Fysisk pendel Bestemmelse av tyngdens akselerasjon

Transkript

1 Institutt for fysikk, NTNU FY100 Bølefysikk, høst 007 Laboratorieøvelse 3 Fysisk pendel Bestemmelse av tyndens akselerasjon Hensikt Hensikten med denne øvelsen er å bli kjent med den fysiske pendelen som et instrument for nøyakti målin av tyndens akselerasjon (). I det mest moderne utstyr for målin av lar en et leeme falle, o måler posisjonen med interferometriske metoder (optiske) o tiden med atomklokke. I bee tilfeller må en ha en teori for å beskrive systemet, som sier hvorledes fysisk observable størrelser, for eksempel svinetid i dette tilfelle, vil avhene av størrelsen en ønsker å bestemme (). Målin av en størrelse krever val av en målemetode, o målin er oså beheftet med usikkerhet. I denne oppaven blir du oså introdusert for usikkerhet o usikkerhetsberenin. I denne sammenhen vil vi jøre bruk av reneark (EXCEL) for berenin av middelverdi, standardavvik o standardfeil, o hvordan dette påvirker usikkerheten i den sammensatte målinen. Oppaver 1. Mål svinetiden (T) til pendelen som funksjon av avstanden mellom massemiddelpunktet (CM) o opphenninspunktet (h). La h variere i intervallet mellom cm i skritt på 5 cm. For hver h jentas målinen 5 aner.. Før resultatene inn i ett reneark (EXCEL) o beren middelverdi med standardavvik til svinetiden for hver h. Bruk renearket til å framstille T rafisk som funksjon av h. Dette jøres ved å berene produktene: y = ht o: x = h o deretter framstille y som funksjon av x i renearket. La en lineær tilpasnin av y som funksjon av x o finn stininstallet (k) o skjærinspunktet for denne linjen med y-aksen (y 0 ). Finn tyndens akselerasjon () o redusert lende (r) til pendelen, ved å sammenlikne tilpasninsparametrene (k,y 0 ) med tilsvarende teoretiske uttrykk. 3. Innstill deretter h = r o mål svinetiden 5 aner (n = 5). Ren ut middelverdien, standardavviket, o standardavviket til middelverdiene (standardfeilen) for denne måleserien. Finn med usikkerhetsrenser fra denne måleserien. 4. Del de 5 målinene fra punkt 3 i rupper av 5 o ren ut middelverdi o standardavvik for hver ruppe. Ren ut standardavviket for de fem middelverdiene. Hvordan stemmer dette med teoretisk forventet verdi? 3: Fysisk pendel - Bestemmelse av tyndens akselerasjon - side 1

2 Teori o bakrunnsstoff Fiuren viser en fysisk pendel med masse m som sviner om aksen A. Avstanden fra oppheninspunktet A til massemiddelpunktet (CM) er h. Opphenninspunkt A h, arm Massemiddelpunkt (CM) m vinkel α Likninen som bestemmer beveelsen til pendelen kalles ofte spinnsatsen, som sier at den tidsderiverte av spinnet til systemet er lik momentet av de ytre kreftene på systemet. Spinnet til et leeme er lik trehetsmomentet (I) multiplisert med vinkelhastiheten ω. Momentet er produktet av kraft o arm, i kraftens retnin. Dersom opphenninspunktet veles som referansepunkt, blir momentet til krefter på pendelen fra dette null, o spinnsatsen om A som referansepunkt blir: d α d( I A ω) / dt = mh sinα eller videre: I A + α = 0 mh dt Vinkelhastiheten ω er den tidsderiverte til utslasvinkelen α; ω = dα/dt, som er vinkelen mellom loddlinjen o pendelens lenderetnin. Ved små vinkler er sinα α, o bruk derfor små utslasvinkler for pendelbeveelsen. Iføle Steiners sats kan trehetsmomentet til staven om svineaksen A uttrykkes på følende vis; I = I mh, A CM + o trehetsmomentet til en rektanulær stav (med lende l o bredde b) om tyndepunket (CM) er: l + b l + b I CM = m m r, der r =, o kalles trehetsradien til 1 1 pendelen. r benevnes oså som den reduserte lenden til pendelen. Løsninen av beveelseslikninen, eller spinnsatsen, for staven er: α ( t) = α0 sin( ωo t + ϕ ), der α o er maksimalutslaet til pendelen o ϕ kalles fasevinkelen. Bee disse størrelsene er interasjonskonstanter fra løsninen av beveelseslikninen, som er av en andre ordens differensiallikninen. ω o er sirkelfrekvensen, som er en sammensatt størrelse: 3: Fysisk pendel - Bestemmelse av tyndens akselerasjon - side

3 ω = o mh I A Svinetiden T, eller perioden for pendelen, er tiden som pendelen bruker på en svinnin. Den er tiden som medår for at vinkelutslaet vil bli det samme som ved en vilkårli tidliere tid t: α ( t + T ) = α ( t), som ir at: ωo T = π, som videre ir: T π = = π ω 0 ( r + h ) h Uttrykket over viser at svinetiden T er en funksjon av h; avstanden mellom opphenninspunket A o massemiddelpunktet CM. Dette uttrykket over lar omforme til følende relasjon: 4 π h T = ( h + r ), som sier at produktet h. T er en lineær funksjon av størrelsen h. Det er dette uttrykket som brukes ved bestemmelse av etter den første metoden. Minimal svinetid Dersom utrykket for svinetiden deriveres partielt med hensyn på h, får en: r + h (h h ( r + h T / h = π (1/ ) ( ) 1/ ( h ( h) ) ) ) Uttrykket i de siste parentesen blir null når h = r, o da har svinetiden ett minimum. Når en setter inn h = r i utrykket for svinetiden, får en den minimale svinetiden til å bli: r 8 r T m = π, eller når en løser dette med hensyn på : = π Det er dette uttrykket som brukes ved bruk av den andre framansmåten. T m Apparatur Dimensjoner o relasjoner De omtrentlie fysiske dimensjonene til pendlene er (disse måler dere): l ( lende) = (94.37 ± 0.05) cm, o b ( bredde) =.540 ± 0.005) cm (den ene, med Neon). l ( lende) = ( ± 0.005) cm, o b ( bredde) =.540 ± 0.005) cm (den andre, med HP). l ( lende) = ( ± 0.005) cm, o b ( bredde) =.540 ± 0.005) cm (den tredje, med Matlab). 3: Fysisk pendel - Bestemmelse av tyndens akselerasjon - side 3

4 Trehetsradien, eller den reduserte lenden, for pendlene blir da: l + b r = = 7. 6cm (ene) = 8.93 cm (andre) = 8.86 cm (tredje) 1 Tidsmåliner Det rettes en lysstråle mot pendelen, o pendelbeveelsen vil periodisk skye for en fotodiode som er plassert på den andre siden. En fotodiode omvandler lys til strøm. Dioden er koblet i parallell med en elektrisk motstand, o over disse lees det en fast elektrisk spennin (ca. 5 Volt). Når dioden belyses, produseres det en elektrisk strøm (I) i kretsen o der med ett spenninsfall: V = RI, over motstanden, o denne spenninen føres inn til en periodeteller. Når det elektriske sinalet vokser over en viss verdi, kalt trienivået, vil tidsmålinen startes. Trienivået kan innstilles på instrumentet. Tidsmålinen stoppes når dette skjer pånytt. Til oscilloskop o periodemåler fotodiode Motstand R jord Lyskilde spenninskilde pendel Skisse over apparatur for målin av pendelens svinetid Spenninen over motstanden vil ha følende tidsforløp: Spennin svinetid trienivå Tidsforløp av sinal fra elektrisk krets tid Hver an sinalet er økende o passerer trienivået, starter periodetelleren, o den påfølende hendelsen vil stoppe den, dermed måles svinetiden. Lendemålin I vår framansmåte vil tyndens akselerasjon avhene både av svinetid o lenden av pendelen, som føleli oså må måles. Alle måliner er en sammenliknin med en standard, som for lendemålin er meterstaven. Gå fram på følende vis: Le meterstaven i en skinne, o skyv staven mot en rektanulær forhøynin i den ene enden av skinnen. I den andre enden av skinna er det en mikrometerskrue. Roter omdreininsskruen til det beveelie 3: Fysisk pendel - Bestemmelse av tyndens akselerasjon - side 4

5 sylinderhodet anslutter den andre enden av meterstaven, o les av verdien til posisjonen av målesylinderen (x m ). Bytt så ut meterstaven med pendelen, o jør samme operasjon for pendelen (x p ). Pendellenden er da: l = 1m + (x p -x m ). Bee studentene i teamet jør dette (l 1 o l, o lenden av pendelen med usikkerhetsrenser settes: l 1 + l l = l o usikkerhet: 1 l ( l1 l) + ( l l) σ l =, (eentli: σ l =, 1 siden dette er standardavvik for to måliner). En omdreinin på mikrometerskruen tilsvarer 0.5 mm, som er delt inn i 50 delestreker. Praktiske kommentarer Punkt 1: I vedleet finner du et eksempel på hvordan målinene er ført inn i EXCEL renearket. Bruk EXCEL funksjonene til berenin av middelverdier o standardavvik. Punkt : I vedleet finner du oså eksempel på hvordan middelverdiene er ført inn i renearket, o hvordan (y ht ) er framstilt mot (x h, betyr identisk lik) o tilpasninen til rett linje. Parametrene for rett linje kommer oså med, når du ber om det (høyreklikk på rafen, be om vis liknin). Når en sammenlikner uttrykket for rett linje: 4 π y = k x + y 0 ( rett linje) med; h T = ( h + r ), som er det sammensatte uttrykket for sammenhenen mellom svinetid (T) o avstand h mellom CM o oppheninspunkt A; ser en at: 4π k =, eller: 4π =, o : k y 0 = 4 π r, eller: y0 r = k o r finnes ut fra disse uttrykkene, etter at tilpasninsparametrene er bestemt. Punkt 3: I føle uttrykket for fra "minimal svinetid metoden" har vi: 8 r = π T m T m (videre kalt T) er jennomsnittet av alle n = 5 målinene, o r er pendelens reduserte lende: l + b r =. Gjør bereninen av r o i EXCEL. 1 Uttrykket for er sammensatt av r o T, o usikkerheten i setter se dermed sammen av usikkerhetsbidra både fra r o T (σ r o σ T,se notatet om usikkerhet). Usikkerheten i er bestemt ved: σ = σ r r σ T + 4 T 3: Fysisk pendel - Bestemmelse av tyndens akselerasjon - side 5

6 Når T er målt n aner, brukes standardavviket på middelverdiene, kalt standardfeilen (σ T (n)), i bereninen av usikkerhet. σ T Den er: σ T ( n) = n σ T er standardavviket, som er kvadratroten av kvadratsummen av måleavvikene fra middelverdien, dividert med antallet måliner minus 1, se notatet om usikkerhet. Berenin av standardavvik o standardfeil kan jøres i EXCEL. Det er lenden av pendelen som betyr mest både i uttrykket for pendelens reduserte lende o usikkerheten i denne størrelsen. Uttrykket for den relative feilen i trehetsradius settes lik relativ usikkerhet i pendelens lende. Dette fordi vi tilnærmet har: dermed: σ ( σ r = cm = eller 4 10 ) r l l 100cm 95 = l + b l r =, o 1 1 Punkt 4: Standardfeilen kalles ofte standardavviket på middelverdiene. For bedre å forstå hva standardfeilen til måleserien er, kan en dele de 5 målinene inn i 5 rupper. Gjør følende: - Ren først ut middelverdiene o standardavvikene (standard deviation; SD) for hver av de fem ruppene (bruk EXCEL). - Ren deretter ut middelverdien o standardavviket til middelverdiene, som du har funnet for hver av de fem ruppene. Den siste størrelsen kalles standardfeilen (standard error; SE). - Kontroller at denne standardfeilen på middelverdiene overensstemmer med standardavviket til en ruppe dividert med kvadratroten av fem (se notat om usikkerhet). - Alle de 5 (n) målinene betraktes til slutt som en ruppe. Ren ut SD o SE i EXCEL o en bruker SE som usikkerheten i målinene. Dersom en hadde utført 5 nye måliner, 5 aner, kunne en bruke samme framansmåte som over (ved fem måliner). Det jøres ikke, fordi en hele tiden måler på samme fordelin. Konvensjonen er at en bruker standardfeilen (standardavviket på middelverdiene) som mål på usikkerheten (se notat om usikkerhet). 3: Fysisk pendel - Bestemmelse av tyndens akselerasjon - side 6

7 Matlab proram for innhentin av sinal fra fotodiode o berenin av svinetid AI=analoinput('nidaq',1); Chan=addchannel(AI,0); Fs=10000; duration=3; set(ai,'samplerate',fs); ActualRate=et(AI,'SampleRate'); set(ai,'samplespertrier',duration*actualrate); set(ai,'triertype','manual'); Fs=ActualRate; start(ai); trier(ai); data=etdata(ai); delete(ai); for n=1:lenth(data); tid(n)=n/fs; end; fiure; Vt=; plot(tid,data,tid,vt+0.*tid) L=lenth(data); pulsnr=0; oppflanke=0; for i=1:l-1; if data(i)<vt && data(i+1)>=vt; pulsnr=pulsnr +1 ; oppflanke(pulsnr)=i end end T=(1/Fs)*(oppflanke()-oppflanke(1)) Innhentet fiur fra Matlab prorammet 3: Fysisk pendel - Bestemmelse av tyndens akselerasjon - side 7

8 Exceldiaram for oraniserin o berenin av måledata, 5 svinetider som funksjon av avstand mellom opphenninspunkt o massemiddelpunkt. H (m) T T T T T Gj.snitt avikelse y x = 4+PI()^/ r = (0.3333/ )^(1/) Fiur fra renearket over y = x ht^ h^ 3: Fysisk pendel - Bestemmelse av tyndens akselerasjon - side 8

9 Pendelmåliner for trehetsradius H (m) T T T T T T T T T T E-05 T T T T T T T T T T T T T T T E-05 Averae Avik E-05 SQRT((1^+0.05^)/1) r = = E-05 Usikkerhet : Fysisk pendel - Bestemmelse av tyndens akselerasjon - side 9