennomgås også på onsdagstimen. Innlevering av obliger: Ekspedisjonskontoret, 1. etasje senest mandag ved stengetid (kl.16). Ved sen innlevering: TA KONTAKT MED GRUPPELÆRER! FYS2140 KVANTEFYSIKK p.5/55

14 Undervisningsopplegg Av 12 innleveringsoppgaver (= ukeoppgaver) skal 6 være godkjent for å gå opp til eksamen. Kurset består av tre hoveddeler, og oppgavene følger disse. For hver del må minst to oppgaver være godkjent. Innleveringsobligene 1-4 hører til del 1, 5-8 til del 2 og 9-12 til del 3. Oppgavene returnes rettet påfølgende labtime. Gjennomgås første onsdagen etter innlevering. Tilleggsoppgaver gjennomgås også på onsdagstimen. Innlevering av obliger: Ekspedisjonskontoret, 1. etasje senest mandag ved stengetid (kl.16). Ved sen innlevering: TA KONTAKT MED GRUPPELÆRER! Siste forelesning (sannsynligvis) tirsdag 23. mai. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.5/55

15 Vurderingsform Skriftlig eksamen 12. juni kl.09:00, 3 timer. Teller ca. 60%. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.6/55

16 Vurderingsform Skriftlig eksamen 12. juni kl.09:00, 3 timer. Teller ca. 60%. Prosjektoppgave I (hjemmeeksamen, numerisk og analytisk), utleveres 9. mars, innlevering 17. mars. Teller ca. 40%. Mulighet for å bli trukket ut til muntlig redegjørelse. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.6/55

17 Vurderingsform Skriftlig eksamen 12. juni kl.09:00, 3 timer. Teller ca. 60%. Prosjektoppgave I (hjemmeeksamen, numerisk og analytisk), utleveres 9. mars, innlevering 17. mars. Teller ca. 40%. Mulighet for å bli trukket ut til muntlig redegjørelse. Prosjektoppgave II (Eksperimentell oppgave på syklotronlaben). Start 10. mai med innlevering av prosjektrapport ca. 26. mai. Godkjent / ikke godkjent. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.6/55

18 Vurderingsform Skriftlig eksamen 12. juni kl.09:00, 3 timer. Teller ca. 60%. Prosjektoppgave I (hjemmeeksamen, numerisk og analytisk), utleveres 9. mars, innlevering 17. mars. Teller ca. 40%. Mulighet for å bli trukket ut til muntlig redegjørelse. Prosjektoppgave II (Eksperimentell oppgave på syklotronlaben). Start 10. mai med innlevering av prosjektrapport ca. 26. mai. Godkjent / ikke godkjent. Hver deleksamen må være bestått for å stå i kurset! FYS2140 KVANTEFYSIKK p.6/55

19 Regnelab Rom FV329 er åpent i tidsrommet 9-13 torsdager og 9-17 fredager for påmeldte på FYS2140. BRUK REGNELABEN!!! Tid Gruppe 1: Torsdag 9-13 Gruppe 3: Torsdag Gruppe 5: Fredag 9-13 Gruppe 7: Fredag Veileder Elise Bergli Åpnes ved behov Sunniva Siem Mateusz Røstad (MEF of ELDAT) FYS2140 KVANTEFYSIKK p.7/55

20 Kursets oppbygning Første del tar for seg den historiske utviklingen fra slutten av det nittende århundre til begynnelsen av forrige århundre. I denne tidsperioden vokste erkjennelsen av at en rekke eksperimenter ikke kunne beskrives av klassisk fysikk (Newtons lover m.m.). Denne utviklingen ledet fram til den nye kvanteteorien i De nye begrepene som ble innført var materieegenskapen til stråling, bølgeegenskapene til materien og kvantiseringen av fysiske størrelser. Dekkes av forelesningsnotater. Første 3-4 uker av semesteret. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.8/55

21 Kursets oppbygning Andre del tar for seg en første introduksjon til kvantemekanikk, med løsning av Schödingerligningen i enkle systemer, samt litt om kvantemekanikkens formalisme. Denne delen avsluttes med en kvantemekanisk beskrivelse av hydrogenatomet. Dekkes av kapitlene 1-4 i Griffiths. Undervises de påfølgende 6-7 uker. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.9/55

22 Kursets oppbygning Tredje og siste del tar for seg anvendelser i ulike fagfelt, fra kvantemekanikkens spede begynnelse med atom- og molekylfysikk, til kjernefysikk, moderne partikkelfysikk og faste stoffers fysikk/nanofysikk. Undervises resten av semesteret. Dekkes av deler av kap. 5 i Griffiths, samt forelesningsnotater. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.10/55

23 Detaljert innhold Første del, Forelesningsnotater Enheter og størrelser i Fys2140 Sort legeme-stråling og Plancks kvantiseringshypotese Fotoelektrisk effekt Röntgenstråling Comptonspredning Bohrs atommodell Materiebølger og partikkel-bølge dualitet FYS2140 KVANTEFYSIKK p.11/55

24 Detaljert innhold Andre del, kap. 1-4 i Griffiths Introduksjon til kvantemekanikk og enkle kvantemekaniske systemer Kvantemekanikkens matematiske formalisme Kvantisering av banespinn Hydrogenatomet FYS2140 KVANTEFYSIKK p.12/55

25 Detaljert innhold Tredje del, deler av kap. 5 i Griffiths, forelesningsnotater Spinn, identiske partikler, Pauliprinsippet Atomfysikk. Teori til å forklare det periodiske system. Faste stoffers fysikk, nanofysikk. Kjernefysikk. Moderne partikkelfysikk, kvarker og leptoner FYS2140 KVANTEFYSIKK p.13/55

26 Kursmateriale Lærebok: Griffiths: Introduction to Quantum Mechanics Viefers, Hjorth Jensen og Engeland: Forelesningsnotater. Kan lastes ned fra kursets webside. Andre notater som legges ut i løpet av kurset. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.14/55

27 Get ready to be shocked... Kvantemekanikken er alt annet enn intuitiv! FYS2140 KVANTEFYSIKK p.15/55

28 Kvantemekanikk i et nøtteskall... Energikvantisering Vi er vant til energi som en kontinuerlig størrelse. Den potensielle energien 1 2 kx2 til en fjær, for eksempel, kan ifølge klassisk mekanikk anta en hvilken som helst verdi. Men ser vi på verden med stort nok forstørrelsesglass (dvs atomært nivå), finner en mange tilfeller av at energier bare kan anta visse, diskrete verdier. Dette kalles kvantisering. Vi vil se mange eksempler på dette, bl.a. elektronbanene i atomer, og fotoner ( partiklene som lyset består av). FYS2140 KVANTEFYSIKK p.16/55

29 Kvantemekanikk i et nøtteskall... Bølge - partikkel dualitet En kan tilordne bølgeegenskaper til enhver partikkel (eller for den saks skyld til hver og en av dere...), og partikkelegenskaper til lyset. At lyset består av partikler (energipakker) har jeg allerede nevnt. Et sjokkerende bevis på materiens bølgeegenskaper er dobbeltspalte-eksperimentet: Dere har lært om interferens med klassiske bølger på videregående. Men: Sender man ett elektron mot to spalter, vil det grovt sagt gå gjennom begge spaltene samtidig og interferere med seg selv. Som en konsekvens av dette trenger man en bølgeligning (Schrödingerligningen) til å beskrive materien, i stedet for Newtons lover. Og det eneste vi kan få vite noe om utfra denne bølgeligningen er sannsynligheter, f.eks. sannsynligheten for at en partikkel skal befinne seg et gitt sted. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.17/55

30 Kvantemekanikk i et nøtteskall... Heisenbergs uskarphetsrelasjon. Klassisk er det slik at posisjon x og bevegelsesmengde p er uavhengige størrelser. Vi kan holde en kaffekopp i ro og samtidig vite hvor den befinner seg! Kvantemekanisk impliserer Heisenbergs uskarphetsrelasjon at vi ikke kan lokalisere en partikkel og samtidig bestemme dens bevegelsesmengde skarpt. Matematisk uttrykkes dette som p x 2, der x er uskarpheten i posisjon, og p er uskarpheten i bevegelsesmengde. Grunnen til at vi ikke merker noe til dette i hverdagen, er at uskarpheten blir uhyre liten for makrokopiske gjenstander. Men på atomært nivå har uskarphetsrelasjonen merkbare og viktige konsekvenser. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.18/55

31 Kvantemekanikk i et nøtteskall... Paulis eksklusjonsprinsipp: To fermioner (som f.eks. elektroner, protoner, nøytroner, kvarker og nøytrinoer) kan ikke befinne seg i samme tilstand (dvs samme energi, samme sted...) samtidig. Dette fører bl.a. til at, som dere vet, energiskall i atomer kan bli fulle. Ekslusjonsprinsippet er m.a.o. avgjørende for hele materiens struktur! FYS2140 KVANTEFYSIKK p.19/55

32 Sort legeme stråling Mν(hν) [ev/nm 2 ] 2e e-06 1e-06 5e-07 k B T = 0.6 ev k B T = 0.5 ev k B T = 0.4 ev Klassisk k B T = 0.6 ev Energi hν [ev] 4 5 FYS2140 KVANTEFYSIKK p.20/55

33 Andre uke, januar Mandag 23: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 23: Fotoelektrisk effekt og Röntgenstråling Tirsdag 24: Comptonspredning Onsdag 25: Gjennomgang av oppgavene 1.1 og 1.2 i forelesningsnotatene. Gjennomgang av oblig 1. Torsdag og fredag: jobbing med oblig 2 (er lagt ut, se undervisningsplan!) FYS2140 KVANTEFYSIKK p.21/55

34 Repetisjon fra 16. og 17. jan Kvantefysikken har en del egenskaper som skiller seg fundamentalt fra klassisk fysikk. Vi nevnte energikvantisering, bølge-partikkel-dualitet, Heisenbergs uskarphetsrelasjon og Pauliprinsippet. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.22/55

35 Repetisjon fra 16. og 17. jan Kvantefysikken har en del egenskaper som skiller seg fundamentalt fra klassisk fysikk. Vi nevnte energikvantisering, bølge-partikkel-dualitet, Heisenbergs uskarphetsrelasjon og Pauliprinsippet. Siden vi skal beskrive fysikken på mikroskala, er det ofte hensiktsmessig å bruke enheten ev (MeV) for energi, nm (Å) for lengde, ev/c 2 (MeV/c 2 ) for masse, og ev/c (MeV/c) for bevegelsesmengde. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.22/55

36 Repetisjon fra 16. og 17. jan Sort stråling: Termisk stråling fra et legeme som har null refleksjon. Frekvensfordelingen (Stefan-Boltzmanns lov, Wiens forskyvningslov) var kjent eksperimentelt men kunne ikke forklares fra klassisk fysikk. Den ultrafiolette katastrofen FYS2140 KVANTEFYSIKK p.23/55

37 Repetisjon fra 16. og 17. jan Sort stråling: Termisk stråling fra et legeme som har null refleksjon. Frekvensfordelingen (Stefan-Boltzmanns lov, Wiens forskyvningslov) var kjent eksperimentelt men kunne ikke forklares fra klassisk fysikk. Den ultrafiolette katastrofen Spekteret kunne forklares vha Planck s kvantiseringshypotese: Hulromsstrålingen består av kvantiserte energipakker (fotoner) med energi hν. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.23/55

38 Repetisjon fra 16. og 17. jan Sort stråling: Termisk stråling fra et legeme som har null refleksjon. Frekvensfordelingen (Stefan-Boltzmanns lov, Wiens forskyvningslov) var kjent eksperimentelt men kunne ikke forklares fra klassisk fysikk. Den ultrafiolette katastrofen Spekteret kunne forklares vha Planck s kvantiseringshypotese: Hulromsstrålingen består av kvantiserte energipakker (fotoner) med energi hν. Kvantiseringshypotesen utgjorde det avgjørende bruddet med klassisk fysikk. Kvantemekanikkens unnfangelse. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.23/55

39 Ukens hovedbudskap Elektromagnetisk stråling (lys) har - i tillegg til de velkjente bølgeegenskapene - også partikkelegenskaper. Den består av kvantiserte energipakker (fotoner) som kan delta i støt med f.eks. elektroner. Fotoner kan tilordnes både energi (E = hν) og bevegelsemengde (p = h/λ). FYS2140 KVANTEFYSIKK p.24/55

40 Tredje uke, 30. jan - 3. feb Mandag 30: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 30: Problemer med klassisk atomfysikk. Bohrs atommodell. Tirsdag 31: Materiebølger: Dobbeltspalte-eksp., de Broglie-bølgelengde Onsdag 1: Gjennomgang av oppgave 1.4 i forelesningsnotatene. Gjennomgang av oblig 2. Torsdag og fredag: Jobbing med oblig 3 (er lagt ut, se undervisningsplan) FYS2140 KVANTEFYSIKK p.25/55

41 Repetisjon fra 23. og 24. jan Fotoelektrisk effekt: Lys sendt mot en metallplate slår ut elektroner. Eksperimentelle resultater (bl.a. eksistensen av en minstefrekvens og stoppespenningens uavhengighet av intensiteten) kunne ikke forklares klassisk. Kunne forklares ved å innføre fotonbegrepet (energikvantisering). FYS2140 KVANTEFYSIKK p.26/55

42 Repetisjon fra 23. og 24. jan Fotoelektrisk effekt: Lys sendt mot en metallplate slår ut elektroner. Eksperimentelle resultater (bl.a. eksistensen av en minstefrekvens og stoppespenningens uavhengighet av intensiteten) kunne ikke forklares klassisk. Kunne forklares ved å innføre fotonbegrepet (energikvantisering). På samme måte kunne eksistensen av en minste bølgelengde i Röntgenstråling forklares vha fotonbegrepet. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.26/55

43 Repetisjon fra 23. og 24. jan Fotoelektrisk effekt: Lys sendt mot en metallplate slår ut elektroner. Eksperimentelle resultater (bl.a. eksistensen av en minstefrekvens og stoppespenningens uavhengighet av intensiteten) kunne ikke forklares klassisk. Kunne forklares ved å innføre fotonbegrepet (energikvantisering). På samme måte kunne eksistensen av en minste bølgelengde i Röntgenstråling forklares vha fotonbegrepet. Comptonspredning: Fotoner spres mot (effektivt) frie elektroner. Resultatene kan forklares bl.a. ved å tilordne fotonene en bevegelsesmengde. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.26/55

44 Fjerde uke, februar Mandag 6: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 6: Litt bølgelære, sammenheng ml.bølge- og partikkelbildet Tirsdag 7: Schrödingerligningen, bølgefunksjonen, sannsynlighet i Griffiths Onsdag 8: Gjennomgang av oppgave 4.2 og 4.3 i forelesningsnotatene. Gjennomgang av oblig 3. Torsdag og fredag: Jobbing med oblig 4 (egne filer, pdf/tex og matlab, er lagt ut) FYS2140 KVANTEFYSIKK p.27/55

45 Repetisjon fra 30. og 31. jan To dilemmaer i klassisk atomfysikk: Materiens stabilitet og spektroskopidata. Bohr løste disse med sin modell for hydrogenatomet. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.28/55

46 Repetisjon fra 30. og 31. jan To dilemmaer i klassisk atomfysikk: Materiens stabilitet og spektroskopidata. Bohr løste disse med sin modell for hydrogenatomet. Bohrs atommodell har mange svakheter, men var av avgjørende betydning for kvantefysikkens utvikling. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.28/55

47 Repetisjon fra 30. og 31. jan To dilemmaer i klassisk atomfysikk: Materiens stabilitet og spektroskopidata. Bohr løste disse med sin modell for hydrogenatomet. Bohrs atommodell har mange svakheter, men var av avgjørende betydning for kvantefysikkens utvikling. De viktigste egenskapene den forutsa var kvantisering av elektronets angulærmoment og dermed kvantiserte energinivåer for elektronet. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.28/55

48 Repetisjon fra 30. og 31. jan Dobbeltspalte-eksperimentet viser at materie (f.eks. elektroner) også kan oppføre seg som bølger. (Interferens, diffraksjon). Hvert enkelt elektron går gjennom begge spaltene samtidig og interfererer med seg selv. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.29/55

49 Repetisjon fra 30. og 31. jan Dobbeltspalte-eksperimentet viser at materie (f.eks. elektroner) også kan oppføre seg som bølger. (Interferens, diffraksjon). Hvert enkelt elektron går gjennom begge spaltene samtidig og interfererer med seg selv. Kvadratet av bølgens amplitude bestemmer sannsynligheten for at partikkelen skal observeres et gitt sted. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.29/55

50 Repetisjon fra 30. og 31. jan Dobbeltspalte-eksperimentet viser at materie (f.eks. elektroner) også kan oppføre seg som bølger. (Interferens, diffraksjon). Hvert enkelt elektron går gjennom begge spaltene samtidig og interfererer med seg selv. Kvadratet av bølgens amplitude bestemmer sannsynligheten for at partikkelen skal observeres et gitt sted. Materiebølger tilordnes en bølgelengde (de Broglie bølgelengden) λ = h/p og frekvens ν = E/h. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.29/55

51 Repetisjon fra 30. og 31. jan Dobbeltspalte-eksperimentet viser at materie (f.eks. elektroner) også kan oppføre seg som bølger. (Interferens, diffraksjon). Hvert enkelt elektron går gjennom begge spaltene samtidig og interfererer med seg selv. Kvadratet av bølgens amplitude bestemmer sannsynligheten for at partikkelen skal observeres et gitt sted. Materiebølger tilordnes en bølgelengde (de Broglie bølgelengden) λ = h/p og frekvens ν = E/h. Uttrykt ved bølgetallet k og vinkelfrekvensen ω blir de fundamentale relasjonene p = k og E = ω. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.29/55

52 Femte uke, feb Mandag 13: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 13: Normering av bølgefunksjonen, bevegelsesmengde, operatorer (1.4, 1.5). (Heisenbergs uskarphetsrelasjon, 1.6) Tirsdag 14: Uskarphetsrelasjonen. Film om Københavnertolkningen Onsdag 9: Gjennomgang av oppgave 1.1 og 1.2 i boka. Gjennomgang av oblig 4. Torsdag og fredag: Jobbing med oblig 5 FYS2140 KVANTEFYSIKK p.30/55

53 Repetisjon fra 6. og 7. feb Siden materien har bølgeegenskaper, må den beskrives vha en bølgefunksjon som er løsning av en bølgeligning Schrödingerligningen. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.31/55

54 Repetisjon fra 6. og 7. feb Siden materien har bølgeegenskaper, må den beskrives vha en bølgefunksjon som er løsning av en bølgeligning Schrödingerligningen. En lokalisert partikkel beskrives som en sum av flere planbølger. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.31/55

55 Repetisjon fra 6. og 7. feb Siden materien har bølgeegenskaper, må den beskrives vha en bølgefunksjon som er løsning av en bølgeligning Schrödingerligningen. En lokalisert partikkel beskrives som en sum av flere planbølger. Partikkelens energi ω er en funksjon av bevegelsesmengden k. Funksjonen ω(k) kalles dispersjonsrelasjon. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.31/55

56 Repetisjon fra 6. og 7. feb Siden materien har bølgeegenskaper, må den beskrives vha en bølgefunksjon som er løsning av en bølgeligning Schrödingerligningen. En lokalisert partikkel beskrives som en sum av flere planbølger. Partikkelens energi ω er en funksjon av bevegelsesmengden k. Funksjonen ω(k) kalles dispersjonsrelasjon. Det vi er vant til som bølgens hastighet er fasehastigheten v f = ω/k. Men det som identifiseres med partikkelens hastighet er omhyllingskurvens hastighet, dvs gruppehastigheten, v g = dω/dk. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.31/55

57 Repetisjon fra 6. og 7. feb Bølgeligningen som beskriver ikke-relativistiske materiebølger er Schrödingerligningen (SL). Den er en partiell differensialligning i x og t. Dens løsning er bølgefunksjonen. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.32/55

58 Repetisjon fra 6. og 7. feb Bølgeligningen som beskriver ikke-relativistiske materiebølger er Schrödingerligningen (SL). Den er en partiell differensialligning i x og t. Dens løsning er bølgefunksjonen. SL er essensielt en energiligning. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.32/55

59 Repetisjon fra 6. og 7. feb Bølgeligningen som beskriver ikke-relativistiske materiebølger er Schrödingerligningen (SL). Den er en partiell differensialligning i x og t. Dens løsning er bølgefunksjonen. SL er essensielt en energiligning. Bølgefunksjonen er en kompleks funksjon som koder all informasjon som er mulig å få om partikkelens posisjon, bevegelsesmengde osv. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.32/55

60 Repetisjon fra 6. og 7. feb Bølgeligningen som beskriver ikke-relativistiske materiebølger er Schrödingerligningen (SL). Den er en partiell differensialligning i x og t. Dens løsning er bølgefunksjonen. SL er essensielt en energiligning. Bølgefunksjonen er en kompleks funksjon som koder all informasjon som er mulig å få om partikkelens posisjon, bevegelsesmengde osv. SL kan bare gi statistisk informasjon dvs informasjon om sannsynligheten for å få et visst måleresultat. (eller den fordelingen av måleresultater en ville få med mange identiske forsøk). FYS2140 KVANTEFYSIKK p.32/55

61 Repetisjon fra 6. og 7. feb Bølgeligningen som beskriver ikke-relativistiske materiebølger er Schrödingerligningen (SL). Den er en partiell differensialligning i x og t. Dens løsning er bølgefunksjonen. SL er essensielt en energiligning. Bølgefunksjonen er en kompleks funksjon som koder all informasjon som er mulig å få om partikkelens posisjon, bevegelsesmengde osv. SL kan bare gi statistisk informasjon dvs informasjon om sannsynligheten for å få et visst måleresultat. (eller den fordelingen av måleresultater en ville få med mange identiske forsøk). ψ(x, t) 2 er en sannsynlighetstetthet for å finne partikkelen nær posisjon x ved tiden t. Kan brukes til å beregne forventningsverdier og spredning/uskarphet (standardavviket) for ulike fysiske størrelser. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.32/55

62 Sjette uke, feb Mandag 20: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 20: Tidsuavhengig SL. Stasjonære/ikke-stasjonære tilstander (kap 2.1). Tirsdag 21: Partikkel i uendelig bokspotensial (kap 2.2) Onsdag 22: Gjennomgang av oppgave 1.9 i boka og 4.6 abc i forelesningsnotatene. Gjennomgang av oblig 5. Torsdag og fredag: Jobbing med oblig 6 FYS2140 KVANTEFYSIKK p.33/55

63 Repetisjon fra 13. og 14. feb En fysisk akseptabel bølgefunksjon må være normerbar, cfr sannsylighetstolkningen. En bølgefunksjon er normert når ψ 2 dx = 1. Normeringen er ikke tidsavhengig. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.34/55

64 Repetisjon fra 13. og 14. feb En fysisk akseptabel bølgefunksjon må være normerbar, cfr sannsylighetstolkningen. En bølgefunksjon er normert når ψ 2 dx = 1. Normeringen er ikke tidsavhengig. Operatoren i / x representerer bevegelsesmengden. Settes inn for p når en beregner forventningsverdier av fysiske variable. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.34/55

65 Repetisjon fra 13. og 14. feb En fysisk akseptabel bølgefunksjon må være normerbar, cfr sannsylighetstolkningen. En bølgefunksjon er normert når ψ 2 dx = 1. Normeringen er ikke tidsavhengig. Operatoren i / x representerer bevegelsesmengden. Settes inn for p når en beregner forventningsverdier av fysiske variable. Heisenbergs uskarphetsrelasjon: σ x σ p /2 sier at posisjon og bevegelsesmengde ikke kan bestemmes skarpt samtidig. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.34/55

66 Repetisjon fra 13. og 14. feb En fysisk akseptabel bølgefunksjon må være normerbar, cfr sannsylighetstolkningen. En bølgefunksjon er normert når ψ 2 dx = 1. Normeringen er ikke tidsavhengig. Operatoren i / x representerer bevegelsesmengden. Settes inn for p når en beregner forventningsverdier av fysiske variable. Heisenbergs uskarphetsrelasjon: σ x σ p /2 sier at posisjon og bevegelsesmengde ikke kan bestemmes skarpt samtidig. Uskarphetsrelasjonen er en egenskap ved fysiske fenomen som har bølgenatur. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.34/55

67 Repetisjon fra 13. og 14. feb En fysisk akseptabel bølgefunksjon må være normerbar, cfr sannsylighetstolkningen. En bølgefunksjon er normert når ψ 2 dx = 1. Normeringen er ikke tidsavhengig. Operatoren i / x representerer bevegelsesmengden. Settes inn for p når en beregner forventningsverdier av fysiske variable. Heisenbergs uskarphetsrelasjon: σ x σ p /2 sier at posisjon og bevegelsesmengde ikke kan bestemmes skarpt samtidig. Uskarphetsrelasjonen er en egenskap ved fysiske fenomen som har bølgenatur. Uskarpheten for makroskopiske objekter er så liten at vi ikke merker noe til den i hverdagen (ikke observerbar) FYS2140 KVANTEFYSIKK p.34/55

68 Sjuende uke, 27.feb - 3.mars Mandag 27: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 27: Partikkel i uendelig boks forts. Harmonisk oscillator (2.3) Tirsdag 28: Harmonisk oscillator forts. Onsdag 1: Oppg. 2.1, 2.2 (2.7). Gjennomgang av oblig 6. Torsdag og fredag: Jobbing med oblig 7 FYS2140 KVANTEFYSIKK p.35/55

69 Repetisjon fra 20. og 21. feb Stasjonære tilstander er separable løsninger av SL, dvs på formen ψ i (x)exp( ie i t/ ). ψ i (x) er løsninger av den tidsuavhengige SL, Hψ = Eψ der H er Hamiltonoperatoren. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.36/55

70 Repetisjon fra 20. og 21. feb Stasjonære tilstander er separable løsninger av SL, dvs på formen ψ i (x)exp( ie i t/ ). ψ i (x) er løsninger av den tidsuavhengige SL, Hψ = Eψ der H er Hamiltonoperatoren. Stasjonære løsninger har SKARP energi E i. Deres sannsynlighetstetthet samt forventningsverdier av fysiske størrelser er konstante i tiden. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.36/55

71 Repetisjon fra 20. og 21. feb Stasjonære tilstander er separable løsninger av SL, dvs på formen ψ i (x)exp( ie i t/ ). ψ i (x) er løsninger av den tidsuavhengige SL, Hψ = Eψ der H er Hamiltonoperatoren. Stasjonære løsninger har SKARP energi E i. Deres sannsynlighetstetthet samt forventningsverdier av fysiske størrelser er konstante i tiden. Alle andre løsninger av den fulle SL (de ikke-stasjonære) kan uttrykkes som lineærkombinasjoner av de stasjonære, dvs Ψ(x, t) = c i ψ i (x)exp( ie i t/ ) FYS2140 KVANTEFYSIKK p.36/55

72 Repetisjon fra 20. og 21. feb Med partikkel i uendelig boks menes en partikkel som beveger seg i et endelig område der V (x) = 0, mens den potensielle energien er uendelig stor utenfor dette området. Tilnærmet beskrivelse av f.eks. en ladd partikkel fanget av sterke elektriske felt. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.37/55

73 Repetisjon fra 20. og 21. feb Med partikkel i uendelig boks menes en partikkel som beveger seg i et endelig område der V (x) = 0, mens den potensielle energien er uendelig stor utenfor dette området. Tilnærmet beskrivelse av f.eks. en ladd partikkel fanget av sterke elektriske felt. SL løses ved å skrive ned løsningene for hvert enkelt område og skjøte dem sammen. Her brukes kravet om kontinuitet av bølgefunksjonen. Generelt (for ENDELIG potensial) skal også den deriverte være kontinuerlig. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.37/55

74 Repetisjon fra 20. og 21. feb Med partikkel i uendelig boks menes en partikkel som beveger seg i et endelig område der V (x) = 0, mens den potensielle energien er uendelig stor utenfor dette området. Tilnærmet beskrivelse av f.eks. en ladd partikkel fanget av sterke elektriske felt. SL løses ved å skrive ned løsningene for hvert enkelt område og skjøte dem sammen. Her brukes kravet om kontinuitet av bølgefunksjonen. Generelt (for ENDELIG potensial) skal også den deriverte være kontinuerlig. Man finner et uendelig sett løsninger ( egenfunksjoner ) med tilhørende energier. En generell egenskap er at egenfunksjonene er ORTOGONALE. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.37/55

75 Åttende uke, mars Mandag 6: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 6: Fri partikkel. Bundne tilstander. Partikkel i endelig boks Tirsdag 7: Partikkel i endeligboks forts. Tunnelering Onsdag 8: Oppg Gjennomgang av oblig 7. Torsdag og fredag: Ingen datalab. Hjemmeeksamen legges ut torsdag. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.38/55

76 Repetisjon fra 27. og 28. feb Kommutatoren mellom to operatorer er definert som: [Â, ˆB] = Â ˆB ˆBÂ. Det er underforstått at disse virker på en hjelpefunksjon. Hvis kommutatoren ikke er lik null, betyr det at det gjør en forskjell i hvilken REKKEFØLGE operatorene virker på en funksjon. Spesielt: Den kanoniske kommutator [ˆx, ˆp] = i FYS2140 KVANTEFYSIKK p.39/55

77 Repetisjon fra 27. og 28. feb Kommutatoren mellom to operatorer er definert som: [Â, ˆB] = Â ˆB ˆBÂ. Det er underforstått at disse virker på en hjelpefunksjon. Hvis kommutatoren ikke er lik null, betyr det at det gjør en forskjell i hvilken REKKEFØLGE operatorene virker på en funksjon. Spesielt: Den kanoniske kommutator [ˆx, ˆp] = i Den harmoniske oscillator (den kvantemekaniske versjonen av en klassisk fjær) spiller en meget sentral rolle i fysikken. Den dukker opp utallige steder fordi den gir en tilnærmet beskrivelse av mange realistiske systemer (spes. små svingninger rundt et likevektspunkt). FYS2140 KVANTEFYSIKK p.39/55

78 Repetisjon fra 27. og 28. feb Kommutatoren mellom to operatorer er definert som: [Â, ˆB] = Â ˆB ˆBÂ. Det er underforstått at disse virker på en hjelpefunksjon. Hvis kommutatoren ikke er lik null, betyr det at det gjør en forskjell i hvilken REKKEFØLGE operatorene virker på en funksjon. Spesielt: Den kanoniske kommutator [ˆx, ˆp] = i Den harmoniske oscillator (den kvantemekaniske versjonen av en klassisk fjær) spiller en meget sentral rolle i fysikken. Den dukker opp utallige steder fordi den gir en tilnærmet beskrivelse av mange realistiske systemer (spes. små svingninger rundt et likevektspunkt). Potensialtermen i Hamiltonoperatoren for en harmonisk oscillator er gitt ved V (x) = 1/2 kx 2 = 1/2 mω 2 x 2. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.39/55

79 Repetisjon fra 27. og 28. feb Det finnes to måter å løse oscillatoren på. Algebraisk og ved rekkeutvikling. I den algebraiske løsningen faktoriserer vi Hamiltonoperatoren ved å innføre operatorene â og â +. Disse er essensielt kombinasjoner av x og d/dx. Får da Ĥ = (â + â + 1/2) ω. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.40/55

80 Repetisjon fra 27. og 28. feb Det finnes to måter å løse oscillatoren på. Algebraisk og ved rekkeutvikling. I den algebraiske løsningen faktoriserer vi Hamiltonoperatoren ved å innføre operatorene â og â +. Disse er essensielt kombinasjoner av x og d/dx. Får da Ĥ = (â + â + 1/2) ω. Disse operatorene kan brukes til å generere høyere/lavere bølgefunksjoner fra en gitt løsning. Spesielt finner en grunntilstanden ψ 0 (x) ved å kreve â ψ 0 = 0. Kan så generere de eksiterte ved å la â + virke på grunntilstanden gjentatte ganger. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.40/55

81 Repetisjon fra 27. og 28. feb Det finnes to måter å løse oscillatoren på. Algebraisk og ved rekkeutvikling. I den algebraiske løsningen faktoriserer vi Hamiltonoperatoren ved å innføre operatorene â og â +. Disse er essensielt kombinasjoner av x og d/dx. Får da Ĥ = (â + â + 1/2) ω. Disse operatorene kan brukes til å generere høyere/lavere bølgefunksjoner fra en gitt løsning. Spesielt finner en grunntilstanden ψ 0 (x) ved å kreve â ψ 0 = 0. Kan så generere de eksiterte ved å la â + virke på grunntilstanden gjentatte ganger. Hver gang vi anvender heveoperatoren â +, får vi en tilstand som ligger ω høyere i energi. Hele spekteret er gitt ved E n = (n + 1/2) ω. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.40/55

82 Niende uke, mars Mandag 27: Kort repetisjon fra forrige gang Mandag 27: Tunnelering forts. Oppsummering av kvantemekanisk formalisme Tirsdag 28 Kvantemekanisk formalisme og sammenheng med lineær algebra (forenklet versjon av ) Onsdag 29: Gjennomgang av hjemmeeksamen. Torsdag og fredag: Jobbing med oblig 8. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.41/55

83 Repetisjon fra 6. og 7. mars Bundne tilstander: Er mulige når V (x) IKKE går mot uendelig for x ±. Med konvensjonen V (x) 0 i x ±, kan man ha bundne tilstander med E < 0 og ubundne tilstander med E > 0. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.42/55

84 Repetisjon fra 6. og 7. mars Bundne tilstander: Er mulige når V (x) IKKE går mot uendelig for x ±. Med konvensjonen V (x) 0 i x ±, kan man ha bundne tilstander med E < 0 og ubundne tilstander med E > 0. Partikkel i endelig boks: S.L. løses ved å skrive ned løsningene for hvert av områdene x < a, a < x < a og x > a. Kontinuitetskravene leder til en transcendental ligning som bestemmer tillatte verdier for E. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.42/55

85 Repetisjon fra 6. og 7. mars Bundne tilstander: Er mulige når V (x) IKKE går mot uendelig for x ±. Med konvensjonen V (x) 0 i x ±, kan man ha bundne tilstander med E < 0 og ubundne tilstander med E > 0. Partikkel i endelig boks: S.L. løses ved å skrive ned løsningene for hvert av områdene x < a, a < x < a og x > a. Kontinuitetskravene leder til en transcendental ligning som bestemmer tillatte verdier for E. Det finnes to klasser med løsninger: Symmetriske (like) og antisymmetriske (odde) omkring boksens midtpunkt. Løsningene svarer til stående bølger i brønnen, annenhver like og odde. De har lavere energi enn tilsvarende løsning i uendelig brønn. Bølgefunksjonen (sannsynligheten) kan trenge inn i det klassisk forbudte område. Denne effekten danner også utgangspunktet for TUNNELERING (barrieregjennomtrenging). FYS2140 KVANTEFYSIKK p.42/55

86 Tiende uke, april Mandag 3: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 3: Formalisme forts. Kvantemekanikk i tre dimensjoner, avsnitt 4.1 Tirsdag 4 Hydrogenatomet, avsnitt 4.2 Onsdag 5: 4.1 ac Torsdag og fredag: Jobbing med Oblig 9 (oppg. 4.2ab) FYS2140 KVANTEFYSIKK p.43/55

87 Repetisjon fra 27. og 28. mars Det finnes en nær sammenheng mellom den kvantemekaniske formalismen og lineær algebra. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.44/55

88 Repetisjon fra 27. og 28. mars Det finnes en nær sammenheng mellom den kvantemekaniske formalismen og lineær algebra. En kvantemekanisk tilstand beskrives av en vektor ψ >. Ved valg av koordinatbasis blir denne vektoren vår vanlige bølgefunksjon ψ(x). For hver x er ψ(x) en komponent. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.44/55

89 Repetisjon fra 27. og 28. mars Det finnes en nær sammenheng mellom den kvantemekaniske formalismen og lineær algebra. En kvantemekanisk tilstand beskrives av en vektor ψ >. Ved valg av koordinatbasis blir denne vektoren vår vanlige bølgefunksjon ψ(x). For hver x er ψ(x) en komponent. Hver målbare størrelse representeres av en operator som beskrives ved en lineær transformasjon. I en gitt basis representeres operatoren som en matrise. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.44/55

90 Repetisjon fra 27. og 28. mars Det finnes en nær sammenheng mellom den kvantemekaniske formalismen og lineær algebra. En kvantemekanisk tilstand beskrives av en vektor ψ >. Ved valg av koordinatbasis blir denne vektoren vår vanlige bølgefunksjon ψ(x). For hver x er ψ(x) en komponent. Hver målbare størrelse representeres av en operator som beskrives ved en lineær transformasjon. I en gitt basis representeres operatoren som en matrise. Måleverdien som oppnås er en egenverdi for operatoren, og etter målingen beskrives systemet av en egenvektor/egentilstand svarende til den oppnådde egenverdien. (Vektoren / bølgefunksjonen kollapser ) FYS2140 KVANTEFYSIKK p.44/55

91 Repetisjon fra 27. og 28. mars Det finnes en nær sammenheng mellom den kvantemekaniske formalismen og lineær algebra. En kvantemekanisk tilstand beskrives av en vektor ψ >. Ved valg av koordinatbasis blir denne vektoren vår vanlige bølgefunksjon ψ(x). For hver x er ψ(x) en komponent. Hver målbare størrelse representeres av en operator som beskrives ved en lineær transformasjon. I en gitt basis representeres operatoren som en matrise. Måleverdien som oppnås er en egenverdi for operatoren, og etter målingen beskrives systemet av en egenvektor/egentilstand svarende til den oppnådde egenverdien. (Vektoren / bølgefunksjonen kollapser ) Sannsynligheten for å observere en viss egenverdi er gitt ved absoluttkvadratet av tilstandens (vektorens) komponent langs tilsvarende egenvektor. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.44/55

92 Ellevte uke, april Tirsdag 18: Kort repetisjon fra før påske Tirsdag 18: Radiell sannsynlighet. Kvantisering av angulærmoment, avsnitt 4.3 Onsdag 19: Gjennomgang av oblig 9 Torsdag og fredag: Jobbing med Oblig 10 (hydrogenatomet) FYS2140 KVANTEFYSIKK p.45/55

93 Repetisjon fra 3. og 4. april Generalisering av kvantemekanikken fra en til tre dimensjoner: Bruker enten kartesiske koordinater (x,y,z) eller sfæriske koordinater, avhengig av formen på potensialet. Tre kvantetall. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.46/55

94 Repetisjon fra 3. og 4. april Generalisering av kvantemekanikken fra en til tre dimensjoner: Bruker enten kartesiske koordinater (x,y,z) eller sfæriske koordinater, avhengig av formen på potensialet. Tre kvantetall. S.L. for et sentralsymmetrisk potensial i 3D løses enklest i sfæriske koordinater ved separasjon av variable. Løsningene av vinkeldelen er uavhengige av potensialet. De er gitt ved de s.k. sfæriske harmoniske. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.46/55

95 Repetisjon fra 3. og 4. april Generalisering av kvantemekanikken fra en til tre dimensjoner: Bruker enten kartesiske koordinater (x,y,z) eller sfæriske koordinater, avhengig av formen på potensialet. Tre kvantetall. S.L. for et sentralsymmetrisk potensial i 3D løses enklest i sfæriske koordinater ved separasjon av variable. Løsningene av vinkeldelen er uavhengige av potensialet. De er gitt ved de s.k. sfæriske harmoniske. For å løse radialdelen, må man spesifisere V (r). For hydrogenatomet brukes Coulombpotensialet. Bohrs energiformel reproduseres for egenenergiene. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.46/55

96 Repetisjon fra 3. og 4. april Generalisering av kvantemekanikken fra en til tre dimensjoner: Bruker enten kartesiske koordinater (x,y,z) eller sfæriske koordinater, avhengig av formen på potensialet. Tre kvantetall. S.L. for et sentralsymmetrisk potensial i 3D løses enklest i sfæriske koordinater ved separasjon av variable. Løsningene av vinkeldelen er uavhengige av potensialet. De er gitt ved de s.k. sfæriske harmoniske. For å løse radialdelen, må man spesifisere V (r). For hydrogenatomet brukes Coulombpotensialet. Bohrs energiformel reproduseres for egenenergiene. Bølgefunksjonene i radiell retning avhenger av kvantetallene n og l mens vinkel-løsningene er gitt ved kvantetallene l og m. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.46/55

97 Repetisjon fra 3. og 4. april Generalisering av kvantemekanikken fra en til tre dimensjoner: Bruker enten kartesiske koordinater (x,y,z) eller sfæriske koordinater, avhengig av formen på potensialet. Tre kvantetall. S.L. for et sentralsymmetrisk potensial i 3D løses enklest i sfæriske koordinater ved separasjon av variable. Løsningene av vinkeldelen er uavhengige av potensialet. De er gitt ved de s.k. sfæriske harmoniske. For å løse radialdelen, må man spesifisere V (r). For hydrogenatomet brukes Coulombpotensialet. Bohrs energiformel reproduseres for egenenergiene. Bølgefunksjonene i radiell retning avhenger av kvantetallene n og l mens vinkel-løsningene er gitt ved kvantetallene l og m. Kvantetallene n, l og m oppfyller n = 1, 2,...; l < n; m = 0, ±1,... ± l. Av dette følger at degenerasjonsgraden til energinivå n er d(n) = n 2. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.46/55

98 Tolvte uke, april Mandag 24: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 24: Elektronets spin, Zeemaneffekt, LS-kobling Tirsdag 25: Spinn forts.: LS-kobling, addisjon av angulær moment. (Forelesningsnotat). (Identiske partikler. (5.1)?) Onsdag 26: Gjennomgang av oblig 10 Torsdag og fredag: Jobbing med Oblig 11 FYS2140 KVANTEFYSIKK p.47/55

99 Repetisjon fra 18. april Ved å uttrykke L 2 og L z i kulekoordinater, så vi at det faktisk var egenverdiligningene for disse vi hadde løst ifm. vinkeldelen av den 3-dimensjonale S.L. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.48/55

100 Repetisjon fra 18. april Ved å uttrykke L 2 og L z i kulekoordinater, så vi at det faktisk var egenverdiligningene for disse vi hadde løst ifm. vinkeldelen av den 3-dimensjonale S.L. De sfærisk harmoniske Yl m (φ, θ) er dermed felles egenfunksjoner for ˆL 2 og ˆL z, med egenverdier L z = m og L 2 = l(l + 1) 2 FYS2140 KVANTEFYSIKK p.48/55

101 Repetisjon fra 18. april Ved å uttrykke L 2 og L z i kulekoordinater, så vi at det faktisk var egenverdiligningene for disse vi hadde løst ifm. vinkeldelen av den 3-dimensjonale S.L. De sfærisk harmoniske Yl m (φ, θ) er dermed felles egenfunksjoner for ˆL 2 og ˆL z, med egenverdier L z = m og L 2 = l(l + 1) 2 FYS2140 KVANTEFYSIKK p.48/55

102 Repetisjon fra 18. april Ved å uttrykke L 2 og L z i kulekoordinater, så vi at det faktisk var egenverdiligningene for disse vi hadde løst ifm. vinkeldelen av den 3-dimensjonale S.L. De sfærisk harmoniske Yl m (φ, θ) er dermed felles egenfunksjoner for ˆL 2 og ˆL z, med egenverdier L z = m og L 2 = l(l + 1) 2 FYS2140 KVANTEFYSIKK p.48/55

103 Trettende uke, mai Påmelding til eksperimentelt prosjekt. Tirsdag 2: Kort repetisjon fra forrige uke Tirsdag 2: Identiske partikler, Pauliprinsippet (5.1). Onsdag 3: Gjennomgang av oblig 11 Torsdag og fredag: Jobbing med Oblig 12 FYS2140 KVANTEFYSIKK p.49/55

104 Repetisjon fra 24. og 25. april Utsettes f.eks. et H-atom for et ytre magnetfelt, får man en oppsplitting av energinivåene som skyldes både elektronets angulærmoment og dets egenspinn. Dette kalles Zeeman-effekten. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.50/55

105 Repetisjon fra 24. og 25. april Utsettes f.eks. et H-atom for et ytre magnetfelt, får man en oppsplitting av energinivåene som skyldes både elektronets angulærmoment og dets egenspinn. Dette kalles Zeeman-effekten. SPINN: Elektronet (og andre elementærpartikler) har et innebygd magnetisk moment og tilsvarende et EGENSPINN. Denne egenskapen ble oppdaget ifm Stern-Gerlach eksperimentet som var ment å bekrefte kvantiseringen av angulærmoment. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.50/55

106 Repetisjon fra 24. og 25. april Utsettes f.eks. et H-atom for et ytre magnetfelt, får man en oppsplitting av energinivåene som skyldes både elektronets angulærmoment og dets egenspinn. Dette kalles Zeeman-effekten. SPINN: Elektronet (og andre elementærpartikler) har et innebygd magnetisk moment og tilsvarende et EGENSPINN. Denne egenskapen ble oppdaget ifm Stern-Gerlach eksperimentet som var ment å bekrefte kvantiseringen av angulærmoment. Spinnet er en fysisk egenskap som er ULØSELIG knyttet til en partikkel, på samme måte som dens ladning eller masse. Det tilsvarende magnetiske dipolmomentet har samme form som for angulærmoment, bortsett fra en ekstra faktor g e 2, den gyromagnetiske faktor. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.50/55

107 Repetisjon fra 24. og 25. april Kvantiseringen av spinn er analog med tilsvarende uttrykk for angulærmoment: S z = m s og S 2 = s(s + 1) 2 der m s = s, s + 1,..., s 1, s. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.51/55

108 Repetisjon fra 24. og 25. april Kvantiseringen av spinn er analog med tilsvarende uttrykk for angulærmoment: S z = m s og S 2 = s(s + 1) 2 der m s = s, s + 1,..., s 1, s. Forskjellen er at s er FAST for en gitt partikkeltype. Elektroner har s = 1/2 ( spinn en halv ), fotoner har s = 1 ( spinn én ) osv FYS2140 KVANTEFYSIKK p.51/55

109 Repetisjon fra 24. og 25. april Kvantiseringen av spinn er analog med tilsvarende uttrykk for angulærmoment: S z = m s og S 2 = s(s + 1) 2 der m s = s, s + 1,..., s 1, s. Forskjellen er at s er FAST for en gitt partikkeltype. Elektroner har s = 1/2 ( spinn en halv ), fotoner har s = 1 ( spinn én ) osv LS-kobling: Elektronets egenspinn S og angulærmoment L vekselvirker med hverandre og gir opphav til en liten energikorreksjon L S. Finstruktur (liten oppsplitting av energinivåer)) FYS2140 KVANTEFYSIKK p.51/55

110 Repetisjon fra 24. og 25. april Kvantiseringen av spinn er analog med tilsvarende uttrykk for angulærmoment: S z = m s og S 2 = s(s + 1) 2 der m s = s, s + 1,..., s 1, s. Forskjellen er at s er FAST for en gitt partikkeltype. Elektroner har s = 1/2 ( spinn en halv ), fotoner har s = 1 ( spinn én ) osv LS-kobling: Elektronets egenspinn S og angulærmoment L vekselvirker med hverandre og gir opphav til en liten energikorreksjon L S. Finstruktur (liten oppsplitting av energinivåer)) Addisjon av angulærmoment: J = L 1 + L 2 : Har som vanlig at J 2 = j(j + 1) og m j = j,...j. Tillatte verdier er j = l 1 l 2, l 1 l 2 + 1,... l 1 + l 2. Gjelder addisjon av to spinn, to angulærmoment eller en av hver. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.51/55

111 Repetisjon fra 24. og 25. april Singlet- og triplet-kombinasjon av to spinn: Summen av to s = 1/2 spinn er enten gitt ved j = 0 eller j = 1. Disse to svarer til hhv den antisymmetriske singlet-kombinasjonen og den symmetriske triplet en. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.52/55

112 Repetisjon fra 24. og 25. april Singlet- og triplet-kombinasjon av to spinn: Summen av to s = 1/2 spinn er enten gitt ved j = 0 eller j = 1. Disse to svarer til hhv den antisymmetriske singlet-kombinasjonen og den symmetriske triplet en. Kvantemekanikk for N partikler: Bølgefunksjonen er en funksjon av N sett variable, ett for hver partikkel. Potensialtermen i S.L.kan bestå av både det vanlige ytre potensialet (boks, harmonisk oscillator...) og vekselvirkning mellom partikene (f.eks. Coulomb). S.L. er separabel hvis det ikke er vekselvirkning mellom partiklene. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.52/55

113 Fjortende uke, mai Mandag 8: Kort repetisjon fra forrige uke Mandag 8: Anyoner, exchange-vekselvirkning Tirsdag 9: Atomer. (Molekyler) Onsdag 10 - fredag 12: Eksperimentelt prosjekt FYS2140 KVANTEFYSIKK p.53/55

114 Repetisjon fra 2.mai IDENTISKE PARTIKLER er partikler som har helt identiske fysiske egenskaper (masse, ladning...), f. eks. to elektroner. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.54/55

115 Repetisjon fra 2.mai IDENTISKE PARTIKLER er partikler som har helt identiske fysiske egenskaper (masse, ladning...), f. eks. to elektroner. I kvantemekanikken er identiske partikler USKILLBARE (indistinguishable). FYS2140 KVANTEFYSIKK p.54/55

116 Repetisjon fra 2.mai IDENTISKE PARTIKLER er partikler som har helt identiske fysiske egenskaper (masse, ladning...), f. eks. to elektroner. I kvantemekanikken er identiske partikler USKILLBARE (indistinguishable). Derfor må to bølgefunksjoner som bare skiller seg ved ombytte av koordinater beskrive samme tilstand, dvs ha samme sannsynlighetstetthet. Dette gir to muligheter (i 3D): Symmetriske eller antisymmetriske bølgefunksjoner (under ombytte av koordinater). FYS2140 KVANTEFYSIKK p.54/55

117 Repetisjon fra 2.mai IDENTISKE PARTIKLER er partikler som har helt identiske fysiske egenskaper (masse, ladning...), f. eks. to elektroner. I kvantemekanikken er identiske partikler USKILLBARE (indistinguishable). Derfor må to bølgefunksjoner som bare skiller seg ved ombytte av koordinater beskrive samme tilstand, dvs ha samme sannsynlighetstetthet. Dette gir to muligheter (i 3D): Symmetriske eller antisymmetriske bølgefunksjoner (under ombytte av koordinater). Symmetrisk bølgefunksjon: BOSONER. Antisymmetrisk: FERMIONER. Alle partikler i 3D er enten fermioner (eks. elektroner) eller bosoner (eks. fotoner). FYS2140 KVANTEFYSIKK p.54/55

118 Repetisjon fra 2.mai IDENTISKE PARTIKLER er partikler som har helt identiske fysiske egenskaper (masse, ladning...), f. eks. to elektroner. I kvantemekanikken er identiske partikler USKILLBARE (indistinguishable). Derfor må to bølgefunksjoner som bare skiller seg ved ombytte av koordinater beskrive samme tilstand, dvs ha samme sannsynlighetstetthet. Dette gir to muligheter (i 3D): Symmetriske eller antisymmetriske bølgefunksjoner (under ombytte av koordinater). Symmetrisk bølgefunksjon: BOSONER. Antisymmetrisk: FERMIONER. Alle partikler i 3D er enten fermioner (eks. elektroner) eller bosoner (eks. fotoner). Fermioner har halvtallig spinn, bosoner har heltallig spinn. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.54/55

119 Repetisjon fra 2.mai Antisymmetriske bølgefunksjoner for to (eller flere) partikler konstrueres ved å sette sammen symmetrisk romdel og antisymmetrisk spinndel, eller omvendt. Symmetriske bølgefunksjoner for to (eller flere) partikler: Rom- og spinndel er begge symmetriske eller begge antisymmetriske. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.55/55

120 Repetisjon fra 2.mai Antisymmetriske bølgefunksjoner for to (eller flere) partikler konstrueres ved å sette sammen symmetrisk romdel og antisymmetrisk spinndel, eller omvendt. Symmetriske bølgefunksjoner for to (eller flere) partikler: Rom- og spinndel er begge symmetriske eller begge antisymmetriske. Paulis eksklusjonsprinsipp: To identiske fermioner kan aldri ha samme sett med kvantetall, dvs de kan aldri befinne seg i samme én-partikkel-tilstand. FYS2140 KVANTEFYSIKK p.55/55

REPETISJON FYS2140. Susanne Viefers. Fysisk Institutt, Teorigruppa. REPETISJON FYS2140 p.1/31

REPETISJON FYS2140. Susanne Viefers. Fysisk Institutt, Teorigruppa. REPETISJON FYS2140 p.1/31 REPETISJON FYS2140 Susanne Viefers s.f.viefers@fys.uio.no Fysisk Institutt, Teorigruppa REPETISJON FYS2140 p.1/31 Teoretisk pensum I Første del, Forelesningsnotater Enheter og størrelser i Fys2140 Sort

Detaljer

REPETISJON FYS2140. Susanne Viefers. Fysisk Institutt, Teorigruppa. REPETISJON FYS2140 p.1/31

REPETISJON FYS2140. Susanne Viefers. Fysisk Institutt, Teorigruppa. REPETISJON FYS2140 p.1/31 REPETISJON FYS2140 Susanne Viefers s.f.viefers@fys.uio.no Fysisk Institutt, Teorigruppa REPETISJON FYS2140 p.1/31 Teoretisk pensum I Første del, Forelesningsnotater Enheter og størrelser i Fys2140 Sort

Detaljer

FYS2140 KVANTEFYSIKK

FYS2140 KVANTEFYSIKK % % * FS2140 KVANTEFSIKK $#! " 465 '& Første uke, 1014 januar Mandag: Første time: Presentasjon av kurset med opplegg m.m. Mandag: Andre time, enheter og størrelser i FS2140 Tirsdag: Sort legemestråling

Detaljer

Siste uke, mai

Siste uke, mai Siste uke, 10. - 14. mai Mandag: Repetisjon Tirsdag: Ingen forelesning Onsdag: Gjennomgang av oblig 12. Siste frist for levering av etterslengere Torsdag/fredag: Fri Pensum Kompendium Læreboka (se kursets

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk Forelesning 29. Maria V. Bøe og Marianne E. Bathen

FYS2140 Kvantefysikk Forelesning 29. Maria V. Bøe og Marianne E. Bathen FYS2140 Kvantefysikk Forelesning 29 Maria V. Bøe og Marianne E. Bathen I dag Oppsummering av pensum Basert på vår oppfatning og erfaring (ikke eksamen) 1. Brudd med klassisk fysikk (15 min) 2. Schrödingerlikningen

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 11. Sindre Rannem Bilden og Gruppe 4

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 11. Sindre Rannem Bilden og Gruppe 4 FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 11 Sindre Rannem Bilden og Gruppe 4 30. april 2015 Obliger i FYS2140 merkes med navn og gruppenummer! Denne obligen er satt sammen av den første delen av eksamen våren 2010

Detaljer

Forelesningsnotater om spinn, FYS2140 (Erstatter kap. 4.4 i Griffiths) Susanne Viefers

Forelesningsnotater om spinn, FYS2140 (Erstatter kap. 4.4 i Griffiths) Susanne Viefers Forelesningsnotater om spinn, FYS2140 (Erstatter kap. 4.4 i Griffiths) Susanne Viefers 20. april 2005 Dette notatet sammenfatter forelesningene om elektronets egenspinn og erstatter dermed avsnitt 4.4

Detaljer

Løsningsforslag for FYS2140 Kvantefysikk, Mandag 3. juni 2019

Løsningsforslag for FYS2140 Kvantefysikk, Mandag 3. juni 2019 Løsningsforslag for FYS210 Kvantefysikk, Mandag 3. juni 201 Oppgave 1: Stern-Gerlach-eksperimentet og atomet Stern-Gerlach-eksperimentet fra 122 var ment å teste Bohrs atommodell om at angulærmomentet

Detaljer

Løsningsforslag for FYS2140 Kvantemekanikk, Tirsdag 29. mai 2018

Løsningsforslag for FYS2140 Kvantemekanikk, Tirsdag 29. mai 2018 Løsningsforslag for FYS40 Kvantemekanikk, Tirsdag 9. mai 08 Oppgave : Fotoelektrisk effekt Millikan utførte følgende eksperiment: En metallplate ble bestrålt med monokromatisk lys. De utsendte fotoelektronene

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Side Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS4 Kvantefysikk Eksamensdag: 8. juni 5 Tid for eksamen: 9. (4 timer) Oppgavesettet er på fem (5) sider Vedlegg: Ingen

Detaljer

Oppgave 2 Vi ser på et éndimensjonalt system hvor en av de stasjonære tilstandene ψ(x) er gitt som { 0 for x < 0, ψ(x) = Ne ax (1 e ax (1)

Oppgave 2 Vi ser på et éndimensjonalt system hvor en av de stasjonære tilstandene ψ(x) er gitt som { 0 for x < 0, ψ(x) = Ne ax (1 e ax (1) Oppgave Gjør kort rede for hva den fotoelektriske effekt er, hva slags konklusjoner man kunne trekke fra observasjoner av denne i kvantefysikkens fødsel, og beskriv et eksperiment som kan observere og

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Side Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS240 Kvantefysikk Eksamensdag: 3. juni 206 Tid for eksamen: 09.00 4 timer) Oppgavesettet er på fem 5) sider Vedlegg: Ingen

Detaljer

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 1 1 LØSNING ØVING 1

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 1 1 LØSNING ØVING 1 TFY425 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving Løsning oppgave a. LØSNING ØVING Vi merker oss at sannsynlighetstettheten, Ψ(x, t) 2 = A 2 e 2λ x, er symmetrisk med hensyn på origo. For normeringsintegralet

Detaljer

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Tid:

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Tid: Side 1 av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 51 72) Sensurfrist: Tirsdag 12. juni 2007

Detaljer

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Fredag 30. mai 2008 Tid: a 0 = 4πǫ 0 h 2 /(e 2 m e ) = 5, m

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Fredag 30. mai 2008 Tid: a 0 = 4πǫ 0 h 2 /(e 2 m e ) = 5, m Side av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 5 7 Sensurfrist: Fredag 0 juni 008 Eksamen

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Side Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS40 Kvantefysikk Eksamensdag: 6. august 03 Tid for eksamen: 4.30 (4 timer) Oppgavesettet er på 5 (fem) sider Vedlegg:

Detaljer

Fasehastighet: Gruppehastighet:

Fasehastighet: Gruppehastighet: Hjelpeark, FYS4 Fra kompendiet. Fotoelektrisk eekt Lys innfallende på en metallplate, elektroner rives løs. Observeres med elektrisk krets gitt ved gur. V > : Frigjorte elektroner dratt mot anoden. Store

Detaljer

Figur 1: Skisse av Franck-Hertz eksperimentet. Hentet fra Wikimedia Commons.

Figur 1: Skisse av Franck-Hertz eksperimentet. Hentet fra Wikimedia Commons. Oppgave 1 Franck-Hertz eksperimentet Med utgangspunkt i skissen i figuren under, gi en konsis beskrivelse av Franck-Hertz eksperimentet, dets resultater og betydning for kvantefysikken. [ poeng] Figur

Detaljer

TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv

TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 Frist for innlevering: mandag 26. januar ØVING 1 En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv Eksempel: Terningkast Ved terningkast er

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS14, Kvantefysikk Eksamensdag: 17. august 17 4 timer Lovlige hjelpemidler: Rottmann: Matematisk formelsamling, Øgrim og Lian:

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv FY16/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 Frist for innlevering: mandag 28. januar (jf Åre) ØVING 1 En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv Eksempel: Terningkast Ved terningkast

Detaljer

A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander

A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander TFY4250/FY2045 Tillegg 4 - Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander 1 Tillegg 4: A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander a. Stasjonære tilstander (Hemmer p 26, Griffiths p 21) Vi har i TFY4215 (se

Detaljer

KJM Molekylmodellering

KJM Molekylmodellering KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO KJM3600 - Molekylmodellering p.1/29 Introduksjon Introduksjon p.2/29 Introduksjon p.3/29 Molekylmodellering Flere navn på moderne teoretisk

Detaljer

Løsningsforslag for FYS2140 Kvantemekanikk, Torsdag 16. august 2018

Løsningsforslag for FYS2140 Kvantemekanikk, Torsdag 16. august 2018 Løsningsforslag for FYS140 Kvantemekanikk, Torsdag 16. august 018 Oppgave 1: Materiens bølgeegenskaper a) De Broglie fikk Nobelprisen i 199 for sin hypotese. Beskriv med noen setninger hva den går ut på.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: KJM1060 Struktur og spektroskopi Eksamensdag: 14 oktober 2004 Tid for eksamen: kl. 15:00 17:00 Oppgavesettet er på 2sider.

Detaljer

(θ,φ) er de sfæriske harmoniske. Disse løsningene har energiene 1. = nm, (4) x = rsinθcosφ, (6) y = rsinθsinφ, (7) z = rcosθ, (8) 1 r 2 sinθ

(θ,φ) er de sfæriske harmoniske. Disse løsningene har energiene 1. = nm, (4) x = rsinθcosφ, (6) y = rsinθsinφ, (7) z = rcosθ, (8) 1 r 2 sinθ Oppgave 1 Variasjoner over hydrogen Løsningen av den tidsuavhengige Schrødingerligningen for potensialet til hydrogenatomet Vr) = k ee r, 1) er som kjent ψ nlm r,θ,φ) = R nl r)yl m θ,φ), ) hvor R nl r)

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Hjemmeeksamen V Leveringsfrist fredag 20. mars kl.14:45 (før ekspedisjonen stenger!!!)

FYS2140 Kvantefysikk, Hjemmeeksamen V Leveringsfrist fredag 20. mars kl.14:45 (før ekspedisjonen stenger!!!) FYS2140 Kvantefysikk, Hjemmeeksamen V-2009 Leveringsfrist fredag 20. mars kl.14:45 (før ekspedisjonen stenger!!!) 9. mars 2009 Viktig info les: Merk besvarelsen med kandidatnummer, ikke navn! Lever og

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 5. august 2009 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 5. august 2009 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY4215 5. august 29 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 5. august 29 TFY4215 Kjemisk fysikk kvantemekanikk a. Med ψ A (x) = C = konstant for x > har vi fra den tidsuavhengige

Detaljer

TFY Løsning øving 4 1 LØSNING ØVING 4. Vibrerende to-partikkelsystem

TFY Løsning øving 4 1 LØSNING ØVING 4. Vibrerende to-partikkelsystem TFY45 - Løsning øving 4 Løsning oppgave 3 LØSNING ØVING 4 Vibrerende to-partikkelsystem a. Vi kontrollerer først at kreftene på de to massene kommer ut som annonsert: F V V k(x l) og F V V k(x l), som

Detaljer

FYS Kvantefysikk. Magne Guttormsen Kjernefysikk, rom V124,

FYS Kvantefysikk. Magne Guttormsen Kjernefysikk, rom V124, FYS2140 - Kvantefysikk Magne Guttormsen Kjernefysikk, rom V124, magne.guttormsen@fys.uio.no Energien er kvantisert! Forelesning 1 FYS2140 - Kvantefysikk 2 Plan for dagen Oppmøte husk å skrive deg på! Praktisk

Detaljer

ψ(x) 2 dx = 1. (3) For det siste integralet har vi brukt fra Rottmann at

ψ(x) 2 dx = 1. (3) For det siste integralet har vi brukt fra Rottmann at Det er mulig å oppnå i alt 80 poeng på denne eksamen. Oppgave er inspirert av en tidligere eksamensoppgaver gitt ved NTNU, laget av Ingjald Øverbø og Jon Andreas Støvneng. Oppgave 1 En-dimensjonal harmonisk

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF4065 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fakultet for naturvitenskap og teknologi 13. august 2002 Tid:

EKSAMEN I FAG SIF4065 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fakultet for naturvitenskap og teknologi 13. august 2002 Tid: Side 1 av 5 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Ola Hunderi Tlf.: 93411 EKSAMEN I FAG SIF465 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fakultet for naturvitenskap

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: Fys-2000 Kvantemekanikk Dato: 5. juni 2013 Tid: Kl Sted: Åsgårdveien 9. og fysikk, lommekalkulator

EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: Fys-2000 Kvantemekanikk Dato: 5. juni 2013 Tid: Kl Sted: Åsgårdveien 9. og fysikk, lommekalkulator FAKUTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOOGI EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Fys-2000 Kvantemekanikk Dato: 5. juni 2013 Tid: Kl 09.00-13.00 Sted: Åsgårdveien 9 Tillatte hjelpemidler: Formelsamlinger i matematikk

Detaljer

KJM Molekylmodellering. Introduksjon. Molekylmodellering. Molekylmodellering

KJM Molekylmodellering. Introduksjon. Molekylmodellering. Molekylmodellering KJM3600 - Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Introduksjon KJM3600 - p.1/29 Introduksjon p.2/29 Flere navn på moderne teoretisk kjemi: Theoretical chemistry (teoretisk kjemi) Quantum chemistry (kvantekjemi)

Detaljer

FYS2140 - Kvantefysikk. Are Raklev Teoretisk fysikk, rom FØ456, ahye@fys.uio.no

FYS2140 - Kvantefysikk. Are Raklev Teoretisk fysikk, rom FØ456, ahye@fys.uio.no FYS2140 - Kvantefysikk Are Raklev Teoretisk fysikk, rom FØ456, ahye@fys.uio.no Plan for dagen Oppmøteliste husk å signere! Praktisk informasjon om FYS2140. Hvordan overleve Kvantefysikk. Fysikk anno 1900.

Detaljer

Enkel introduksjon til kvantemekanikken

Enkel introduksjon til kvantemekanikken Kapittel Enkel introduksjon til kvantemekanikken. Kort oppsummering. Elektromagnetiske bølger med bølgelengde og frekvens f opptrer også som partikler eller fotoner med energi E = hf, der h er Plancks

Detaljer

Løsningsforslag Konte-eksamen 2. august 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Konte-eksamen 2. august 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Konte-eksamen SIF448.aug. 3 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 a. Hamilton-operatoren er Løsningsforslag Konte-eksamen. august 3 SIF448 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Ĥ = h m x + V (x), og den tidsuavhengige

Detaljer

FYS2140 Hjemmeeksamen Vår Ditt kandidatnummer

FYS2140 Hjemmeeksamen Vår Ditt kandidatnummer FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2016 Ditt kandidatnummer 8. mars 2016 Viktig info: Elektronisk innlevering på devilry med frist fredag 18. mars kl. 16.00. Leveringsfristen er absolutt. Bevarelsen må merkes tydelig

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Løsningsforslag for Oblig 2

FYS2140 Kvantefysikk, Løsningsforslag for Oblig 2 FYS2140 Kvantefysikk, Løsningsforslag for Oblig 2 12. februar 2018 Her finner dere løsningsforslag for Oblig 2 som bestod av Oppgave 2.6, 2.10 og 3.4 fra Kompendiet. Til slutt finner dere også løsningen

Detaljer

FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2014

FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2014 FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2014 18. mars 2014 Viktig info: Merk besvarelsen med kandidatnummer, ikke navn! Innleveringsfrist fredag 28. mars kl. 14.30 i skranken på ekspedisjonskontoret. (Ikke oblighylla!)

Detaljer

Oppgave 1. NORSK TEKST Side 1 av 4. NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk

Oppgave 1. NORSK TEKST Side 1 av 4. NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk NORSK TEKST Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 7 55 96 4 Ingjald Øverbø, tel. 7 59 18 67 EKSAMEN I TFY415

Detaljer

Kursopplegg for TFY4250 og FY2045

Kursopplegg for TFY4250 og FY2045 TFY4250 Atom- og molekylfysikk/fy2045 Kvantefysikk, høsten 2004 - kursopplegg 1 Kursopplegg for TFY4250 og FY2045 Felles undervisning i to emner De to emnene TFY4250 Atom- og molekylfysikk for teknologistudiet,

Detaljer

Pensum og kursopplegg for FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk

Pensum og kursopplegg for FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk FY1006/TFY4215 våren 2012 - pensum og kursopplegg 1 Pensum og kursopplegg for FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk våren 2012 Litt om de to emnene De to emnene FY1006 og TFY4215 er identiske både når

Detaljer

Kursopplegg for TFY4250 og FY2045

Kursopplegg for TFY4250 og FY2045 TFY4250 Atom- og molekylfysikk/fy2045 Kvantefysikk, høsten 2007 - kursopplegg 1 Kursopplegg for TFY4250 og FY2045 (under utarbeidelse) Pensum-litteratur PC Hemmers Kvantemekanikk er et must. En annen god

Detaljer

A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett

A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett TFY4250/FY2045 Tillegg 2 1 Tillegg 2: A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett Ikke-degenererte egenverdier La oss først anta at en operator ˆF har et diskret og ikke-degeneret spektrum. Det siste betyr at

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 12. august 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 12. august 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY4215 12. august 2004 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 12. august 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Den tidsuavhengige Schrödingerligningen, Ĥψ = Eψ, tar for

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 16. august 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 16. august 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY415 16. august 008 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 (Teller 34 %) Løsningsforslag Eksamen 16. august 008 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Siden potensialet V () er symmetrisk, er grunntilstanden

Detaljer

Eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Mandag 12. desember :00 18:00

Eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Mandag 12. desember :00 18:00 NTNU Side 1 av 5 Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Professor Arne Brataas Telefon: 73593647 Eksamen i TFY417 Fysikk Mandag 1. desember 5 15: 18: Tillatte hjelpemidler: Alternativ C Godkjent

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 26. mai 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 26. mai 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY415 6. mai 006 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 6. mai 006 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. For bundne tilstander i én dimensjon er degenerasjonsgraden lik 1;

Detaljer

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 2 1 ØVING 2. Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 2 1 ØVING 2. Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner TFY415 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 Oppgave 5 ØVING Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner En partikkel med masse m beveger seg i et endimensjonalt potensial V (x). Partikkelen

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 28. mai 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 28. mai 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen SIF4048 8.05.03 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 8. mai 003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Da sannsynlighetstettheten Ψ(x, 0) = β/π exp( βx ) er symmetrisk med

Detaljer

FY1006/TFY Øving 3 1 ØVING 3. Gjør unna så mye du kan av dette før veiledningstimene, slik at disse kan brukes på utfordringene i denne øvingen.

FY1006/TFY Øving 3 1 ØVING 3. Gjør unna så mye du kan av dette før veiledningstimene, slik at disse kan brukes på utfordringene i denne øvingen. FY006/TFY45 - Øving 3 ØVING 3 Gjør unna så mye du kan av dette før veiledningstimene, slik at disse kan brukes på utfordringene i denne øvingen. Oppgave 8 Ikke-stasjonær bokstilstand En partikkel med masse

Detaljer

NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg prøveeksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk

NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg prøveeksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk øysingsframlegg prøveeksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon:

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Obligatorisk oppgave 10. Nicolai Kristen Solheim, Gruppe 2

FYS2140 Kvantefysikk, Obligatorisk oppgave 10. Nicolai Kristen Solheim, Gruppe 2 FYS2140 Kvantefysikk, Obligatorisk oppgave 10 Nicolai Kristen Solheim, Gruppe 2 Obligatorisk oppgave 10 Oppgave 1 a) Ligningene 1, 2 og 3 er egenverdifunksjoner, mens ligning 4 er en deltafunksjon. b)

Detaljer

Løysingsframlegg øving 1

Løysingsframlegg øving 1 FY6/TFY425 Innføring i kvantefysikk Løysingsframlegg øving Oppgåve Middelverdien er x = x Ω X xp (x) = 2 + 2 = 2. (.) Tilsvarande har vi x 2 = x Ω X x 2 P (x) = 2 2 + 2 2 = 2. (.2) Dette gjev variansen

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 1.juni 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 1.juni 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY45. juni 004 - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen.juni 004 TFY45 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne energiegentilstander i et éndimensjonalt potensial er ikke-degenererte

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Løsningsforslag Oblig 7

FYS2140 Kvantefysikk, Løsningsforslag Oblig 7 FYS4 Kvantefysikk, Løsningsforslag Oblig 7 4. mars 8 Her finner dere løsningsforslag for Oblig 7 som bestod av Oppgave.,.45 og.46 fra Griffiths, og et løsningsforslag for Oppgave., som var tilleggsoppgave.

Detaljer

Eksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 10. mai 2004, kl. 14.00-17.00 (3 timer)

Eksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 10. mai 2004, kl. 14.00-17.00 (3 timer) 1 NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi Eksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 1. mai 24, kl. 14.-17. (3 timer) Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY4215 7. august 2006 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne tilstander i et symmetrisk éndimensjonalt potensial

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2005 FY2045 Kvantefysikk

Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2005 FY2045 Kvantefysikk Eksamen FY2045 27. mai 2005 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2005 FY2045 Kvantefysikk a. Ifølge den tidsuavhengige Shrödingerligningen, Ĥψ = Eψ, har vi for x < 0 : E = Ĥψ ψ

Detaljer

En samling av mer eller mindre relevante formler (uten nærmere forklaring) er gitt til slutt i oppgavesettet.

En samling av mer eller mindre relevante formler (uten nærmere forklaring) er gitt til slutt i oppgavesettet. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet NTNU Institutt for fysikk Lade EKSAMEN I: MNF FY 44 KVANTEMEKANIKK I DATO: Tirsdag 4. desember 999 TID: 9.00 5.00 Antall vekttall: 4 Antall sider: 3 Sensurdato:

Detaljer

EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Mandag 2. juni 2008 kl

EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Mandag 2. juni 2008 kl NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 9702355 EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Mandag

Detaljer

B.1 Generelle egenskaper til energiegenfunksjoner

B.1 Generelle egenskaper til energiegenfunksjoner TFY4250/FY2045 Tillegg 6 - Generelle egenskaper til energiegenfunksjoner 1 Tillegg 6: Noe av stoffet i dette Tillegget er repetisjon fra Tillegg 3 i TFY4215. B.1 Generelle egenskaper til energiegenfunksjoner

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling Lommekalkulator med tomt minne

EKSAMENSOPPGAVE. Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling Lommekalkulator med tomt minne EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-000 Kvantemekanikk Dato: Mandag 6. september 016 Tid: Kl 09:00 1:00 Sted: Auditorium Maximum, Administrasjonsbygget Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Tirsdag 9. desember 2003

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Tirsdag 9. desember 2003 NTNU Side 1av7 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Dette løsningsforslaget er på 7 sider. Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk Tirsdag 9. desember 003 Oppgave 1. a) Amplituden

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 8. august 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I

Løsningsforslag Eksamen 8. august 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I Eksamen FY45/TFY45 8. august - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen 8. august FY45/TFY45 Kvantemekanikk I a. For E < V blir området x > klassisk forbudt, og den tidsuavhengige Schrödingerligningen

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Kvantekraft. L x. L 2 x. = A sin n xπx. sin n yπy. 2 y + 2.

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Kvantekraft. L x. L 2 x. = A sin n xπx. sin n yπy. 2 y + 2. FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, øving 5 1 øsning oppgave 5 1 a Med finner vi energien til egenfunksjonen ØSNING ØVING 5 Kvantekraft nπx sin = n xπ x x x ψ nx,n y,n z = A sin n xπx x sin nπx x, sin n yπy

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 20. desember 2012 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I

Løsningsforslag Eksamen 20. desember 2012 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I Eksamen FY045/TFY450 0. desember 0 - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen 0. desember 0 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I a. For x < 0 er potensialet lik null. (i) For E > 0 er da ψ E = (m e E/

Detaljer

EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Onsdag 8. august 2007 kl

EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Onsdag 8. august 2007 kl NORSK TEKST Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Onsdag 8. august 2007 kl. 09.00-13.00

Detaljer

En partikkel med masse m befinner seg i et éndimensjonalt, asymmetrisk brønnpotensial

En partikkel med masse m befinner seg i et éndimensjonalt, asymmetrisk brønnpotensial NORSK TEKST Side av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 7 59 8 67, eller 9755 EKSAMEN I TFY45 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK

Detaljer

EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fredag 19. august 2005 kl

EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fredag 19. august 2005 kl NORSK TEKST Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 18 67, eller 97012355 EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 6 1 ØVING 6. Fermi-impulser og -energier

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 6 1 ØVING 6. Fermi-impulser og -energier FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, 2012 - øving 6 1 ØVING 6 Oppgave 6 1 Fermi-impulser og -energier a. Anta at en ideell gass av N (ikke-vekselvirkende) spinn- 1 -fermioner befinner seg i grunntilstanden

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 8. Sindre Rannem Bilden, Gruppe 4

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 8. Sindre Rannem Bilden, Gruppe 4 FYS240 Kvantefysikk, Oblig 8 Sindre Rannem Bilden, Gruppe 4 9. april 205 Obliger i FYS240 merkes med navn og gruppenummer! Denne obligen dreier seg om partikkel i en endelig brønn. Dere får bruk for Python

Detaljer

E. MAGNETISKE MOMENTER. SPINN E.1 Energibidrag knyttet til dreieimpuls og spinn

E. MAGNETISKE MOMENTER. SPINN E.1 Energibidrag knyttet til dreieimpuls og spinn TFY4250/FY2045 2005 - Tillegg 15 - E. Magnetiske momenter. Spinn 1 Tillegg 15: E. MAGNETISKE MOMENTER. SPINN E.1 Energibidrag knyttet til dreieimpuls og spinn (Se avsnittene 1.5, 6.8 og 12.2 i B&J, 8.3

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk

Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen FY1006/TFY4215 27. mai 2011 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk a. For en energiegenfunksjon med energi E V 1 følger det fra

Detaljer

Fasehastighet: Gruppehastighet:

Fasehastighet: Gruppehastighet: Hjelpeark, FYS4 Fra kompendiet. Fotoelektrisk eekt Lys innfallende på en metallplate, elektroner rives løs. Observeres med elektrisk krets gitt ved gur. V > : Frigjorte elektroner dratt mot anoden. Store

Detaljer

Hermiteske og ikke-hermiteske operatorer, kommutatorer,

Hermiteske og ikke-hermiteske operatorer, kommutatorer, TFY4250/FY2045 Tillegg 1 1 Tillegg 1: Hermiteske og ikke-hermiteske operatorer, kommutatorer, etc a. Reelle forventningsverdier krever Hermiteske operatorer I avsnitt 2.2 i Hemmer kan du først se hvordan

Detaljer

EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Tirsdag 13. august 2002 kl

EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Tirsdag 13. august 2002 kl Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 73 55 96 4 Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67 EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK

Detaljer

Institutt for fysikk. Eksamensoppgave i TFY4215 Innføring i kvantefysikk

Institutt for fysikk. Eksamensoppgave i TFY4215 Innføring i kvantefysikk Institutt for fysikk ksamensoppgave i TFY4215 Innføring i kvantefysikk Faglig kontakt under eksamen: Jon ndreas Støvneng (med forbehold om streik) Tlf.: 45 45 55 33 ksamensdato: 30. mai 2018 ksamenstid

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk august 2004

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk august 2004 NTNU Side 1av7 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Dette løsningsforslaget er på 7 sider. Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 1. august 004 Oppgave 1. Interferens a)

Detaljer

LØSNING ØVING 2. Løsning oppgave 5. TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 2 1

LØSNING ØVING 2. Løsning oppgave 5. TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 2 1 TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 2 1 Løsning oppgave 5 LØSNING ØVING 2 Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner a. For oscillator-grunntilstanden i oppgave 3b har vi

Detaljer

Kan vi lære litt kvantefysikk ved å lytte til noen lydprøver? Arnt Inge Vistnes Fysisk institutt, UiO

Kan vi lære litt kvantefysikk ved å lytte til noen lydprøver? Arnt Inge Vistnes Fysisk institutt, UiO Kan vi lære litt kvantefysikk ved å lytte til noen lydprøver? Arnt Inge Vistnes Fysisk institutt, UiO La oss starte med lyttingen... Vi spiller fire ulike lydprøver. Oppgaven er å bestemme tonehøyden.

Detaljer

FY1006/TFY Løsning øving 3 1 LØSNING ØVING 3. Ikke-stasjonær bokstilstand

FY1006/TFY Løsning øving 3 1 LØSNING ØVING 3. Ikke-stasjonær bokstilstand FY006/TFY45 - Løsning øving 3 Løsning oppgave 8 LØSNING ØVING 3 Ikke-stasjonær bokstilstand a. For 0 < x < L er potensialet i boksen lik null, slik at Hamilton-operatoren har formen Ĥ = K + V (x) = ( h

Detaljer

TFY Løsning øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Krumning og stykkevis konstante potensialer

TFY Løsning øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Krumning og stykkevis konstante potensialer TFY4215 - Løsning øving 5 1 Løsning oppgave 16 LØSNING ØVING 5 Krumning og stykkevis konstante potensialer a. I et område hvor V er konstant (lik V 1 ), og E V 1 er positiv (slik at området er klassisk

Detaljer

FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2014 Løsningsforslag

FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2014 Løsningsforslag FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2014 Løsningsforslag 2. april 2014 Viktig info: Merk besvarelsen med kandidatnummer, ikke navn! Innleveringsfrist fredag 28. mars kl. 14.30 i skranken på ekspedisjonskontoret.

Detaljer

FY1006/TFY Løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9

FY1006/TFY Løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9 FY1006/TFY415 - Løsning øving 9 1 Løsning oppgave Numerisk løsning av den tidsuavhengige Schrödingerligningen LØSNING ØVING 9 a. Alle leddene i (1) har selvsagt samme dimensjon. Ved å dividere ligningen

Detaljer

TFY4215_S2018_Forside

TFY4215_S2018_Forside Kandidat I Tilkoblet TFY4215_S2018_Forside Institutt for fysikk ksamensoppgave i TFY4215 Innføring i kvantefysikk Faglig kontakt under eksamen: Jon ndreas Støvneng Tlf.: 45 45 55 33 ksamensdato: 6. august

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 8 1 LØSNING ØVING 8

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 8 1 LØSNING ØVING 8 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, løsning øving 8 1 Løsning oppgave 8 1 LØSNING ØVING 8 Koherente tilstander for harmonisk oscillator a. Utviklingen (3) er en superposisjon av stasjonære tilstander for oscillatoren,

Detaljer

Eksamen FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Løsninger

Eksamen FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Løsninger Eksamen FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag. mai 007 Løsninger 1a Et hydrogenlikt atom har ett elektron med masse m og ladning e som er bundet til en atomkjerne med ladning Ze. Siden kjernen har

Detaljer

Løsningsforslag FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2015

Løsningsforslag FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2015 Løsningsforslag FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2015 12. mars 2015 Det er i alt mulig på en god dag å få 20 poeng på denne hjemmeeksamen. Noen av oppgavene skal løses numerisk. Kompendiet om programmering, samt

Detaljer

EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Torsdag 12. august 2004 kl

EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Torsdag 12. august 2004 kl NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 7 55 96 4 Ingjald Øverbø, tel. 7 59 18 67, eller 970155 EKSAMEN

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 2. juni 2016 Side 1 av 8

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 2. juni 2016 Side 1 av 8 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 2. juni 2016 Side 1 av 8 I. FLERVALGSOPPGAVER (Teller 2.5% 30 = 75%) En fri partikkel med masse m befinner seg i det konstante potensialet V = 0 og beskrives

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 9. august 2016 Side 1 av 9

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 9. august 2016 Side 1 av 9 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 9. august 2016 Side 1 av 9 Hver oppgave teller 2.5% 1) Hva er bølgelengden til et foton med energi 100 ev? A) 0.12 nm B) 12 nm C) 0.12 µm D) 12 µm E) 0.12

Detaljer

2. Postulatene og et enkelt eksempel

2. Postulatene og et enkelt eksempel FY619 Moderne fysikk 1 Dette notatet kan leses parallelt med deler av kapitlene 2 og 3 i Hemmer; fortrinnsvis delkapitlene 3.1, 3.2 og 2.1. NOTAT 2 2. Postulatene og et enkelt eksempel I kapittel 2 i Hemmer

Detaljer

FY juni 2015 Side 1 av 6

FY juni 2015 Side 1 av 6 FY6019 12. juni 2015 Side 1 av 6 Oppgave 1. Flervalgsoppgaver. (Poeng: 2.5 8 = 20) a) Hva er forventningsverdien av posisjonen, x, til en partikkel i grunntilstanden i en endimensjonal potensialboks mellom

Detaljer

FYS2140 Hjemmeeksamen Vår Ditt kandidatnummer

FYS2140 Hjemmeeksamen Vår Ditt kandidatnummer FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2018 Ditt kandidatnummer 15. mars 2018 Viktig info: Elektronisk innlevering på devilry med frist fredag 23. mars 2018 kl. 16:00. Leveringsfristen er absolutt. Innleveringen (pdf)

Detaljer

Institutt for fysikk. Eksamen i TFY4215 Innføring i kvantefysikk

Institutt for fysikk. Eksamen i TFY4215 Innføring i kvantefysikk Institutt for fysikk Eksamen i TFY4215 Innføring i kvantefysikk Faglig kontakt under prøven: Jon Andreas Støvneng Tlf.: 45 45 55 33 Dato: 3. juni 2019 Tid (fra-til): 15.00-19.00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Lørdag 8. august 2009 kl

EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Lørdag 8. august 2009 kl NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 9702355 EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK

Detaljer

FY1006/TFY Øving 7 1 ØVING 7

FY1006/TFY Øving 7 1 ØVING 7 FY1006/TFY4215 - Øving 7 1 Frist for innlevering: 5. mars kl 17 ØVING 7 Den første oppgaven dreier seg om den tredimensjonale oscillatoren, som behandles i starten av Tillegg 5, og som vi skal gå gjennom

Detaljer