Løsningsforslag til eksamen i FY3452 GRAVITASJON OG KOSMOLOGI Torsdag 8. august 2013

Transkript

1 NTNU Sie 1 av 6 Institutt for fysikk Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk Løsningsforslag til eksamen i FY345 GRAVITASJON OG KOSMOLOGI Torsag 8. august 013 Dette løsningsforslaget er på 6 sier. Oppgave 1. Aspekter ve stanarmoellen for kosmologi I stanarmoellen for kosmologi (Friemann-Lemaître-Robertson-Walker moellen) innfører man forskjellige former for materie eller energi. Forklar hva man i enne forbinelsen mener me a) Mørk energi eller kvintessens (ark energy or quintessence). Mørk energi er energiform er et assosierte trykket P er relatert til energitettheten ε ve formelen P = ε. (1) I stanarmoellen for kosmologi er mørk energi nøvenig for å forklare universets akselererene ekspansjon e siste (ca. fem) milliarer år. Kommentar: Mørk henspiller i enne forbinelse på at man er litt i mørke når et gjeler kunnskap om enne energiformen, spesielt når et gjeler uavhengige observasjoner av enne, men noen alternativer er vakuumenergi og kosmologisk konstant. b) Mørk materie (ark matter). Mørk materie er ikke-relativistisk materie som ikke er irekte synlig som lysgivene objekter, vs. stjerner og galakser. Den er nøvenig i stanarmoellen for å forklare galakseynamikk og universets struktur på stor skala, og observerte gravitasjonlinse-effekter. Kommentar: Mørk henspiller her først og fremst på at enne materien ikke er synlig i teleskoper, og ikke ser ut til å påvirke lysene materie på annen måte enn gjennom gravitasjonspåvirkning. Men man er også noe i mørke me hensyn til hva enne materien består av. c) Kal materie (col matter). Kal materie kan er materie som beveger seg ikke-relativistisk, slik at et kinetiske energibiraget er mye minre enn biraget fra hvilemassen. Dette betyr at vi kan neglisjere effekter av trykket P i stanarmoellen, P 0. () Kal materie består av båe mørk og normal lysene (av kjent form) materie. Kommentar: Stjerner, me temperatur på noen tusen graer, regnes altså som kal materie i enne sammenhengen.

2 Løsning FY345 Gravitasjon og kosmologi, Sie av 6 ) Varm materie (hot matter) Varm materie er relativistisk materie, er et kinetiske energibiraget er mye større enn biraget fra en eventuell hvilemasse. I stanarmoellen betyr ette at vi har sammenhengen P = 1 ε. (3) 3 e) Omtrent hvor stor anel (i prosent) av en total energitettheten utgjør hver av isse energiformene i ag (ifølge beste tilpasning til kosmologiske ata)? Ifølge siste tilpassning utgjør mørk energi ca. 68% og kal materie ca. 3% (ca. 7% mørk pluss ca. 5% normal materie) av energitettheten i universet. Biraget fra en varme materien er altså neglisjerbar iag. f) Hvoran skalerer tettheten av isse energiformene me universet ekspansjon, vs. me skalafaktoren a(t)? Energitettheten til mørk energi er uavhengig av ekspansjonen, ε a 0. Energitettheten til kal materie er omvent proporsjonal me universets volum, ε a 3. Dette kan tolkes som at antallet massive partikler, og eres masse, er konstant. Energitettheten til varm materie skalerer som ε a 4. Dette kan tolkes som at antallet masseløse partikler er konstant, men at eres energi avtar som a 1 pga. røforskyvning. Matematisk kan Friemann-Lemaître-Robertson-Walker moellen, me kun én form for energi eller materie (når man også betrakter kosmologisk konstant og krumningseffekter som energiformer), oppsummeres ve Friemanns første ligning, H = 8π G N ε, (4) 3 c konserveringsloven ε + 3H(ε + P ) = 0 (5) (er betyr erivasjon me hensyn på tien t), og tilstansligningen P = wε. (6) Her er H H(t) = a(t) 1 a(t) Hubble-parameteren, er a(t) skalafaktorer i moellen. t g) Anta at w er en konstant, og bruk ligningene (5-6) til å finne hvoran ε varier me skalafaktoren a. Dvs. vis at ε(t) a(t) µ, og bestem konstanten µ. Vi setter (6) inn i (5) og eler på ε, Dette kan omskrives som ε + 3(1 + w)ȧ ε a = 0. t [log ε(t) + 3(1 + w) log a(t)] = [ t log ε(t)a(t) 3(1+w] = 0. Dvs. at ε(t) a(t) 3(1+w) er tisuavhengig, ε(t) a(t) 3(1+w). (7) h) Bruk resultatet fra forrige punkt sammen me ligning (4) til å finne hvoran a(t) varierer me tien t. Dvs. vis at a(t) t ν (unntatt en spesiell veri av w), og bestem konstanten ν. Ligning (7) innsatt i (4) impliserer at er K er en ukjent konstant. I spesialtifellet w = 1 gir ette ȧ a = K a 3 (1+w), (8) ȧ(t) = K a(t),

3 Løsning FY345 Gravitasjon og kosmologi, Sie 3 av 6 me løsning For w 1 omskriver vi ligningen til Dvs. at a 1 (1+3w) a = Vi har valgt et passene nullpunkt for tien t. Oppgave. Forenklet Ranall-Sunrum moell Se på geometrien efinert av linje-elementet a(t) = e Kt a(0). (9) 3(1 + w) a 3 (1+w) = Kt a(t) t 3(1+w). (10) τ = e k u ( t x y z ) u, (11) vs. et univers me en ekstra romimensjon (u-retningen). Bevegelsen til en punktpartikkel (me masse m = 1 i passene enheter) i enne geometrien er bestemt av Lagrangefunksjonen, via Hamiltons prinsipp. Her løper µ, ν over fem tirom inekser, og betyr erivasjon me hensyn til egenti τ. L = 1 gµνẋµ ẋ ν, (1) x µ ( x 0, x 1, x, x 3, x 4) = (t, x, y, z, u), (13) a) Finn Euler-Lagrange ligningene for bevegelse i enne geometrien. Fra e generelle Euler-Lagrange ligningene τ ( L ẋ σ ) = L x σ finner vi Her er θ(u) stepfunksjonen, τ ek u ṫ = 0, τ ek u ẋ = 0, τ ek u ẏ = 0, τ ek u ż = 0, τ ek u u = 1 θ(u) k ( ek u ṫ ẋ ẏ ż ). (14a) (14b) (14c) (14) (14e) θ(u) = { 1 for u > 0, 1 for u < 0. b) Sammenlign resultatene fra forrige punkt me e geoesiske ligningene på generell form, og bruk ette til å finne alle ikke-forsvinnene Christoffel-symboler Γ µ νλ for enne geometrien. For å sammenligne me e generelle geoesiske ligningene, ẍ µ + Γ µ νλ ẋν ẋ λ = 0,

4 Løsning FY345 Gravitasjon og kosmologi, Sie 4 av 6 utfører vi erivasjonen på venstresiene av (14), og multipliserer me e k u. Vi har at slik at (14) blir e k u τ ek u = θ(u) k u, ẗ + g(u) u ṫ = 0, ẍ + g(u) u ẋ = 0, ÿ + g(u) u ẏ = 0, z + g(u) u ż = 0, ü + g(u) ( ṫṫ + ẋẋ + ẏẏ + żż + u u ) = 0, (15a) (15b) (15c) (15) (15e) er g(u) = 1 θ(u) k. Fra ette leser vi ut alle Christoffel-symboler som ikke er null: Γ t ut = Γ t tu = Γ x ux = Γ x xu = Γ y uy = Γ y yu = Γ z uz = Γ z zu = g(u), Γ u tt = Γ u xx = Γ u yy = Γ u zz = g(u), Γ u uu = g(u). (16a) (16b) (16c) c) Lagrangefunksjonen L avhenger ikke eksplisitt av t. Hvilken konservert størrelse gir ette opphav til? Ifølge Nöthers teorem blir en konserverte størrelsen, ε = L ṫ = ek u ṫ, (17) som vi normalt vil inentifisere me systemets energi (eller noe proporsjonalt me enne). Vi kan også lese ut enne konserveringsloven irekte fra ligning (14a). ) Lagrangefunksjonen L avhenger ikke eksplisitt av r = (x, y, z). Hvilke konserverte størrelser gir ette opphav til? Ifølge Nöthers teorem blir e konserverte størrelsene, p = L ṙ = ek u ṙ, (18) som vi normalt vil inentifisere me systemets bevegelsesmenge (eller noe proporsjonalt me enne). Vi kan også lese ut isse konserveringslovene irekte fra ligningene (14b-14). e) Lagrangefunksjonen L avhenger ikke eksplisitt av τ. Hvilken konservert størrelse gir ette opphav til? Ifølge Nöthers teorem blir konserveringsloven L ẋ µ ẋµ L = L. (19) Dette sier bare at partikkelens femmer-hastighet 1 har konstant lenge; egentien τ er valgt slik at g µν ẋ µ ẋ ν = 1, (0) slik man kan lese ut av ligning (11) etter ivisjon me τ. De ynamiske ligningene er konsistent me enne normaliseringsbetingelsen. Her finner vi altså konserveringsloven (eller normaliseringsbetingelsen) 1 Normalt (i et fireimensjonalt tirom) kalt firer-hastighet. e k u ( ṫ ẋ ẏ ż ) u = 1. (1)

5 Løsning FY345 Gravitasjon og kosmologi, Sie 5 av 6 En massiv partikkel starter i punktet r = 0, u = 0 ve tien t = 0, me hastighetene ṙ = (v 0, 0, 0) og u = v 1 > 0. f) Hva er tiens hastighet, ṫ, ve starttispunket? Ifølge ligning (1) må vi ha ṫ = e k u + ẋ + ẏ + ż = 1 + v0 + v1, vs. for ṫ(0) ṫ 0, ṫ 0 = 1 + v 0 + v 1. () g) Finn ṫ, ẋ, ẏ og ż uttrykt ve u, u og startveriene. Fra konserveringslovene for energi og bevegelsesmenge finner vi at ṫ = e k u ṫ 0, ẋ = e k u v 0, ẏ = 0, ż = 0. (3a) (3b) (3c) (3) h) Finn en største absoluttverien som u kan anta. Ligning (3) innsatt i ligning (1) gir u = (1 + v1)e k u 1. (4) Sien venstresien må være ikke-negativ har vi at (1 + v1) e k u 1, eller u log(1 + v 1) k u max. (5) i) Beregn så langt u kan banen x µ (τ) til enne partikkelen. Vi antar først at u 0 og u 0. Ligning (4) kan a skrives på formen u = τ. (6) (1 + v 1 ) e ku 1 Ve å innføre ρ = (1 + v 1 ) e ku 1 kan ette omskrives som Dette kan integreres til Ve inversjon finnes så at ρ 1 + ρ = arctan ρ = 1 k τ. (7) arctan ρ = φ 0 1 kτ. ρ(τ) = tan ( φ 0 1 kτ). (8) Her er φ 0 en konstant bestemt slik at tan φ 0 = ρ(0) = v 1. Fra ette finner vi for u > 0, e ku = 1 + ρ 1 + v 1 1 = (1 + v1 ) cos (φ 0 1 (9) kτ).

6 Løsning FY345 Gravitasjon og kosmologi, Sie 6 av 6 Ve innsetting i ligningene (3) kan isse integreres til 1 + v t(τ) = 0 + v1 τ τ 1 + v1 0 cos (φ 0 1 kτ ) = 1 + v 0 + v [ 1 k 1 + v1 tan(φ0 ) tan(φ 0 1 kτ)], x(τ) = v τ 0 τ 1 + v1 0 cos (φ 0 1 kτ ) (30a) = v 0 [ k 1 + v1 tan(φ0 ) tan(φ 0 1 kτ)], (30b) y(τ) = 0, (30c) z(τ) = 0. Den siste koorinaten er alleree gitt av ligning (9), (30) u(τ) = 1 k log [ (1 + v 1) cos (φ 0 1 kτ)]. (31)

7 Some expressions which may be of use Geoesic equations The geoesic equations in a geometry with connection coefficients Γ µ νλ are Euler-Lagrange equations ẍ µ + Γ µ νλ ẋν ẋ λ = 0. (3) The Euler-Lagrange equations for a fiel theory escribe by the Lagrangian L = L(ϕ a, µ ϕ a, x) are ( ) L µ = L. (33) ( µ ϕ a ) ϕ a The corresponing equations for point particle mechanics is obtaine by restricting µ to only a time erivative /t. Nöther s theorem Assume the action is invariant uner the continuous transformations ϕ a ϕ a + ε δϕ a + O(ε ), more precisely that L L + ε µ Λ µ + O(ɛ ) uner this transformation. Then there is an associate conserve current, J µ = L ( µ ϕ a ) δϕ a Λ µ. (34) I.e., µ J µ = 0. The corresponing expression for point particle mechanics is obtaine by restricting µ to only a time erivative /t.

8