UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 4232 Logikk for systemanalyse Eksamensdag: 13. juni 2017 Tid for eksamen: Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Ingen vedlegg Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Oppgavene og deloppgavene kan til en viss grad løses uavhengig av hverandre. Om det er en deloppgave du ikke har løst, så kan du anta at du har løst den og kan prøve å gå videre i settet. Legg vekt på å finne enkle og elegante løsninger! Poengtallene angitt i parentes for hver oppgave er veiledende. Alle svar skal begrunnes godt! Alle hjelpefunksjoner, sorter, etc., du trenger må selvfølgelig defineres fullt ut. English! This exam is given in English after the Norwegian part, from page 5 onwards. (Fortsettes på side 2.)

2 Eksamen i INF 4232, 13. juni 2017 Side 2 Oppgave 1 Romertall (37 poeng) Et romertall er en liste av bokstaver I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500) og M (1000). Nummeret i parentes er verdien til symbolet. Verdien til et romertall får man ved å legge sammen verdien til alle enkeltbokstaver, med følgende unntak: hvis en bokstav står like til venstre for en bokstav med større verdi, så trekkes verdien av bokstaven til venstre fra sluttsummen. (Dette fordi det er vrient å lese 4 like bokstaver ved siden av hverandre, så det bør unngås.) Verdien til romertallet LXXVIII er =78. Romertallet IX betegner tallet 9, MCM tallet 1900, mens MCMXCIX betegner tallet 1999 (C en til venstre er til venstre for det større tallet M og må trekkes fra; det samme med den første X og I, slik at summen blir =1999.) Tallene 44 og 2017 representeres henholdsvis av romertallene XLIV og MMXVII. 1a Representasjon av romertall (6 poeng) Definér en sort Roman for å representere romertall i Maude. Hvis så hvordan romertallene XLIV og MMXVII representeres som termer av sorten Roman. 1b Konvertere romertall til desimaltall (16 poeng) Definér en funksjon op decimal : Roman -> Nat. som konverterer et romertall til et naturlig tall in Maude. For eksempel så skal decimal(t) returnere 44 hvis termen t er din representasjon av romertallet XLIV. 1c Likhetslogikk I (7 poeng) La R være en variabel av sort Roman, og la S være din spesifikasjon. Er det slik at S decimal( R I ) = decimal(r) + 1 holder? Her er R I din representasjon av romertallet R med en I lagt til til høyre (jeg kan jo ikke vite hvordan du har valgt å representere romertall). Du kan anta velkjente egenskaper til funksjoner som if_then_else_fi, <, <= og +. (Hvis du trenger det, kan du også anta at + er spesifisert av ligningene i NAT-ADD.) 1d Likhetslogikk II (8 poeng) Holder S ind decimal( R I ) = decimal(r) + 1? (Med samme antagelser som over.) Husk at alle svar må bevises/begrunnes. (Fortsettes på side 3.)

3 Eksamen i INF 4232, 13. juni 2017 Side 3 Oppgave 2 Konfluens (14 poeng) Gi et eksempel på en likhetsspesifikasjon som er lokalt konfluent, men som ikke er (globalt) konfluent. Oppgave 3 Simulere Turingmaskiner (53 poeng) Vi skal definere en universell Maude-simulator/interpret for Turingmaskiner. Våre tilstander har formen machine: transes state: q tapeleft: tapeleft head: symbol taperight: taperight der transes er transisjonene til en Turingmaskin, q er nåværende tilstand i Turningmaskinen, tapeleft er tapen til venstre for lesehodet, symbol er tegnet lesehodet peker på, mens taperight er tapen til høyre for lesehodet. Denne operatoren er deklarert op machine:_state:_tapeleft:_head:_taperight:_ : TMtranses State Tape Symbol Tape -> TMsystem [ctor]. 3a Datatyper (8 poeng) Anta at vi er gitt en sort Symbol, for alfabetet til Turingmaskinen som skal simuleres (dette alfabetet inneholder alltid en blank ), og en sort State for tilstandene til Turningmaskinen. 1. Definér en sort Tape, for å representere tapen (eller deler av den) til en Turingmaskin. (Hvis du trenger det, kan du du definere to sorter, for hhv. tapen til venstre og til høyre for lesehodet.) 2. Definér en sort TMtranses hvis grunntermer representer mengder av Turingmaskintransisjoner. 3b Spesifisér interpreten (20 poeng) Spesifisér i Maude alle steg en slik Turingmaskin-simulator kan foreta. 3c Representere en Turingmaskin (4 poeng) I resten av oppgaven antar vi at vi skal simulere en Turingmaskin med alfabet {a, b, c, }, tilstander {q 0, q 1 }, transisjoner {(q 0, a, q 1, a, right), (q 0, a, q 1, b, right), (q 1, c, q 0, c, left), (q 1, c, q 0, a, left)} og initialtilstand q 0. Tapen vi starter med er a b a c b, og lesehodet peker på a en i midten (tegn tre fra venstre). (I tillegg er det uendelig mange blanke tegn på begge ender av tapen.) Definér en passende initialtiltand av sort TMsystem for å simulere ovennevnte Turingmaskin med gitt tape. (Fortsettes på side 4.)

4 Eksamen i INF 4232, 13. juni 2017 Side 4 3d Terminering (6 poeng) 1. Finnes det en terminerende kjøring fra denne initialtilstanden? 2. Terminerer alle kjøringen fra denne initialtilstanden? 3. Kan du bruke Maude til å avgjøre hvorvidt det finnes en terminerende kjøring fra initialtilstanden? 4. Kan du bruke Maude til å avgjøre hvorvidt alle kjøringer fra initialtilstanden vil terminere? 3e Temporale egenskaper (7 poeng) Gitt følgende tilstandsutsagn: 1. Det er totalt 3 b er på hele tapen (inklusive venstre del, ruten lesehodet peker på, og høyre del). 2. Det er ikke to b er ved siden av hverandre noen steder på tapen til høyre for lesehodet. 3. Det er minst to a er på tapen. For hvert av disse, forklar hvorvidt utsagnet er invariant, garantert, oppnåelig og/eller stabilt mht. initialtilstanden over. 3f Invarianter (8 poeng) Hvilken Maude-kommando ville du bruke for å sjekke om utsagn 2 i deloppgaven over virkelig er en invariant mht. den gitte initialtilstanden? Hva er forventet resultat av å eksekvere kommandoen? Lykke til! Peter C. Ölveczky (Fortsettes på side 5.)

5 Eksamen i INF 4232, 13. juni 2017 Side 5 The Exam in English The exercises can to a certain degree be solved independently of each other. If you have not solved an exercise, you may assume that you have solved it and can continue with the other exercises. Emphasize simplicity and elegance in your solutions. All answers should be explained/justified. All auxiliary functions, sorts, etc., that you need must obviously be defined. Exercise 1: Roman Numerals (37 points) A Roman numeral (number) is a list of symbols I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), and M (1000), where the number in parenthesis denotes the value of the symbol. To see what number a Roman numeral represents, just add the values of all the symbols, with the following exception: a smaller-valued symbol immediately to the left of a larger-valued symbol is subtracted (instead of added) from the total value of the whole numeral. (This is to avoid having four symbols with the same value next in a row, which would be very difficult to read. A Roman numeral therefore can have at most three symbols of the same value in a row.) For example, the value of LXXVIII is = 78. Here there was no smaller-valued symbol to the left of a greater-valued symbol. Furthermore, IX denotes the number 9, and MCM denotes the number MCMXCIX denotes the number 1999 (the left-most C, the left-most X and the I are immediately to the left of a larger-valued symbol, so the sum is ( )= 1999). Finally, the numbers 44 and 2017 are presented as, respectively, XLIV and MMXVII. In this exercise you can safely assume that all numbers are smaller than Exercise 1a: Representing Roman Numerals (6 points) Define a sort Roman for representing Roman numerals (numbers) in Maude. Then show how the Roman numerals XLIV and MMXVII are represented as terms of your sort Roman. Exercise 1b: Convert to Decimal Numbers (16 points) Define (in Maude) a function op decimal : Roman -> Nat. which converts a Roman numeral to a natural number (in standard decimal notation). For example, decimal(t) should return 44 if the term t is your representation of XLIV. (Fortsettes på side 6.)

6 Eksamen i INF 4232, 13. juni 2017 Side 6 Exercise 1c: Equational Logic I (7 points) Let R be a variable of sort Roman, and let S be your specification. Is it the case that S decimal( R I ) = decimal(r) + 1 (where R I denotes 1 the (term representing the) Roman numeral obtained by adding I to the right of the numeral R )? If you need, you can assume the obvious properties of functions such that < and if_then_else_fi, and even standard properties of +. (If you by need it, you can even assume that + is defined by the two equations in the module NAT-ADD in the textbook.) Exercise 1d: Equational Logic II (8 points) Is it the case that S ind decimal( R I ) = decimal(r) + 1? (Same assumptions as above.) Don t forget that all answers must be proved/justified. Exercise 2: Confluence (14 points) Define an equational specification that is locally confluent, but that is not (globally) confluent. Exercise 3: Turing Machine Simulation (53 points) In this exercise we will define a Turing Machine interpreter/simulator in Maude. In particular, the state of your system will have the form machine: transes state: q tapeleft: tapeleft head: symbol taperight: taperight where transes denotes the transitions of the Turing machine, q denotes the current state of the Turing machine we are simulating, tapeleft denotes the part of the tape that is to the left of the square that the head of the machine is pointing at, symbol denotes the symbol in the square of the tape where the head is currently pointing, and taperight denotes the part of the tape that is to the right of the square where the head is currently pointing. This globalstate operator is defined op machine:_state:_tapeleft:_head:_taperight:_ : TMtranses State Tape Symbol Tape -> TMsystem [ctor]. 1 Remember that I cannot know how you represent Roman numerals. (Fortsettes på side 7.)

7 Eksamen i INF 4232, 13. juni 2017 Side 7 Exercise 3a: Data Types (8 points) Assume given sorts Symbol for the symbols (the alphabet) of the Turing machine (which always includes the blank ), and a sort State for its states. 1. Define in Maude a sort Tape, that represents the tape (parts) of a Turing machine. (If you need it, you can also specify sorts TapeLeft and TapeRight for the two parts of the tape.) 2. Define a sort TMtranses, whose ground terms represent the transitions of a Turing machine. Exercise 3b: Specifying the Interpreter (20 points) Specify in Maude all the steps that such a generic Turing machine simulator can perform. (That is, specify the interpreter/simulator.) Exercise 3c: Representing a Turing Machine (4 points) Consider in the rest of this exercise a Turing machine with symbols/alphabet {a, b, c, }, states {q 0, q 1 }, transitions {(q 0, a, q 1, a, right), (q 0, a, q 1, b, right), (q 1, c, q 0, c, left), (q 1, c, q 0, a, left)}, and initial state q 0. Furthermore, the input tape that we start the machine with is a b a c b. The head initially points at the a in the middle (symbol number 3 from left). Of course, the input tape has infinitely many blanks in both ends. Define a suitable initial state, as a term of sort TMsystem, for simulating the above Turing machine with the above tape and head position. Exercise 3d: Termination (6 points) 1. Is there a terminating computation from the above initial state? 2. Are all computations from that initial state terminating? 3. Can you use Maude to check whether there is a terminating computation from the above initial state? 4. Can you use Maude to check whether all computations from that state terminate? Exercise 3e: Temporal Properties (7 points) Given the following state properties: 1. There are three b s in total on the tape (meaning the whole tape: the left part, the head part, and the right part). 2. There are not two b s next to each other anywhere on the tape to the right of the head. (Fortsettes på side 8.)

8 Eksamen i INF 4232, 13. juni 2017 Side 8 3. There are at least two a s on the tape. For each of these properties, state whether it is invariant, guaranteed, reachable, and/or stable with respect to the initial state above. Exercise 3f: Checking Invariance (8 points) Which Maude command would you give to check whether property 2 in Exercise 3e is an invariant w.r.t. the given initial state? What is the expected outcome of executing that Maude command? Good luck! Peter C. Ölveczky