Goodwillie Kalkulus. Bjørn Ian Dundas. August 28, Goodwillie Kalkulus. Bjørn Ian Dundas. Introduksjon. Oversettelse.
|
|
|
- Sidsel Nilsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 August 28, 2007 vs voksende Rekursiv
2 I MAT101/111 lærer vi om f : R R og hvordan vi deriverer dem (gitt at det er mulig). vs voksende Rekursiv
3 I MAT101/111 lærer vi om f : R R og hvordan vi deriverer dem De deriverte gir mye informasjon: f.eks. hvis f og g er to med samme derivert, og f (0) = g(0), så er for alle x R. f (x) = g(x) vs voksende Rekursiv
4 I MAT101/111 lærer vi om f : R R og hvordan vi deriverer dem De deriverte gir mye informasjon: f.eks. hvis f og g er to med samme derivert, og f (0) = g(0), så er for alle x R. f (x) = g(x) Hvis f er snill kan vi approksimere f (x) med sitt Taylorpolynom P n f (x) = f (0) + f (0)x + + f (n) (0) x n n! vs voksende Rekursiv
5 I dag skal jeg snakke om noe meget mer voldsomt, men tilsvarende kraftfullt: Goodwillie kalkulus vs voksende Rekursiv
6 I dag skal jeg snakke om noe meget mer voldsomt, men tilsvarende kraftfullt: Goodwillie kalkulus vs voksende Rekursiv
7 - Istedet for reelle tall x skal vi se på ROM X. F.eks. vs voksende Rekursiv
8 - Istedet for reelle tall x skal vi se på ROM X. F.eks. Tall-linjen selv: X = R Altså: tallinjen betraktet som ett objekt. vs voksende Rekursiv
9 - Istedet for reelle tall x skal vi se på ROM X. F.eks. Tall-linjen selv: X = R n-rommet: X = R n Når n = 2 er dette planet R 2 betraktet som ett objekt. vs voksende Rekursiv
10 - Istedet for reelle tall x skal vi se på ROM X. F.eks. Tall-linjen selv: X = R n-rommet: X = R n Sirkelen: X = S 1 = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1} vs voksende Rekursiv
11 - Istedet for reelle tall x skal vi se på ROM X. F.eks. Tall-linjen selv: X = R n-rommet: X = R n Sirkelen: X = S 1 = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1} n-sfæren: X = S n = {x R n+1 x = 1} vs voksende Rekursiv
12 - Istedet for reelle tall x skal vi se på ROM X. F.eks. Tall-linjen selv: X = R n-rommet: X = R n Sirkelen: X = S 1 = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1} n-sfæren: X = S n = {x R n+1 x = 1} Torusen vs voksende Rekursiv
13 - funktorer Hvis vi bytter ut reelle tall med rom, hva spiller så rollen til f : R R? vs voksende Rekursiv
14 - funktorer Hvis vi bytter ut reelle tall med rom, hva spiller så rollen til f : R R? Svar: F : dvs: vs voksende Rekursiv
15 - funktorer Hvis vi bytter ut reelle tall med rom, hva spiller så rollen til f : R R? Svar: F : dvs: En regel som til hvert rom X gir et nytt rom F (X ) vs voksende Rekursiv
16 - funktorer Hvis vi bytter ut reelle tall med rom, hva spiller så rollen til f : R R? Svar: F : dvs: En regel som til hvert rom X gir et nytt rom F (X ) til hver kontinuerlig funksjon mellom rom gir en kontinuerlig funksjon vs voksende Rekursiv
17 - funktorer Hvis vi bytter ut reelle tall med rom, hva spiller så rollen til f : R R? Svar: F : dvs: En regel som til hvert rom X gir et nytt rom F (X ) til hver kontinuerlig funksjon mellom rom gir en kontinuerlig funksjon Dvs. om f : X Y er kontinuerlig, så får vi en kontinuerlig F (f ): F (X ) F (Y ). vs voksende Rekursiv
18 - funktorer Hvis vi bytter ut reelle tall med rom, hva spiller så rollen til f : R R? Svar: F : dvs: En regel som til hvert rom X gir et nytt rom F (X ) til hver kontinuerlig funksjon mellom rom gir en kontinuerlig funksjon pluss noen opplagte regler Dvs. om f : X Y er kontinuerlig, så får vi en kontinuerlig F (f ): F (X ) F (Y ). vs voksende Rekursiv
19 - funktorer Analogi: voksende f : R R voksende input piler tas til piler funktorer vs voksende Rekursiv
20 - funktorer Analogi: voksende f : R R voksende input reelle tall x piler tas til piler funktorer vs voksende Rekursiv
21 - funktorer Analogi: voksende f : R R voksende funktorer input reelle tall x rom X piler tas til piler vs voksende Rekursiv
22 - funktorer Analogi: voksende f : R R voksende funktorer input reelle tall x rom X piler x y tas til piler vs voksende Rekursiv
23 - funktorer Analogi: voksende f : R R voksende funktorer input reelle tall x rom X piler x y X Y tas til piler vs voksende Rekursiv
24 - funktorer Analogi: voksende f : R R voksende funktorer input reelle tall x rom X piler x y X Y tas til piler f (x) f (y) vs voksende Rekursiv
25 - funktorer Analogi: voksende f : R R voksende funktorer input reelle tall x rom X piler x y X Y tas til piler f (x) f (y) F (X ) F (Y ) vs voksende Rekursiv
26 I denne forelesningen skal vi se at vi kan gjøre kalkulus i denne settingen, og underveis skal vi se på noen spesielt hyggelige eksempler. vs voksende Rekursiv
27 I denne forelesningen skal vi se at vi kan gjøre kalkulus i denne settingen, og underveis skal vi se på noen spesielt hyggelige eksempler. For å få til det må vi fortsette vår oversetting fra reelle tall til rom vs voksende Rekursiv
28 fra R til : R null 0 én 1 pluss x + y minus x y ganger x y divisjon x/y vs voksende Rekursiv Skip reality check
29 fra R til : R null 0, (ettpunkts mengden) én 1 pluss x + y minus x y ganger x y divisjon x/y Vi antar fra nu at alle rom har et valgt basispunkt som vi kaller. vs voksende Rekursiv Skip reality check
30 fra R til : R null 0, (ettpunkts mengden) én 1 pluss x + y minus x y ganger x y divisjon x/y Vi antar fra nu at alle rom har et valgt basispunkt som vi kaller. I vår analogi med voksende svarer dette til å se på kun: 0 x (tenk på basispunktet som en funksjon X ), og alle skal bevare basispunktet. Skip reality check vs voksende Rekursiv
31 fra R til : R null 0, (ettpunkts mengden) én 1 pluss x + y X Y = X Y / minus x y ganger x y divisjon x/y Vi antar fra nu at alle rom har et valgt basispunkt som vi kaller. vs voksende Rekursiv Alle vanlige regneregler gjelder Skip reality check
32 fra R til : R null 0, (ettpunkts mengden) én 1 pluss x + y X Y = X Y / minus x y fiber{x Y } ganger x y divisjon x/y Vi antar fra nu at alle rom har et valgt basispunkt som vi kaller. fiber{x Y } = {x X f (x) = } vs voksende Rekursiv Skip reality check
33 fra R til : R null 0, (ettpunkts mengden) én 1 pluss x + y X Y = X Y / minus x y fiber{x Y } ganger x y divisjon x/y Vi antar fra nu at alle rom har et valgt basispunkt som vi kaller. fiber{x Y } = {x X f (x) = } Ex: f : R 2 R, f (x, y) = x, = 0 R, fiber{r 2 R} = {(0, y)} = R vs voksende Rekursiv Skip reality check
34 fra R til : R null 0, (ettpunkts mengden) én 1 S 0 (to punkter) pluss x + y X Y = X Y / minus x y fiber{x Y } ganger x y divisjon x/y Vi antar fra nu at alle rom har et valgt basispunkt som vi kaller. fiber{x Y } = {x X f (x) = } vs voksende Rekursiv Skip reality check
35 fra R til : R null 0, (ettpunkts mengden) én 1 S 0 (to punkter) pluss x + y X Y = X Y / minus x y fiber{x Y } ganger x y X Y = X Y /X Y divisjon x/y Vi antar fra nu at alle rom har et valgt basispunkt som vi kaller. fiber{x Y } = {x X f (x) = } Ex: S n S m = S n+m Y X Skip reality check vs voksende Rekursiv
36 fra R til : R null 0, (ettpunkts mengden) én 1 S 0 (to punkter) pluss x + y X Y = X Y / minus x y fiber{x Y } ganger x y X Y = X Y /X Y divisjon x/y Map(Y, X ) Vi antar fra nu at alle rom har et valgt basispunkt som vi kaller. vs voksende Rekursiv Skip reality check
37 fra R til : R null 0, (ettpunkts mengden) én 1 S 0 (to punkter) pluss x + y X Y = X Y / minus x y fiber{x Y } ganger x y X Y = X Y /X Y divisjon x/y Map(Y, X ) Vi antar fra nu at alle rom har et valgt basispunkt som vi kaller. X = X, X =, S 0 X = X, og alle vanlige regneregler for og vs voksende Rekursiv Skip reality check
38 fra R til : R null 0, (ettpunkts mengden) én 1 S 0 (to punkter) pluss x + y X Y = X Y / minus x y fiber{x Y } ganger x y X Y = X Y /X Y divisjon x/y Map(Y, X ) Vi antar fra nu at alle rom har et valgt basispunkt som vi kaller. X = X, X =, S 0 X = X, og alle vanlige regneregler for og fiber{x } = X, Map(S 0, X ) = X, MEN rare ting som f.eks. Map(, X ) = vs voksende Rekursiv (og ikke uendelig ) Skip reality check
39 fra R tall til : R null 0 én 1 S 0 pluss x + y X Y minus x y fiber{x Y } ganger x y X Y divisjon x/y Map(Y, X ) vs voksende Rekursiv
40 fra R tall til : R null 0 én 1 S 0 pluss x + y X Y minus x y fiber{x Y } ganger x y X Y divisjon x/y Map(Y, X ) Norm: S n = 10 n vs voksende Rekursiv
41 fra R tall til : R null 0 Norm: én 1 S 0 pluss x + y X Y minus x y fiber{x Y } S n = 10 n ganger x y X Y divisjon x/y Map(Y, X ) Dette definerer norm for alle rom, og dermed også et sbegrep: Men merk at det er overraskelser, f.eks. er R m = 0 hvilket sier at enhver sfære i R m begrenser en ball og kan derfor trekkes sammen til et punkt vs voksende Rekursiv
42 fra R tall til : R null 0 én 1 S 0 pluss x + y X Y minus x y fiber{x Y } ganger x y X Y divisjon x/y Map(Y, X ) R én 1 = 1 null 0 = 0 norm x = x 2 x y ganger x y = x y divisjon x/y = x / y Norm: S n = 10 n vs voksende Rekursiv
43 fra R tall til : R null 0 Norm: én 1 S 0 pluss x + y X Y minus x y fiber{x Y } ganger x y X Y divisjon x/y Map(Y, X ) R én 1 = 1 S 0 = 1 null 0 = 0 norm x = x 2 x y ganger x y = x y divisjon x/y = x / y S n = 10 n vs voksende Rekursiv
44 fra R tall til : R null 0 Norm: én 1 S 0 pluss x + y X Y minus x y fiber{x Y } ganger x y X Y divisjon x/y Map(Y, X ) R én 1 = 1 S 0 = 1 null 0 = 0 = 0 norm x = x 2 x y ganger x y = x y divisjon x/y = x / y S n = 10 n vs voksende Rekursiv
45 fra R tall til : R null 0 Norm: én 1 S 0 pluss x + y X Y minus x y fiber{x Y } S n = 10 n ganger x y X Y divisjon x/y Map(Y, X ) R én 1 = 1 S 0 = 1 null 0 = 0 = 0 norm x = x 2 X = 10 m 1 om X er m-sammenhengende. x y ganger x y = x y divisjon x/y = x / y vs voksende Rekursiv
46 fra R tall til : R null 0 Norm: én 1 S 0 pluss x + y X Y minus x y fiber{x Y } S n = 10 n ganger x y X Y divisjon x/y Map(Y, X ) R én 1 = 1 S 0 = 1 null 0 = 0 = 0 norm x = x 2 X = 10 m 1 om X er m-sammenhengende. x y X Y = 10 m om X Y er m-smh. ganger x y = x y divisjon x/y = x / y vs voksende Rekursiv
47 fra R tall til : R null 0 Norm: én 1 S 0 pluss x + y X Y minus x y fiber{x Y } S n = 10 n ganger x y X Y divisjon x/y Map(Y, X ) R én 1 = 1 S 0 = 1 null 0 = 0 = 0 norm x = x 2 X = 10 m 1 om X er m-sammenhengende. x y X Y = 10 m om X Y er m-smh. ganger x y = x y X Y = X Y divisjon x/y = x / y vs voksende Rekursiv
48 fra R tall til : R null 0 Norm: én 1 S 0 pluss x + y X Y minus x y fiber{x Y } S n = 10 n ganger x y X Y divisjon x/y Map(Y, X ) R én 1 = 1 S 0 = 1 null 0 = 0 = 0 norm x = x 2 X = 10 m 1 om X er m-sammenhengende. x y X Y = 10 m om X Y er m-smh. ganger x y = x y X Y = X Y divisjon x/y = x / y Map(S n, X ) = X / S n vs voksende Rekursiv
49 Fra R tall til : kontinuitet og derivasjon Analogien til kontinuerlige er enkel: Vi krever at X Y = 0 F (X ) F (Y ) = 0 vs voksende Rekursiv
50 Fra R tall til : kontinuitet og derivasjon Analogien til kontinuerlige er enkel: Vi krever at X Y = 0 F (X ) F (Y ) = 0 Slike funktorer kalles ofte homotopifunktorer. Antar at alle funktorer er av denne typen. vs voksende Rekursiv
51 Fra R tall til : kontinuitet og derivasjon Analogien til kontinuerlige er enkel: Vi krever at X Y = 0 F (X ) F (Y ) = 0 Definisjon av derivert: R Differans a f (x) = A F (X ) = f (x + a) f (x) derivert f (x) = F (X ) = 1 lim a af (x) a 0 vs voksende Rekursiv
52 Fra R tall til : kontinuitet og derivasjon Analogien til kontinuerlige er enkel: Vi krever at X Y = 0 F (X ) F (Y ) = 0 Definisjon av derivert: R Differans a f (x) = A F (X ) = f (x + a) f (x) fiber{f (X A) F (X )} derivert f (x) = F (X ) = 1 lim a af (x) a 0 vs voksende Rekursiv
53 Fra R tall til : kontinuitet og derivasjon Analogien til kontinuerlige er enkel: Vi krever at X Y = 0 F (X ) F (Y ) = 0 Definisjon av derivert: R Differans a f (x) = A F (X ) = f (x + a) f (x) fiber{f (X A) F (X )} derivert f (x) = F (X ) = 1 lim a af (x) lim, S nf (X )) n a 0 vs voksende Rekursiv
54 Fra R tall til : kontinuitet og derivasjon Analogien til kontinuerlige er enkel: Vi krever at X Y = 0 F (X ) F (Y ) = 0 Definisjon av derivert: R Differans a f (x) = A F (X ) = f (x + a) f (x) fiber{f (X A) F (X )} derivert f (x) = F (X ) = 1 lim a 0 a af (x) lim, S nf (X )) n Rar ting: den deriverte F (X ) er alltid definert! men den er ikke alltid verdifull. vs voksende Rekursiv
55 radius For å sikre at den deriverte er verdifull kan man legge på krav som minner på begrepet konvergensradius for potensrekker. vs voksende Rekursiv
56 radius For å sikre at den deriverte er verdifull kan man legge på krav som minner på begrepet konvergensradius for potensrekker. Vi skal kanskje komme tilbake til dette senere, men inntil da nøyer vi oss med å konstatere at det finnes slikt begrep: vs voksende Rekursiv
57 radius For å sikre at den deriverte er verdifull kan man legge på krav som minner på begrepet konvergensradius for potensrekker. Vi skal kanskje komme tilbake til dette senere, men inntil da nøyer vi oss med å konstatere at det finnes slikt begrep: R f har Taylorrekke F er med konvergensradius 10 r r-analytisk vs voksende Rekursiv
58 radius For å sikre at den deriverte er verdifull kan man legge på krav som minner på begrepet konvergensradius for potensrekker. Vi skal kanskje komme tilbake til dette senere, men inntil da nøyer vi oss med å konstatere at det finnes slikt begrep: R f har Taylorrekke F er med konvergensradius 10 r r-analytisk Goodwillie kaller dette r 1-analytisk vs voksende Rekursiv
59 radius For å sikre at den deriverte er verdifull kan man legge på krav som minner på begrepet konvergensradius for potensrekker. Vi skal kanskje komme tilbake til dette senere, men inntil da nøyer vi oss med å konstatere at det finnes slikt begrep: R f har Taylorrekke F er med konvergensradius 10 r r-analytisk Så: 0-analytisk har maksimal konvergensradius ( S 0 = 1) vs voksende Rekursiv
60 Teorem (Goodwillie) La F G være to r-analytiske funktorer slik at vs voksende Rekursiv
61 Teorem (Goodwillie) La F G være to r-analytiske funktorer slik at F ( ) G( ) = 0 og vs voksende Rekursiv
62 Teorem (Goodwillie) La F G være to r-analytiske funktorer slik at F ( ) G( ) = 0 og F (X ) G (X ) = 0 for alle X. vs voksende Rekursiv
63 Teorem (Goodwillie) La F G være to r-analytiske funktorer slik at og for alle X. Da er F ( ) G( ) = 0 F (X ) G (X ) = 0 F (X ) G(X ) = 0 for alle X slik at X S r. vs voksende Rekursiv
64 Teorem (Goodwillie) La F G være to r-analytiske funktorer slik at og for alle X. Da er F ( ) G( ) = 0 F (X ) G (X ) = 0 F (X ) G(X ) = 0 for alle X slik at X S r. Spesielt: om r = 0, så er F (X ) G(X ) = 0 for alle X (fordi 0 = X S 0 = 1) vs voksende Rekursiv
65 : da jeg ble rik og berømt Teorem (Goodwillie) La F G være to 0-analytiske funktorer slik at F ( ) G( ) = 0 og F (X ) G (X ) = 0 for alle X. Da er F (X ) G(X ) = 0 for alle X. vs voksende Rekursiv
66 : da jeg ble rik og berømt Teorem (Goodwillie) La F G være to 0-analytiske funktorer slik at F ( ) G( ) = 0 og F (X ) G (X ) = 0 for alle X. Da er F (X ) G(X ) = 0 for alle X. I 1992 regnet McCarthy og jeg ut den deriverte til en funktor (K) vs voksende Rekursiv
67 : da jeg ble rik og berømt Teorem (Goodwillie) La F G være to 0-analytiske funktorer slik at F ( ) G( ) = 0 og F (X ) G (X ) = 0 for alle X. Da er F (X ) G(X ) = 0 for alle X. I 1992 regnet McCarthy og jeg ut den deriverte til en funktor (K) og Hesselholt til en annen (TC) vs voksende Rekursiv
68 : da jeg ble rik og berømt Teorem (Goodwillie) La F G være to 0-analytiske funktorer slik at F ( ) G( ) = 0 og F (X ) G (X ) = 0 for alle X. Da er F (X ) G(X ) = 0 for alle X. I 1992 regnet McCarthy og jeg ut den deriverte til en funktor (K) og Hesselholt til en annen (TC) og vi fikk samme svar. vs voksende Rekursiv
69 : da jeg ble rik og berømt Teorem (Goodwillie) La F G være to 0-analytiske funktorer slik at F ( ) G( ) = 0 og F (X ) G (X ) = 0 for alle X. Da er F (X ) G(X ) = 0 for alle X. I 1992 regnet McCarthy og jeg ut den deriverte til en funktor (K) og Hesselholt til en annen (TC) og vi fikk samme svar. K er viktig og spennende, og sier meget om mangt, mens TC kan ofte regnes ut. vs voksende Rekursiv
70 : da jeg ble rik og berømt Teorem (Goodwillie) La F G være to 0-analytiske funktorer slik at F ( ) G( ) = 0 og F (X ) G (X ) = 0 for alle X. Da er F (X ) G(X ) = 0 for alle X. I 1992 regnet McCarthy og jeg ut den deriverte til en funktor (K) og Hesselholt til en annen (TC) og vi fikk samme svar. K er viktig og spennende, og sier meget om mangt, mens TC kan ofte regnes ut. I 1993 viste McCarthy så at begge funktorene var 0-analytiske, så konklusjonen ble K TC = 0 vs voksende Rekursiv
71 : da jeg ble rik og berømt Teorem (Goodwillie) La F G være to 0-analytiske funktorer slik at F ( ) G( ) = 0 og F (X ) G (X ) = 0 for alle X. Da er F (X ) G(X ) = 0 for alle X. I 1992 regnet McCarthy og jeg ut den deriverte til en funktor (K) og Hesselholt til en annen (TC) og vi fikk samme svar. K er viktig og spennende, og sier meget om mangt, mens TC kan ofte regnes ut. I 1993 viste McCarthy så at begge funktorene var 0-analytiske, så konklusjonen ble K TC = 0 Altså: det interessante kan ofte regnes ut! vs voksende Rekursiv
72 : Gitt en (snill) funksjon f : R R vil differensialene fortelle mer og mer om f : 2 K1.0 K x K2 K4 K6 K8 vs voksende Rekursiv
73 : Gitt en (snill) funksjon f : R R vil differensialene fortelle mer og mer om f : P 0 f (x) = D 0 f (x) = f (0) 2 K1.0 K x K2 K4 K6 vs voksende Rekursiv K8
74 : Gitt en (snill) funksjon f : R R vil differensialene fortelle mer og mer om f : P 0 f (x) = D 0 f (x) = f (0) P 1 f (x) = P 0 f (x) + D 1 f (x) 2 K1.0 K x K2 K4 K6 vs voksende Rekursiv K8
75 : Gitt en (snill) funksjon f : R R vil differensialene fortelle mer og mer om f : P 0 f (x) = D 0 f (x) = f (0) P 1 f (x) = P 0 f (x) + D 1 f (x) P 2 f (x) = P 1 f (x) + D 2 f (x) 2 K1.0 K x K2 K4 K6 vs voksende Rekursiv K8
76 : Gitt en (snill) funksjon f : R R vil differensialene fortelle mer og mer om f : P 0 f (x) = D 0 f (x) = f (0) P 1 f (x) = P 0 f (x) + D 1 f (x) P 2 f (x) = P 1 f (x) + D 2 f (x) 2 K1.0 K x K2 K4 K6 P n f (x) er et ntegradspolynom. For å kunne utvide dette til F må vi gi kriteria for hva et polynom er. Disse kriteria kan også brukes til å regne ut differensialene. vs voksende Rekursiv K8
77 : Gitt en (snill) funksjon f : R R vil differensialene fortelle mer og mer om f : P 0 f (x) = D 0 f (x) = f (0) P 1 f (x) = P 0 f (x) + D 1 f (x) P 2 f (x) = P 1 f (x) + D 2 f (x) 2 K1.0 K x K2 K4 K6 P n f (x) er et ntegradspolynom. For å kunne utvide dette til F må vi gi kriteria for hva et polynom er. Disse kriteria kan også brukes til å regne ut differensialene. vs voksende Rekursiv K8
78 : Gitt en (snill) funksjon f : R R vil differensialene fortelle mer og mer om f : P 0 f (x) = D 0 f (x) = f (0) P 1 f (x) = P 0 f (x) + D 1 f (x) P 2 f (x) = P 1 f (x) + D 2 f (x) 2 K1.0 K x K2 K4 K6 P n f (x) er et ntegradspolynom. For å kunne utvide dette til F må vi gi kriteria for hva et polynom er. Disse kriteria kan også brukes til å regne ut differensialene. vs voksende Rekursiv K8
79 : f : R R er vs voksende Rekursiv
80 : f : R R er konstant dersom L 1 f (x) = f (x) f (0) er lik null. vs voksende Rekursiv
81 : f : R R er konstant dersom L 1 f (x) = f (x) f (0) er lik null. en rett linje dersom L 2 f (x, y) = f (x + y) f (x) f (y) + f (0) er lik null a(x + y) + b (ax + b) (ay + b) + a0 + b = 0 vs voksende Rekursiv
82 : f : R R er konstant dersom L 1 f (x) = f (x) f (0) er lik null. en rett linje dersom L 2 f (x, y) = f (x + y) f (x) f (y) + f (0) er lik null en annengradskurve dersom L 3 f (x, y, z) =f (x + y + z) er lik null. f (x + y) f (x + z) f (y + z) +f (x) + f (y) + f (z) f (0) vs voksende Rekursiv
83 : f : R R er konstant dersom L 1 f (x) = f (x) f (0) er lik null. en rett linje dersom L 2 f (x, y) = f (x + y) f (x) f (y) + f (0) er lik null en annengradskurve dersom L 3 f (x, y, z) =f (x + y + z) f (x + y) f (x + z) f (y + z) +f (x) + f (y) + f (z) f (0) er lik null. Dette kan vi oversette til rom, og kan snakke om konstante, lineære, kvadratiske funktorer osv. vs voksende Rekursiv
84 : f : R R er konstant dersom L 1 f (x) = f (x) f (0) er lik null. en rett linje dersom L 2 f (x, y) = f (x + y) f (x) f (y) + f (0) er lik null en annengradskurve dersom L 3 f (x, y, z) =f (x + y + z) f (x + y) f (x + z) f (y + z) +f (x) + f (y) + f (z) f (0) er lik null. Dette kan vi oversette til rom, og kan snakke om konstante, lineære, kvadratiske funktorer osv. Lineære funktorer har vært spesielt mye studért de kalles homologiteorier (MAT341) vs voksende Rekursiv
85 II: differensialer f : R R, L 1 f (x) = f (x) f (0), L 2 f (x, y) = f (x + y) f (x) f (y) + f (0) Differensialene til f er vs voksende Rekursiv
86 II: differensialer f : R R, L 1 f (x) = f (x) f (0), L 2 f (x, y) = f (x + y) f (x) f (y) + f (0) Differensialene til f er D 1 f (x) = lim a 0 1 a L 1f (ax) = f (0)x. vs voksende Rekursiv
87 II: differensialer f : R R, L 1 f (x) = f (x) f (0), L 2 f (x, y) = f (x + y) f (x) f (y) + f (0) Differensialene til f er 1 D 1 f (x) = lim a 0 a L 1f (ax) = f (0)x. Bruk lh: lim a 0 1 a L f (ax) f (0) 1f (ax) = lim a 0 a f (ax)x 0 = lim a 0 1 = lim f (ax)x = f (0)x a 0 vs voksende Rekursiv
88 II: differensialer f : R R, L 1 f (x) = f (x) f (0), L 2 f (x, y) = f (x + y) f (x) f (y) + f (0) Differensialene til f er 1 D 1 f (x) = lim a 0 a L 1f (ax) = f (0)x. 1 D 2 f (x) = lim a1,a 2 0 2a 1 a 2 L 2 f (a 1 x, a 2 x) = f (0) 2 x 2 Hopp til Taylortårnet vs voksende Rekursiv
89 II: differensialer f : R R, L 1 f (x) = f (x) f (0), L 2 f (x, y) = f (x + y) f (x) f (y) + f (0) Differensialene til f er 1 D 1 f (x) = lim a 0 a L 1f (ax) = f (0)x. 1 D 2 f (x) = lim a1,a 2 0 2a 1 a 2 L 2 f (a 1 x, a 2 x) = f (0) 2 x 2 1 D n f (x) = lim a1,...,a n 0 n!a 1 a n L n f (a 1 x,..., a n x) = f (n) (0) n! x n Hopp til Taylortårnet vs voksende Rekursiv
90 II: differensialer f : R R, L 1 f (x) = f (x) f (0), L 2 f (x, y) = f (x + y) f (x) f (y) + f (0) Differensialene til f er 1 D 1 f (x) = lim a 0 a L 1f (ax) = f (0)x. 1 D 2 f (x) = lim a1,a 2 0 2a 1 a 2 L 2 f (a 1 x, a 2 x) = f (0) 2 x 2 1 D n f (x) = lim a1,...,a n 0 n!a 1 a n L n f (a 1 x,..., a n x) = f (n) (0) n! x n Hopp til Taylortårnet Fakta: D n f (hvis den eksisterer) er et homogent n-te grads polynom. vs voksende Rekursiv
91 II: differensialer f : R R, L 1 f (x) = f (x) f (0), L 2 f (x, y) = f (x + y) f (x) f (y) + f (0) Differensialene til f er 1 D 1 f (x) = lim a 0 a L 1f (ax) = f (0)x. 1 D 2 f (x) = lim a1,a 2 0 2a 1 a 2 L 2 f (a 1 x, a 2 x) = f (0) 2 x 2 1 D n f (x) = lim a1,...,a n 0 n!a 1 a n L n f (a 1 x,..., a n x) = f (n) (0) n! x n Fakta: D n f (hvis den eksisterer) er et homogent n-te grads polynom. D 1 F (X ) = lim n Map(S n, L 1 F (S n X )) eksisterer alltid, men vs voksende Rekursiv
92 II: differensialer f : R R, L 1 f (x) = f (x) f (0), L 2 f (x, y) = f (x + y) f (x) f (y) + f (0) Differensialene til f er 1 D 1 f (x) = lim a 0 a L 1f (ax) = f (0)x. 1 D 2 f (x) = lim a1,a 2 0 2a 1 a 2 L 2 f (a 1 x, a 2 x) = f (0) 2 x 2 1 D n f (x) = lim a1,...,a n 0 n!a 1 a n L n f (a 1 x,..., a n x) = f (n) (0) n! x n Fakta: D n f (hvis den eksisterer) er et homogent n-te grads polynom. D 1 F (X ) = lim n Map(S n, L 1 F (S n X )) eksisterer alltid, men trenger ikke være lineær, dvs. L 2 (D 1 F (X )) trenger ikke være null. vs voksende Rekursiv
93 : analytisitet Det riktige kriteriet for funktorer er stabilt eksisivt og betyr essensielt at L 2 f (a 1 x, a 2 x) a 1 a 2 er begrenset for små a 1 og a 2 (dette er testen nær null og forteller essensielt at grafen ikke krummes ukontrollert). Analogien til å si at F er r-analytisk er at det finnes en konstant 0 < K < 1 slik at (om aene er små) er L n (a 1 x,..., a n x) a 1 a n K n(r+1). vs voksende Rekursiv
94 Teorem (Goodwillie) Om F er stabilt eksisiv er D 1 F lineær. vs voksende Rekursiv
95 Teorem (Goodwillie) Om F er stabilt eksisiv er D 1 F lineær. () Om F G er r-analytiske og det finnes en t slik at F (X ) G(X ) = 0 for alle alle X < t så er F (X ) G(X ) = 0 for alle X S r vs voksende Rekursiv
96 Teorem (Goodwillie) Om F er stabilt eksisiv er D 1 F lineær. () Om F G er r-analytiske og det finnes en t slik at F (X ) G(X ) = 0 for alle alle X < t så er F (X ) G(X ) = 0 for alle X S r Eks: om F G er to 0-analytiske funktorer slik at F (X ) G(X ) = 0 for alle enkeltsammenhengende rom X dvs. X < S 1, vs voksende Rekursiv
97 Teorem (Goodwillie) Om F er stabilt eksisiv er D 1 F lineær. () Om F G er r-analytiske og det finnes en t slik at F (X ) G(X ) = 0 for alle alle X < t så er F (X ) G(X ) = 0 for alle X S r Eks: om F G er to 0-analytiske funktorer slik at F (X ) G(X ) = 0 for alle enkeltsammenhengende rom X, så er F (X ) G(X ) = 0 for ALLE rom X. vs voksende Rekursiv
98 Taylor polynomene P n f (x) = f (0) + f (0)x + + f (n) (0) x n n! kan (med fordel) defineres rekursivt: P 0 f (x) =f (0), D n f (x) =P n f (x) P n 1 f (x), n > 0 Pf (x) = lim n P nf (x). Slik går det også for oss: P 0 F (X ) =F ( ), D n F (X ) =fiber{p n F (X ) P n 1 F (X )}, n > 0 PF (X ) =lim P n F (X ). vs voksende Rekursiv
99 Taylor polynomene P n f (x) = f (0) + f (0)x + + f (n) (0) x n n! kan (med fordel) defineres rekursivt: P 0 f (x) =f (0), D n f (x) =P n f (x) P n 1 f (x), n > 0 Pf (x) = lim n P nf (x). Slik går det også for oss: P 0 F (X ) =F ( ), D n F (X ) =fiber{p n F (X ) P n 1 F (X )}, n > 0 PF (X ) =lim P n F (X ). vs voksende Rekursiv
100 Taylor polynomene P n f (x) = f (0) + f (0)x + + f (n) (0) x n n! kan (med fordel) defineres rekursivt: P 0 f (x) =f (0), D n f (x) =P n f (x) P n 1 f (x), n > 0 Pf (x) = lim n P nf (x). Slik går det også for oss: P 0 F (X ) =F ( ), D n F (X ) =fiber{p n F (X ) P n 1 F (X )}, n > 0 PF (X ) =lim P n F (X ). vs voksende Rekursiv
101 Taylor polynomene P n f (x) = f (0) + f (0)x + + f (n) (0) x n n! kan (med fordel) defineres rekursivt: P 0 f (x) =f (0), D n f (x) =P n f (x) P n 1 f (x), n > 0 Pf (x) = lim n P nf (x). Slik går det også for oss: P 0 F (X ) =F ( ), D n F (X ) =fiber{p n F (X ) P n 1 F (X )}, n > 0 PF (X ) =lim P n F (X ). vs voksende Rekursiv
102 Taylor tårnet Akkurat som f (x) under gitte betingelser er lik Pf (x) innenfor konvergensradius er F (X ) PF (X ) = 0 for X innefor konvergensradius. Det betyr at man kan regne ut F (X ) ut i fra kunnskap om de polynomielle funktorene P n F. Men hvordan regner vi ut D n F (X )? Hopp til hvordan dele på n!? D n f (x) = lim a 1,...,a n 0 1 n!a 1 a n L n f (a 1 x,..., a n x) vs voksende Rekursiv
103 Taylor tårnet Akkurat som f (x) under gitte betingelser er lik Pf (x) innenfor konvergensradius er F (X ) PF (X ) = 0 for X innefor konvergensradius. Det betyr at man kan regne ut F (X ) ut i fra kunnskap om de polynomielle funktorene P n F. Men hvordan regner vi ut D n F (X )? Hopp til hvordan dele på n!? D n f (x) = lim a 1,...,a n 0 1 n!a 1 a n L n f (a 1 x,..., a n x) vs voksende Rekursiv
104 Taylor tårnet Akkurat som f (x) under gitte betingelser er lik Pf (x) innenfor konvergensradius er F (X ) PF (X ) = 0 for X innefor konvergensradius. Det betyr at man kan regne ut F (X ) ut i fra kunnskap om de polynomielle funktorene P n F. Men hvordan regner vi ut D n F (X )? Hopp til hvordan dele på n!? D n f (x) = lim a 1,...,a n 0 1 n!a 1 a n L n f (a 1 x,..., a n x) vs voksende Rekursiv
105 Taylor tårnet Akkurat som f (x) under gitte betingelser er lik Pf (x) innenfor konvergensradius er F (X ) PF (X ) = 0 for X innefor konvergensradius. Det betyr at man kan regne ut F (X ) ut i fra kunnskap om de polynomielle funktorene P n F. Men hvordan regner vi ut D n F (X )? Hopp til hvordan dele på n!? D n f (x) = lim a 1,...,a n 0 1 n!a 1 a n L n f (a 1 x,..., a n x) vs voksende Rekursiv
106 Hvordan regner vi ut D n F (X )? D n f (x) = L 1 f (x) = L 2 f (x, y) = L 1 F (X ) = lim a 1,...,a n 0 = f (n) (0) x n. n! 1 n!a 1 a n L n f (a 1 x,..., a n x) vs voksende Rekursiv
107 Hvordan regner vi ut D n F (X )? D n f (x) = lim a 1,...,a n 0 = f (n) (0) x n. n! L 1 f (x) = f (x) f (0), L 2 f (x, y) = L 1 F (X ) = 1 n!a 1 a n L n f (a 1 x,..., a n x) vs voksende Rekursiv
108 Hvordan regner vi ut D n F (X )? D n f (x) = lim a 1,...,a n 0 = f (n) (0) x n. n! L 1 f (x) = f (x) f (0), L 2 f (x, y) = 1 n!a 1 a n L n f (a 1 x,..., a n x) L 1 F (X ) = fiber{f (X ) F ( )} vs voksende Rekursiv
109 Hvordan regner vi ut D n F (X )? D n f (x) = lim a 1,...,a n 0 = f (n) (0) x n. n! L 1 f (x) = f (x) f (0), 1 n!a 1 a n L n f (a 1 x,..., a n x) L 2 f (x, y) = f (x + y) f (x) f (y) + f (0) osv. L 1 F (X ) = fiber{f (X ) F ( )} vs voksende Rekursiv
110 Hvordan regner vi ut D n F (X )? D n f (x) = lim a 1,...,a n 0 = f (n) (0) x n. n! L 1 f (x) = f (x) f (0), 1 n!a 1 a n L n f (a 1 x,..., a n x) L 2 f (x, y) = f (x + y) f (x) f (y) + f (0) osv. L 1 F (X ) = fiber{f (X ) F ( )} F (X Y ) F (X ) F (Y ) F ( ) vs voksende Rekursiv
111 Hvordan regner vi ut D n F (X )? D n f (x) = lim a 1,...,a n 0 = f (n) (0) x n. n! L 1 f (x) = f (x) f (0), 1 n!a 1 a n L n f (a 1 x,..., a n x) L 2 f (x, y) = f (x + y) f (x) f (y) + f (0) = (f (x + y) f (y)) (f (x) f (0)) osv. L 1 F (X ) = fiber{f (X ) F ( )} F (X Y ) F (X ) F (Y ) F ( ) vs voksende Rekursiv
112 Hvordan regner vi ut D n F (X )? L 2 f (x, y) = = (f (x + y) f (y)) (f (x) f (0)) F (X Y ) F (X ) F (Y ) F ( ) vs voksende Rekursiv
113 Hvordan regner vi ut D n F (X )? D 2 f (x) = lim L 2f (a 1 x,a 2 x) 2a 1 a 2 L 2 f (x, y) = (f (x + y) f (y)) (f (x) f (0)) L 2 F (X, Y ) = F (X Y ) F (X ) F (Y ) F ( ) vs voksende Rekursiv
114 Hvordan regner vi ut D n F (X )? D 2 f (x) = lim L 2f (a 1 x,a 2 x) 2a 1 a 2 L 2 f (x, y) = (f (x + y) f (y)) (f (x) f (0)) F (X Y ) F (X ) F (Y ) F ( ) F (X Y ) F (X ) L 2 F (X, Y ) = fiber fiber fiber F (Y ) F ( ) vs voksende Rekursiv
115 Hvordan regner vi ut D n F (X )? D 2 f (x) = lim L 2f (a 1 x,a 2 x) 2a 1 a 2 L 2 f (x, y) = (f (x + y) f (y)) (f (x) f (0)) F (X Y ) F (X ) F (Y ) F ( ) F (X Y ) F (X ) L 2 F (X, Y ) = fiber fiber fiber F (Y ) F ( ) Faktoren 2! under brøkstreken i D 2 f (x) kommer av at L 2 f (x, y) = L 2 f (y, x) bare skal telles én gang. vs voksende Rekursiv
116 Hvordan regner vi ut D n F (X )? D 2 f (x) = lim L 2f (a 1 x,a 2 x) 2a 1 a 2 L 2 f (x, y) = (f (x + y) f (y)) (f (x) f (0)) F (X Y ) F (X ) F (Y ) F ( ) F (X Y ) F (X ) L 2 F (X, Y ) = fiber fiber fiber F (Y ) F ( ) Faktoren 2! under brøkstreken i D 2 f (x) kommer av at L 2 f (x, y) = L 2 f (y, x) bare skal telles én gang. Dette kan gjøres helt geometrisk (og dermed også på rom) ved bare å ta hensyn til banene vs voksende Rekursiv
117 Ex: I Trofastland er alle voksne gift med én ektefelle av motsatt kjønn. Sett at du skal telle antall barn i Trofastland. Du kan enten ringe alle voksne og spørre dem hvor mange barn de har, summere opp og så dele på 2, eller du kan ringe alle kvinnene og spørre dem hvor mange barn de har og summere opp. vs voksende Rekursiv
118 Ex: I Trofastland er alle voksne gift med én ektefelle av motsatt kjønn. Sett at du skal telle antall barn i Trofastland. Du kan enten ringe alle voksne og spørre dem hvor mange barn de har, summere opp og så dele på 2, eller du kan ringe alle kvinnene og spørre dem hvor mange barn de har og summere opp. vs voksende Rekursiv
119 Ex: I Trofastland er alle voksne gift med én ektefelle av motsatt kjønn. Sett at du skal telle antall barn i Trofastland. Du kan enten ringe alle voksne og spørre dem hvor mange barn de har, summere opp og så dele på 2, eller du kan ringe alle kvinnene og spørre dem hvor mange barn de har og summere opp. vs voksende Rekursiv
120 Ex: I Trofastland er alle voksne gift med én ektefelle av motsatt kjønn. Sett at du skal telle antall barn i Trofastland. Du kan enten ringe alle voksne og spørre dem hvor mange barn de har, summere opp og så dele på 2, eller du kan ringe alle kvinnene og spørre dem hvor mange barn de har og summere opp. vs voksende Rekursiv
121 Ex: I Trofastland er alle voksne gift med én ektefelle av motsatt kjønn. Sett at du skal telle antall barn i Trofastland. Du kan enten ringe alle voksne og spørre dem hvor mange barn de har, summere opp og så dele på 2, eller du kan ringe alle kvinnene og spørre dem hvor mange barn de har og summere opp. Det å plukke ut alle kvinnene er det samme som å plukke ut banene under operasjonen å forveksle ektefellene, og gjør deling med 2 overflødig. vs voksende Rekursiv
122 Ex: I Trofastland er alle voksne gift med én ektefelle av motsatt kjønn. Sett at du skal telle antall barn i Trofastland. Du kan enten ringe alle voksne og spørre dem hvor mange barn de har, summere opp og så dele på 2, eller du kan ringe alle kvinnene og spørre dem hvor mange barn de har og summere opp. Det å plukke ut alle kvinnene er det samme som å plukke ut banene under operasjonen å forveksle ektefellene, og gjør deling med 2 overflødig. {voksne} {ektepar} blir en to til én funksjon, vs voksende Rekursiv
123 Ex: I Trofastland er alle voksne gift med én ektefelle av motsatt kjønn. Sett at du skal telle antall barn i Trofastland. Du kan enten ringe alle voksne og spørre dem hvor mange barn de har, summere opp og så dele på 2, eller du kan ringe alle kvinnene og spørre dem hvor mange barn de har og summere opp. Det å plukke ut alle kvinnene er det samme som å plukke ut banene under operasjonen å forveksle ektefellene, og gjør deling med 2 overflødig. {voksne} {ektepar} blir en to til én funksjon, og jeg tenker på {ektepar} som {voksne}. 2 vs voksende Rekursiv
124 Hvordan regner vi ut D n F (X )? I rommet D 2 f (x) = lim L 2f (a 1 x,a 2 x) 2a 1 a 2 lim Map(S n 1+n 2, L 2 F (S n 1 X, S n 2 X )) n 1,n 2 kan vi likeledes bytte om n 1 og n 2 vs voksende Rekursiv
125 Hvordan regner vi ut D n F (X )? I rommet D 2 f (x) = lim L 2f (a 1 x,a 2 x) 2a 1 a 2 lim Map(S n 1+n 2, L 2 F (S n 1 X, S n 2 X )) n 1,n 2 kan vi likeledes bytte om n 1 og n 2 Akkurat som å bytte om mann og kone i forrige eksempel: vs voksende Rekursiv
126 Hvordan regner vi ut D n F (X )? I rommet D 2 f (x) = lim L 2f (a 1 x,a 2 x) 2a 1 a 2 lim Map(S n 1+n 2, L 2 F (S n 1 X, S n 2 X )) n 1,n 2 kan vi likeledes bytte om n 1 og n 2 Akkurat som å bytte om mann og kone i forrige eksempel: to punkter er et ektepar om de er forvekslinger av hverandre, vs voksende Rekursiv
127 Hvordan regner vi ut D n F (X )? I rommet D 2 f (x) = lim L 2f (a 1 x,a 2 x) 2a 1 a 2 lim Map(S n 1+n 2, L 2 F (S n 1 X, S n 2 X )) n 1,n 2 kan vi likeledes bytte om n 1 og n 2 Akkurat som å bytte om mann og kone i forrige eksempel: to punkter er et ektepar om de er forvekslinger av hverandre, (men her er noen punkter gift med seg selv : n 1 = n 2 ) vs voksende Rekursiv
128 Hvordan regner vi ut D n F (X )? I rommet D 2 f (x) = lim L 2f (a 1 x,a 2 x) 2a 1 a 2 lim Map(S n 1+n 2, L 2 F (S n 1 X, S n 2 X )) n 1,n 2 kan vi likeledes bytte om n 1 og n 2 Akkurat som å bytte om mann og kone i forrige eksempel: to punkter er et ektepar om de er forvekslinger av hverandre, og halvparten av dette rommet er eller banene rommet av ektepar vs voksende Rekursiv
129 Hvordan regner vi ut D n F (X )? I rommet D 2 f (x) = lim L 2f (a 1 x,a 2 x) 2a 1 a 2 lim Map(S n 1+n 2, L 2 F (S n 1 X, S n 2 X )) n 1,n 2 kan vi likeledes bytte om n 1 og n 2 Akkurat som å bytte om mann og kone i forrige eksempel: to punkter er et ektepar om de er forvekslinger av hverandre, og halvparten av dette rommet er rommet av ektepar eller banene, så det å dele på 2 gir praktfull mening, og vi har definert D 2 F (X ). vs voksende Rekursiv
130 Hvordan regner vi ut D n F (X )? Likedan i lim a 1,...,a n 0 1 a 1 a n L n f (a 1 x,..., a n x) kan vi forveksle a 1,... a n. Hvor mange måter kan vi forveksle dem? vs voksende Rekursiv
131 Hvordan regner vi ut D n F (X )? Likedan i lim a 1,...,a n 0 1 a 1 a n L n f (a 1 x,..., a n x) kan vi forveksle a 1,... a n. Hvor mange måter kan vi forveksle dem? vs voksende Rekursiv
132 Hvordan regner vi ut D n F (X )? Likedan i lim a 1,...,a n 0 1 a 1 a n L n f (a 1 x,..., a n x) kan vi forveksle a 1,... a n. Hvor mange måter kan vi forveksle dem? n!(!) vs voksende Rekursiv
133 Hvordan regner vi ut D n F (X )? Likedan i lim a 1,...,a n 0 1 a 1 a n L n f (a 1 x,..., a n x) kan vi forveksle a 1,... a n. Hvor mange måter kan vi forveksle dem? n!(!) Så det å dele på n! er kun en representasjon av at vi tar banene mhp. disse n! forbyttingene vs voksende Rekursiv
134 Hvordan regner vi ut D n F (X )? Likedan i lim a 1,...,a n 0 1 a 1 a n L n f (a 1 x,..., a n x) kan vi forveksle a 1,... a n. Hvor mange måter kan vi forveksle dem? n!(!) Så det å dele på n! er kun en representasjon av at vi tar banene mhp. disse n! forbyttingene, og vi får D n F (X ) = 1 n! lim m 1,...,m n Map(S m 1+ +m n, L n F (S m 1 X,..., S mn X )). vs voksende Rekursiv
135 F (X ) = X, vs voksende Rekursiv
136 F (X ) = X, D 1 F (X ) = lim n Map(S n, S n X ) Understreker kraftig at Map(Y, Y X ) X (på tross av analogien xy y = x) vs voksende Rekursiv
137 F (X ) = X, D 1 F (X ) = lim n Map(S n, S n X )= Q(X ) Understreker kraftig at Map(Y, Y X ) X (på tross av analogien xy y = x) vs voksende Rekursiv
138 F (X ) = X, D 1 F (X ) = lim n Map(S n, S n X )= Q(X ) D 2 F (X ) = Q(X X )/2 Understreker kraftig at Map(Y, Y X ) X (på tross av analogien xy y = x) vs voksende Rekursiv
139 F (X ) = X, D 1 F (X ) = lim n Map(S n, S n X )= Q(X ) D 2 F (X ) = Q(X X )/2 F (X ) = QMap(S 1, S 1 X ) vs voksende Rekursiv
140 F (X ) = X, D 1 F (X ) = lim n Map(S n, S n X )= Q(X ) D 2 F (X ) = Q(X X )/2 F (X ) = QMap(S 1, S 1 X ) = PF (X ) = ln(1 X ), vs voksende Rekursiv
141 F (X ) = X, D 1 F (X ) = lim n Map(S n, S n X )= Q(X ) D 2 F (X ) = Q(X X )/2 F (X ) = QMap(S 1, S 1 X ) = PF (X ) = ln(1 X ), spesielt D n F (X ) = Q(X... X ) (tilsvarer x n ) vs voksende Rekursiv
142 F (X ) = X, D 1 F (X ) = lim n Map(S n, S n X )= Q(X ) D 2 F (X ) = Q(X X )/2 F (X ) = QMap(S 1, S 1 X ) = PF (X ) = ln(1 X ), spesielt D n F (X ) = Q(X... X ) (tilsvarer x n ) F (X ) = K(X ) vs voksende Rekursiv
143 F (X ) = X, D 1 F (X ) = lim n Map(S n, S n X )= Q(X ) D 2 F (X ) = Q(X X )/2 F (X ) = QMap(S 1, S 1 X ) = PF (X ) = ln(1 X ), spesielt D n F (X ) = Q(X... X ) (tilsvarer x n ) F (X ) = K(X ) D 1 F (X ) = fri løkkerom på X vs voksende Rekursiv
144 F (X ) = X, D 1 F (X ) = lim n Map(S n, S n X )= Q(X ) D 2 F (X ) = Q(X X )/2 F (X ) = QMap(S 1, S 1 X ) = PF (X ) = ln(1 X ), spesielt D n F (X ) = Q(X... X ) (tilsvarer x n ) F (X ) = K(X ) D 1 F (X ) = fri løkkerom på X strengteori/topologisk kvantefeltteori vs voksende Rekursiv
145 F (X ) = X, D 1 F (X ) = lim n Map(S n, S n X )= Q(X ) D 2 F (X ) = Q(X X )/2 F (X ) = QMap(S 1, S 1 X ) = PF (X ) = ln(1 X ), spesielt D n F (X ) = Q(X... X ) (tilsvarer x n ) F (X ) = K(X ) D 1 F (X ) = fri løkkerom på X strengteori/topologisk kvantefeltteori PF (X ) = TC(X ) = topologisk syklisk homologi vs voksende Rekursiv
Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 17./18. november 2014 Forelesningene 17./18. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av) 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 15. februar 2010 Funksjonsrekker En rekke på formen f n (x) der f n er en funksjon, kalles en funksjonsrekke. For alle x
Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for
En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).
Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom
KJERNEREGELEN I FUNKTORKALKULUS. John R. Klein og John Rognes
KJERNEREGELEN I FUNKTORKALKULUS John R. Klein og John Rognes Homotopifunktorer Vil studere homotopifunktorer, dvs. funktorer fra homotopikategorien htop av topologiske rom og homotopiklasser av kontinuerlige
Følger og rekker. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. November 10, 2014
Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 10, 2014 Forelesning (03.01.2014): kap 9.1 og 9.2 Beskrivelse av følger eksempler og definisjon Egenskaper med følger Grenseverdi for følger (og
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 14. februar 2012 Funksjonsrekker En rekke på formen fn(x) der fn er en funksjon, kalles en n=1 funksjonsrekke. For alle
MAT Grublegruppen Uke 37
MAT00 - Grublegruppen Uke 37 Jørgen O. Lye Bemerkning: Mye av stoffet i dette notatet er å finne i Kalkulus, kapittel. Dette kapittelet er leselig etter man vet hva følger er, men er ikke pensum før i
Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009
Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A
MAT jan jan feb MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 25. januar 2010 Forelesning Vi fortsetter med å se på det bestemte integralet, bl.a. på hvordan vi kan bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis
MAT jan jan jan MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive
Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at
Den deriverte og derivasjonsregler
Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)
MAT feb feb mars 2010 MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 22. februar 2010 Forelesning Vi begynner med litt repetisjon fra forrige gang, med å sjekke om et vektorfelt er konservativt og dersom svaret er ja, regne ut potensialfunksjonen.
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon
Rekker, Konvergenstester og Feilestimat
NTNU December 8, 2012 Oversikt 1 2 3 4 5 6 For å forstå, må vi først forstå potensrekker For å forstå potensrekker, må vi først forstå rekker. For å forstå rekker, må vi først forstå følger. Definisjon
Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2,
Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, 201. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Repetisjonsoppgaver MATEMATIKK 1 REA1141 og REA1141F Derivasjon 2, 201. Oppgave 1 Denne oppgaven har forholdsvis enkle derivasjoner,
Matematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne
Lineære likningssystemer og matriser
Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger
1 Mandag 22. februar 2010
1 Mandag 22. februar 2010 Vi begynner med litt repetisjon fra forrige gang, med å sjekke om et vektorfelt er konservativt og dersom svaret er ja, regne ut potensialfunksjonen. Videre skal vi se på en variant
Flere anvendelser av derivasjon
Flere anvendelser av derivasjon Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 30, 2014 Forelesning 17.09.2014 Fikspunkt-iterasjon Newtons metode Metoder for å finne nullpunkter av funksjoner:
Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1
Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.
Oppsummering MA1101. Kristian Seip. 23. november 2017
Oppsummering MA1101 Kristian Seip 23. november 2017 Forelesningen 23. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i MA1101 noen tips for eksamensperioden
= x lim n n 2 + 2n + 4
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Kalkulus. Eksamensdag: Fredag 9. desember 2. Tid for eksamen: 9.. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
Sammendrag R1. 26. januar 2011
Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander
Prøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
Taylor- og Maclaurin-rekker
Taylor- og Maclaurin-rekker Forelest: Okt, 004 Potensrekker er funksjoner Vi så at noen funksjoner vi kjenner på andre måter kan skrives som funksjoner, for eksempel: = + t + t + t 3 + + t n + t e x =
Oppfriskningskurs i matematikk 2008
Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-
Fremdriftplan. Siste uke. I dag. Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier
1 Fremdriftplan Siste uke Kap. 1 Funksjoner 2.1-2.2 Grenseverdier I dag 2.3 Den formelle definisjonen av grenseverdi 2.4 Ensidige grenser og grenser i uendelig 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 5 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 5 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på grenseverdier. 1 Hvorfor
Mål og innhold i Matte 1
Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 1. november 2013 Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise hva
Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100
Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100 I dette notatet skal vi se litt på polynomdivisjon. Mange vil kjenne denne teknikken fra før, men etter siste læreplanomlegning er den ikke lenger pensum i
Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 6. september 20 Kapittel 3.. Hyperbolske funksjoner 3 Hyperbolske funksjoner Definisjon (Grunndefinisjoner)
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning
Matematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag
Matematikk 1 Oversiktsforelesning Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag November 25, 2009 LS (IMF) tma4100rep November 25, 2009 1 / 21 Matematikk 1 Hovedperson Relle funksjoner
Oversikt over Matematikk 1
1 Oversikt over Matematikk 1 Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens av ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivasjon Sekantsetningen Integrasjon Differensialligninger Kurver i planet
1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m
Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker 1.1.1 Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a
Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 29. januar 2017
Løsningsforslag Eksamen S, våren 016 Laget av Tommy Odland Dato: 9. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = e x. Den generelle regelen er at (e ax ) = ae ax, i vårt tilfelle
Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46
Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Bøkene B (læreboken): Tor Gulliksen og Arne Hole, Matematikk i Praksis, 5. utgave. K (kompendium): Amir M. Hashemi, Brukerkurs i matematikk MAT, høsten. Oppsummering
Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte
Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra
Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Teknikker og type-eksempler Faktorisering Se også eget notat om faktorisering på nettsidene mine. Faktorisering brukes til å: Finne fellesnevner i rasjonale uttrykk.
MAT1030 Forelesning 17
MAT1030 Forelesning 17 Rekurrenslikninger Roger Antonsen - 18. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-18 19:3) Forelesning 17 Forrige gang ga vi en rekke eksempler på bruk av induksjonsbevis og rekursivt definerte
1 Mandag 1. februar 2010
Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, øst 2013 Forelesning 7 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7 Derivasjon Denne uken skal vi begynne på tema 2 om derivasjon. I dagens forelesning skal vi se på
UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
MA0003-8. forelesning
Implisitt derivasjon og 31. august 2009 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 15. november 2011 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker 3 i 3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 3 i Løs likningen
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016 Innleveringsfrist: Mandag 26. september 2016, kl. 14, i Infosenterskranken i inngangsetasjen
Matematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012 Den deriverte som momentan endringsrate Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon
Newtons metode. Gitt f(x) slik at f(a)f(b) < 0, Newtons metode genererer en følge {x k }, hvor. (Newton Raphson) x k+1 = x k f(x k) f (x k )
Newtons metode 1/15 Gitt f(x) slik at f(a)f(b) < 0, Newtons metode genererer en følge {x k }, hvor x k+1 = x k f(x k) f (x k ) x 0 [a, b] gitt. (Newton Raphson) y=f(x) x k+1 x k Konvergens: Iterasjons
Ikke lineære likninger
Ikke lineære likninger Opp til nå har vi studert lineære likninger og lineære likningsystemer. 1/19 Ax = b Ax b = 0. I en dimensjon, lineære likninger kan alltid løses ved hjelp av formler: ax + b = 0
4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018
9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 16: likninger Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo INGEN PLENUMSREGNING 6/3 og 7/3 5. mars 008 MAT1030 Diskret matematikk 5. mars 008 Mandag ga
Polare trekanter. Kristian Ranestad. 27. oktober Universitetet i Oslo
Universitetet i Oslo 27. oktober 2011 Pol og polare Enhetssirkelen har likningen q(x, y) = x 2 + y 2 1 = 0 For hvert punkt a = (a 1, a 2 ) på sirkelen er tangentlinja til sirkelen definert av likningen
MAT feb feb feb MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Forelesning Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom de vanlige analysene vi gjør for
Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998
Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim
Fremdriftplan. I går. I dag. 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner
1 Fremdriftplan I går 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner I dag 1.3 Trigonometriske funksjoner 1.4 Eksponentialfunksjoner 1.5 Omvendte funksjoner, logaritmiske funksjoner, inverse
Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012
Eksamen REA308 S, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Deriver funksjonene 3x x a) gx 3 3x x 3x
Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04
Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 00, H-04 Oppgave : a) Vi har zw ( + i )( + i) + i + i + i i og + i + i ( ) + i( + ) z w + i + i ( + i )( i) ( + i)( i) i + i i i ( i ) ( + ) + i( + ) + +
Vektorrom. Kapittel 7. Hva kan vi gjøre med vektorer?
Kapittel 7 Vektorrom Vårt mål i dette kapitlet og det neste er å generalisere og abstrahere ideene vi har jobbet med til nå Især skal vi stille spørsmålet Hva er en vektor? Svaret vi skal gi, vil virke
(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer
5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT1100 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 14. oktober 2016 Tid for eksamen: 13.00 15.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark,
8 Vektorrom TMA4110 høsten 2018
8 Vektorrom TMA4 høsten 8 I de foregående kapitlene har vi tatt en lang vandring gjennom den lineære algebraens jungel. Nå skal vi gå opp på en fjelltopp og skue ut over landskapet vi har vandret gjennom.
Krasjkurs MAT101 og MAT111
Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten
EKSAMEN. Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk)
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 2.6.2014 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk) Eksamenstid: kl. 09.00 til kl.
Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler
Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor
Potensrekker. Binomialrekker
Potensrekker Potensrekker er rekker på formen: Potensrekker kan brukes på en rekke områder for å finne tilnærmede eller eksakte løsninger på problemer som ellers kanskje må løses numerisk eller krever
Oppfriskningskurs Sommer 2019
Oppfriskningskurs Sommer 2019 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Oppgave 9 fra Øving 2 a) Er funksjonen f(x) = en-til-en? Hvorfor/hvorfor ikke? { 1 x hvis 0 x
MAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012
200 MAT 02 Våren 200 UiO 0-2. 200 / 48 200 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar)
MAT1100 - Grublegruppen Uke 36
MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)
Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009
Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være
Taylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a
Taylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a P n (x) = f (a) + f (a)(x a) + f (a) 2 (x a)2 + + f (n) (a) (x
Oppfriskningskurs i matematikk Dag 2
Oppfriskningskurs i matematikk Dag 2 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Tirsdag 7. august 2018 Beskjeder Rombytte: EL5 i dag og i morgen. F1 igjen på torsdag. Skal fikse fasit (til tallsvar) på
MAT feb feb feb MAT Våren 2010
Våren 2010 Mandag 15. februar 2010 Forelesning Vi begynner med et eksempel på bruk av partiell derivasjon for å gjøre såkalt lineær regresjon, eller minste kvadraters metode. Dette er en anvendelse av
Trasendentale funksjoner
Trasendentale funksjoner Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 9, 2014 Kap. 3.1 og 3.2. Forelesning 8. September. Inverse funksjoner, definisjon og eksistens Deriverte av inverse
1 Mandag 15. februar 2010
1 Mandag 15. februar 2010 Vi begynner med et eksempel på bruk av partiell derivasjon for å gjøre såkalt lineær regresjon, eller minste kvadraters metode. Dette er en anvendelse av teorien vi har gjennomgått
Matematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 4: Grenseverdi (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 20. august, 2012 Formell definisjon av grenseverdi Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon
Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2
Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
x 3 x x3 x 0 3! x2 + O(x 7 ) = lim 1 = lim Denne oppgaven kan også løses ved hjelp av l Hôpitals regel, men denne må da anvendes tre ganger.
TMA400 Høst 0 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 4..4 Vi bruker Taylor-polynom til å løse denne oppgaven. Taylor-polynomet Maclaurinpolynomet til sin x om x =
12 Projeksjon TMA4110 høsten 2018
Projeksjon TMA0 høsten 08 En projeksjon er en lineærtransformasjon P som tilfredsstiller P x = P x for alle x Denne ligningen sier at intet nytt skjer om du benytter lineærtransformasjonen for andre gang,
MAT 110A - VÅR 2001 OBLIGATORISK OPPGAVESETT
MAT 110A - VÅR 2001 OBLIGATORISK OPPGAVESETT 3 Skriftlige besvarelser skal innleveres til den gruppelæreren på den regneøvelsen hver enkel er påmeldt til, etter nærmere avtale. Innleveringsfristen er fredag
UNIVERSITETET I BERGEN
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i Matematikk II Torsdag 4. juni 05, kl. 09:00-4:00 Bokmål Tillatte hjelpemiddel: Enkel kalkulator i samsvar
Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100, H-06
Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT, H-6. ( poeng) Det komplekse tallet z har polarkoordinater r = 4, θ = π 4. Da er z lik: + i + i + i i + i Riktig svar: c) + i Begrunnelse: z = r(cos θ + i sin
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.6. Alternerende rekker Absolutt og betinget konvergens 3 Alternerende rekker
Eksamen R2, Våren 2011 Løsning
R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene
f =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >.
MA 40: Analyse Uke 48, 00 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave.5: 5. Vi har gitt funksjon f(x, y) = x + y z + z ln(x) og punkt
Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11
Fasit til utvalgte oppgaver MAT uka 5/-9/ Øyvind Ryan oyvindry@ifi.uio.no) November Oppgave 9.. Vi skriver 5x 5 x )x ) A x B x og ser at vi må løse likningene Ax ) Bx ) x )x ) A B 5 A B 5. A B)x A B x
Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002
Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )
MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 016 Separable og førsteordens lineære differensialligninger En differensialligning er separabel
Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017
Løsningsforslag Eksamen S, høsten 016 Laget av Tommy Odland Dato: 7. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 3 5x, og vi kommer til å få bruk for reglene (ax n ) = anx
TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven
TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.