The formulas are written in plain text format according to some specificaton, but the students should preferrably use mathematical notation.

Transkript

1 %% COURSE TDT436 Logic and Reasoning systems %% Solution proposals to CONTINUATION EXAM 8.aug %% by T.Amble TASK ( the task is a simple version of an example in a handout The formulas are written in plain text format according to some specificaton, but the students should preferrably use mathematical notation. Task a) There exists a highest price Exists x: Price(X) & All y (Price(y) => G(x,y)) Task b) There exists no highest price - Exists x: Price(X) & All y (Price(y) => G(x,y)) Task c) There exists a highest price and There exists no highest price Exists x: Price(X) & All y (Price(y) => G(x,y)) & - Exists x: Price(X) & All y (Price(y) => G(x,y)) Conversion to Clausal form: First conjunct Eliminate => Skolemize Remove quantifiers Conjunctive Normal form A A2 Price(SK0) - Price(y) G(S0,y)) Second conjunct

2 Eliminate => Reduce scope of negation All x: ( -Price(x) Exists y: (Price(y)& - G(x,y))) Skolemize Remove quantifiers -Price(x) (Price(SK(x))& - G(x,SK(x))) Conjunctive Normal form B -Price(x) Price(SK(x) B2 -Price(x) - G(x,SK(x)) Task d) Resolution Proof : Price(SK(SK0)) (A,B) 2: - G(SK0,SK(SK0)) (A,B2) 3: G(SK0,SK(SK0)) (,A2) 4 [] (2,3) QED TASK 2 There are many ways to formalize it, but all relevant issues must be mentioned. Task 2a) Action repertoire: Open(door) Close(door) GoTo(door) GoThrough(door) DropMail Fluents (Situation independent Predicates) independent Connects(door,room,room2) %% actually situation

3 MailFor(room) Open(door) Closed(door) InRoom(room) AtDoor(Door) EmptyMailbag Task 2b) Actions Preconditions Poss(Action) <= Conditions Poss(Open(door)) <= AtDoor(door)& Closed(door). Poss(Close(door)) <= Open(door)& At(door) & Connects(door,room,room2) & InRoom(room2). Poss(GoTo(door)) <= InRoom(room) & Connects(door,room,room2). Poss(GoThrough(door)) <= InRoom(room) & Connects(door,room,room2) & Open(door). Poss(DropMail) <= MailFor(room),InRoom(room). Task 2c) Effect Axioms Consequence(Action,Situation, Effects) Consequence( Open(door), Open(door) & not Closed(door)). Consequence( Close(door), Closed(door) & - Open(door)) Consequence( GoTo(door), AtDoor(Door)). Consequence( GoThrough(door), InRoom(room2)) <= Connects(door,room,room2). Consequence( GoThrough(door), - AtDoor(Door). Task 2d) Frame axioms (what remains unchanged if true before action) Invariant(Fluent) <= Conditions Invariant(Fluent,Open(door)) <= Fluent \= Closed(door). Invariant(Fluent,Close(door)) <= Fluent \= Open(door). Invariant(Fluent,GoTo(door)). Invariant(Fluent,GoThrough(door)) <=

4 Fluent \= Open(door) & Fluent \= AtDoor &Fluent \= InRoom(room). Invariant(DropMail) <= MailFor(room). /********************************************************************* Implementation of Situation Calculus Planner for Post Distribution Problem in Continuation Exam 2009, TASK 2 To be used together with the program sitcalc.pl (On Repository). The formulation in the program has been slightly simplified relative to the solution proposal. */ consequence(open(door),open(door), atdoor(door)&closed(door)). consequence(closed(door),close(door), open(door)& at(door) & connects(door,_room,room2) & inroom(room2)). consequence(atdoor(door), goto(door), connects(door,room,_room2)& inroom(room)). consequence(inroom(room2),gothrough(door), connects(door,_room,room2)& atdoor(door)&open(door)). consequence(emptymailbag, dropmail, mailfor(room)&inroom(room)). invariant(open(door),action) :- dif(action,close(door)). invariant(closed(door),action) :- dif(action,open(door)). invariant(atdoor(door),action) :- dif(action,gothrough(door)). invariant(emtpymailbag,_action). invariant(mailfor(_room),action) :- dif(action,dropmail). always(connects(door,room,room2)):- connects(door,room,room2). given(inroom(outside)). given(mailfor(r2)). given(closed(e)). given(closed(d)). given(closed(x)). given(closed(d2)). connects(e,outside,west). connects(d,west,r). connects(x,west,east). connects(d2,east,r2). goal(emptymailbag). /*

5 %% Run Example // NB Max number of steps increasde to 0?- run. GIVEN: inroom(outside) mailfor(r2) closed(e) closed(d) closed(x) closed(d2) GOAL: emptymailbag Trying: do(do(do(do(do(do(do(do(do(do( start,goto(e)), open(e)), gothrough(e)), goto(x)), open(x)), gothrough(x)), goto(d2)), open(d2)), gothrough(d2)), dropmail) time(ms) 0 **************************************************/ TASK 3 Task 3a) Principles for analysis of game trees by MiniMax analysis... MiniMax er en metode for å analysere spilltrær for 2 agent full informasjons spill ( som sjakk, bondesjakk og Cocpit, men ikke Bridge). Vi kan kalle spillerne MAX og MIN. Man antar at spillets posisjoner kan evalueres med et tall som uttrykker fordelen for en av spillerne. Man antar også at motspilleren har den samme evalueringen, og at begge spillerne velger den

6 mest optimale ut i fra tilgjengelig informasjon. Nodene evalueres ved framsyn et visst antall trekk, og på dette nivået blir hver node i treet blir evaluert. Deretter beregnes verdien til ikke-terminalnoden rekursivt ved Maximum verdiene til de neste nodene dersom MAX er i trekket Minimum av verdiene for dersom MIN er i trekket. Task 3b) 3b) Starting with the top node, each possible move is depicted down to a maximum depth,or a terminal node (win or lose position). For the nodes at the bottom level, each node is assigned an evalution function value. The valuation function assigns the values from the point of view of one of the players (called Max). The valuation function must give a top value to win position and a bottom value for a losing position, and and a value in between for non-terminal nodes. When that is done, all the values are backed up so that a Max node (Max to move) gets the maximum of its daughter nodes ( Min-nodes), while each Min node gets the minimum value of its daughter nodes (Max nodes). The static value for B om the move could be - (minus) the value if A was in the move. The motivation for this evaluation function is twofold: i) The game is symmetric, same rules for A and B. Positive values for A are negative values for B and vice versa. ii) The estimate f(s) gives the as the number of choices that the mover can do. The more possibilities, the more chance that a good move can be found if the games arrives at that position. Drawing: (sketch in txt format). Backed up values in (). Two double moves gives 5 levels of nodes. Drawn in Prefix indented form here, students can draw a tree (NB The actual game tree is not completed ) A B A B A

7 2 (+) 6 (+) 2 (+) 3 (+) 2 (-) (-) (+) (0) 3 (0) 4 (0) 3c) By alpha beta pruning is meant a method whereby a node is not evaluated further if it can be proved that the node will never influence the choice. This is done by assigning provisional values (alpha values at Max nodes, beta values at Min nodes when the a value is backed up from below. Alpha values can only be bigger, but if a Max node with an alpha value A is below a Min node with a beta value B, and A > B, then B will never choose A anyway, and any further analysis of the subnodes will not change that.

8 Benefits: Reduces the number of node expansion without sacrificing optimality. 3d) 3e) Alpha Beta pruning assumes that the nodes are evaluated depth first according to some ordering. If the ordering happens to be optimal (e.g. best values for Max appears first), then the theoretical gain: is N ** /2 where N is # nodes without A-B. This means that the depth can be doubled. The average gain: N ** 3/4. The actual marking of the Alpha Beta cutoffs may vary according to the sequence of the evaluation of the subnodes). In the game tree above, A2 gets a backup alpha value of by selecting B6 (divides by 2) which makes all node evaluations below B3,B4 and B redundant. TASK 4 Task 4a) Et heuristisk søkeproblem består av - en mengde noder eller tilstander - en startnode - en målnode (evt mål-betingelse) - en etterfølger-relasjon - en kostnadsfunksjon for et trinn c(n,n2) - en heuristikk for estimat fra en node fram til en målnode Målet er å finne den billigste vei fra start til mål. I dette tilfelle en komplikasjon at mål-noden er lik start-noden, så problemet må reformuleres noe for å unngå at problemet formelt er løst allerede ved start. Det er mange gode løsninger på dette problemet, og det er viktig at problemet blir omtalt med forslag til løsning. Vi kan anta at ønsket retning for rundkjøringen er med sola, (som på vanlige baner). En metode er å definere en retning på lovlige avstandsmål slik at

9 avstand aldri får lov å bli målt i retning som gå i gal retning. Det er da forholdsvis enkelt å markere for hvert sted i banen hva som er ulovlig retning. I dette tilfelle er nodene definert ved en posisjon OG en hastighets vektor, altså et 4-tuppel (M,N,VM,VN) dvs søkerommet består av alle slike 4-tupler der M,N er innenfor rammene, ikke X-skravert, og VM,VN >= 0. Start Mål (5,2,0,0) (A) (5,2,0,0) (A) Etterfølger-relasjon er definert i oppgaven. En søking kan realiseres ved best first search (BFS) med seleksjonsfunksjon f'(n) = g'(n) + h'(n) Task 4 b) Admissible heuristikk: Heuristikken h'(n) er et under-estimat av den virkelige kostnad til mål. I så fall vil BFS gi en optimal løsning når den terminerer. Monoton heuristikk: Dersom vi har h'(n) <= h'(n2) + c(n,n2) Ved en monoton heuristikk er vi garantert å ha funnet beste vei første gang vi ekspanderer en node. Dette bidrar til en forenkling og effektivisering av algoritmen. Task 4c) Med triviell heuristikk menes f.eksempel 0. Her er det et viktig poeng å finne en heuristikk i søkegrafen ( av 4- tupler). Forslag med BARE posisjoner og Manhattan heuristikk er misforstått. Vi er optimistiske og ser bort fra sperringene. Minste antall steg fra en node (X,Y,VX,VY) til (Xz,Yz,0,0)

10 kan beregnes utifra avstanden, og en maksimal-hastighet vi kan oppnå før hastigheten går ned til (0,0). Denne kan i dette scenariet trygt settes = 3, m.a.o, uavhengig av DX,DY h'((x,y,dx,dy)) = max (abs((x-xz)/3), abs((y-yz)/3)) Hvis man imidlertid ikke tar hensyn til komplikasjonen i heuristikken så blir det en ekstremt lite effektiv søking. En metode er å omdefinere avstandsmålet, altså måle avstanden i forhold til en linje som består av omkretsen til de indre skraverte feltet. For eksempel kan man beregne korteste avstand til nærmeste hjørne i lovlig retning + summen av avstander til påfølgende hjørner + minsteavstand fra "siste hjørne" til mål. Task 4d) Bidireksjonell søking vil si at vi starter paralell BFS forover fra A, og bakover fra Z. For eksempel kan ekspansjonene foretas annehver gang, og stoppe når en node finnes i begge søkegrafer. Hvis vi antar at søkerommet er en trestruktur med forgreningsfaktor B, er antall gjennomsøkte noder S = O(B ** D) Dersom vi deler søkerommet i 2, vil den felles noden befinne seg tilnærmet midt mellom, dvs vi får to søkerom med halv dybde, altså S2 = 2*O(B ** (D/2)) der S2 << S i det generelle tilfelle. Ulempen er at søkegrafene kan søke forbi hverandre, og dermed mislykkes. Den optimale effektiviseringen nevnt over opptrer bare i tilfelle at søking foregår synkront der ekspansjonen foregår i den grafen der g(n) er minst. Når de møtes vil dybden være tilnærmet D//2. Møtepunktet vil da ligge på en tilnærmet optimal vei. TASK 5 (Students may recognise that the fields of the floor are isomorphic to the state map of Australia (minus Tasmania)) Task 5a) Et CSP problem er defined by a

11 - a set of variables - a set of domains for these variables - a set of constraint relations between the variables In this case, the variables are {WA,NT,SA,Q,NSW,V} and the common domains are {Red,Blue,Green}. A Constraint graph is a structure, where the vertices are the variables, the edges are relations. In this case, the relations are the difference-relation. WA -- NT -- Q \ / \ \ / \ \ / \ SA NSW \ / \ / V Task 5d) Backtracking search for CSP The most basic method is simply to assign domain varibles to possible domain values at a time, test the constraints and backtrack when constraints are violated. A major and necessary improvement is to carefully select the order of the variables to instantiate, and also to carefully select the order of the values to try out. The method of constraint propagation means that each variable is a assigned an apriori set of values, and that each assignment leads to a subsequent elimination of all other assignment that becomes impossible. If it turns out that a variable can have no legal value, then the original assignement must be changed. Local Search for CSP The basic principle is to start with a random initial assignment, all the time keep an overview of the number of constraint violations, and then adjust locally the assignments that makes the biggest reduction in the conflict set.

12 Task 5e) Possibly. Constraint Logic programming could be called another method. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%