UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: INF 3230 Formell modellering og analyse av kommuniserende systemer Eksamensdag: 16. juni 2016 Tid for eksamen: Oppgavesettet er på 11 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: Ingen vedlegg Alle trykte og skrevne Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Oppgavene og deloppgavene kan til en stor grad løses uavhengig av hverandre. Om det er en deloppgave du ikke har løst, så kan du anta at du har løst den og kan prøve å gå videre i settet. Legg vekt på å finne enkle og elegante løsninger! Poengtallene angitt i parentes for hver oppgave er veiledende. Alle svar skal begrunnes godt! Alle hjelpefunksjoner, sorter, etc., du trenger må selvfølgelig defineres fullt ut. English! This exam is given in English after the Norwegian part, from page 7 onwards. (Fortsettes på side 2.)

2 Eksamen i INF 3230, 16. juni 2016 Side 2 Oppgave 1 Likhetsspesifikasjoner (30 poeng) I det klassiske ryggsekk-problemet skal vi på en strapasiøs tur, for eksempel til Mount Everest. Det er mengde ulike ting man kunne tenkt å ha med seg til Mount Everest, men man klarer ikke å bære alt. Mer presist: vi har en mengde greier som kunne vært å nyttig å ha med til Mount Everest, hvor hver greie g har en gitt vekt weight g og en gitt verdi value g. Spørsmålet som vi ønsker å få svar på er: gitt en vektgrense W og en verdigrense V, finnes det utplukk av greiene med totalvekt W og totalverdi V? Vi bruker følgende data type for greiene: sort Item. op item : String NzNat NzNat -> Item [ctor]. --- usage: item(itemname, value, weight) sort Items. subsort Item < Items. op none : -> Items [ctor]. op _;_ : Items Items -> Items [ctor assoc comm id: none]. En greie g representeres altså av termen item(g, value g, weight g ). Vi kan representere alle aktuelle tur-ting med en term item("ardbeg", 500, 80) ; item("budvar", 60, 30) ; item("flashlight", 70, 32) ; item("kvikklunsj", 20, 6) ; item("oxygenbottle", 550, 115) ; item("orange", 15, 20) ; item("ringnes", 20, 35) ; item("warmcoat", 68, 40). hvor Ardbeg en har verdi 500 og vekt 80, mens lykten har verdi 70 og vekt 32. 1a Sjekke ryggsekk-utplukk (16 poeng) Definér en funksjon op knapsack : Items NzNat NzNat -> Bool. --- usage: knapsack(item, valuelimit, weightlimit) i Maude slik at knapsack(items, verdigrense, vektgrense) returner true hvis og bare hvis det finnes et utplukk av elementene items med totalvekt mindre eller lik vektgrense og totalverdi større eller lik verdigrense. For eksempel, hvis someitems er mengden av elementene over, så skal knapsack(someitems, 555, 111) gi true (bruk Ardbeg en og Budvar en), knapsack(someitems, 120, 63) også gi true (bruk for eksempel lykten og Budvar en), mens både knapsack(someitems, 800, 170) og knapsack(someitems, 120, 60) vil gi false. (Fortsettes på side 3.)

3 Eksamen i INF 3230, 16. juni 2016 Side 3 1b Pakke ryggsekk med gjenbruk av elementer (8 poeng) I eksempelet over var det veldig dumt at man ikke klarte å finne et utplukk av elementene med verdi over 800 med vektgrense 170. Eller totalverdi 120 med vektgrense 60. I denne deloppgaven skal vi anta at man kan bruke vilkårlig mange elementer av hver type. Definér en funksjon op integerknapsack : Items NzNat NzNat -> Bool. --- usage: integerknapsack(item, valuelimit, weightlimit) i Maude slik at integerknapsack(items, verdigrense, vektgrense) returner true hvis og bare hvis det finnes et utplukk av elementene items med totalvekt mindre eller lik vektgrense og totalverdi større eller lik verdigrense, og hvor man kan bruke elementene så mange ganger man vil. For eksempel vil nå også integerknapsack(someitems, 800, 170) (ta med 2 Ardbeg og sleng gjerne med en Kvikklunsj som bonus) og integerknapsack(someitems, 120, 60) (ta med 2 Budvar) gi true. 1c Terminering (6 poeng) Bevis at din definisjon av funksjonen integerknapsack er terminerende ved å argumentere for at hvert rekursive kall på integerknapsack reduserer en vekt i et velfundert domene. (Hvis integerknapsack kaller en annen funksjon som gjør mesteparten av arbeidet, så må du også argumentere for terminering av den funksjonen.) Oppgave 2 Objektorientering og omskrivningsregler (60 poeng) Det er noen problemer med funksjonene i oppgave 1. De kan for eksempel ikke brukes til å finne selve utplukket av varer som vil gjøre turen vellykket (se oppgave 2a). I tillegg er det ofte ikke bare én, men flere deltagere på den vanlige Everest-turen. Da kan noen bære en Ardbeg og en Budvar, mens noen andre kan bære oksygenflasken og Kvikklunsjen. I denne oppgaven skal vi derfor bruke objektorienterte teknikker og omskrivningsregler til å fylle sekkene til en mengde turgåere. 2a Hvorfor ikke funksjoner? (5 poeng) Det er selvsagt viktig å vite ikke bare at det er mulig å plukke ut elementer med vekt K og verdi V, men det hadde også hjulpet å vite hvilke varer som skal tas med. Forklar hvorfor man ikke kan definere en funksjon op knapsackcontent : Items NzNat NzNat -> Items. som returner enten den tomme mengden (hvis et ønsket utplukk ikke finnes), eller et utplukk av varer som tilfredsstiller både vekt- og verdi-grensene, og som tilfredsstiller de vanlige kravene til en funksjon i Maude. (Fortsettes på side 4.)

4 Eksamen i INF 3230, 16. juni 2016 Side 4 2b Klasser og initialtilstander (6 poeng) Anta nå at vi har en mengde personer/eventyrere/fjellklatrere/turgåere, hver med sin vektgrense og ønskede verdi. Deres Base Camp er full av nyttige ting som man skulle ønske å ha med seg til toppen av Mount Everest. 1. Definér en klasse for slike personer, hvor hver person har en vektgrense og en ønsket totalverdi, hvor klassen i tillegg lagrer de tingene som per nå er i personens ryggsekk. 2. Definer en klasse hvis objekt inneholder alle tingene som ennå ikke er i noens sekk. 3. Definér en initialtilstand init i ditt system med tre personer: Edmund, som kun kan bære opptil 65 kg, men som nekter å dra til Mount Everest hvis han ikke kan ha med ting med verdi større eller lik 120. Tenzing, med vektgrense 160 og verdigrense 600. Reinhold, med vektgrense 110, og verdigrense 512. og hvor elementene i Base Camp er item("ardbeg", 500, 80) ; item("budvar", 60, 30) ; item("flashlight", 70, 32) ; item("kvikklunsj", 20, 6) ; item("oxygenbottle", 550, 115) ; item("orange", 15, 20) ; item("ringnes", 20, 35) ; item("warmcoat", 68, 40). (Du kan anta at vi har definert en konstant inititems som er lik mengden over.) Dine klasser kan selvsagt ha med flere/andre attributter enn de beskrevet over. (Kanskje det kan lønne seg å løse denne deloppgaven etter å ha sett på de følgende deloppgavene, så du ser hva slags klasser du trenger.) 2c Spesifiser alle mulige oppførsler (13 poeng) Bruk (Full) Maude til å modellere alle mulige oppførsler til en person som prøver å pakke sekken. Enhver persons oppførsel skal følge følgende protokoll : 1. hvis en ting er tilgjengelig så kan en person slenge den opp i sin sekk hvis den resulterende sekken ikke overskrider personens vektgrense; og 2. en person kan ta ut hvilket som helst element fra sin sekk (og legge det tilbake til felles-poolen ) hvis sekken ikke allerede tilfredsstiller de ønskede vekt- og verdi-kravene. Med andre ord, man kan prøve seg frem med ulike gjenstander, helt til sekken har totalverdi større eller lik ønsket total verdi, og totalvekt mindre eller lik vektgrensen til personen. Etter at en slik situasjon har oppstått, kan man legge til elementer til sekken (det kan jo være greit å slenge inn Kvikklunsjen selv om sekken allerede har ønsket totalverdi), men ikke fjerne noe fra sekken. (Fortsettes på side 5.)

5 Eksamen i INF 3230, 16. juni 2016 Side 5 2d Terminering og konfluens (4 poeng) Er din regelmengde terminerende? Er den konfluent? 2e Maude-analyse (7 poeng) Nå skal vi bruke Maude til å sjekke hvorvidt våre tre venner i din initialtilstand init kan ta med seg passende sekker til toppturen. 1. Hvilken Maude kommando ville du brukt får å sjekke om alle personene kan få fylt opp sekkene sine (slik at de tilfredsstiller ønskede vekt- og verdi-kravene)? Hva er forventet resultat av eksekveringen av kommandoen? 2. Hvilken Maude kommando ville du brukt får å sjekke hvorvidt våre tre helter klarer å få med seg alle tingene i Base Camp på toppturen. Hva er forventet resultat av eksekveringen av kommandoen? 2f Parallelle steg (3 poeng) Hva er det høyeste antall events ( regelapplikasjoner ) som kan forekomme i ett parallelt steg, fra en tilstand som er oppnåelig fra init? 2g Temporale egenskaper (7 poeng) For hvert av de følgende tilstandutsagnene, angi hvorvidt utsagnet er invariant, stabilt, garantert, og/eller oppnåelig med hensyn til initialtilstand init. 1. Det finnes ikke to sekker som begge inneholder en Ardbeg. 2. Totalvekten av elementene i Reinholds sekk er mindre enn Tenzings sekk inneholder både oksygenflasken og lommelykten. 4. Ardbegen eller oksygenflasken er i én eller annens sekk. 2h Sjekke invarians (5 poeng) Skriv en (Full) Maude kommando som sjekker hvorvidt utsagn (1) i deloppgaven over er invariant mht initialtilstand init. Hva er forventet resultat av kjøringen av din kommando? (Fortsettes på side 6.)

6 Eksamen i INF 3230, 16. juni 2016 Side 6 2i Gjenbruk av elementer (11 poeng) I denne deloppgaven kan vi nå igjen ha så mange elementer av hver type vi ønsker, slik at for eksempel flere personer nå kan med seg en Ardbeg (eller oksygenflaske for den saks skyld), og en person kan med seg mange Kvikklunsj hvis han ønsker. 1. Spesifisér denne varianten av systemet i Maude. (Det er selvsagt tilstrekkelig å gi en grundig og nøyaktig beskrivelse av nøyaktig hva du må forandre i din spesifikasjon for å få til dette, hvis du ikke ønsker å skrive hele spesifikasjonen.) 2. Angi også en passende initialtilstand med våre tre venner og varetypene angitt over. 3. Hva er nå det største antallet begivenheter som kan foretas i ett parallelt steg (fra en tilstand som kan nås fra din initialtilstand)? Oppgave 3 Terminering (16 poeng) Gitt følgende spesifikasjon Ack (som prøver å spesifisere Ackermann-funksjonen): { ack(0, x) = s(x), ack(s(x), 0) = ack(x, s(0)), ack(s(x), s(y)) = ack(x, ack(s(x), y))} 3a Forenklingsordninger (6 poeng) Finnes det en forenklingsordning som kan brukes til å bevise at Ack er terminerende? 3b Vektfunksjoner (10 poeng) Finnes det en vektfunksjon som kan brukes til å bevise at Ack er terminerende? (Med dette mener jeg at det finnes en velfundert partielt ordnet mengde (D, >) og en vektfunksjon w fra grunntermer inn i D slik at hvert steg t u er vektminskende.) Lykke til! Peter C. Ölveczky (Fortsettes på side 7.)

7 Eksamen i INF 3230, 16. juni 2016 Side 7 The Exam in English The exercises can, to a certain degree, be solved independently of each other. If you have not solved an exercise, you may assume that you have solved it and can continue with the other exercises. Emphasize simplicity and elegance in your solutions. All answers should be explained/justified. All auxiliary functions, sorts, etc., that you need must obviously be defined. Exercise 1: Equational Specifications (30 points) In the knapsack problem we have a bunch of items that it would be nice to bring on a trip, e.g., to Mount Everest. However, there is a limit to how much a person can carry in his backpack. More precisely, we are given a set I of items that could be useful to bring on the summit attempt, where each item i I has a given weight w i and value v i. The all-important question is: given a weight limit W and a value limit V, is there a subset of the items I with total weight W and total value V? We use the following data type for the items: sort Item. op item : String NzNat NzNat -> Item [ctor]. --- usage: item(itemname, value, weight) sort Items. subsort Item < Items. op none : -> Items [ctor]. op _;_ : Items Items -> Items [ctor assoc comm id: none]. An item i is represented by the term item(i, value i, weight i ). The set of all desired items to bring on the trip could be, e.g.: item("ardbeg", 500, 80) ; item("budvar", 60, 30) ; item("flashlight", 70, 32) ; item("kvikklunsj", 20, 6) ; item("oxygenbottle", 550, 115) ; item("orange", 15, 20) ; item("ringnes", 20, 35) ; item("warmcoat", 68, 40). where the Ardbeg has value 500 and weight 80, and the flashlight has value 70 and weight 32. (Fortsettes på side 8.)

8 Eksamen i INF 3230, 16. juni 2016 Side 8 Exercise 1a: Check Whether a Desired Subset Exists (16 points) Define a function op knapsack : Items NzNat NzNat -> Bool. --- usage: knapsack(item, valuelimit, weightlimit) in Maude, such that knapsack(items, valuelimit, weightlimit) equals true if and only if there exists a subset of the items items with total weight less than or equal to weightlimit and toital value greater than or equal to valuelimit. For example, if someitems is the set of items above, then knapsack(someitems, 555, 111) equals true (use the Ardbeg and the Budvar), knapsack(someitems,120, 63) should also equal true (use the flashlight and the Budvar), while both knapsack(someitems,800,170) and knapsack(someitems, 120, 60) should equal false. Exercise 1b: Reuse of Elements (8 points) In this example, we can use an item as many times as we want. Define a function op integerknapsack : Items NzNat NzNat -> Bool. --- usage: integerknapsack(item, valuelimit, weightlimit) in Maude, such that integerknapsack(items, valuelimit, weightlimit) equals true if and only if you can pick elements from items with total weight less than or equal to weightlimit and total value greater than or equal to valuelimit, and where we can use as many instances of an element in items as we want. For example, now also integerknapsack(someitems, 800, 170) (use two Ardbegs, and throw in a Kvikklunsj as an added bonus treat) and integerknapsack(someitems, 120, 60) (use 2 Budvars) should equal true. Exercise 1c: Termination (6 points) Prove that your definition of integerknapsack is terminating by showing that each recursive call to integerknapsack reduces the weight in a well-founded domain. (If integerknapsack calls another function that does the heavy lifting, you also have to show the termination of that function.) Exercise 2: Object-orientation and Rewriting (60 points) There are some problems with the functions in Exercise 1. For example, they cannot be used to output the items that make the trip a success (see Exercise 2a). Furthermore, usually there is not one, but many, climbers on the average Everest trip. Someone could then carry the Ardbeg while someone else in the team could carry the oxygen bottle and the chocolate (Kvikklunsj). In this exercise you should use object-oriented techniques and rewrite rules to fill the backpacks of a set of climbers. (Fortsettes på side 9.)

9 Eksamen i INF 3230, 16. juni 2016 Side 9 Exercise 2a: Why Not Functions? (5 points) It is good to know that it is possible to select a subset of the items with total weight W and total value V, but it sure would have been helpful to know which items we could bring along in our backpack. Explain why it is impossible to define a function op knapsackcontent : Items NzNat NzNat -> Items. which returns either the empty set (if a desired subset does not exist), or a set of items that satisfies the weight and value limits, and that satisfies the usual requirements for how to specify a function in Maude. Exercise 2b: Classes and Initial States (6 points) Assume that we have a set of persons/hikers, each with her own weight limit and value limit. Their base camp contains a bunch of useful items that would be nice to have when trying to reach the summit of Mount Everest. 1. Define a class for such persons/hikers, where each person has a weight limit and value limit, and where an object of the class also stores the items currently in the person s backpack. 2. Define a class whose object contains the items that are not in anybody s backpack. 3. Define an initial state init in your system, with three persons: Edmund, who can carry at most 65 kg, and who will not climb unless he carries items with total value 120 or more. Tenzing, with weight limit 160 and value limit 600. Reinhold, with weight limit 110 and value limit 512. and where the elements in the base camp are item("ardbeg", 500, 80) ; item("budvar", 60, 30) ; item("flashlight", 70, 32) ; item("kvikklunsj", 20, 6) ; item("oxygenbottle", 550, 115) ; item("orange", 15, 20) ; item("ringnes", 20, 35) ; item("warmcoat", 68, 40). (You can assume that we have defined a constant inititems which equals the set above.) Your classes may contain additional attributes than the ones described above if you so desire. (It might be useful to wait solving this exercise until you have taken a look at the following exercise.) (Fortsettes på side 10.)

10 Eksamen i INF 3230, 16. juni 2016 Side 10 Exercise 2c: Specify All Possible Behaviors (13 points) Use (Full) Maude to model all possible behaviors of any person in the camp. Each person should behave as follows: 1. if some item is available, a person may put the item in his backpack if the resulting weight is still below (or equal to) the weight limit; and 2. a person can remove (put back into the common set of elements) any item in her backpack if the items in her backpack do not satisfy the weight and value limits. That is, a hiker can try different items, and remove some items to try others, until her backpack has the desired value and weight. After we have reached this desired situation, we can still add bonus elements (why not throw in a chocolate bar even if the desired value has already been reached?), but we can no longer remove elements from the backpack. Exercise 2d: Termination and Confluence (4 points) Are your rewrite rules terminating? Are they confluent? Exercise 2e: Maude Analysis (7 points) We will now use Maude to check whether the three friends in your initial state init can have a nice summit ascent. 1. Which Maude command would you use to check whether all persons can fill their backpacks (so that they satisfy the weight and value limits)? What is the expected outcome of running your command? 2. Which Maude command would you use to check whether our heros can carry all the items in the base camp up to the summit? What is the expected outcome of running your command? Exercise 2f: Concurrent Steps (3 points) What is the largest number of events (or rule applications ) that can take place in a one-step concurrent rewrite, from any state reachable from init? Exercise 2g: Temporal Properties (7 points) Which of the following state propositions are (i) invariant, (ii) stable, (iii) guaranteed, and/or (iv)reachable? 1. There are not two (or more) backpacks containing an Ardbeg. (Fortsettes på side 11.)

11 Eksamen i INF 3230, 16. juni 2016 Side The total weight of the elements in Reinhold s backpack is less than Tenzing s backpack contains both the oxygen bottle and the flashlight. 4. The Ardbeg or the oxygen bottle is in someone s backpack. Exercise 2h: Check Invariance (5 points) Define a (Full) Maude command that checks whether state proposition (1) above is invariant w.r.t. initial state init. What is the expected outcome of executing your command? Exercise 2i: Reusing Elements (11 points) In this exercise we can use as many elements of each kind as we want; now, more than one person can carry an Ardbeg (or an oxygen bottle for that matter), and a person can carry more than one chocolate bar (Kvikklunsj) if she wants. 1. Define this version of the system in Maude. (If you want, you can give a very precise description of how you change your specification above for this case.) 2. Define a suitable initial state with our three friends and the types of items above. 3. What is the largest number of concurrent events ( rule applications ) that can take in a one-step concurrent rewrite (from a state that can be reached from your initial state)? Exercise 3: Termination (16 points) Then following specification Ack tries to define the Ackermann function: { ack(0, x) = s(x), ack(s(x), 0) = ack(x, s(0)), ack(s(x), s(y)) = ack(x, ack(s(x), y))} Exercise 3a: Simplification Orders (6 points) Is there a simplification order that can be used to prove that Ack is terminating? Exercise 3b: Weight Functions (10 points) Is there a weight function that can be used to prove termination of Ack? (By this I mean that there is a well-founded partially ordered set (D, >) and a weight function mapping each ground term to an element in D such that each simplification step t u is weight-decreasing.) Good luck! Peter C. Ölveczky