For å gjennomføre testene bruker jeg dataprogrammet OxMetrics 5, og datapakken STR.

Transkript

1 Forord: Jeg vil takke Kåre Johansen for utmerket veiledning. Jeg vil også takke Gunnar Bårdsen, Ivar Pettersen og instituttet for samfunnsøkonomi ved NTNU for ekstern veiledning, støtte og inspirasjon. En spesiell takk går også til Mads Jørgensen! i

2 Innhold 1. Introduksjon Tilpassningen fra korte til lange renter og forventningshypotesen Teoretisk utgangspunkt for ikke lineær tilpassning Forslag til ikke lineære modeller Sentrale økonometriske forutsetninger og metode for oppgaven Data og tidsserieegenskaper Estimering av kointegrasjon og likevektskorrigeringsligningene Analysen av stabiliteten til parametere Modellering av brudd Smooth Transistion tilpassninger Estimering og testing for stabilitet av STAR Diskusjon og tolkning av resultatene Tolkninger av bruddet Konklusjon Referanser Vedlegg ii

3 1. Introduksjon Motivasjonen bak denne oppgaven er å se på terminstrukturen til norske renter og se hvordan tilpassningene fra korte til lange renter utvikler seg og diskutere drivkraften til utviklingene. I denne oppgaven vil jeg se på hvordan korte og lange renter utviklet seg de siste åene og hvordan langsiktig sammenheng mellom korte og lange renter har påvirket disse utviklingene. Som korte rente bruker jeg 3 måneders statskasseveksler og for de lange rentene bruker jeg 10 års statsobligasjoner. En langsiktig sammenheng mellom korte og lange renter kan uttrykkes ved hjelp av forventningshypotesen som er basert på arbitrasje fri prising (McDonald, 2006). Siden rentene er kjent for å være ikke stasjonære variabler (Enders, 2004), bruker jeg kointegrasjon for å modellere en langsiktig statisk sammenheng mellom disse. Deretter estimerer jeg likevektskorrigeringsligningene for å se på endringene i rentene fra dag til dag som en funksjon av tidligere renteendringer og den langsiktige statiske sammenhengen. For å se om denne sammenhengen har forskjellig innflytelse på rentedannelsen i forskjellige perioder tester jeg denne for stabilitet og modellerer likevektskorrigeringsmodeller som tar hensyn til et regimeskift. I de modellene har jeg en brå overgang fra et regime til et annet. Deretter utvider jeg modellene slik at overgangene i regimene blir jevne. Dette utføres ved bruk av LSTAR modeller. Tilpassningene fra et regime til et annet vil kunne fortelle hvordan markedet forholder seg til langsiktige sammenhengen mellom korte og lange renter, og tidspunktet til bruddene vil kunne indikere grunnen til endret markedsadferd. For å gjennomføre testene bruker jeg dataprogrammet OxMetrics 5, og datapakken STR. Mine viktigste funn er at ikke-lineære modeller som viser tilpassningen mot langsiktige statiske likevekten har større forklaringskraft og beskriver endringene i rentene bedre enn 1

4 lineære modeller. Makroøkonomiske faktorer kan også tyde på årsakene til ikke linearitet. Tidligere arbeid på dette område er blitt utført av blant annet (Enders & Granger, 1998), (Hansen & Seo, 2002), (Djick, 1997), (Bohl & Siklos, 2002). Der utviklingene i renteratene er studert og ulike typer av ikke-lineære modeller er brukt for å beskrive rentedannelsen på best mulig måte. En av de mest grunnleggende tankegangene i finans er arbitrasjefri markeder, i teorien bør markedsaktørene basere seg på denne tilnærmingen når de skal prise finansielle aktiva. Dette skal også gjelde prising av rentebærende produkter. Denne tankegangen kan beskrive tilpassningen fra korte til lange renter (McDonald, 2006). Tipasningsprosessen ved arbitrasjefri prising er beskrevet som en lineær funksjon (Enders, 2004). Det er også allment kjent at rentene er en av de viktigste økonomiske virkemidlene. Det er da slik at forventningene om lange renter vil gjenspeile forventningen om flere av de viktige makroøkonomiske variablene uten å ta så mye hensyn til arbitrasjefri prising av renteprodukter. Rentenes termin struktur er et meget interessant område både fra finansiell og pengepolitisk synsvinkel. Termin strukturen av spot rater av forskjellige utøvelses tidspunkter (levelengder) reflekterer forventningene til markedsaktørene om fremtidige renter og viktige makroøkonomiske variabler som for eksempel inflasjonen og vekst. Forventningene reflekterer fremtidige avgjørelser og fremtidige avgjørelser kan påvirke fremtidig økonomisk tilstand (Bohl & Siklos, 2002). Det gir utgangspunkt for risikostyring til porteføljer og verdisetting av rentebærende derivater (Mcdonald, 2006). Kunnskap om forventningene gir aktørene mer å forholde seg til når det gjelder bestemmelse av pengepolitikken og finansiell handel og ikke minst timingen av disse. Forventningene om fremtidig rente reflekterer også forventningene om fremtidig kapitalavkastning (Bohl & Siklos, 2002). 2

5 Terminstrukturen er definert som forholdet mellom spot- og forfallsrente på en nullkupongs obligasjon. En kontinuerlig terminstruktur kan bli konstruert hvis man har nullkupong obligasjoner med forfall på alle tidspunkter (Seo, 2002). Det er også mulig å bruke forward- og swapkontrakter for å konstruere terminstrukturen til renteratene, men swap- og forwardkontraktene reflekterer en risikopremie som påvirker fremtidig spotrate. I litteraturen er det mest vannlig å anta at statsobligasjoner er de spareproduktene som har minst risiko (Hansen & Seo, 2002). Det er dessverre slik at det ikke finnes statsobligasjoner med forfall på alle tidspunkt, og derfor bruker man forward og swap og andre rentebærende derivater for å konstruere terminstruktur. Denne terminstrukturen reflekterer ikke bare forventningene i markedet men også risikopremien til aktørene. Arbitrasjefrie markeder er en grunnlegende forutsetning for alle finansielle markeder. Forholdet mellom lange og korte renter skal gjenspeile et arbitrasjefritt forhold der det ikke skal være mulig å ha noen handelsstrategi som skaper en sikker profittmulighet, ved å investere i obligasjoner med forfall og utøvelse på forskjellige tidspunkt (McDonald, 2006). Denne tankegangen er representert ved forventningsteorien. Markedsaktørene skal være indifferente mellom å investere eller låne i rentebærende produkter ved forfall på forskjellige tidspunkt (McDonald, 2006). I en likevektstilstand, bør en investering i langsiktig obligasjon være ekvivalent med en forventet avkastning på samlede kortsiktige investeringer (McDonald, 2006). Dette er en versjon av teorien som kalles den rene forventnings hypotese. Den gir et godt utgangspunkt for å forstå rentenes termin struktur (sammenhengen mellom lange og korte renter). I denne oppgaven vil jeg starte med å presentere det teoretiske utgangspunktet for hvordan en langsiktig sammenheng mellom korte og lange renter kan modelleres og uttrykkes ved kointegrasjon (Kapittel 2). Deretter vil jeg vise hvordan det er mulig å utvide denne sammenhengen med hensyn til ikke-linearitet (Kapittel 3) og presentere et 3

6 forslag til ikke lineære modeller (Kapittel 4). I den empiriske delen av oppgaven kommer jeg til først å estimere en lineær modell (Kapittel 7) og deretter ikke-lineære modeller og sammenligne disse (Kapittel 8-12). Til slutt kommer en empirisk utvidelse av modellen som tar hensyn til oljeprisen og en diskusjon og tolkning av resultatene (Kapittel 13-14). 2. Tilpassningen fra korte til lange renter og forventningshypotesen I denne delen av oppgaven vil jeg se på en teoretisk modell som skal kunne gi meg et godt utgangspunkt for den empiriske undersøkelsen av dynamikken til rentenes terminstruktur. Den enkle forventningsteorien impliserer at t-periode renterate er summen av et vektet gjennomsnitt av forventede framtidige enperiodiske renterater og risikopremien. Ligning (1) er gitt ved: 1 m t t t i t m i1 (1) 1 R E r k Dette er en utvidet Fischer Hicks formel (Hall, Anderson & Granger, 1992), hvor r t (s) er en s periode rente raten på tidspunkt t. R t er en periodisk forward raten på kjøp av en kontrakt på tidspunkt t, t+1, t+2 osv. E er forventningsoperatoren på tidspunkt t og k t er termin premie, som reflekterer risiko og likviditets preferanser. I følge arbitrasjefri hypotese vil denne sammenhengen holde. R kan sees på som den lange renta for eksempel 10 års statsobligasjonsrenten, men r kan sees på som en rente på en kortere kontrakt, for eksempel 3 måneders statskassevekselrenten. Fischer Hicks formel viser da at det skal være mulig å modellere en 10 års kontrakt ut fra 3 måneders kontrakter. Intuisjonen bak dette er at det er mulig, for eksempel, å modellere et halvt års kontrakt ut fra 2 tremåneders kontrakter, og 6 måneders renten blir slik at arbitrasjemuligheter i markedet er eliminert. Slik kan man modellere lengre rentesatser ut fra kortere renter 4

7 (Hall, Anderson & Granger, 1992). Det er vannlig å anta at terminpremien k t er gitt, men hvis det er noen variabler som kan påvirke denne vil også disse variablene påvirke sammenhengen mellom korte og lange renter. Hvis det er slik at det finnes en sammenheng mellom forskjellige rentesatser med forskjellig termintid, uttrykt ved ligning (1), vil denne sammenhengen påvirke utviklingen og endringen i rentene (Enders, 2004). Denne sammenhengen kan også brukes til å estimere og modellere utviklingen og endringen i rentene (Enders, 2004). Ligningene ovenfor impliserer at den langsiktige renteraten er et gjennomsnitt av nåværende og fremtidige spotrater. Dermed kan terminstrukturen gi en informasjon om fremtidige forandringer i den kortsiktige renteraten. Denne påstanden er blitt mye diskutert og har fått lite empirisk støtte, for eksempel viste Shiller (1991) at termin strukturen ikke predikerer fremtidige korte renter. Andre forskere har også vist at mye av fluktuasjoner i kortsiktige renterater skyldes makroøkonomiske nyheter og sentralbankens reaksjon på disse (Bohl & Siklos, 2002). Forholdet mellom renter med forskjellig levelengde kan sees på som likevektsforhold. Ved å ta utgangspunkt i ligning (1) kan man konstruere rentemarginen, som er differansen mellom lange og korte renter. Det er vanlig å anta at renter er integrert av 1 orden dvs. at de er ikke stasjonære prosesser som skal differensieres en gang for å få til en gjennomsnitts reversjon. Rente spread kan da bli uttrykt som m i t t t t t j t m i1 j1 S R r E r k Høyre side av ligningen er stasjonær, siden førstedifferansen av en I(1) prosess er stasjonær og terminpremien k t er antatt gitt, og av dette følge det at venstreside variablene også er stasjonære. Endringen i variablene på høyre siden vil påvirke variablene på 5

8 venstre siden. Selve ratene er antatt å være I(1), differansen mellom disse er da en målbar stasjonær prosess, ved å estimere ratene vil det da være mulig å finne en langsiktig likevektstilstand og en likevektskorrigeringsmodell som beskriver tilpasningen til likevekten (Hall, Anderson & Granger, 1992). Ligning (1) og (2) forutsetter at tilpassningen mot lange renter er lineær (hvis det antas også at terminpremien er gitt), og det er forventningsteorien som støtter denne påstanden. Hvis man får en skiftende terminpremie, vil dette føre til forskjellig tilpassning i forskjellige perioder. Forventningshypotese hviler på antagelsene om perfekte, friksjonsfrie markeder hvor arbitrasjefri handel leder termin strukturen mot en langsiktig likevekt. Vi viste tidligere at den faktiske rentemarginen er lik den forventede rente spread som vi kan kalle for. Hvis forventnings hypotese holder, så vil differansen mellom den faktiske og forventede rentemarginen ( S t ) være lik null i likevekt for at det ikke skal være noen arbitrasjemuligheter. Når denne differanser ikke er lik null, så vil den bevege seg mot likevekt slik at arbitrasjemuligheter vi bli eliminert av markedskreftene. Differansen vil altså justere seg mot en langsiktig likevekt (Andreson, 1995). Justerings prosessen antas å være lineær og symmetrisk. Ovenfor viste jeg at den langsiktige renteraten skal være gjennomsnittet av nåværende og forventede fremtidige enperiodiske renterater. I en likevekt kan da forholdet mellom renterater med forskjellig levetid beskrives som R t = βr t Den kortsiktige dynamikken i renteratene vil være avhengig av om variablene er i likevekt eller ikke. Avviket fra likevekten kan beskrives med lineære likevektskorrigeringsligninger gitt ved: 6

9 t = r R t 1 βr t 1 3 r rt t = RR t 1 βrt 1 4 R Rt der Rt, rt er hvitstøy prosesser som kan være korrelerte med hverandre. R og r er langsiktige og kortsiktige renterater, R, r er positive parametere. Korte og lange renter endres pga. stokastiske sjokk som er representert ved ( Rt, rt ) og endringer skjer i forhold til avviket fra likevekten i forrige periode. Venstreside variablene er stasjonære (siden renter er integrert av første orden), Rt, rt er også antatt å være stasjonær. Dette fører til at høyre siden av ligningen også er stasjonær. Dette innebærer at langsiktige og kortsiktige renter er kointegrert med en kointegrasjonsvektor 1,. Ut fra dette kan man si at den langsiktige sammenhengen mellom korte og lange renter påvirker endringen i korte og lange renter. Tilpassningen er avhengig av om den langsiktige sammenhengen befinner seg i likevekt, og hastigheten til tilpassningen mot denne likevekten som er gitt ved størrelsen på (Endres, 2002). Hvis den langsiktige sammenhengen er i likevekt R t - 1 = βr t - 1, vil endringen i korte og lange renter være kun avhengig av restleddene. Det er mulig å generalisere ligningene ovenfor ved å inkludere laggede endringene av begge variablene i ligningene. Dette gir en generell, lineær likevektskorrigeringsmodell t = 10+ R t 1 βrt 1 t = 0 R t 1 βr t 1 5 r a r a11( i) rt i a12( i) Rt i rt 6 R a2 R a21( i) rt i a22( i) Rt i Rt Begge ligningssystemene ovenfor viser at endringen i korte og lange renter er avhengig av endringen i korte og lange renter i tidligere perioder og avviket fra langsiktige likevektstilstanden. I følge forventningsteorien er tilpassningen mot denne likevekten beskrevet ved ligning (1) og er lineær. 7

10 I (5) og (6) kan r, R tolkes som hastigheten til tilpassningen mot likevekten. Dersom r R 0 blir tilpassningen mot statiske langsiktige sammenhengen mellom korte og lange renter være lik null, med andre ord ingen likevektskorrigering og ingen kointegrasjon. Ligningene ovenfor vil da ikke representere likevektskorrigerings modell (Enders, 2004). 3. Teoretisk utgangspunkt for ikke lineær tilpassning Anderson (1995) var en av de første som studerte muligheten for en ikke-lineær tilpassning mot likevekten og har begrunnet den med effekten av transaksjonskostnader, som skaper friksjon i markedet og enkelte arbitrasje muligheter. I den rene forventningsteorien antas det at risikopremien er null. Flere emiriske undersøkelser (Hansen & Seo, 2002, Seo, 2002) har bevist at det ikke er tilfelle og at risikopremien ikke bare er forskjellig fra null, men kan også være tidsvarierende. Endringer i variablene som påvirker risikopremien vil også påvirke forholdet i rentedifferansen og dermed tilpasningen mot likevekten. Transaksjonskostnader kan være eksempler på slike variabler. I denne oppgaven vil jeg se nærmere på likevektskorrigeringen mellom lange og korte renter og se på om det er eventuelle brudd i denne tilpasningen. Jeg vil teste om en modell der tilpassningen mot likevekten er bedre beskrevet med en ikke-lineær tilnærming. Lignende arbeid er blitt gjort på dette område blant annet av (Endres og Granger, 1998). Det finnes flere teorier som beskriver rentedannelsen og tilpassningen fra korte til lange renter og disse teoriene gir utgangspunkt for forskjellige empiriske modeller. I dette kapittelet vil jeg kort beskrive de mest sentrale teoriene som er relevante for min oppgave og som tar for seg forholdet mellom lange og korte renter. Disse kan forklare både lineære og ikke-lineære tilpassninger mot likevekten. 8

11 Forventningsteorien som er blitt nevnt tidligere er sentral når det gjelder rentedannelsen og renteforventninger fra kort til mellomlanglang sikt, teorien baserer seg på sentrale finansielle prinsipper som markeds effesiens og ingen arbitrasjemuligheter. Jeg har så vidt vært inne på forventningshypotesen som tar hensyn til tidsvarierende risikopremier og enkelte versjoner av hypotesen tar for seg en ikke stasjonær risikopremie. Likviditet preferanseteorien: Denne teorien stammer fra forventningsteorien. Det mest grunnlegende forskjellen mellom disse er at i følge likviditet preferanse teorien reflekterer lange renter ikke bare aktørenes forventninger om lange renter men også en likviditets premie for å holde langsiktige obligasjoner. Denne likviditets premie reflekterer risikoen til investorene når de er bundet av langsiktige terminkontrakter i tillegg til høyere prisusikkerhet (Campbell Shiller, 1991). Markeds segment teori: I dette tilfellet blir ikke spareproduktene med forskjellig utøvelsestid sett på som substitutter. Tilbud og etterspørsel etter disse produktene er uavhengig av hverandre. Markedsaktørene bestemmer seg om de vil investere i kortsiktige eller langsiktige obligasjoner. Kortsiktige obligasjoner er mer likvide og blir derfor oftere etterspurt. Høyere etterspørsel etter disse fører til at de har en høyere pris i forhold til langsiktige spareproduktene og dermed lavere avkastning. Denne teorien forklarer hvorfor ofte yield kurven er stigende. Men det er blitt bevist at korte og lange renter beveger seg i takt, og markeds segment teorien kan ikke forklare dette fenomenet (Campbell, 1986). Prefered Habitat teorien: Det er en teori som representerer mellom punktet mellom forventningsteorien og markeds segment teorien. Lange renter reflekterer ikke bare forventet kort rente men også investeringshorisontene og likviditetspreferansene til investorene. Denne teorien kan forklare både stigende og fallende terminkurver og at renterater bever seg sammen (Campbell, 1986). 9

12 Makroøkonomisk politikk: Renter er et av de viktigste virkemidlene sentralbanken kan bruke for å påvirke økonomien. Grunnlegende makroøkonomiske modeller som IS-LM modellen og Phillips kurven viser hvordan de viktigste økonomiske variablene blir bestemt av renta. De fleste sentralbankene har inflasjonsstyring, og de bruker renta aktivt for å styre og kontrollere inflasjonen, samtidig som renta brukes for å skape nok likviditet og vekst i økonomien. Malinvestment teorien representerer tankegangen om at makroøkonomiske nyheter og signaler fra sentralbankene bestemmer rentefastsettelsen både på kort og lang sikt. Langsiktige renter reflekterer forventninger om fremtidens rente som blir fast satt av sentralbanken. Siden rente er brukt som et økonomisk virkemiddel vil langsiktige renter reflektere forventninger om makroøkonomisk politikk og arbitrasjefri forhold. De fleste av teoriene ovenfor, bortsett fra forventningshypotesen, forklarer rentedannelsen som en ikke arbitrasjeavhengig prosess. Arbitrasjefri konsept er avgjørende i finansielle markeder og det er den som beskriver den lineære tilpassningen fra korte til lange renter. Teoriene beskrevet ovenfor gir rom for avvik fra den rene forventningshypotesen. Videre i oppgaven vil jeg forsøke å bygge modeller som kan fange opp faktorer som påvirker rentedannelsen i tillegg til arbitrasjefri prising som fanges opp ved forventningshypotesen. 4. Forslag til ikke lineære modeller Skift i tilpassningen fra korte til lange renter gitt ved ligning (1) kan sees på som endringen i den lineære tilpassningen. Med andre ord får man brudd i tilpassningsprosessen. I denne delen av oppgaven vil jeg forsøke å utvide den lineære modellen slik at strukturelle brudd kan bli inkludert i tilpassningen. 10

13 Ligningene (2) fra tidligere i oppgaven 1 1 m i t t t t t j t m i1 j1 S R r E r k viser sammenhengen mellom renter på forskjellige tidspunkt, og ut fra denne teorien skal det være mulig å forutsi langsiktige renteforhold. Med konstant terminpremie k t vil dette forholdet være lineært. Mankiw og Summers (1984) har i sin undersøkelse foreslått at sammenhengen mellom lange og korte renter kan være påvirket av overreaksjonen til markedsaktørene mht. makroøkonomiske nyheter og at tidsvarierende likviditets premie reflekterer variasjonene i yield kurven. Prefered habbit teorien støtter delvis denne påstanden. La oss anta at terminpremien k t inkluderer likviditetspremien som er tidsvarierende, I tillegg antar vi også at den følger en Threshold Autoregressive prosess (TAR). En TAR prosses er en enkel måte å beskrive regimeskiftende modeller. Sekvensen beskrives på samme måte som en vanlig autoregressiv prosess, bortsett fra at funksjonen skifter parametere etter å passere en bestemt terskelverdi. TAR modeller er nyttige når man skal beskrive komplekse ikke-lineære tidsserier ved å dele de opp i flere enkle autoregressive sekvenser (Brooks, 2002). I ligning (7) nedenfor beskrives terminpremien k t som en ikke-lineær sekvens gitt ved en (TAR) modell. Tidsvarierende terminpremie er gitt ved terminpremien i forrige periode (t-1), og den autoregressive parameteren viser hvor stor innflytelse terminpremien i forrige periode har på dagens periode og regimer som er definert ved rentemarginen i forrige periode. 11

14 7 k s k k s 1 t 1 t for t 1 1 t 2 t 1t for 1< t 1 2 3kt 1t for st 1> 2 Her er t restleddet som følger en hvitstøy prosess. Jeg antar at det er 3 regimer i denne risikopremien og hvert regime har sine egne regimespesifikke autoregressive parametere (Hansen og Seo, 2002). En slik tilnærming tillater oss å se på en ikke lineær tilpasning i rentenes termin struktur. Fra før vet vi at: 1 1 m i t t t t t j t m i1 j1 S R r E r k Tidligere i oppgaven har vi antatt at rentemarginen S t er en stasjonær prosess. Denne spredden på tidspunktett 1 er da gitt ved: 8 1 S = E r +k m-1 i t 1 t - 1 t + j 1 t - 1 m i=1 j=1 Relasjonen ovenfor er ekvivalent med ligning (7), det eneste forskjellen at alle variabler er fra forrige periode (t-1). Nå kan jeg omformere ligning (2) ved å bruke ligningene (8) og (7) slik at rentemarginen S på tidspunkt t kan skrives som: 9 1 ф S ф E r E r m-1 i m-1 i t n s t 1 t t j t -1 t j 1 m i 1 j 1 m i1 j1 12

15 Ligning (9) modellerer rentemarginen S t som en autoregressiv prosess, der rentemarginen er en funksjon av rentemarginen i forrige periode og risikopremien. Hvis man antar at risikopremien er tidsvarierende som i ligning (7), kan man reformulere relasjonen (7) slik at endringene i risikopremien blir fanget opp i rentemarginene. 10 1St 11t for st 1 1 St 2St 1 2t for 1< st 1 2 3St 1 3t st 1 2 for > Der er autoregressive parametere til rentemarginene (som også er parameteren til tidsvarierende risikopremien) som definerer forskjellige regimer og restleddet v er gitt ved: 11 1 ф m-1 i m-1 i t Etrt j Et - 1 rt j 1 m i1 j1 m i1 j1 Ligningssystemet (10) representerer rentemarginen som en TAR modell med 3 regimer. Jeg inkluderte 3 regimer i modellen for å gjøre den mer generell, i praksis kan man ha to eller flere regimer i en TAR modell (Hansen og Seo, 2002). Korte og lange renter har da en Threshod kointegrerende forhold til hverandre, hvor representerer forskjellige terskel verdiene. Denne tankegangen støttes og representeres av blant annet. (Enders, 2004, Seo, 2002). Siden rentemarginen følger en TAR prosess vil den langsiktige sammenhengen mellom korte og lange renter være et treshold kointegrerende forhold. 13

16 I denne delen vil jeg prøve å konstruere en utvidelse av likevektskorrigeringsmodell som kan beskrive ikke-lineær likevekts korrigering. Det er flere modeller som har blitt brukt i tidligere arbeider som også kan brukes i dette tilfellet. (Clarida, Sarno, Taylor, Valente, 2005) har brukt en Markov switching vektor likevekts korrigerings modell. Denne tilnærningen er nyttig fordi at modellen separerer selv mellom regimer og tidspunkter for strukturelle brudd uten at man må vite på forhånd dataene til bruddene. MTAR tilnærmingen er blitt brukt for å kunne beskrive ikke-lineare tilpassninger som en funksjon av endringen i underliggende variable (endringene i delta r f. eks) og ikke bare endringene i nivået på variablene. Ulempen med MTAR og TAR likevektskorrigeringsmodeller er at man selv må finne ut av verdien på terskelen som gir den beste tilpassningen. (Enders, 2004) Jeg vil starte med en generell modell som gir rom for ikke-lineær tilpassning til alle parametre i likevektskorrigeringsmodell. Det er forskjellige nivå til langsiktige renteforholdet som vil bestemme tilpassningen til parametrene i modellen. Tidligere har jeg skrevet at lineære likevektskorrigeringsmodeller er gitt ved: r = a + R βr a ( i) r a ( i) R t 10 r t 1 t 1 11 t i 12 t i rt R = a R βr a ( i) r a ( i) R t 20 R t 1 t 1 21 t i 22 t i Rt Ved å ta hensyn til brudd i tilpassningen kan vi utvide ligningene slik at vi kan inkludere 3 regimer i en likevektskorrigeringsmodell, tilpassningen vil da være avhengig av hvor sekvensen befinner seg i forhold til likevektstilstanden. Ligningssystemet nedenfor viser hvordan likevektsjusteringsligningene kan bli utvidet med hensyn til forskjellige nivå på langsiktige renteforholdet som skaper ulik tilpassning i hvert regime. Ligningssystemet (12) er gitt ved: 14

17 r1 12( ) t i 12( ) t i1 + r 2R βr 14( ) t i 15( ) t i 1 1< R βr 2 r = a + R βr a i r a i R R βr t 10 t 1 t 1 t 1 t 1 1 a13 t 1 t 1 a i r a i R t 1 t 1 a16 + r 3R t 1 βrt 1 a17( i) rt i a18( i) Rt i1 2 r R t 1 βrt 1 > 2 R1 21( ) t i 22( ) t i1 R 2R βr 4( ) t i 25( ) t i 1 1 < R βr 2 R = a R βr a i r a i R R βr t 0 t 1 t 1 t 1 t 1 1 a23 t 1 t 1 a2 i r a i R t 1 t 1 a26 R 3R t 1 βrt 1 a27( i) rt i a28( i) Rt i1 2 R R t 1 βrt 1 > Terskel parametere 1, 2 representerer brudd i tilpassningen mot likevekten. Det første regime reflekterer en tilstand der avviket R t 1 βrt 1 ligger under verdien av 1. Det andre regime finner sted når avviket R t 1 βrt 1 er større enn 1 og mindre eller lik verdien 2. Det siste regimet er definert når avviket er større enn terskelverdien 2. Avviket R t 1 βr t 1 beskriver den langsiktige likevekten. Tilpassningsparametrene som kan også sees på som hastigheten til justeringen mot likevekten vil være regimespesifikke i tilfellet ovenfor. Hvert regime blir definert av avviket fra langsiktige likevekten og verdiene på tersklene. Notasjonen1R t 1 βr t 1 1 indikerer en dummyvariabel lik 1 nårr t 1 βr t 1 1, og null ellers. 1 1< R t 1 βrt 1 2 er lik 1 når 1< R t 1 βrt 1 2 og null ellers, og 1R t 1 βr t 1 > 2 er en dummyvariabel som er lik 1 når R t 1 βr t 1 > 2 og null ellers. Det har blitt bevisst av blant annet Engle og Granger (1987), Enders og Granger (1998), Enders (2004) at lange og korte renter er kointegrert med kointegrasjons vektor (1, -1). dette innebærer at avviket R t 1 βrt 1 kan skrives som R t 1 r t 1, dette er rentemarginen i perioden t 1. Dermed kan man skrive R t 1 βr t 1 = R t 1 r t 1 = S t

18 Likevektskorrigeringsmodeller ovenfor kan skrives på en vektorform (VECM Vector Error Correction Modell) som er nyttig når vi skal inkludere renterater med forskjellige lengder i modellen. Johansen test for kointegrasjon er også basert på vektorform Endres (2002), siden denne testen vil være sentral i denne oppgaven vil jeg også kort beskrive kointegrasjons sammenhenger på vektorform. Definerer vektoren xt x1t x2t xnt,..., ', der xt Rt, rt'. Denne vektoren representerer altså lange og korte renter med forskjellige levetid som for eksempel 3 måneds renta som x 1t, 6 månedsrenta som x 2t, 9 måneders renta som x 3t osv. Som jeg tidligere nevnte er den langsiktige sammenhengen mellom lange og korte renter bestemt av parameteren β, som antas å være lik 1. Dermed kan man skrive s 1 x R r t t t t De andre variabler som er inkludert i likevektskorrigeringsligningene kan også skrives på vektorform. x A s 1 Γ x u 13 t t t i t i1 der er vektoren av parameterne som beskriver tilpasningen mot langsiktige likevekten, A er vektoren av konstantleddene og Γ vektoren som beskriver hvordan summen av rentedifferansene i forrige periodene påvirker tilpasning mot en likevekt. Ligning (13) er akkurat samme som ligninger (5) og (6) hvis vektoren x t er gitt ved 3 månedsrenten og 10 års renten. Vi kan modifisere ligningen (13) slik at den tar hensyn til ikke-linearitet i tilpasningen. Prinsippet bak modifiseringen er tilsvarende med vanlig likevektskorrigeringsmodell som er representert i ligningene (7), (8), (9) og (10). Relasjonen (14) er en representasjon av ligningssystemet (12) på vektor form der vi også har 3 regimer som er definert av 3 16

19 forskjellige sammenhenger mellom korte og lange renter. Hvert regime har sine egne regimespesifikke parametre. 14 xt A1 1st 1 Γ1ixt 11st 1 1 i 1 A2 2st 1 Γ2i xt 11 1 < st 1 2 i 1 A3 3st 1 Γ3i xt 11st 1 > 2ut i 1 Her er u t et restledd med hvitstøy egenskapene, som null forventning, konstant varians og ingen seriekorrelasjon (Brooks, 2002). Nivået på rentemarginen St 1vil bestemme regimet i tilpassningsprosessen, regimet vil forandres etter at rentemarginen passerer en bestemt terskelverdi. Modellene som er beskrevet ved ligningene (12) og (14) gir et godt intuitivt og teoretisk utgangspunkt for ikke-lineære tilpassninger i rentenes terminstruktur, men i praksis kan de være utfordrende å estimere. Grunnen til dette er at man kan få mange forskjellige nivåer på den langsiktige rentesammenhengen i flere utvalg. I mindre utvalg vil den langsiktige rentesammenhengen ikke lenger være langsiktig på grunn av utvalgsstørrelsene. En annen måte å representere brudd på kan være å estimere alle variabler i en lineær likevektskorrigeringsmodell og se på stabiliteten til disse. Da vil man kunne finne eventuelle brudd og beskrive disse ved hjelp av dummyvariabler. Bruddene vil da være beskrevet ved et tidspunkt i sekvensene og man får regimespesifikke autoregressive komponentene. På denne måten kan man modellere tidsavhengige regimeskift. Ligning (14) og (12) representerer tilstandsavhengige regimer. Hvis jeg utvider ligningene (5) og (6) med hensyn til dummyvariabler vil jeg da få: 17

20 r 11 t i 12 t i rt t t = I 10 + R t 1 βrt R t 1 βrt 1 15 r a a ( i) r a ( i) R 1 I * * a a ( i) r a ( i) R I Ir I t i I t i Ir t = D 0 R t 1 βrt 1 0 R t 1 βrt 1 2 R 21 t i 22 t i Rt 16 R a a ( i) r a ( i) R 1 D * * ad2 DR ad21( i) rt i ad22( i) Rt i DR Der I og D er dummyvariabler som er lik 1 frem til et bestemt tidspunkt i sekvensen, for eksempel T I og T D og null ellers. Ligningene (15) og (16) representerer likevektsjusteringsmodeller for korte og lange renter, der tilpassninger er delt opp i to regimer frem og etter T I for den korte renta og frem og etter T D for den lange renta. Hvert regime har sine egne parametre. Overgangen fra et regime til et annet representeres som brudd i modellene gitt ved (12), (14), (15) og (16). Det er mulig at denne overgangen skjer gradvis. Da vil ikke de vanlige TAR modellene som jeg har beskrevet ovenfor kunne beskrive denne tilpasningen. En STAR (Smooth Transistion Autoregressive) modell vil fange opp eventuelle gradvise overganger fra et regime til et annet, der autoregressive parametere forandrer seg langsomt. I praksis er det vanlig å bruke 2 typer av STAR modeller. Den logistiske STAR modellen beskriver tilpasningen mot det nye regimet som en logistisk funksjon, og den andre er eksponensielle STAR modellen som baserer seg på den eksponensielle funksjonen.(enders, 2004) Teoretisk sett vil STAR modellene passe bedre for å beskrive ikke-lineære tilpassninger enn vanlige TAR modellene. Ved bruk av en STAR modell kan ikke-linearitet beskrives som gradvise tilpassninger til markedsadferd, og den tillater for forskjellige typer av markedsoppførsel som avhenger av type STR funksjoner. Den logistiske funksjonen tillater for forskjellige tilpassninger og avhenger av hvorvidt avviket fra likevekten er positivt eller negativt. Den eksponensielle funksjonen ser på selve størrelsene til avvikene som er uavhengige av fortegnene (Djik, Teräsvirta & Franses 2002). 18

21 Likevektskorrigeringsligning med STAR egenskapene kan uttrykkes som: 17 xt A0 0st 1 t 1 i 1 Γix 2 B0 b 0st 1 ixt 1 1 exp xt d i 1 Den første delen av ligningen kjenner vi igjen fra den vanlige VECM (13), den andre delen er en autoregressiv ligning. De autoregressive komponentene b 0 og i er avhengige av transistion funksjonen som er gitt ved 1 exp xt d den kontinuerlige eksponensielle transistion funksjonen (ESTAR) hvor. Parameteren kalles smoothness parameteren og den påvirker brattheten på transisjonsfunksjonen. Når denne går mot null vil ESTAR modellen bli til en vanlig 2. Dette er lineær autoregressiv modell. Bortsett fra disse tilfellene vil ESTAR modellen beskrive en ikke-lineær oppførsel. Når går mot det uendelige vil overgangen fra et regime til et annet være så bratt at man får en TAR modell med to regimer (Djik, Teräsvirta & Franses, 2002). Parameteren representerer en terskelverdi som er avhengig av en bestemt rentedifferanse på forskjellige tidspunkter eller et bestemt tidspukt i sekvensen. Differansen mellom terskelverdien og rentemarginen påvirker størrelsen på smoothness parameteren som igjen viser om hele modellen er vanlig autoregressiv eller ikke-lineær (Djik, Teräsvirta & Franses, 2002). Det er mulig å bruke andre variabler som transisjonsvariabler, for eksempel en transisjons funksjon med tidstrenden som transisjonsvariabelen vil se slik ut: 2 1 exp T t t Der T t er en tidstrend og t er en terskelvariabel som representerer et bestemt tidspunkt i sekvensen. Når differansen mellom rentemarginen eller tidspunktet i sekvensen og terskelen går mot null, vil transisjonsligning gå mot null. Likevektskorrigeringsmodell på dette tidspunktet vil da være en VECM modell representert kun ved: 19

22 x A s 1 Γ x u 13 t t t i t i1 I tilfellet når differansen mellom rentemarginen eller trenden og terskelverdien blir så stor at den eksponensielle delen nærmer seg null, vil transisjonsfunksjonen nærme seg 1. Likevektskorrigeringsligning vil da være gitt ved: b Γi i x A B s i 1 x u t t 1 t 1 t I en ESTAR er det altså størrelsen på avviket fra terskelverdien som spiller den avgjørende rollen. Siden avviket er kvadrert, vil ikke fortegnet på denne differansen spille noen rolle (Enders, 2004). En logistisk TAR modell er gitt ved: 18 xt A0 0st 1 t 1 i 1 Γix B0 b 0st 1 ixt 1 1 exp xt d i 1 1 Forskjellen mellom denne modellen og eksponensielle er at transisjonsfunksjonen 1 exp xt d 1 er bygd opp for å ta hensyn til positive og negative avvikene og størrelsen på disse mellom rentemarginen og terskel verdien. Funksjonen kan også ha tidstrenden som transisjonsvariabelen, da får vi 1 exp T t t 1. Hvis smothness parameteren går mot null vil likevektskorrigeringsmodellen bli en AR prosess. Hvis den går mot det uendelige vil vi få en TAR modell med to regimer. Terskelverdiene i eksponensielle og logistiske overgangsfunksjonene er ukjente og må estimeres. 20

23 5. Sentrale økonometriske forutsetninger og metode for oppgaven Det mest grunnleggende antakelsen i denne oppgaven er at renter er ikke-stasjonære variabler og at det finnes en sammenheng mellom renter med forskjellig levetid, og denne sammenhengen kan modelleres ved kointegrasjon. Det er vanlig å bruke Dickey-Fuller test for å finne ut om en sekvens er en unit-root prosess eller om den er stasjonær. Selve testprosedyren for Dickey-Fuller er enkel. Den går ut på å teste om første differansen til en sekvensen er stasjonær eller ikke (Brooks, 2002). La oss anta at vi har en sekvens y t der yt fyt 1 ut, null hypotesen til testen er å finne ut om f er lik 1 mot alternativet f < 1, førstedifferansen av sekvensen kan da skrives som yt yt 1 ut, hvor å teste for f=1 er det samme som å teste for ψ = 0 siden f 1. Hvis ψ er lik null blir førstedifferansen av sekvensen stasjonær, (siden restleddet u t er hvitstøy prosess) og sekvensen er unit-root prosess (Brooks, 2002). Testene kan utføres ved hjelp av t eller f test. Det er viktig å huske at de kritiske testobservatorene følger en Dickey-Fuller fordeling, og de er annerledes fra t-fordelingen. De kritiske verdiene vil være avhengig av om man tester for ikke-stasjonæritet uten et konstantledd og uten trend, med kontantleddet og uten trend, og med trend og konstantleddet (Enders, 2004). Økonometriprogrammet OxMetris 5 som jeg bruker i denne oppgaven finner de kritiske t-verdiene automatisk. Når vi har funnet de kritiske verdiene i Dickey-Fuller fordelingen kan vi utføre selve testen. I litteraturen som jeg bruker i denne oppgaven, i tillegg til tidligere pensum litteratur, antas det at renter er integrert av første orden (Enders & Granger, 1998), (Brooks, 2002). Det innebærer at sekvensen må differensieres kun en gang for at den skal bli stasjonær (Endres, 2004). Hvis resultatene til testene ovenfor indikerer at renter er ikke stasjonære variabler som er integrert av første orden kan man begynne å teste for kointegrasjon mellom de rentene. 21

24 Kointegrasjon er beskrevet som en lineær kombinasjon av ikke-stasjonære variabler, slik at det finnes en langsiktig sammenheng mellom disse variablene. I første omgang skal jeg undersøke om det finnes en langsiktig likevekts tilstand mellom lange og korte renter og deretter vil jeg teste om tilpassningen til den eventuelle likevektssammenhengen kan forklares bedre ved bruk av en ikke-lineær modell. En langsiktig sammenheng mellom korte og lange renter er mulig å estimere ved bruk av OxMetrics. Det er viktig å finne en sammenheng som gir minst mulig residualer og har mest forklaringskraft. For å oppnå dette kan man inkludere konstantleddet og laggete verdier av både korte og lange renter og deretter estimere regresjonen. Testen for kointegrasjon i lineære modeller er blitt utviklet av Engle og Granger (1987). Den første betingelsen er at variabler som testes er ikke-stasjonære og er integrert av samme orden. Hvis de variablene er integrert av forskjellig orden vil, det ikke være noen kointegrasjons sammenheng mellom disse. Neste steget er å estimere den langsiktige sammenhengen mellom variablene. Jeg har tidligere skrevet at denne kan uttrykkes som R t = βrt der β er parameteren som beskriver det langsiktige forholdet. Samme ligningen kan utvides med hensyn til konstantledd og restleddet, da får vi: R t = β 0 βrt + e t der β 0 er konstantleddet og e t er restleddet. Sammenhengen kan estimeres ved bruk av Minste Kvadraters Metode, tilegg til MKM bør man også se på sekvensen til restleddet e t. De estimerte verdiene av e t kan tolkes som avvikene fra langsiktige likevektsforholdet. Hvis restleddet er stasjonært, indikerer dette at korte og lange renter er kointegrert. Grunnen til det er at både korte og lange renter er antatt å være unit-root prosesser, hvis man flytter de korte rentene på venstre side av ligningen slik at R - βr = β t t 0 t e, får vi at differansen mellom to ikke-stasjonære variabler er stasjonær, og dette medfører at differansen mellom lange og korte renter beveger seg mot en 22

25 langsiktig stasjonær verdi som lar seg estimere. Det er dette som er det grunnleggende utgangspunktet for kointegrasjon mellom lange og korte renter. For å finne om restledet er stasjonær kan man bruke Dickey-Fuller test (Brooks, 2002). La oss anta at første differansen til det estimerte restleddet til langsiktige rentesammenhenger er uttrykt i ligningen (19) nedenfor. Der er en autoregressiv komponent og t er hvit støy. 19 e ˆt = e ˆt - 1+ t Null hypotesen er å teste om =0. Hvis vi beholder denne hypotesen vil e ˆt sekvensen være en unit root prosess og R, r ikke er kointegrert med hverandre. Hvis restleddssekvens viser seg å være stasjonær kan den brukes for å estimere en likevektskorrigeringsmodell gitt ved ligningene (5) og (6). r = aˆ + ˆ R βr ˆ aˆ ( i) r aˆ ( i) R t 10 r t 1 t 1 11 t i 12 t i rt R = aˆ ˆ R βr ˆ aˆ ( i) r aˆ ( i) R t 20 R t 1 t 1 21 t i 22 t i Rt Hvor ˆ er de estimerte parametrene av kointegrasjonsvektoren og Rt, rt er hvitstøy residualene. Ligningene viser at endringene i korte og lange renter er avhengig av summen av lagete verdier til rentedifferansene og kointegrasjons sammenhengen, og tilpassningshastigheten for den langsiktige sammenhengen mellom korte og lange renter. Kointegrasjons sammenhengen har innflytelse på endringen i både korte og lange renter. Siden variablene på begge sider av ligninger er stasjonære er det mulig å bruke tradisjonelle testmetoder som MKM, Chi-kvadrat og F-testen for å estimere likevektskorrigeringsligningen. Ved å bruke dataprogrammet kommer jeg til å få en likevektskorrigeringsmodell på vektorform. 23

26 For å teste om variablene kointegrert er det mulig å bruke flere fremgangsmåter, for eksempel Engle-Granger 2 steg prosedyren og Johansen prosedyren (Enders, 2004). Johansen prosedyren kan sees på som en multivariat ADF test for enhetsrøtter. Tidligere har jeg beskrevet at likevektskorrigeringsmodell på vektorform (VECM) kan vises som x A s 1 Γ x u 13 t t t i t i1 der st 1 er gitt ved R t 1 βr t 1 Hvis både 10 år og 3 måneders renter er integrert av første orden, vet vi at venstre siden av VECM er stasjonær, dette innebærer at høyre siden i ligningen også skal være stasjonær. For at dette skal være mulig må xt i og st 1 også være stasjonær. Differansen til x er en stasjonær sekvens siden x er en I(1) sekvens, da må rentemarginen st 1 være enten stasjonær sekvens eller null. Hvis denne er lik null vil endringen i rentene fra et tidspunkt til et annet være forklart som endringen i denne renten fra et tidspunkt til et annet uten at dette er forklart av variasjonen i den andre renten. Da vil vi ikke få noen kointegrerende sammenheng (Enders, 2004). Derimot, hvis rente spredden ikke er null kan vi tolke xt som summen av differansene fra tidligere perioder i tillegg til avviket fra langsiktige likevekten, som er representert ved rentemarginen. Ved bruk av OxMetrics kan jeg finne antall kointegrerende vektorer (eigenvalues som er forskjellig fra null i matrisen til rentemarginen). Programmet tester automatisk om der er kointegrerende sammenhenger. Jeg vil først ta utgangspunkt i en lineær modell på vektorform for og teste for kointegrasjon, dette vil jeg gjøre ved Johansen metode som er beskrevet ovenfor og deretter vil jeg analysere eventuell ikke-linearitet. 24

27 Etter å ha utvidet modellen med hensyn til ikke linearitet kan vi deretter estimere TAR VECM, der vanlig MKM kan brukes i dette tilfellet. Estimeringen er forholdsvis enkel hvis man kjenner terskel verdiene, men i de fleste tilfellene er disse verdiene ukjent og må derfor estimeres sammen med andre parametere (Endres, 2004). Chan s test er en metode man kan bruke for å finne konsistente verdier av terskel parametere (Endres, 2004). Verdien av terskelen må befinne seg mellom de høyeste og de laveste verdiene av sekvensen. Vanligvis blir høyeste og laveste 15 prosent av sekvensen ekskludert, for å sikre passende antall av observasjoner på hver side av terskelen. Deretter estimerer man alle verdiene av observasjonene innefor de øverste og nederste verdiene av den grensen som vi har bestemt oss for. Denne regresjonen som har de minste residuaene vil være det konsistente estimatet av terskelen (Enders, 2004). Terskel representerer et brudd i tilpassningen og det i dette punktet likevektskorrigeringsligningen får nye autoregressive parametre. Det neste steget i analysen vil være å estimere disse parametere. Prosedyrene kan gjennomføres ved bruk av MKM. Hvis det er slik at regimeskift ikke skjer brått vil det være naturlig å se om STAR modellene beskriver tilpassningen bedre. Som jeg nevnte ovenfor vil forskjellige typer av STAR modeller beskrive forskjellig oppførsel av skifter i regimer. For å teste om en modell er lineær eller har STAR egenskaper, tester man først og fremst om modellen har samme eller forkjellig autoregressive parametere i eventuelle regimer. Testen for ikke linearitet blir komplisert på grunn av at det ikke finnes brå overgang fra et regime til et annet, og test av autoregressive komponentene vil være påvirket som følge av dette. For å teste hypotesen kan man ikke bruke vannlige metoder, på grunn av ikke identifiserte parametere. Luukkonen, Saikkonen og Teräsvirta (1988) har foreslått en måte som kan løse dette problemet. Ved å erstatte transistion funksjonen med en passende Taylor approksimasjon fører dette til at vi ikke lenger vil få et identitets problem med autoregressive parametre og man kan derfor bruke Lagrange Multiplier statistikk med standard asymptotisk chi kvadrat fordeling under null hypotesen. 25

28 6. Data og tidsserieegenskaper I min analyse tar jeg utgangspunktet i 10 års statsobligasjons renten og 3 måneder statskasseveksler renten. Begge dataene har daglige målinger der det er 5 observasjoner i uken. På 10 års renten er 4562 observasjoner der observasjonene starter 2 januar 1990 og slutter 7 mars For 3 måneders renten starter observasjonene 8. januar 2003 og det er 1298 observasjoner. 3 måneders renta blir brukt som den korte renta r t og 10 års renta blir brukt som den lange renta R t. Data er hentet fra Norges Banks sine hjemmesider. I figur 1 og 2 kan vi se daglige observasjoner for henholdsvis korte og lange renter. På den horisontale aksen ser man observasjonene målt i tid, observasjon 0 er 8 januar På den vertikale aksen ser vi nivået til rentene målt i prosent. Figur 1: 3 måneds renten i perioden fra 8 januar 2003 til 7 mars

29 Figur 2: 10 års renta i perioden fra 8 januar 2003 til 7 mars Det første steget i analysen er å finne ut om sekvensene er stasjonære, teorien bak testen har jeg beskrevet tidligere. I OxMetrics kan dette utføres på flere måter. Testresultatene etter en Augmentet Dickey-Fuller test viser at begge rentesekvensene er unit root prosesser og er dermed ikke stasjonære med 5% og 1% signifikans nivå. I tabell 1 og 2 presenterer vi resultater fra Augmentet Dickey-Fuller testen, der nullhypotesen er at 10 års statsobligasjonen og 3 måneds statskasseveksler er stasjonære. H 1 er at sekvensene er ikke stasjonære. Tabell 1: ADF test for 10 års statsobligasjon. Antall av laggete differanser T-verdien i adf testen Autoregressive komponenter foran lagget verdi beta 2-0,8221 0, ,7607 0, ,5167 0,

30 Kritiske verdiee for 5 % og 1 % signifikans nivå er henholdsvis og Tabell 2: ADF test for 3 måneder statskasseveksler. Antall av laggete differanser T-verdien i adf testen Autoregressive komponenter foran lagget verdi beta 2 0, , , Kritiske verdier for 5 % og 1 % signifikans nivå er henholdsvis og -3.44, og begge testene ble gjennomført med 1283 observasjoner. Ut fra resultatene i tabellen kan jeg konkludere med at begge sekvensene er ikkestasjonære. Når en serie er integrert av første orden vil den første differansen av ikke stasjonær sekvens være stasjonær. Det er en nødvendig betingelse for gjennomføring av kointegrasjons tester at alle variablene som testes er integrert av samme orden. For å finne om 10 års og 3 måneders renten er integrert av orden 1 lager jeg en første differanse med begge sekvensene. R R R r r r t t t 1 t t t 1 Etter å ha foretatt en ADF test med første differansene finner jeg ut at begge er stasjonære. Dette kan man se ut fra tabell 3 og 4, hvor førstedifferansen av 3 måneds renta og 10 års renta blir testet for stasjonæritet. Nullhypoteser er at sekvensene er stasjonære, mens H 1 er at sekvensene ikke er stasjonære. 28

31 Tabell 3: ADF test for første differansen av 10 år statsobligasjonsrenten Antall av laggete differanser T-verdien i adf testen , , ,10265 Rt Autoregressive komponenter foran lagget verdi beta Kritiske verdier for 5 % og 1 % signifikansnivå er henholdsvis og Tabell 4: ADF test for førstedifferansen av 3 måneders statskassevekselsrente Antall av laggete differanser T-verdien i adf testen , , ,12595 rt Autoregressive komponenter foran lagget verdi beta Kritiske verdier for 5 % og 1 % signifikansnivå er henholdsvis og Absoluttverdiene av t-verdiene er større en de kritiske t-vediene for begge førstedifferansene. Vi beholder nullhypotesene. Dermed kan jeg konkludere med at førstedifferansene er stasjonære og rentene er integrert av 1 orden. Neste steg er å estimere en langsiktig likevektssammenheng mellom de lange og korte rentene. For å gjøre dette skal det først estimeres en VAR modell som viser utviklingen av 3 måneders renta som funksjon av laggete verdier av 3 måneders og 10 års renta, og utviklingen av 10 års renta som en funksjon av laggete verdier av 10 års renta og 3 måneders renta. En av de viktige forutsetninger for VAR modellen at de estimerte variablene ikke er autokorrelerte. Etter en del tester har jeg funnet ut at en modell med 2 og 3 lag ikke gir autokorrelasjon og gir en signifikant kointegrasjons sammenheng. Deretter er det 29

32 modeller med 12 lag og mer som ikke gir autokorrelasjon og signifikante kointegrasjons sammenhenger. Det er modellen med 2 lags jeg vil beholde siden det er den mest enkle modellen som tilfredsstiller de nødvendige forutsetningene. I tillegg er modellen veldig lett å tolke. Begge variablene tester også positivt på ARCH) Jeg antar som tidligere at vektoren xt Rt rt uttrykkes som, '. En dynamisk VAR funksjon kan da x 1x 1 2x 2 q v 20 t t t t Der 1 og 2 er vektorer til autoregressive parametere for laggete verdier, q beskriver konstantene og v er restleddsvektoren. De estimerte verdiene for 10 års renten er gitt i tabellen nedenfor Tabell 5: Estimerte verdier på parametrene for 10 års renten. Variabler/parametre Estimert koeffisient t-verdi Rt Rt rt rt konstantleddet Estimerte verdier for 3 måneds renta er gitt i tabell 6. 30

33 Tabell 6: Estimerte verdier for 3 måneds renta Variabler/parametre Estimert koeffisient t-verdi Rt Rt rt rt konstantleddet VAR ligningssystemet kan da skrives som: 21 Rt Rt Rt 2 ut 22 r R r r 2 z t t t t t der u t og z t er restleddene. Autoregressive parametere foran laggete verdier av korte renter i ligningen som beskriver dynamikken til lange renter er lik null med signifikans nivå 5 og 10 prosent. Ved å ta utgangspunkt i teoretiske modeller, for eksempel forventningshypotesen kan jeg bekrefte resultatene ovenfor. At korte renter er en funksjon av laggete verdier av korte renter og lange renter stammer godt overens med forventningshypotesen, fordi at arbitrasjefri prising av kortere kontrakter er avhengig av den lange renta. 7. Estimering av kointegrasjon og likevektskorrigeringsligningene Jeg vil nå bruke Johansen s metode for å teste for kointegrasjon mellom 3 måneds renta og 10 års renta. Jeg har nevnt bakgrunnen for Johansens metode tidligere i oppgaven. Jeg tar utgangspunkt i VAR modellen gitt ved ligning (20). Ligningen kan modifiseres og s ' x x skrives som likevektskorrigeringsligning gitt ved (13) der t 1 t 1 t 1 31