Tema i materiallære TM05: Brudd i materialer. Sprøtt og seigt brudd. HIN Industriteknikk RA

Transkript

1 Side 1 av 1 Tema i materiallære TM05: Brudd i materialer Sprøtt og seigt brudd Introduksjon I dette kompendiet skal vi starte med å se på betegnelsene sprøtt og seigt. Vi ser for oss glass som et sprøtt materiale og duktilt stål som et seigt. Is er også et sprøtt materiale, mens trevirke virker seigere. Hva legger vi i ordene sprøtt og seigt? Det har åpenbart ikke direkte med hardhet å gjøre. F s Det krever arbeid å bøye metall, en kraft må virke over en viss strekning. Metallet er seigt. Figur 1 Bruddsituasjoner Glass brekker plutselig, det kreves kun en kraft som virker over en kort strekning. Glasset er sprøtt. Det samme gjelder is. Det krever arbeid å brekke trevirke, en kraft må virke over en viss strekning. Trevirket virker seigt. Brudd og arbeid Når vi brekker friskt trevirke, kommer ødeleggelsene gradvis. Noen fibre brister, noen glir i forhold til hverandre. Forsøker vi å bøye is eller glass, knekker det helt plutselig. Et duktilt metall så som aluminium bøyes svært mye før det brister. Vi kan endog bøye det frem og tilbake flere ganger. Når materialet i en konstruksjon bøyes, påfører vi en viss kraft som virker en viss veistrekning. Dette blir et arbeid, A = ( F s), der F er en kraft og s er en vei. Størrelsene er satt i parentes fordi vi ikke uten videre kan gange dem sammen da kraften øker gradvis med deformasjonen. Poenget er likevel at vi multipliserer to tall hvorav ingen av dem er null. Dersom bruddet kommer etter en meget kort vei, skal det kun et lite arbeidet til for å gi brudd. Dersom vi må bøye mye, kommer bruddet først etter en lang vei, og arbeidet som skal til for å gi brudd er større. Arbeidet som skal til for å gi brudd er viktig.

2 Side av 1 Vi har målt bruddarbeidet i laboratorieoppgaven om slagseighet (Charpy-prøving). Der så vi at det samme stålet krevde stort bruddarbeid ved vanlige temperaturer, mens bruddarbeidet var lav ved meget lave temperaturer. Dette bruddarbeidet ble målt for prøvestykker med helt bestemt form og størrelse. I konstruksjoner er et sprøtt material et material som får et plutselig brudd. Et seigt material har en deformasjon før bruddet kommer. Et seigt metall har en plastisk deformasjon før bruddet kommer. Når vi former metall, kaller vi det sprøtt eller skjørt dersom det sprekker. Eksempelvis kan en valset metallplate som sprekke i kantene, en presset metallplate kan sprekke i de dypeste utformningene. Sprøe og seige materialer kan også illustreres med spenning-tøyningsdiagrammer, Figur. ε ε Spenning tøyning ved sprøtt brudd (alle typer materialer). Bruddet kommer i det elastiske området Figur. Spenning tøyningsdiagram for sprøtt og seigt brudd. Spenning tøyning ved seigt brudd (i et metall). Bruddet kommer utenfor det elastiske området, etter at det har vært plastisk deformasjon Dannelse av sprekk, overflateenergi Når materialet rives i stykker, kreves det energi, E. Ikke bare for å starte bruddet, men også mens bruddet forplanter seg gjennom materialet. Prøv å rive i stykker et ark papir. Det må opprettholdes en viss, liten kraft til for å få papirfibrene til å slippe hverandre langs bruddet, og det er lett å se at bruddet forplanter seg. Tenk deg at du gjør det samme med en gummihinne. Det krever mye større kraft og dermed også større arbeid. Vi kan si at bruddkraften utfører et arbeid for å få frem ny overflate. Denne overflaten er i alt lik O = t a, der t er tykkelsen og a er sprekkens lengde. Hvis vi dividerer tilført energi med ny overflate får vi et tall som uttrykker energi pr E E flateenhet ny flate, E O = =. Vi kan like godt regne med sprekkareal, da det alltid blir O ta E 1 to flater i en sprekk. Energi per arealenhet sprekk blir: G = EO G =. Jo større tallet ta G er, jo mer energi kreves det for å rive opp en gitt sprekk. Denne verdien G kalles materialseigheten og er både knyttet til dannelsen av ny flate og til evt. endringer i materialet nær sprekken. I et metall flyter materialet i en viss avstand fra sprekken. I et fibret material vil

3 Side 3 av 1 fibrene vanligvis flytte seg og gli mot hverandre. Dette krever energi. Vi kan ikke måle materialkonstanten G direkte fordi vi ikke har kontroll over hvor mye material som påvirkes. Vi kommer tilbake til dette senere, men ser foreløpig på et par andre ting, bla. de elastiske deformasjonene nær sprekken. Nå kommer en viktig forskjell mellom papir og gummi. Papiret tøyer seg ikke (merkbart) før det går i stykker. Det gjør gummihinna. Etter bruddet trekker gummihinna seg sammen igjen. Sammentrekningen gir oss energi tilbake, vi måtte ha brukt en kraft hvis vi vil holde gummien i samme posisjon som der bruddet kom. For gummihinna blir totalregnskapet E tot = ( F s) = G + Eel, der altså G er sprekkdannelsesenergi og E el er elastisk energi. Hvis vi slipper gummihinna etter bruddet, vil den sprette tilbake slik at de to restene til sammen er like brede som gummihinna var før vi begynte å dra i den. Den elastiske energien går ut av materialet igjen og samlet anvendt energi blir E = G + E E = G. tot el el Hurtig brudd Hvis vi spenner opp en gummihinne vil den inneholde elastisk energi. Den elastiske energien kan vi få ut ved å kappe gummihinna i to. Det koster energi å skjære i gummihinna. En av to ting kan skje når vi skjærer et lite snitt i den oppspente gummihinna: 1) Vi bruker en del energi på å (skjære) skape sprekken og den frigjorte elastiske energien er for liten til å drive sprekken videre. Tilstanden er da stabil, og sprekken blir ikke større enn man lager den med kniven. ) Vi bruker energimengden på å skape sprekken, og den frigjorte elastiske energien er større per lengdeenhet ytterligere sprekk, enn det som kreves for å rive en lengdeenhet ny sprekk. Denne situasjonen er ustabil, og sprekken vil vokse av seg selv, drevet av den frigjorte elastiske energien som kom fra oppspenningen. Dette kalles en hurtig brudd. Det er det samme som skjer i et hurtig brudd i en strekkstav av glass. Glasset har ingen evne til plastisk deformasjon eller til å absorbere energi ved andre typer friksjon i materialet, G - verdien er liten. Når den elastiske energien går ut av staven i området nær starten av bruddet, vil den frigjorte energien drive sprekken videre. Et metall absorberer energi gjennom plastisk deformasjon i sprekkspissen, G -verdien er stor. Det blir da en kamp mellom avgitt elastisk energi og absorbert energi i dannelse av sprekk - pr lengdeenhet, som avgjør om sprekken er stabil og ikke utvider seg uten ytterligere last, eller om den er ustabil, og går videre uten at lasten økes, drevet av den frigjorte elastiske energien. Oppgave: En ballong blåses opp og en nål stikkes gjennom gummihinna. Benytt begrepene sprekkdannelsesenergi og elastisk energi og forklar hva som skjer når nåla stikkes i a) en løst oppblåst ballong og b) en hardt oppblåst ballong. I et seigt brudd må belastningskreftene stadig utføre nytt arbeid gjennom hele bruddet. I et sprøtt brudd forplanter sprekken seg hurtig, kun drevet av den elastiske energien som allerede er ladet inn i materialet med lasten. Bruddforplantningen går med en hastighet bestemt av materialets elastiske akselerasjon, dvs. nær lydhastigheten i materialet, altså mange tusen meter pr sekund. Herav betegnelsen hurtig brudd.

4 Side 4 av 1 Det er viktig å merke seg at vi kun har omtalt strekkspenninger. Trykkspenninger gir også oppladet elastisk energi, men frigitte trykkspenninger vil trykke materialet sammen, det gir naturligvis ikke hurtig brudd Om bruddanvisning. Vi tenker oss en plate som skal bære en viss strekklast i sin lengderetning. Hvis vi lager et hakk midt på platen, og fortsatt regner med at kantlasten er jevnt fordelt, vil vi få en konsentrasjon av spenningene omkring hakket, Figur 3. Helt nær overflaten av materialet må spenningene løpe i overflatens retning. På hver side av hakket må det derfor bli ennå større spenninger fordi de står på skrå i forhold til hovedkraftens retning. Vinkelen innerst hakket får betydning, dvs. både hakkets dyp og radius i r, a -lokal bunnen av hakket bestemmer hvor store spenningene blir lokalt. En matematisk analyse av spenningene i bunnen av en sprekk vil gi at den lokale spenningen er a lokal = +, r Figur 3. Spenningskonsentrasjon i en kjerv der er spenningen langt fra sprekken (last delt på areal uten sprekk), a er sprekkens dyp og r er radius i bunden av sprekken. Den lokale spenningen i bunden av sprekken er et utrykk for en bruddanvisning, også kalt en kjervvirkning. Kjervvirkningen er større jo mindre radius i sprekkspissen er. Et metall kan flyte, og det vil flyte først i bunden av en sprekk. Et sprøtt material kan ikke flyte, og en oppsprekking vil gi en liten bunnradius. Vi ser at r 0 lokal. Den minste radius man kan tenke seg i bunnen av en sprekk, må være omkring et par atomdiametre. En kjerv i glass har veldig sterk kjervvirkning, selv et lite riss (liten verdi på a) og moderate spenninger vil gi meget store lokale spenninger, dvs. at sprekken får meget stor inntrengningsevne. Det utnyttes når vi skjærer i glass. I duktilt metall vil selv en meget spiss sprekk bli avrundet straks flyting oppstår i sprekkspissen, se Figur 4. Kun dype sprekker vil hindre at det oppstår flyt i hele metallstykket. Plastisk flyt minsker sprekkens inntrengningsevne. Det samme gjelder dersom en sprekk treffer armeringsfibre og partikler i kompositter. En glassfiberarmert plast vil være langt mindre utsatt for sprøtt brudd enn glass eller plast alene. Gummi vil heller ikke være sprekkfølsom fordi materialet strekker seg og avrunder sprekkspissen. Dette utnyttes når man lager ekstra Figur 4. Et metall flyter i sprekkspissen τ τ

5 Side 5 av 1 seige plastmaterialer som ikke skal være stive. Disse består av plast med små gummipartikler. En evt. sprekk vil raskt treffe gummipartikler som strekkes, og sprekken mister sin inntrengningsevne. Metaller har evnen til å være seige. Men dersom man herder dem og øker fastheten, duktiliteten minsker og man utfordrer seigheten. Fastheten i metallkomponenter som skal strekkbelastes må derfor aldri bli høyere enn at man sikrer seg et duktilt brudd. Fraktografi Undersøkelse av bruddflatene på metaller kalles fraktografi. Man kan ikke bedømme om det har vært sprøtt eller seigt brudd med det blotte øye. Man kan heller ikke bruke optisk mikroskop fordi bruddoverflaten er ujevn og et optisk mikroskop har svært liten dybdeskarphet. Men man kan bruke et Sanning elektronmikroskop, SEM, for å betrakte bruddflatene, se Figur 5. Et Sanning elektronmikroskop sender en svært tynn elektronstråle mot prøven. Strålen har langt høyere energi enn lys og dermed kortere bølgelengde. Strålen skanner over prøvestykket og elektronrefleksen plukkes opp av en detektor. Signalet fra detektoren sendes til en skjerm og styrer en signalstråle. Signalstrålen skanner over skjermen synkront med elektronstrålen som treffer prøven. Forstørrelsen oppstår idet en liten bevegelse av elektronstrålen på prøven avbildes med en stor bevegelse på skjermen. Sterke og svake reflekser fra prøven gjenspeiles i signalet på skjermen. Seigt brudd med dimpler. I de største dimplene ligger det inneslutninger som har utløst bruddet lokalt. Sprøtt brudd, eller kløvningsbrudd. Bruddet starter i skruedislokasjoner som går sammen i et "elvemønster". Kløvningen har skjedd oppover mot høyre. Figur 5. Fraktografier Bruddseighet I dette kapittelet skal vi komme frem til en materialparameter som uttrykker tendensen til hurtig brudd.

6 Side 6 av 1 Vi trenger et uttrykk for denne elastiske energien. Betrakt en fjær: F = kx, der F er fjærkraften, x er utvidelsen og k er fjærkonstanten. Lar vi fjæra være et massivt material med tverrsnitt A, kan vi dividere med A, og vi får Hooke s lov for materialer: = E ε, der er spenningen, E er elastisitetsmodulen og ε er tøyningen. Fra Hooke s lov for en fjær har vi arbeidet for å spenne en fjær slik: da = kxdx A = kxdx = 1 kx. Vi ser igjen på et massivt 1 material og får tilsvarende U el = Eε =, der U el er elastisk energi pr volumenhet av E materialet med elastisitetsmodul E som påføres spenningen og får tøyningen ε. Når et elastisk material belastes med spenningen lades det med en elastisk energi pr volumenhet som er U el = E Betrakt en plate med bredde b og tykkelse t, Figur 6. Det er en sprekk i platen med dyp a. Platen påkjennes av en strekkspenning. Sprekken er liten slik at spenningen overalt, F unntatt helt nær sprekken, er =. Anta at sprekken vokser A med verdien da og at materialet har en materialseighet G. Da vil denne sprekkveksten absorbere energimengden deriv = Gt da Vi antar så at det ikke er elastiske spenninger i en halvsirkel omkring sprekken med radius lik sprekkdybden. Den avspente halvsirkelen utgjør manglende energi med størrelse: πa E el = t E Når sprekken vokser, øker også området som er avspent og den elastiske energien som går ut av materialet er: de el = πat da E Tilstanden er kritisk med fare for hurtig brudd når deriv = deel πatda = Gtda E 1 πa = EG Det siste uttrykket omskrives til Φ πa = EG der Φ er en geometrifaktor. Geometrifaktoren avhenger av sprekkens utformning i den belastede komponenten. Den avspente sonen er egentlig ikke en halvsirkel. En nøyere beregning må til for å korrigere for en gradvis overgang fra full spenning (langt fra sprekken ) og til ingen spenning (i kanten over og under sprekken). For en bred, tynn plate med hakk i kanten, dvs. t<<b og a<<b fås da Φ = 1. da b a t a Figur 6. Bruddmekaniske størrelser

7 Side 7 av 1 Størrelsen EG inneholder E-modulen og den oppsprekkingsenergien G. Da den siste størrelsen ikke kan måles isolert (se over) snur man på problemet og setter opp en sammenhørende verdi for spenning og sprekkdyp som gir hurtig brudd. K = Φ πa Størrelsen K på høyre side en materialkonstant og størrelsene på venstre side kommer fra sprekkens geometri. Verdien av K kan finnes slik: Vi har et prøvestykke med gitt sprekk a og øker gradvis spenningen. Anta at det blir et hurtig brudd ved verdien. K beregnes av: K = Φ πa og beregnes materialets bruddseighet. Bruddseigheten måles i 3 - MPa m eller MNm. Noen typiske verdier for K er. Kobber HSS-stål Gass 350 MPa m 50 MPa m 0,7 MPa m For en gitt belastning og sprekkgeometri kan vi regne ut K = Φ πa. Verdien K betegnes spenningsintensitetsfaktoren og forteller hvor intenst spenningene påvirker materialet i sprekkspissen ved en gitt belastning og geometri. Det blir hurtig brudd dersom spenningsintensitetsfaktoren i en sprekk er større materialets bruddseighet, altså dersom K > K. Videre studier av bruddseighet og spenningsintensitetsfaktorer ligger i fagområdet bruddmekanikk. For forskjellige sprekkgeometrier (overflatesprekk i plate, sprekk i rund aksel, sprekk i rør osv.) kan faktoren Φ beregnes. I mange tilfeller er den nær 1. K verdien for materialer måles med en såkalt COD-test (rak opening displaement). En av vanskelighetene er at godstykkelsen må være stor i forhold materialets flyteevne for å oppnå en tilstand i sprekkspissen slik at materialet ikke synker inn pga. for stor plastisk sone. Ved duktile materialer kreves det typisk platetykkelser på mm, noe som igjen krever svært store prøvingsmaskiner. Dersom man måler K verdien for gitte, duktile plater, vil man finne at tynne plater er seigere enn tykke. Dersom man gradvis øker platetykkelsen, vil K verdien avta til den til slutt når en verdi som ikke lenger varierer med platetykkelsen. Denne konstante verdien betegnes K I, og er den virkelige materialkonstanten, som kun avhenger av materialet. K verdien er altså egentlig bare en konstant for en gitt platetykkelse i et gitt material. I eksamenspensum vil vi likevel ikke skille mellom K og K I. Ved praktisk anvendelse av bruddmekanikk omregnes en skade (for eksempel en korrosjonsskade i en trykktank) til en tenkt sprekk som går tvers gjennom platen, og som har samme bruddmekaniske virkning. Dette kalles en ekvivalentsprekk. Omregning fra en gitt skade til en ekvivalentsprekk gjøres etter innviklede regler og baserer seg både på forsøk og teorier. I regneoppgaver skal vi regne direkte med de oppgitte tallene uten å tenke på hva slags sprekk det i virkeligheten kan være.

8 Side 8 av 1 Eksempel. En pressdigel benyttes for å presse pulverråstoff sammen før sintring til hardmetall (til skjæreverktøy). En slik pressdigel skulle dimensjoneres for et trykk på p = 600 MPa, men sprakk ved a halvparten. Digelen var laget av et herdet stål. Ved skadeundersøkelse fant man at hardheten var HV=61. Et grovt overslag gir at HV=61 kp/mm MPa og flytegrensen kan settes til a. 1/3 av hardheten, dvs. f 000 MPa. Konstruksjonen er et tykkvegget rør. Fra formelverk finner man at spenningen i veggen som funksjon av radius er r r0 ( r) = 1 1 ri r0 Digelen har dimensjonene: Indre diameter r i = 6,4 mm og ytre diameter r 0 = 38 mm Maksimal spenning finner vi ved r = r i, da er = 1, 06 p Med en sikkerhetsfaktor på 3 får vi at tillatt trykk kan være f p tilatt = = 630 MPa 1,06 3 altså dette skulle være OK ut fra dimensjonering på bakgrunn av flytespenning!. Årsaken til bruddet ligger i bruddmekanikken. Det ble funnet en liten sprekk med dyp 1, mm. Det meget harde stålet kan typisk ha en bruddseighet på K = MPa m. Siden det ble et brudd må spenningsintensitetsfaktoren ha vært større enn bruddseigheten, K > K. Vi setter Φ = 1 og sprekken blir kritisk når K = K 1 1,06p πa = K π 1, 10 p = 338 MPa 3 = Ifølge bruddmekanikken kan vi vente et hurtig brudd ved 338 MPa, altså omtrent som observert, og vi har funnet forklaringen på bruddet. Stålet var herdet til alt for høy hardhet og dermed for lav K verdi, og det var for store sprekker. Sprekkene kan ha kommet fra bråkjølingen i herdeprosessen. Vi må anløpe til lavere hardhet. Da synker også fastheten men vi trenger ikke sikkerhetsfaktoren 3 på fastheten, når konsekvensen er at metallet blir for sprøtt! Alternativt kan vi anvende et annet stål, for eksempel HY100 med K = 150 MPa m og f = 1500 MPa.

9 Side 9 av 1 Oppgave: En hardt belastet plate i høyfast stål har flytegrense R p = 950 MPa. Platen undersøkes med røntgen, som kan detektere sprekker ned til a = 1 mm. Materialet har K verdi på 55 MPa m. Sett Φ = 1. a a) Røntgen viser ingen sprekker. Kan det likevel være fare for hurtig brudd? b) Belast platen til ½ R p. Hvor stor er den største sprekken som kan tolereres dersom sprekken befant seg midt i en plate? Løsning: a) K = Φ πa = π = 53, 8 MPa m 53,8 < 55, det holder akkurat 950 b) K = Φ πa = 1 πa = 55 a = 4,7 mm Det kan maks. tolereres a = 8,5 mm Utmatting Det er vel kjent at en komponent som utsettes for vekslende belastning etter en stund kan få et brudd. Denne type brudd kalles utmatting. Noen av de mest kjente arbeider innen utmatting ble utført av den tyske ingeniøren Wöhler. En prøvestav plasseres i en spindel og belastes med et lodd som henger i et kulelager. Prøvestaven er da å betrakte som en bjelke med endelast og fast innspenning. Siden den roterer, vil spenningen i de ytterste delene variere mellom strekk og trykk. Ved hjelp av formler fra mekanikken kan man beregne spenningen i staven. MPa utmattingsgrense Wöhlerkurver Levetida avtar naturligvis med økende belastning. Lasten plottes mot logaritmen til antall lastvekslinger som ga brudd, og vi får en såkalt Wöhlerkurve Figur 7. Wöhlerkurve

10 Side 10 av 1 Miners prinsipp for kumulativ skade Utmattingsproblemer kan generelt behandles med Miner's prinsipp for kumulativ skade. k i= 1 ni N i = 1 n i Denne formelen forteller at komponenten får en skadeandel på, der ni er antall lastveksler Ni ved en gitt last og N i er antall lastveksler komponenten maksimalt tåler ved denne lasten. Summen av alle delskadene er 1. Oppgave Det er kjent fra forsøk at en komponent tåler følgende antall lastveksler Last [kn] antall Dersom en komponent har fått lastveksler ved 100 kn, ved 150 kn. Hvor mange lastveksler vil den da kunne tåle ved 00 kn? svar: n + 10 rest 4 = 1 n rest = 10 3 lastvekslinger For metalliske komponenter uten målbare defekter, skiller man mellom to typer utmatting, nemlig lavsyklus-utmatting og høysyklus-utmatting. Ved lavsyklus-utmatting skjer skadeutviklingen ved omfattende plastiske deformasjoner, og bruddet kommer vesentlig før 10 4 tøyningssykler. Ved høysyklus-utmatting kommer bruddet vesentlig etter 10 4 spenningssykler. I begge tilfeller er det mulig å påvise at det er steder i metallet som undergår plastiske deformasjoner. I tilfellet høysyklus-utmatting er de plastiske deformasjonene begrenset til mikroskopiske områder, mens det for lavsyklus-utmatting er plastiske deformasjoner som forplanter sig fra korn til korn gjennom komponenten. Striasjoner / rastlinjer De plastiske deformasjonene ved utmatting av metaller kan påvises i elektronmikroskop. Der ses de som striasjoner.

11 Side 11 av 1 Figur 8. Striasjoner / rastlinjer. Bilde av striasjoner fra belastet aksel. Det har egentlig vært to forskjellige utmattingsfrekvenser. SEM-foto Striasjoner oppstår i forbindelse med sprekker i et metall. Følgende er en vanlig forklaringsmodell, se figuren under. Figur 9. Spekkvekst ved lastvekslinger Anta at vi har en sprekk i metallet (a). Ved belastning med strekk åpner sprekken seg og flyter i bunnen, (b), (). Ved avlastning og evt. trykk, lukker den seg, (d), (e). Flytemekanismene gir herdevirkning. Ved ny strekkbelastning av det deformasjonsherdede området (f), blir det stor spenningskonsentrasjon, og sprekken trenger seg lett gjennom det harde området inn til nytt material, som nå deformasjonsherder, og en syklus er fullført. Sprekken sprer seg trinnvis innover i materialet for hver lastveksling, vinkelrett på fremherskende spenningsretning og etterlater seg merker som kan ses som striasjoner. Den tiden det går før det er mulig å oppdage en sprekk, kalles initieringsfasen. For maskindeler utgjør dette det meste av levetida. I initieringsfasen er det ikke mulig å påvise skade. Initieringsfasen i metaller forklares ut fra at det alltid finnes defekter som virker som mikrosprekker i materialet. I mikrosprekkene vil lokale spenningskonsentrasjoner forårsake mikroplastisk flyting. I initieringsfasen er defektutviklingen knyttet til de krystallografiske orienteringene og skjer flere steder av gangen. En av disse vil på et gitt tidspunkt få en størrelse som danner en voksende sprekk, slik som omtalt over.

12 Side 1 av 1 Bruddmekanisk sprekkvekst I grovere konstruksjoner kan man finne målbare defekter. Defektene kan registreres med røntgen, ultralyd eller andre NDT-metoder. Når sprekkens størrelse er fastlagt, kan den resterende levetida beregnes ut fra bruddmekanisk metode. Vi regner da med at sprekken vokser iht. Paris lov da dn = C ( K ) m da der er sprekkvekst pr spenningsveksling dn C og m er konstanter for materialet K er veksling i spenningsintensitetsfaktor, dvs. K = Φ πa I den siste formelen er speningsvekslingen, = makx min. De andre størrelsene har vi fra bruddmekanikken. Når sprekken når verdien a får vi et hurtig brudd idet a løses ut av K = Φ π a Anta at vi finner en sprekk med dyp a 0. Restlevetida er tida det tar sprekken å vokse fra a 0 til a. Uttrykt ved antall spenningsvekslinger er det: N f = N f 0 dn = a da ( K ) 1 = ΦC a da m m m m a C π 0 a0 a konstanten m er oftest et helt tall, og integralet blir da relativt enkelt å beregne. Dette tas ikke med til eksamen i år.