Matematisk kompetanse og metoder for en mer motiverende matematikkundervisning

Transkript

1 Matematisk kompetanse og metoder for en mer motiverende matematikkundervisning Hamarregionen 5. og 6.des 2013 Tommy Nordby Rådgiver/prosjektleder - Skien kommune tommy.nordby@skien.kommune.no

2 Matematikkfaget er mangfoldig Dag 1: 8 matematiske kompetanser og praktiske aktiviteter til alle Gi elevene mulighet til å utvikle en bred matematisk kompetanse Hva skal til for å skape motivasjon hos elevene? Kan opplæringen tilpasses den enkelte? Dag 2: Fortsettelse på regnetemaene fra dag 1. Regning som ferdighet; hvordan kan du jobbe med utvikling av elevenes ferdigheter i alle fag Her vektlegges aktiviteter innen problemløsning og samarbeidslæring, teoribasert og praktisk rettet.

3 Twinkle, twinkle little star: FF CC DD C BB AA GG F CC BB AA G CC BB AA G FF CC DD C BB AA GG F

4 Hvilken sang? Hvilken sang er dette? F F F A G G G B A A G G F A A A A C B G G G G B A F F F A G G G B A A G G F

5 Håndflateorgel Tone Rørlengde (cm) Frekvens (Hz) F1 23,6 349 G1 21,0 392 A1 18, B1 17,5 446 C1 15,8 523 D1 14,0 587 E1 12,5 659 F2 11,8 698 G2 10,5 748 A2 9,4 880 B2 9,2 892 C D2 7, E2 6, F3 5,9 1397

6 Tone Rørlengde Frekvens Dimensjon Dimensjon (cm) (Hz) ved 1600mm 1600mm 2000mm C 2 15,8 523 X X D 2 14,0 587 X X E 2 12,5 659 X X E 2 11,8 698 X X G 2 10,5 748 X X A 2 9,4 880 X X H 2 9,2 892 X X C 3 7, X D 3 7, X Dimensjon 2500mm Dimensjon 3200mm

7 Å kunne regne i musikk Fra Kunnskapsløftet Å kunne regne i musikk å bli kjent med musikkens grunnelementer og ulike musikalske mønstre, variasjoner og former å kunne beregne tid og rom i musikalske og kroppslige uttrykk forståelse for hvordan ulike mønstre og strukturer preger kunstneriske og musikalske uttrykk

8 Å kunne regne i musikk Hva innebærer dette i praksis? At elevene lærer noter og andre musikalske symboler At elevene får erfaring med ulike musikalske mønstre, variasjoner og former At elevene får erfaring med frekvens, rytme, takt og grafisk notasjon At elevene får innsikt i hvordan en bygger opp ulike komposisjoner Praktiske eksempler Noter og skalaer opplæring, aktiv bruk Sanger og sangleker Praktiske øvelser med ulike instrumenter noter, rytme, takt, samspill Praktisk erfaring med enkle komposisjoner

9 Å kunne regne i musikk

10 Matematikken er vitenskapen av mønster

11 X X X X X

12 X X X X Symboler Lyd Lyd Symboler

13

14 En vilkårlig liste A B C D

15

16 Titallsystemet er 100er 10er 1er = 3 tusen + 7 hundre + 5 tier + 2 ener Totallsystemet binær er 4er 2er 1er = 1 åtter + 0 firer + 0 to + 1 ener

17

18

19 Fem komponenter i god regneopplæring I arbeidet med å utvikle elevenes regneferdighet bør læreren fokusere på fem komponenter. De fem komponentene er som følger: Forståelse: matematiske begreper, representasjoner, operasjoner, prosedyrer og relasjoner Beregning: Utføre prosedyrer som involverer tall, størrelser og figurer, effektivt, nøyaktig og fleksibelt Anvendelse: Formulere problemer matematisk og utvikle strategier for å løse problemer ved å bruke passende begreper og prosedyrer Resonnering: Forklare og begrunne en løsning av et problem, eller utvide fra noe kjent til noe som ikke er kjent Engasjement: Være motivert for å lære matematikk, se på matematikk som nyttig og verdifullt, og tro at innsats bidrar til læring.

20 Regning som grunnleggende ferdighet God regning kan betraktes som et rep flettet sammen av fem tråder (oversatt utgave, hentet fra Kilpatrick, Swafford& Findell, 2001, s. 117). I denne modellen er hver tråd like viktig, og det er sammenflettingen som gjør tauet sterkt.

21 Trolleri med tall for de minste Lærer instruerer og elevene gjør det hun/han sier: 1. Tenk på et tall. Hvilket som helst. 2. Legg til 3 3. Multipliser med 2 4. Trekk fra tallet du tenkte på 5. Legg til 4 6. Trekk fra tallet du tenkte på Snu deg til sidemannen og fortell hvilket svar du fikk.

22 Så må vi spørre elevene om de tror det fungerer med alle tall. Var det noen som prøvde et tall større enn 100? Prøv å se om det går! Var det noen som prøvde et negativt tall? Prøv å se om det går! Var det noen som prøvde et desimaltall? Prøv å se om det går! Var det noen som prøvde en brøk? Prøv å se om det går!

23 Hva skjer a? Nå skal elevene få i oppdrag å bevise at det alltid blir 10, og prøve å se hva som skjer underveis i prosessen. Del ut sjetonger (som skal symbolisere det tallet de tenkte på) og enhetskuber eller enhetspinner. Oppdrag: Gjennomfør algoritmen med det konkrete utstyret og beskriv hva som skjer. Dokumenter det i matematikkbøkene deres. Utfordring: Når elevene har løst det skal de lage liknende trolleri med tall til hverandre.

24 1. Tenk på et tall. Hvilket som helst. 2. Legg til 3 3. Multipliser med 2 4. Trekk fra tallet du tenkte på 5. Legg til 4 6. Trekk fra tallet du tenkte på

25 Talltriks Oppgaver som kan forstås og løses på ulike nivå, avhengig av den enkelte elevs forutsetninger. Differensiering innenfor samme aktivitet eller oppgave. Gi meg et tresifret tall! Etter hvert kan elevene som forstår trikset prøve å lage nye egne varianter.

26 Platonske legemer En kube er ett av de fem platonske legemene. Et platonsk legeme er et legeme med fra 4 til 20 flater, hvor samtlige sideflater er helt like. Dessuten er alle sidekantene like lange og alle vinklene mellom flatene like store. Når alle disse forutsetningene skal oppfylles, er det bare mulig å lage fem slike legemer.

27 Pyramider Mennesket frykter tiden, tiden frykter dog pyramidene. (arabisk ordtak)

28 Hva er en matematisk beskrivelse av en pyramide? Det er en romlig figur som enten kan ha en kvadratisk grunnflate eller en annen mangekant. Er grunnflaten en trekant, kalles figuren et tetraeder. Den består av fire likesidete trekanter Tetra betyr fire og forteller at tetraederet består av fire flater. Tetraederet stod for ilden (gresk pyros) og gav pyramiden sitt navn.

29 Hvordan bygger vi pyramider? I denne økta skal vi konsentrere oss om tetraederfraktal. En fraktaler en form der hovedformen gjentas i mindre og mindre størrelser inne i seg selv. Tetraeder er det minste av de regulære romlegemer.

30

31

32 Bestigning av pyramidene! Tommy Nordby

33

34 Fakta om Cheopspyramiden Ferdigbygget: 2580 f.kr Høyde: 146 m. Sidelengde: ca. 230 m. Den største forskjell i lengden er på utrolige 0,1%. Lengste side er 230,45m og korteste er 230,25m Grunnflatediagonalen: 288 m Helning: 52 grader Areal: m 2 Vekt: millioner tonn Byggemateriale: 2,3-2,5 millioner kalk-og granittsteinblokker på ca kg. Noen er mye tyngre.

35 Oppgave. Det har tatt 20 år å bygge Cheopspyramiden. Vi antar at det er brukt 2,5millioner steinblokker på pyramiden. Hvor lang tid har de da brukt på å plassere hver stein i gjennomsnitt?

36

37

38

39 Hvorfor bygge pyramider? Kunnskapsløftets kompetansemål for 2., 4. og 7 trinn har noe til felles. Kjenne igjen tredimensjonale figurer Kjenne igjen egenskaper og kunne bygge noen av de enkle figurene. Disse figurene er ofte avbildet i bøkene, men lærere tar seg ofte ikke tid til å bygge dem og ser gjerne ikke verdien av at elevene skal gjøre det. Ut fra egne erfaringer er det mye lettere å lage seg visuelle bilder og se matematikken i disse romlige figurene. Mange elever har begrenset forståelse for hvordan tredimensjonale figurer ser ut hvis de ikke har dem fremfor seg.

40 Ulike byggematerialer Tannpirkere og godteri Sugerør og piperensere Coctailpinnerog plastelina Blomsterpinner og strikk Bambuspinner og strikk

41 Stabile konstruksjoner Teknologi og design Finn frem 6 blomsterpinner og 8 strikk hver. Gå deretter sammen to og to. Lag en firkant. Hva slags firkant har vi laget? Er denne stabil? Hvorfor/Hvorfor ikke? Lag en kube. Er denne stabil? Hvorfor/Hvorfor ikke?

42 Lag en trekant Er denne konstruksjonen stabil? Hva slags trekant har vi laget? Hva slags egenskaper har denne figuren? (samtale om vinkler hjørner, lengder, areal, omkrets) Til ettertanke: Svenskene kaller trekanten for triangel. Hva fokuserer vi på? (kanter) Hva fokuserer svenskene på? (vinkler) Språket styrer hvordan vi tenker!

43 Lag et tetraeder Hvor mange pinner trenger vi for å lage et tetraeder? Hva er egenskapene til et tetraeder? Rotasjoner, lengder, hjørner, overflate, volum Prøv å bygge pyramider i et annet materiale.

44 Matematiske utfordringer Telle trekanter/tetraeder og finne antall i ulike størrelser Regne ut volum, areal og omkrets. Finne trekanttall, tetraedertall, kvadrattall, pyramidetall og beskrive dette med matematiske uttrykk Sammenhengen mellom trekanttall og tetraedertall og kvadrattall og pyramidetall kan visualiseres med melkekorker. Trekanttall + trekanttall = tetraedertall (rektangeltall) Kvadrattall + kvadrattall = pyramidetall

45 Tetraederfraktal i ulike størrelser

46 Tetraederfraktal og målestokk I et tetraederfraktal er det minste tetraederet bygget i målestokk 1:4 i forhold til det store. (lineær målestokk) Lineær målestokk er forholdet mellom tilsvarende lengdeenheter. Arealmålestokk blir 1:16. Da er den minste trekanten av sideflatene en sekstendel av den største trekanten. Volummålestokk blir 1:64. Det minste tetraederet blir volum 1:64 av det største tetraederet. Det vil si det minste tetraederet er 1:8 av den mellomstore og den blir 1:8 av det største tettraederet.

47 Erfaringer med romforståelse og målestokk Hvis tetraederet bygges med bambusstenger tilnærmet lik elevens høyde, altså 1:1 vil bygget bli i samme høyde som elevene. De vil da gjøre viktige erfaringer med romforståelse og målestokk. Av erfaring vil elevene da gå inn i fraktalen og prøve å finne sine rom.

48 Oktaeder Oktaederet er, som navnet sier, en modell som er satt sammen av 8 sideflater. Hver sideflate er en likesidet trekant, som vist på figuren under.

49 Ikosaederet Dette er kanskje det flotteste av de fem platonske legemene, og består av 20 likesidete trekanter som passer perfekt til hverandre, som vist på figuren under. Ikosaederet er sammensatt av stabile trekanter, og egner seg godt for konstruksjon med pinner. Teller vi etter, vil vi finne at vi trenger i alt 30 pinner for å lage denne konstruksjonen.

50 Kenguruløp Kengurukonkurransen er en internasjonal matematikkkonkurranse for elever fra trinn. Kengurukonkurransen har som mål å inspirere elever og lærere slik at de blir glade i matematikkfaget. (

51 Å kunne regne i samfunnsfag Å kunne rekne i samfunnsfag inneber å behandle og samanlikne talmateriale om faglege tema, og å bruke, tolke og lage tabellar og grafiske framstillingar. Rekning i samfunnsfag handlar òg om å gjere undersøkingar med teljing, bruke målestokk på kart og rekne med tid.

52 Hensikten med eksemplet At dere skal kunne: Gjennomføre undervisning der regning er en naturlig del av samfunnsfaget Gjennomføre undervisning der regning kan gi dypere forståelse av faget Gjennomføre undervisning der regning kan vise nye aspekter ved faget

53 Eksempel Forklare korleis informasjon frå massemedium og kommersiell påverknad kan verke inn på forbruksvanar Drøfte spørsmål omkring bruk og misbruk av tobakk og ulike rusmiddel

54 Regnemessige berøringspunkter Tall og algebra Andeler, proporsjoner og prosentregning Statistikk og sannsynlighet Lese, tolke og vurdere tabeller og grafiske framstillinger Planlegge og samle inn data i forbindelse med spørreundersøkelser

55 Innsamling og behandling av datamateriale spiller en stor rolle i samfunnskunnskap. Læreverkene legger opp til at elevene skal prøve seg som samfunnsforskere. De skal da planlegge, utforme spørsmål, gjennomføre spørreundersøkelser eller intervjuer og deretter bearbeide, framstille, tolke og presentere materialet (Globus 5 s. 4 -, Midgard 6 s ). Det å lese, forstå og tolke tabeller og grafiske framstillinger er sentralt både i samfunnskunnskap og i matematikk. Det finnes eksempler på dette i læreverkene, blant annet i forbindelse med bruk av rusmidler (Midgard 7 s. 204). Vi finner også rene regneoppgaver, eksempelvis i forbindelse med pengebruk og tobakk (Globus 7 s. 31).

56 Problemstillinger Hvordan setter man opp et sektordiagram? Problematikk rundt enheter på aksene i søylediagram eller kurvediagram Lese og tolke data fra Statistisk sentralbyrå. Andel kvinner og menn som røyker Andel tobakksbrukere som snuser og utviklingen av dette over tid Hvor stor prosentdel av 18-åringer har prøvd narkotika? Undersøke bruk og misbruk av statistikk i aviser eller andre media

57 Å kunne regne i RLE Religiøs praksis På alle trinn er det kompetansemål som handler om religiøs praksis. En av de vanligste og mest sentrale former for praksis i alle religionene elevene skal arbeide med, er bønn.

58 Eksempel RLE Denne type oppgave skaper mulighet til å sette seg inn i forskjellige former for formalisert bønn, samt se at det å være religiøs er noe som for mange mennesker griper inn i hverdagen deres rent konkret og ikke bare handler om følelser eller indre opplevelser.

59 Hvor lang tid tar det å be? I arbeidet med bønn i de enkelte religionene, kan elevene finne ut hvor lang tid det tar å be. Hvor lang tid tar det å be rosenkrans (kristendom) tasbeeh(islam) mala (hinduisme og buddhisme),? Hvor lang tid tar tidebønner i løpet av ett år (kristendom)? Hvor lang tid tar bønn fem ganger om dagen i ett år (islam)? Hvor lang tid tar daglig pujai ett år (hinduisme)? osv. Etter at elevene har funnet fram til hvor mye tid den enkelte

60 La elevene ta utgangspunkt i en vanlig hverdag for et ungt menneske i Norge og lage en oversikt hva man ofte bruker tiden sin på i løpet av en uke: skole trening være med venner andre fritidssysler Sammenlikn disse aktivitetene med tiden det tar å be i løpet av en uke. Ville man fått tid til alle aktivitetene om man også praktiserer en religion?

61 Oppgave 1 En muslim skal be fem ganger om dagen. Noen av de fem bønnene vil være når man er på arbeid. Tenk deg en muslim som har en vanlig kontorjobb, der han arbeider 7,5 timer for dagen, 37,5 timer for uken (vanlig arbeidstid er fra 08:00 til 16:00). Hun ber når hun skal; men i stedet for å gå til moskeen, ber hun på kontoret. Arbeidsgiveren betaler henne ikke for tiden hun ber. Enten trekker arbeidsgiver henne i lønn, eller hun må arbeide ekstra hver dag. Hvor mange arbeidstimer taper hun/må hun arbeide ekstra hver uke?

62 Oppgave 2 Moskeen ligger ti minutter unna jobben. Hva om hun valgte å gå til moskeen for å be. Hvor mange arbeidstimer ville hun tape/arbeide ekstra da? Hvor mange arbeidstimer ville hun tape i løpet av ett år i begge tilfellene ovenfor. Gjør lignende beregninger for andre religioner som de i oppgave 1.

63 Å kunne regne i kunst og håndverk Hva innebærer dette i praksis? At elevene lærer om og bruker proporsjoner, dimensjoner, målestokk og geometriske grunnformer At elevene lærer perspektivtegning, forhold mellom ulike størrelser At elevene får oppgaver der de må vise forståelse for sammenhengen mellom estetikk og geometri innenfor dekor og arkitektur At elevene får erfaring med ulike materialer og teknikker som knyttes opp mot regning

64 Å kunne regne i kunst og håndverk Praktiske eksempler Ulike praktiske oppgaver der elevene bruker Perspektivtegning forsvinningspunkt, ett-punkts og topunkts perspektiv Målestokk arbeidstegninger Ulike mønstre og figurer strikkeoppskrift Menneskets proporsjoner Leonardo Da Vinci Det gylne snitt

65 Rammeverk for grunnleggende ferdigheter Hva er å kunne regne? Å kunne regne er å bruke matematikk på en rekke livsområder innebærer å resonnere og bruke matematiske begreper, fremgangsmåter, fakta og verktøy for å løse problemer og for å beskrive, forklare og forutse hva som skjer innebærer å gjenkjenne regning i ulike kontekster, stille spørsmål av matematisk karakter, velgeholdbare metoder når problemene skal løses, være i stand til å gjennomføre dem og tolke gyldigheten og rekkeviddenav resultatene innebærer å kunne gå tilbake i prosessen for å gjøre nye valg innebærer å kommunisere og argumentere for valg som er foretatt ved å tolke konteksten og arbeide med problemstillingen fram til en ferdig løsning

66 Rammeverk for grunnleggende ferdigheter «Å kunne regne er nødvendig for å kunne ta stilling til samfunnsspørsmål på en reflektert og kritisk måte ved å forstå sammenhenger og vurdere fakta. Videre er det en viktig forutsetning for egen utvikling og for å ta hensiktsmessige avgjørelserpå en rekke områder i eget arbeids- og dagligliv.»

67 Rammeverk for grunnleggende ferdigheter Ferdighetsområder i å kunne regne: Gjenkjenne og beskrive innebærer å kunne identifisere situasjoner som involverer tall, størrelser og geometriske figurer som finnes i lek, spill, faglige situasjoner og i arbeids-og samfunnsliv. Det innebærer å finnerelevante problemstillingerog å analysere og formulere dem på en hensiktsmessig måte. Bruke og bearbeide innebærer å kunne velge strategier for problemløsing. Det innebærer å kunne bruke passende måleenheter og presisjonsnivå, utføre beregninger, henteinformasjon fra tabeller og diagrammer, tegne og beskrive geometriske figurer, bearbeideog sammenlikneinformasjon fra ulike kilder. Kommunisereinnebærer å kunne uttrykkeregneprosesser og resultater på ulike måter. Kommunisere innebærer også å kunne begrunne valg, formidle arbeidsprosesser og presentere resultater til en mottaker. Reflektere og vurdere innebærer å kunne tolke resultater, vurderegyldighet og reflektere over hva resultatene betyr for problemstillingen. Det innebærer å bruke resultatet som grunnlag for en konklusjon eller en handling.

68 Rammeverk for grunnleggende ferdigheter Hvordan utvikles ferdigheten? Utviklingen i ferdigheten går fraå bruke den i konkrete situasjoner tilmer sammensatte og abstrakte situasjoner som er knyttet til ulike fagområder. Videre utvikles ferdigheten fraå kunne gjenkjenne konkrete situasjoner som kan løses ved regning, til å kunne analysere et vidt spekter av problemstillinger. Utviklingen går fraå kunne ta i bruk nye begreper og lære nye teknikker og strategier tilå kunne velge hensiktsmessige metoder på en målrettet og effektiv måte.

69 Tommy Nordby

70 Kilder Hva er MATEMATIKK (Universitetsforlaget, 2012), Lisa Lorentzen Utdanningsdirektoratets nettsider Matematikksenterets nettsider Foredrag av Mona Røsseland, Matematikksenteret Foredrag av Tor Andersen, Matematikksenteret

71 Tusen takk for oppmerksomheten og to fine dager på Hamar!