EKSAMEN I EMNE SIF4005 FYSIKK Mandag 6. desember 1999 kl. kl

Transkript

1 Side 1 av 8 NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Inst. for fysikk, Gløshaugen Professor Bjørn Torger Stokke NOREGS TEKNISK- NATURVITENSKAPELEGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Fagleg kontakt under eksamen: Inst. for fysikk, Gløshaugen Professor Bjørn Torger Stokke EKSAMEN I EMNE SIF45 FYSIKK Mandag 6. desember 1999 kl. kl Tillatte hjelpemidler: Typegodkjent kalkulator med tomt minne i samsvar med liste utarbeidet av NTNU O. Jahren og K.J. Knutsen: Formelsamling i matematikk K. Rottmann: Mathematische Formelsammlung K. Rottmann; Matematisk formelsamling S. Barrett og T.M. Cronin: Mathematical Formulae En del formler, uttrykk og definisjoner er vedlagt. Sensur faller i uke 1,. OPPGAVE 1. OPPGÅVE 1. En sfærisk symmetrisk ladningsfordeling ρ(r) er gitt ved: Ei ladningsfordeling ρ(r) med kulesymmetri er gitt ved: ρ (r) = β for r R/ ρ ( r) = β ( 1 ( r R ) for R/ r R ρ ( r) = for r >R hvor β er en konstant (enhet C/m 3 ). Det er vakuum i området. Den totale ladningen Q til denne fordelinga er C, og radius R er R = m. a) Bestem β gitt ved Q og R samt den numeriske verdien av β. Hvor stor andel av den totale ladningen befinner seg i området r R/? b) Utled uttrykk for det elektriske feltet for r. Sjekk kontinuitet av det elektriske feltet i grensene r =R/ og r = R. Vis at uttrykket for absoluttverdien det elektriske feltet for r > R kan skrives som: Q E = 4πε r der β er ein konstant (enhet C/m 3 ). Det er vakuum i området. Den totale ladninga Q til denne fordelinga er C, og radius R er R = m. a) Rekn ut β gitt ved Q og R, og den numeriske verdien av β. Kor stor del av totalladninga er innanfor r = R/? b) Utlei uttrykk for det elektriske feltet for r. Sjekk kontinuitet av det elektriske feltet i grensene r =R/ og r = R. Prov at uttrykket for storleiken til det elektriske feltet for r > R kan skrivast: Q E = 4πε r

2 Side av 8 I en en-dimensjonal modell av krystallstrukturen til NaCl, er positive (Na + ) og negative (Cl - ) ordnet med innbyrdes like store avstander d, langs ei rett linje. Vi har valgt at dette er x-aksen (Fig. 1 ), og med posisjonen x = er valgt til et natriumion. Ionene strekker seg ut til uendelig i både positiv og negativ x- retning. I ein ein-dimensjonal modell av krystallstrukturen til NaCl, er positive (Na + ) og negative (Cl - ) ordna med like store avstandar d mellom kvart ion langs ei rett line. Denne linja er valgt som x-akse (Fig. 1 ), og staden x = er valgt til et natriumion. Ionane strekker seg ut til uendeleg i både positiv og negativ x-retning d d d d d d x= x Figur. 1 En-dimensjonal modell av NaCl krystall. Na + og Cl - ionene er vist med + og tegn. c) Finn et uttrykk for den totale potensielle energien til det sentrale natriumionet (ved x=) når det vekselvirker med de andre ionene i den endimensjonale krystallmodellen. Hva er den totale potensielle energien til et kloridion? c) Finn eit uttrykk for den totale potensielle energien til det sentrale natriumionet (ved x=) når det vekselverkar med dei andre ionane i den eindimensjonale krystallmodellen. Kva er den samla potensielle energien til et kloridion? OPPGAVE OPPGÅVE Figur viser en elektrisk leder med lengde a, som er orientert langs y-aksen fra y = -a til y=a, og som fører en strøm I. Det er vakuum i området Figur viser ein elektrisk leiar med lengde a, som er retta langs y-aksen fra y = -a til y=a, og som førar ein straum I. Det er vakuum i området. y (,a) I (x,) P (,-a) Figur. Elektrisk leder med lengde a langs y-aksen Elektrisk leiar med lengde a langs y-aksen

3 Side 3 av 8 a) Utled et uttrykk for magnetfeltet, B eller H, i et punkt P i posisjon (x,) på x-aksen (x-aksen står normalt på, og midt på den strømførende lederen). Hva er retningen på magnetfeltet? Vis at størrelsen på magnetfeltet i punktet P i grensen når a er det samme som kan beregnes fra Ampere s lov: µ I B = πx b) Figur 3 viser fire ulike arrangement av fem uendelige lange, parallelle elektriske ledere med innbyrdes like stor avstand i et plan. Det går en like stor strøm I gjennom hver leder i retning ut av eller inn i papirplanet som angitt ved vektorsymbolene på endene. Ranger de ulike arrangementene i), ii), iii) og iv) etter størrelsen på nettokraften på den sentrale lederen på grunn av strømmen i de andre lederne i hvert arrangement. Angi rekkefølgen med størst nettokraft først, og begrunn svaret. a) Utlei eit uttrykk for magnetfeltet, B eller H, i eit punkt P på staden (x,) på x-aksen (x-aksen står normalt på, og midt på den straumførande leiaren). Kva er retninga på magnetfeltet? Prov at storleiken på magnetfeltet på staden P i grensa når a er det same som kan reknas fra Ampere s lov: µ I B = πx b) Figur 3 viser fire ulike plasseringer av fem uendelege lange, parallelle elektriske leiarar med like stor avstand i eit plan. Det går ein like stor straum I gjennom kvar leiar i retning ut av eller inn i papirplanet som vist ved vektorsymbola på endane. Sett opp rekkefølga på dei ulike arrangementa i), ii), iii) og iv) etter storleiken på nettokrafta på den sentrale leiaren grunna straumen i dei andre leiarane. Skriv opp rekkefølga med størst nettokraft først, og grunngje svaret. Figur 3. Uendelige lange, parallelle, strømførende ledere i plan normalt på papirplanet En lang, rett høyspenningsledning som fører strømmen I( t) = I sin( ω t) = I sin( πf t) er plassert nær og i samme plan som en rektangulær strømsløyfe (Figur 4). Strømsløyfa har sidekanter a =. cm parallelt høyspenningsledningen, og b = 1 cm normalt på høyspenningsledningen. Avstanden fra høyspenningsledningen til den nærmeste, parallelle sidekanten av den rektangulære strømsløyfa er c =.5 cm. Ein lang, rett høgspentleiar som fører straumen I( t) = I sin( ω t) = I sin( πf t) er plassert nær og i same plan som ei rektangulær straumsløyfe (Figur 4). Staumsløyfa har sidekantar a =. cm parallelt høgspentleiaren, og b = 1 cm normalt på høgspentleiaren. Avstanden fra høgspentleiaren til den nærmaste, parallelle sidekanten av den rektangulære straumsløyfa er c =.5 cm.

4 b Side 4 av 8 I(t) a c Figur 4. Høyspentledning i nærheten av strømsløyfe c) Vis at den induserte elektromotoriske spenningen ( emsen ) i strømsløyfa på grunn av strømmen I(t) i høyspenningsledningen er gitt ved: b + c ε = µ a f ln I cos(πft) c Beregn amplituden til den induserte elektromotoriske spenningen når I =5A og frekvensen f = 5. Hz. c) Prov at den induserte elektromotoriske spenninga ( emsen ) i straumsløyfa grunna straumen I(t) i høgspentleiaren er gitt ved: b + c ε = µ a f ln I cos(πft) c Rekn ut amplituden til den induserte elektromotoriske spenninga når I =5A og frekvensen f = 5. Hz. d) Strømsløyfa har en motstand R. Den induserte elektromotoriske spenningen gir dermed opphav til en strøm i sløyfa. Bestem nettokraften på strømsløyfa på grunn av magnetfeltet satt opp av den tidsvarierende strømmen i høyspentledningen. Hva er frekvensen på denne nettokraften, og forklar kort hvorfor. d) Straumsløyfa har ein motstand R. Den induserte elektromotoriske spenninga gjev derved opphav til ein straum i sløyfa. Rekn ut nettokrafta på straumsløyfa grunna magnetfeltet satt opp av den tidsvarierande straumen i høgspentleiaren. Kva er frekvensen på denne nettokrafta, og forklar kort kvifor. OPPGAVE 3. OPPGÅVE 3. Figur 5 viser skjematisk et måleinstrument for å bestemme kroppsmassen til astronauter. Den er laget for at astronautene skal kunne måle kroppsmassen under vektløs tilstand under romferder. Den består av en fjærmontert stol som har en friksjon mot underlaget. Perioden til svingningene, T, med eller uten astronauten bestemmes, og kroppsmassen kan bestemmes ut fra svingeperioden. Astronauten er godt festet til stolen slik at astronauten og stolen beveger seg som en enhet. Figur 5 viser skjematisk eit måleinstrument til å måla kroppsmassa til astronauter. Den er laga for at astronautane skal kunne måla kroppsmassa under vektlause høve under romferder. Den er samansatt av en fjørmontert stol som har ein friksjon mot underlaget. Perioda til svingingane, T, med eller utan astronaut blir målt, og kroppsmassa kan reknas ut fra svingeperioda. Astronauten er godt festa til stolen slik at astronauten og stolen flyttar seg som ei eining.

5 Side 5 av 8 k x Figur 5. Illustrasjon av prinsipp til instrument for måling av kroppsmasse til astronauter a) Anta at vi kan se bort fra friksjonen mellom stolen og underlaget, og vis at kroppsmassen til astronauten M er gitt ved: k M = T m 4π hvor k er fjærkonstanten, T er perioden til svingningen, og m er massen til stolen. Fjærkonstanten k for det måleinstrumentet som ble brukt på Skylab Mission Two var k = 65.6 N/m. Svingeperioden til stolen uten astronaut ble bestemt til s, og for en av astronautene ble svingeperioden bestem til.4883 s. Hva er massen til stolen, og hva er kroppsmassen til astronauten? b) Det viste seg at antakelsen om at friksjonen ikke hadde noen innvirkning på bestemmelsen av kroppsmassen ga for store feil. Friksjonskoeffisienten b som beskriver sammenhengen mellom friksjonskraften og bevegelseshastigheten v, F = bv, ble bestemt til 14 kg s -1. Beregn kroppsmassen til astronauten når du også tar hensyn til friksjonen, ut fra de verdier som er gitt i oppgave 3a). a) Sjå bort fra friksjonen mellom stolen og underlaget, og prov at kroppsmassa til astronauten M er gitt ved: k M = T m 4π der k er fjørkonstanten, T er perioda til svinginga, og m er massa til stolen. Fjørkonstanten k for det måleinstrumentet som vart nytta på Skylab Mission Two var k = 65.6 N/m. Svingeperioda til stolen utan astronaut vart målt til s, og for ein av astronautane ble svingeperioda målt til.4883 s. Kva er massa til stolen, og kva er kroppsmassa til astronauten? b) Det viste seg at antakinga om at friksjonen ikkje påverka målinga av kroppsmassa ga for store feil. Friksjonskoeffisienten b som angjev samanhengen mellom friksjonskrafta og farta v til stolen, F = bv, var målt til 14 kg s -1. Rekn ut kroppsmassa til astronauten når du også tar omsyn til friksjonen, ut fra dei verdiar som er gitt i oppgåve 3a).

6 Side 6 av 8 OPPGAVE 4 OPPGÅVE 4 a) Et selvlysende objekt og en observasjonsskjerm er plassert vinkelrett på en optisk akse med innbyrdes avstand D. Vis at en konvergerende linse med fokallengde f, plassert mellom objektet og skjermen, vil danne et bilde på skjermen ved to posisjoner av linsa som har en innbyrdes avstand d gitt ved: ( D f ) d = D 4 Hva er forholdet mellom størrelsene på bildene for disse to plasseringene av linsa? b) Lys fra en spektrallampe sendes normalt inn mot et gitter, og bak gitteret er det en observasjonsskjerm i en avstand. m fra gitteret (Figur 6). Gitteret har 3 spalter pr. mm, og spaltebredden er tilstrekkelig liten til at vi kan se bort fra diffraksjon. Spektrallampen sender ut lys med bølgelengdene 1 = 655nm (rødt), = 486 nm (blått) og 3 = 434 nm (fiolett). Gjør rede for linjemønsteret som observeres på skjermen i avstander y i intervallet.5 m til. m fra skjæringspunktet med den optiske aksen. Hvilken rekkefølge har de ulike fargene på observasjonsskjermen? a) Eit sjølvlysande objekt og ein observasjonsskjerm er plassert vinkelrett på ein optisk akse med innbyrdes avstand D. Prov at ei konvergerande linse med fokallengde f, plassert mellom objektet og skjermen, vil danne eit bilede på skjermen ved to posisjonar av linsa som har ein innbyrdes avstand d gitt ved: ( D f ) d = D 4 Kva er forholdet mellom storleikane på bileta for desse to plasseringane av linsa? b) Lys fra ei spektrallampe sendes normalt inn mot eit gitter, og bak gitteret er det en observasjonsskjerm i en avstand. m frå gitteret (Figur 6). Gitteret har 3 spalter pr. mm, og spaltebredda er tilstrekkeleg liten til at vi kan sjå bort frå diffraksjon. Spektrallampa sender ut lys med bølgelengdane 1 = 655nm (rødt), = 486 nm (blått) og 3 = 434 nm (fiolett). Gjer greie for linjemønsteret som observerast på skjermen i avstandar y i området.5 m til. m frå skjæringspunktet med den optiske aksa. Kva rekkefølge har dei ulike fargane på skjermen? y Gitter Innfallende lys l=.m Optisk akse Observasjons skjerm Figur 6. Oppsett med gitter og observasjonsskjerm

7 Side 7 av 8 Oppgitte formler og enheter: Definer alle størrelser du bruker i formlene. For dempede, fri svingninger: x( t) = Ae b m cos( ω t + ϕ) For tvungne svingninger: x t = F cos ω t + ϕ 1 b + ω m ω k 1 ω m ω k tan( ϕ) = b ( ) ( ) Coulombs lov: 1 q q = 1 F e 4πε r r Elektrisk potensial E = V Gauss lov: D da= Q inne Isotrope medier: d D = E da= ε E ω d Q inne ε Permittivitet: ε= εr ε Kapasitans: Q C = V Kapasitans for platekondensator: A C = ε d Parallellkopling av kapasitanser: C = i C i Serikopling av kapasitanser: 1 1 C C = i i = k m b 4m, Biot-Savarts lov: µ I dl er db = 4 π r Amperes lov: B H dl = I kryssende dl = µ I kryssende Magnetisk kraft på strømførende leder: df = I dl B Faradays lov: dφ ε = B dt Lenz lov: En indusert strøm er alltid slik at den forsøker å motvirke forandringen i den magnetiske fluks som er årsak til strømmen. Magnetisk fluks: Φ B = B da Avbildning ved tynn linse: =, eller: + = p q f u v f Bølge i +x retning: ( t kx) y( x, t) = Asin ω, π k = Intensitetsfordeling ved diffraksjon og interferens fra gitter: I = I sin πa sinθ Nπd sinθ ( ) sin ( ) asinθ πd sinθ sin ( ) π Fysiske konstanter: µ = 4π 1-7 H/m ε = F/m e = C (elementærladning) m e = kg (elektronets masse) g = 9.87 m/s

8 Side 8 av 8 Dekadiske prefikser Symbol Navn Tallverdi E exa 1 18 P peta 1 15 T tera 1 1 G giga 1 9 M mega 1 6 K kilo 1 3 h hekto 1 da deka 1 1 d desi 1-1 c centi 1 - m milli 1-3 µ mikro 1-6 n nano 1-9 p piko 1-1 f femto 1-15 a atto 1-18 Størrelse SI enhet Navn Symbol Navn Symbol elektrisk feltstyrke E volt/meter V/m elektrisk potensial V volt V permittivitet ε farad/meter F/m relativ permittivitet ε r elektromotorisk spenning/kraft ε volt V vinkelfrekvens ω invers-sekund s -1 vinkel α,β,γ,. radian rad romvinkel Ω steradian sr lengde l meter m areal A kvadratmeter m volum V kubikkmeter m 3 tid t sekund s frekvens f hertz Hz bølgelengde meter m masse m kilogram kg kraft F Newton N = kg m s - trykk p Pascal Pa =N m - arbeid A,W Joule J = Nm energi E,W Joule J effekt P watt W=J/s termodynamisk temperatur T Kelvin K celcius temperatur t, grad celcius C varme, varmemengde Q joule J elektrisk strøm I ampere A elektrisk ladning Q, q coloumb C = As elektrisk potensialdifferanse, spenning U,V volt V =kg m s -3 A -1 = J A -1 s -1 kapasitans C farad F = As V -1 magnetisk feltstyrke H ampere pr. meter A/m magnetisk fluks Φ B weber Wb = Vs magnetisk flukstetthet B tesla T = Wb/m hastighet v meter pr. sekund m/s intensitet I watt pr. kvadratmeter W/m induktans L henry H = V A -1 s resistans R ohm Ω =V A -1 kondutans G siemens S = Ω -1 impedans Z ohm Ω reaktans X ohm Ω