Styrkeberegning: grunnlag

Transkript

1 Kompendium / Høgskolen i Gjøvik, 0 nr. Styrkeberegning: grunnlag Henning Johansen Gjøvik 0 ISSN:

2 grunnlag Henning Johansen

3 side: 0 INNHOLD INNLEDNING 3 BEREGNING AV SPENNINGER GENERELT 4 3 FORHOLDET MELLOM KONSTRUKTIV UTFORMING, SPENNINGER OG FASTHET 5 4 SPENNINGSANALYSE 7 4. Enakset spenningstilstand 7 4. Toakset spenningstilstand Hovedplan Hovedspenninger Maksimum skjærspenning 4.6 Mohr s spenningssirkel 3 5 TVERRKONTRAKSJON VED STREKK OG TRYKK 5 5. Flat stav 5 5. Kube med sider = 6 6 FORMENDRINGSARBEID 7 7 BRUDDHYPOTESER 8 8 KJERVVIRKNING 0 9 MATERIALENES FASTHETSEGENSKAPER 4 9. Statisk belastning 4 9. Dynamisk belastning Utmattingsdiagram Anvendelse av utmattingsdiagram Sikkerhetsfaktor n 35 0 REFERANSER 36 VEDLEGG 37. Øvingsoppgaver 37. Fasit til øvingsoppgaver 4 Copyright 0 Henning Johansen Sist revidert: Henning Johansen side

4 INNLEDNING Dette kompendium er beregnet på personer som er fortrolig med grunnleggende mekanikk og som ønsker å få en grunnleggende innføring i generell styrkeberegning. Det er skrevet ut i fra en serie med forelesninger, og hovedvekten er lagt på gode illustrasjoner. En mer omfattende skriftlig dokumentasjon på deler av fagstoffet finnes i lærebøker som for eksempel i Dahlvig, Christensen og Strømsnes bok, Konstruksjonselementer. Se kapittel 0 Referanser. Som mål har dette kompendium å gi en innføring i hvordan spenninger beregnes generelt. Det gis eksempler på hvor viktig det er for konstruktøren / designeren å tenke konstruktiv utforming. En konstruksjonsdetalj som i utgangspunktet bare blir utsatt for krefter i en retning, vil p.g.a. sin utforming kunne bli utsatt for spenninger i flere retninger. Dette har igjen betydning for materialvalg og dimensjoner. Det gis eksempler på hvordan dynamiske krefter gir andre spenningsresultater enn statiske krefter. Ut ifra en grunnleggende spenningsfastsettelse vises det hvordan en matematisk kan sette opp et sett med ligninger som uttrykker de største normal- og skjærspenningene som opptrer i en konstruksjonsdetalj. Det vises også hvordan de samme spenningene kan løses grafisk. Ut ifra de maksimale spenningene som opptrer diskuteres de vanligste spenningshypotesene. Det vises hvordan vi generelt kan sette sammen forskjellige kjente eller utregnede spenninger til en ny sammensatt tenkt spenning som påvirker materialet like sterkt. Denne spenningen danner utgangspunkt for valg av materiale og dimensjon. Det er også vist hvordan materialer ved belastning oppfører seg med hensyn på forlengelse og kontraksjon. Det vises med bruk av eksempler hvordan kjerver (hull, avtrapninger, spor, etc.) virker inn på spenningene. Det vises også hvordan forholdet mellom nominell- og maksimal spenning varierer med forskjellige konstruktiv utforming av kjervene. Nominell spenning er beregnet teoretisk, og maksimal spenning er virkelig opptredende spenning. Videre vises det hvordan materialenes indre oppbygging, indre kjerver, virker inn på spenningene i en konstruksjonsdetalj. Siste del av dette kompendium tar for seg materialenes fasthetsegenskaper med stor vekt på detaljer utsatt for dynamisk belastning. Det vises eksempler på brudd, hvordan utføre tester, hvordan behandle testresultater og hvordan kontrollere en konstruksjonsdetalj på utmatting. Det vises bruk av Wöhler- og Smith-diagrammer, hvordan sette opp diagrammene og hvordan benytte de for å kontrollere en gitt konstruksjonsdetalj. Til slutt finnes et sett med oppgaver som kan gi leseren forståelse og øvelse av teorien presentert. 0 Henning Johansen side 3

5 BEREGNING AV SPENNINGER GENERELT Hvordan skal vi generelt gå frem ved beregninger? Det vil ofte være lurt å gjøre følgende: Ved konstruksjon, vurder hvilke spenninger konstruksjonen blir utsatt for? Tegn skisse Fastlegg kreftene, er det: - ytre krefter - tyngdekrefter - dynamiske krefter (eks. sentripetalkrefter) F Fra figuren: tan=e=/ε F mg Figur. Skisse. Beregn spenningene Vi: - forutsetter at konstruksjonsdetaljen utsettes for elastiske spenninger og at Hooke's lov gjelder: E=/ε F3 ε ε Figur. Spenning - tøyning ved strekkprøving. hvor: E = Elastisitetsmodul = spenning ε = tøyning L/L - gjør forenklinger hvor det er uregelmessighet i spenningene - benytter noen ganger tilnærmede løsninger - benytter standarder, f.eks. NS, som bygger på erfaringer - benytter noen ganger overslagsberegninger Velg materiale Fastlegg dimensjonene: - ta hensyn til belastningstypen, er den: - statisk - dynamisk - vær nøye med den konstruktive utformingen 0 Henning Johansen side 4

6 3 FORHOLDET MELLOM KONSTRUKTIV UTFORMING, SPENNINGER OG FASTHET En konstruksjons styrke er i vesentlig grad bestemt av dens geometriske form. Forandres formen, forandres også de opptredende spenningers størrelse og fordeling. Figuren til høyre viser hvordan bruddfastheten og flytegrense ved strekk og bøyning endrer seg ved forskjellige (like store) tverrsnittsarealer. Selv om de ytre krefter i og for seg skulle gi enakset spenningstilstand, kan konstruksjonens form gi krefter også i andre retninger. Det oppstår da en flereakset spenningstilstand. Under innvirkning av en slik penningstilstand kan et ellers seigt materiale opptre som om det er sprøtt. Figur 3. Prøvestaver med samme tverrsnittareal, med forskjellig form på tverrsnittet og utsatt for strekkbelastning. Denne figuren viser at konstruksjonsdetaljer med inndreide spor (kjerver) gir fasthetsøkning når utsatt for statisk belastning og fasthetsreduksjon når utsatt for dynamisk belastning. Minste tverrsnitt, diameter er den samme i begge prøvestavene. Figur 3. To glatte prøvestaver med og uten inndreid spor utsatt for statisk og dynamisk belastning. Prøvestavene har samme minste diameter, d. 0 Henning Johansen side 5

7 Figuren til høyre viser primærspenningene y som er forårsaket av den vertikale strekkraften P. Sekundærspenningene x og z er forårsaket av tverrkontraksjonen. En lengdeformasjon er alltid forbundet med en tverrdeformasjon (kontraksjon). Da materialet til venstre utenfor bunnen av kjerven ikke overfører noen krefter, vil dette materialet ikke deformeres og heller ikke avlaste det sterkt anstrengte materiale i skårets bunn. Formendring hindres av det ikke belastede materialet og derfor oppstår det en flerakset spenningstilstand. Det vil i nærheten av en bruddanvisning (kjerv) med en ytre enakset spenningstilstand oppstå en flerakset spenningstilstand. Figur akset spenningstilstand i bunnen av en kjerv i en prøvestav. Spenningene i figuren er vist i midten av staven, Z = 0. Ved sideflatene, Z = ±T/, kan ingen spenninger opptre vinkelrett på flatene. z = 0, dvs. -akset spenningstilstand. Jo lenger vi forflytter oss fra sideflatene, jo større muligheter har det omkringliggende materialet til å forhindre en tverrkontraksjon, og z øker. Figuren til høyre viser prøvestaver med kjerv ( og 3) sammenlignet med en glatt prøvestav (). Alle er utsatt for strekkspenning. Figur 3.4 Spenning - forlengelse diagram for forskjellige prøvestaver av bløtt stål. Alle prøvestavene har samme minste diameter, d = 0mm. 0 Henning Johansen side 6

8 4. SPENNINGSANALYSE 4. Enakset spenningstilstand Vi ser på en strekkstav utsatt for bare strekkspenning i vertikalplanet, se figuren under. Vi tar ut et vilkårlig element i staven som vi forstørrer opp (figuren til høyre). F strekkspenning = F A snittflate A A F vilkårlig element B C Figur 4. Enakset spenningstilstand. Vi tegner inn en vilkårlig flate AC i en vinkel med vertikalplanet AB. Vi setter t = tykkelse av element. På flaten AC vil det virke spenninger parallelt, skjærspenning, og vinkelrett normalspenning, For å lage ligninger for disse spenningene, summerer vi krefter i og retning (kraft = spenning x areal): ΣF = 0 ( AC t) ( BC t) sin = 0 BC = sin = sin sin AC = sin Fra ligning : = når =90 0 =0 når =0 0 ΣF ( AC t) ( BC t) = = = 0 BC AC cos = sin cos sin cos = 0 Fra ligning : =/ = maks når =45 0 =0 når =0 0 0 Henning Johansen side 7

9 4. Toakset spenningstilstand Vi kan benytte en trykkbeholder som eksempel. Trykket i beholderen vil fordele seg likt i alle retninger. Det vil nå virke spenninger på et vilkårlig valgt element i x-og y-retning. Vi legger også her inn et vilkårlig valgt plan AC i en vinkel med vertikalplanet AB. vilkårlig element p p x y yx xy x x A y x xy yx y xy = yx = Figur 4. Toakset spenningstilstand. B y C Vi setter arealplan AC = AB = cos BC = sin Summerer så krefter i og retning (kraft = spenning x areal): ΣF = 0 x ( cos ) cos y( sin ) ( cos ) sin ( sin ) cos = 0 = x cos + y sin sin + sin cos = = x + cos + cos + sin ( + ) + ( ) cos + sin x y x y y ΣF = 0 + x ( cos ) sin y( sin ) ( cos ) cos + ( sin ) sin = cos 0 = ( ) sin cos x y ( sin = sin cos, cos = cos sin, sin + cos = ) 0 Henning Johansen side 8

10 4.3 Hovedplan Hovedplan er definert som plan hvor = 0 Ligning : Setter = 0 og ordner ligningen for å få et uttrykk for : = ( x y ) sin cos = 0 sin = cos tan = ( ) ( ) x x y y Ligningen for kan vises som trekanten i figuren til høyre. ( ) x y Figur 4.3 tan. Ligningen gir løsninger av : og Dette tilsvarer: = og = hovedplan er plan rettvinklet på hverandre x 90 0 = 0 y Figur 4.4 Hovedplan er plan som står 90 0 på hverandre og hvor det ikke er skjærspenninger. 0 Henning Johansen side 9

11 4.4 Hovedspenninger Hovedspenninger er normalspenninger (strekk eller trykk) som opptrer på hovedplanene. Ligning : = ( + ) + ( ) cos + sin x y x y Figur 4.5 sin og cos. ( ) + x y 4 ( ) x y sin cos ( x y ) + ± ( ) + 4 ( ) = ( x + y ) + ( x y ) ± x y = ( x + y ) ± ( x y ) + 4 = maksimum og minimum verdiene av normalspenningen x y + 4 maks. = ( x + y ) + ( x y ) + 4 min. = ( x + y ) ( x y ) + 4 min. Figur 4.6 Hovedspenninger er normalspenningene som opptrer på hovedplanene. x 90 0 = 0 maks. y 0 Henning Johansen side 0

12 4.5 Maksimum skjærspenning Vi skal nå finne et uttrykk for største skjærspenning maks. Vi tegner inn et vilkårlig element som har sider tilsvarende hovedplanene og tegner inn et vilkårlig plan i vinkel fra sidekanten AB. y Opprinnelig element x A () C x maks. B min. Vilkårlig element med hovedplan som sider. AB og BC er hovedplan hvor = 0 y Vi tar for oss element A-B-C. Vi setter arealplan AC = AB = cos og BC = sin Summerer så krefter i retning (kraft = spenning x areal): ΣF = 0 + = maks cos sin ( ) sin maks min min sin cos = 0 maks. A B C min. Figur 4.7 Element med hovedspenningene som sider. = maks når = 90 0 = 45 0 dvs. på plan 45 0 i forhold til hovedplanene. maks = ( maks min ) maks = ( x y ) + 4 (fra og ) 0 Henning Johansen side

13 Figuren under viser elementet med retningen til noen hovedplan og hovedspenningene, min. og maks. samt plan med maksimal skjærspenning maks. y min. maks. maks. x () 45 0 Hovedplan x maks. =0 min. y Figur 4.8 Element med inntegnet element som viser hovedplan og hovedspenninger min. og maks.. Elementet viser også at maks. har en retning på 45 0 i forhold til disse. 0 Henning Johansen side

14 4.6 Mohr s spenningssirkel Dette er en grafisk løsning av ligningene, og. Ligning for maksimal skjærspenning tilsvarer radius i en sirkel. maks. maks. min. = = = ( ) ( + ) + R ( + ) R x x x y y y + 4 = x y + = R y, R maks. Figur 4.9 maks. = R x, x C y ( ) + x y 4 A maks. ( x y ) R B min. ( + ) x y D ( ) + x y 4 maks. Figur 4.0 Mohr s spenningssirkel. 0 Henning Johansen side 3

15 METODE for løsning, hvordan tegne Mohr s spenningssirkel: Tegn først aksekors med på x-aksen og på y-aksen ) Hvis x, y og er kjent (vanligvis): - Avsett punkt A ( x, ) og B ( y, ) - Slå en sirkel med AB som diameter - Les av maks. (pkt. ) og min. (pkt. ) og maks. Mål vinkel eller ) Hvis maks. og min. er kjent: - Avsett maks og min. (pkt. og ) - Slå en sirkel gjennom pkt. og - Beregn. Tegn AB x y ( x,) A maks. R B ( y,) min. maks. Figur 4. Hvordan tegne Mohr s spenningssirkel. 0 Henning Johansen side 4

16 5 TVERRKONTRAKSJON VED STREKK OG TRYKK 5. Flat stav Vi tenker oss en strekkstav som utsettes for en last P eller spenning i vertikalplanet. b 0 Vi definerer: Enhetsforlengelse ε = l l l 0 = l0 l0 b l0 l Tverrkontraksjon b b b b = 0 b0 0 l P, Figur 5. Flat stav utsatt for vertikal last. For elastisk deformasjon gjelder at: b b0 l l 0 = konst. = µ hvor: µ = Poissons tall Tverrkontraksjon b b 0 = µ ε = µ E For elastiske materialer gjelder Hooke's lov hvor ε = /E. tan=e=/ε (Hooke s lov) ε Figur 5. Spenning - forlengelse diagram for sirkulær prøvestav i bløtt stål. 0 Henning Johansen side 5

17 5. Kube med sider = Vi skal nå se på en kube med like sider lik som blir utsatt for en vertikal strekkbelastning. Kuben vil få forlengelse i vertikalretning og kontraksjon i sideretningene. V Vi definerer enhetsvolumøkning = V 0 -µε +ε -µε Figur 5.3 Kube med sider utsatt for vertikal strekkbelastning. Enhetsvolumøkningen: V V V V = 0 V0 V = V 0 ( + ε)( µε)( µε) 0 V ε V 0 ( µ ) = ( µ ) E Poissons tall = µ for noen materialer: V µ = 0,5 for gummi = 0 V µ = /8 - / for betong V µ 0 for kork ε 0 V 0 µ = 0,3 for konstruksjonsstål µ = 0, for støpejern 0 Henning Johansen side 6

18 6 FORMENDRINGSARBEID En strekkstav utsettes for en last P som gradvis øker fra - P l 0 l Arbeid W = Kraft x vei P P P W = l = ε l = l = E W = V E A l E Δl P Figur 6. Formendringsarbeid. Formendringsarbeidet pr. volumenhet, W/V W = V E Formendringsarbeidet pr. volumenhet W/V tilsvarer arealet under spenning forlengelses kurven. W = ε = = V E E ε ε Figur 6. Spenning - forlengelse diagram for sirkulær prøvestav i bløtt stål. 0 Henning Johansen side 7

19 7 BRUDDHYPOTESER En strekkprøvestav med enakset spenningstilstand gir et oversiktlig spenningsbilde. =F/ F brudd maks. =/ 45 0 ε Figur 7. Prøvestav utsatt for strekkbelastning og strekkurve. Ved belastning til brudd vil: Sprø materialer som støpejern, glass, stein, betong vil få et slitebrudd som er grovkornet. Det blir ingen tverrkontraksjon. d 0 Figur 7. Sprø materialer. Fullstendig seige materialer (teoretiske) Disse vil få glidebrudd i et plan hvor = maks (=45 0 ) 45 0 d 0 Figur 7.3 Fullstendig seige materialer Seige materialer (som er det vi vanligvis benytter) som vanlige stål og aluminiumlegeringer vil få kombinert brudd. Bruddet vil inneha litt fra hver av de to bruddene over, bli finkornet og få tverrkontraksjon. d 0 Figur 7.4 Seige materialer. 0 Henning Johansen side 8

20 En konstruksjonsdel er vanligvis påkjent av spenninger som opptrer samtidig i flere retninger (strekk, trykk, vridning, bøyning, skjær) En flerakset spenningstilstand gir et uoversiktlig spenningsbilde hvor det er vanskelig å bestemme hvilke spenninger som fører til flyting eller brudd. Vi forenkler og innfører JEVNFØRENDE SPENNING, j Spenningstilstanden omgjøres til en tenkt enakset normalspenning som påkjenner materialet like sterkt. j kan sammenlignes med materialets flytegrense F og bruddgrense B Det finnes flere forskjellige spenningshypoteser for å angi jevnførende spenning: HOVEDSPENNINGSHYPOTESEN Vi tenker oss at materialet ødelegges når maksimal hovedspenning når F eller B. ( + ) + ( ) + maks. = x y x y 4 Denne passer bra for sprø materialer, for eksempel støpejern SKJÆRSPENNINGSHYPOTESEN ( ) + maks = x y 4 Denne passer forholdsvis bra for seige materialer, f.eks. konstruksjonstål DEVIASJONSHYPOTESEN (formendringshypotesen) Denne sier at formendringsarbeidet p.g.a. skjærspenningene (deviasjonsarbeidet) må holdes under det arbeidet som tilføres en strekkprøvestav ved flyting eller brudd og er definert som: j = maks. + min. maks. min. maks. og min. fra og = ( + ) + ( ) + = ( + ) ( ) + maks. x y x y 4 min. x y x y 4 Innsatt for maks. og min gir: j = x + y x y + 3 Denne er mye brukt, for eksempel for stål og aluminiumlegeringer. 0 Henning Johansen side 9

21 8 KJERVVIRKNING I konstruksjonsdetaljer kan det forekomme flere typer spor, kjerver. Noen eksempler: plate med: rund stang med: hull rundkjerv avtrapping hull rundt spor avtrapping gjenger Figur 8. Eksempler på Kjerver. Vi bruker en rund stang som eksempel og ser først på nominell (teoretiske) spenning ved strekk, bøying og vridning: Nominell (teoretisk) spenning i bunn av kjerven: F 4F Mb 3Mb M v 6M v nom = = nom = = 3 nom = = 3 A πd Wx πd Wp πd hvor: F = strekkraft M b = bøyemoment M v = vrimoment A = areal W x = motstandsmoment om W p = polart motstandsx (horisontal) aksen moment (om origo) Figur 8. Nominelle spenninger. Den virkelige spenningsfordelingen i kjerven er vist i figuren under. Det er også angitt nominell- og maksimal spenning. Vi kan tenke oss at kraften i gjennom materialet fordeler seg som kraftlinjer og følger baner som om det var væskepartikler som strømmer gjennom et rør. Dette er illustrert i den øverste figuren under. Kraftlinjene representerer like stor kraft. Der hvor kraftlinjene ligger tett blir det mindre areal som skal ta opp kraften og spenningen (kraft/areal) blir dermed større. Figur 8.3 Maksimale spenninger. 0 Henning Johansen side 0

22 Maksimal normalspenning i snittet: Maksimal skjærspenning i snittet: maks. = n maks. = n hvor: n og n = nominell spenning = formfaktor Formfaktor tar bare hensyn til formen. Den er teoretisk og forutsetter at materialet er fullkomment elastisk. Antar at Hooke s lov gjelder fullt ut. Formfaktor bestemmes: A) Teoretisk - f.eks. elementanalyser (Finite Elements, FEM) B) Eksperimentelt - tøyningsmålinger - fotoelastiske målinger Eksempel. Fotoelastisk måling i bøyebelastet aksel med avtrapping. En spenningsopptisk modell er laget i et spesielt plastmateriale som blir belyst med polarisert lys. Kraftlinjene fremkommer som fargede isokromlinjer (her vist i svart/hvitt) i materialet. De forskjellige farger og tettheten av linjene forteller om spenningenes størrelse. Figur 8.4 Spenningsoptisk (linjene har farger i virkeligheten). Langs en isokromlinje: - = konstant n hvor: n = isokromlinjens ordningstall Ved kanten (P og Q) gjelder: = 0 Hovedspenningen er proporsjonal med n i punkt Q : n konstant 6,4 (fra fig.) i punkt P : n konstant 9 9,4 6,4 0 Henning Johansen side

23 Eksempler på formfaktor ved ulike belastninger av aksling med avtrapping: Figur 8.5 Eksempler på formfaktorer. Formfaktoren bestemmes ved å regne ut forholdet store diameter / lille diameter = D/d og forholdet kjervradius / lille diameter = ρ/d. Formfaktor avleses på vertikalaksen. 0 Henning Johansen side

24 Formfaktor tar bare hensyn til den ytre formen og benyttes ved beregning av statisk belastede konstruksjoner. Ved beregning av utmattingspåkjente konstruksjoner, hvor belastningen varierer med tiden, innfører vi en kjervfaktor β som også tar hensyn til materialet med evt. innvendige kjerver. Maksimal spenning: maks. = β n hvor: β = kjervfaktor n = nominell spenning Kjervfaktor: β = + η (-) hvor: η = kjervfølsomhetsfaktor. Denne er materialavhengig. Bestemmelse av kjervfølsomhetsfaktor η: - Etter ligningen: η = (Neuber, Kuhn) A + ρ hvor: A = materialkonstant, elementradius, som bestemmes av materialets bruddfasthet, B. (Se figuren under) ρ = kjervradius - Eller etter diagrammet: Figur 8.6 Kjervfølsomhetsfaktor, η. - Eller etter tabell: Materiale η Anmerkning seige materialer 0 lokal flyting i materialet grått støpejern 0 inneholder grafittflak som gir indre kjerver ytre kjerver gir liten virkning herdet og anløpt stål 0,5 herdet stål uten anløping 0,5 fjærstål, herdet,0 Tabell 8. Kjervfølsomhetsfaktorer η. 0 Henning Johansen side 3

25 9 MATERIALENES FASTHETSEGENSKAPER 9. Statisk belastning De fleste materialprøver er utført som statiske prøver: - med langsomt økende last - ved konstant temperatur (0 0 C) - i et normalt inne miljø - over et kort tidsintervall I en virkelig konstruksjonsdel arbeider materialene vanligvis under helt andre forhold: - med varierende belastning - ved lave og / eller høye temperaturer - i et fuktig / kystmiljø - etc. Tabellen under viser noen materialegenskaper for noen materialer ved statisk belastning. Materialtypgrense Flyte- Strekkfasthet Forlengelse E-modul Hardhet Kommentarer (N/mm ) (N/mm ) (%) (N/mm ) (HB) S Varmvalset S konstruksjonsstål, S sveisbart NiMo Seigherdingsstål, seigherdet Cr-Ni-stål Rustfritt stål, rør, plater SjG ,4-0, Grått støpejern, maskin- og motorgods Tabell 9. Mekaniske egenskaper. 0 Henning Johansen side 4

26 9. Dynamisk belastning En konstruksjonsdel utsatt for varierende belastning, utsettes for varierende spenninger. Varierende spenninger over lang tid kan gi utmattingsbrudd ved lavere spenninger enn ved samme tilfelle i statisk belastning. Utmattingsfastheten er lavere enn den statiske fastheten målt ved vanlig materialprøving. a) tannhjul b) aksel Figur 9. Typiske utmattingsbrudd. Utmattingsbruddet (se akselbrudd i figur) brer seg i konsentriske sirkler over tid, og er derfor utsatt for korrosjon. Restbruddet er plastisk uten korrosjonsangrep. Figuren under viser typiske måter å utføre utmattingstesting: Figur 9. Utmattingstesting. a) roterende bøying som viser spenningsvariasjonen over prøvestavens tverrsnitt b) roterende bøying i sylindrisk prøvestav c) varierende aksiell strekk eller trykk. 0 Henning Johansen side 5

27 Figuren under viser spenningsvariasjoner ved utmattingsprøving, for eksempel prøvestav utsatt for varierende strekk / trykk: a = symmetrisk vekslende, maks = min b = utsvingende strekk, min = 0, m = ½ maks c = pulserende strekk d = utsvingende trykk, maks = 0, m = ½ min e = pulserende trykk Figur 9.3 Spenningsvariasjoner. 9.. Utmattingsdiagram Eksempel for Al-legering 04 T36 Legering: Al + 4,5% Cu,,5% Mg og 0,6% Mn Tilstand: Varmutherdet og hardbearbeidet Fasthetsverdier: b = 530N/mm og 0, = 385N/mm Testresultater overført til utmattingsdiagram, Wöhler diagram: Figur 9.4 Wöhler- / utmattingsdiagrammer. Kurvene flater ut ved 0 7 lastveksler som tilsvarer utmattingsgrensen ved de forskjellige m. 0 Henning Johansen side 6

28 Verdiene ved N=0 7 lastveksler overføres fra Wöhler diagrammet til Smith diagram: Figur 9.5 Konstruksjon av et Smith diagram. Tegn aksekors med m og max / min akse og tegn strek-punkt linje i 45 0 igjennom origo. Avsett på denne linjen m og avsett så max og min. Figur 9.6 Smith diagram med inntegnet linje igjennom max og min som er ferdig avsluttet ved materialets flytegrense, 0,. 0 Henning Johansen side 7

29 Forenklet utmattings- (Smith-) diagram For de ulike belastningstilfellene, strekk/trykk, bøying og vridning må vi for gjeldende materiale ha oppgitt følgende: - utmattingsgrense ved symmetrisk vekslende belastning, u - utmattingsgrense ved utsvingende strekk, up - flytegrense, s (= F ) min Forholdet = µ maks u up s (= F ) m = 0, a = u, µ = - min = 0, m = a = / up, µ =0 maks = s (= F ) Figur 9.7 Forenklet utmattingsdiagram. 0 Henning Johansen side 8

30 Amplitudens, a, variasjon med negative midtspenninger (eksempler): bløtt stål stål og andre metaller støpejern a som for positive m a konstant eller øker negativt a øker kraftig Figur 9.8 Amplitudens, a, variasjon med negative midtspenninger. Figuren under viser utmattingsdiagram for ulike typer belastning: Figur 9.9 Utmattingsdiagram for ulike typer belastning for et vanlig konstruksjonsstål. Belastning Statisk Utmattingsgrense (N/mm ) flytegrense ( F ) (N/mm ) symmetrisk vekslende µ = - utsvingende µ = 0 strekk / trykk s = 70 u = ±80 up = 60±60 bøyning sb = 360 ub = ±40 ubp = 0±0 vridning sv = 90 uv = ±40 uvp = 40±40 Tabell 9. Utmattingsdata. 0 Henning Johansen side 9

31 I eksemplet for et vanlig konstruksjonsstål ser vi at ub = ±40 og u = ±80, altså er ub > u. Den statiske teorien sier at et mindre volum er utsatt for b maks enn for maks. Figur 9.0 Utmattingsgrense ved vekslende bøying og vekslende strekk / trykk. 9.. Anvendelse av utmattingsdiagram Når vi skal anvende utmattingsdiagrammet for vårt spesielle tilfelle, må vi tilpasse det etter den konstruksjonsdetaljen vi skal vurdere på utmatting. Vi må huske at alle utmattingsdata er basert på testing av standardiserte prøvestaver (ofte med diameter ø0) som er teste på en bestemt måte i et bestemt miljø. For å kunne tilpasse utmattingsdiagrammet til vårt tilfelle, må vi benytte flere faktorer som vi benytter for å redusere utmattingsdiagrammet. Effekten av volum- og overflate Figur 9. Utmattingsdiagram prøvestav og virkelig konstruksjonsdetalj. 0 Henning Johansen side 30

32 ad Dimensjonsfaktor, χ d = δ λ = a0 hvor: δ = Geometrisk dimensjonsfaktor: - spenningen () avtar langsommere i overflatesjiktet - større volum inneholder flere svakhetstilfeller lavere utmattingsfasthet Figur 9. λ = Teknologiskisk dimensjonsfaktor: Nedsmiing, valsereduksjon, mm. forbedrer fasthetsegenskapene Figur 9.3 Geometrisk dim.faktor δ Teknologiskisk dim.faktor λ = Dimensjonsfaktor χ d = δ λ Figur 9.4 Dimensjonsfaktor. (D* = valsediameter) Overflatefaktor, χ Utmattingsfastheten reduseres ved økende overflate- finhet/ruhet (H). Prøvestav: Overflatefaktor: a( rå flate) χ = a( polert flate) Figur 9.5 Overflatefaktor χ. 0 Henning Johansen side 3

33 Eksempel. Konstruksjonsdetalj utsatt for varierende bøyebelastning. Utmattingsdiagram for bøying (for prøvestav): Stål med flytegrense F = sb = 60N/mm utsatt for bøying Figur 9.6 Smith diagram for bøyebelastning av stål 3-00 (prøvestaver). 0 Henning Johansen side 3

34 Utmattingsdiagrammet må tilpasses virkelig konstruksjonsdetalj med diameter D, overflatefinhet H, etc. Vi må derfor redusere spenningsamplituden a : = χ χ eller = δ λ χ a a redusert d hvor: χ d = Dimensjonsfaktor χ = Overflatefaktor a a redusert δ = Geometrisk dimensjonsfaktor λ = Teknologiskisk dimensjonsfaktor Stål, flytegrense F = sb = 60N/mm, bøying Figur 9.7 Redusert Smith diagram (redusert a ) for virkelig konstruksjonsdetalj med diameter D. 0 Henning Johansen side 33

35 Vi må så bestemme opptredende (virkelig) spenning i det aktuelle tilfellet: Nominell (teoretisk) spenning: = hvor: m = Midlere spenning a = Amplitudespenning m ± Vi tenker oss at middelspenningen m står stille og at amplituden a er den utmattende belastningen. a Opptredende (virkelig) spenning: = m ± β a = m ± ( + η( ) ) a hvor: = Formfaktor som bare tar hensyn til konstruktiv utforming (v/statisk belastning) β = Kjervfaktor som også tar hensyn til materialet (v/dynamisk belastning) η = Kjervfølsomhetsfaktor m m Stål, flytegrense F = sb = 60N/mm, bøying Figur 9.8 Opptredende spenning = m ± β a inntegnet i redusert Smith diagram. 0 Henning Johansen side 34

36 9..3 Sikkerhetsfaktor n Vi kan benytte 3 forskjellige sikkerhetsfaktorer, som angir sikkerhet med hensyn på: - Sikkerhetsfaktor amplitude n a n a = største amplitude A / virkelig amplitude β a ved virkelig middelspenning m ( m = konst.) - Sikkerhetsfaktor middelspenning n m n m = største middelspenning M med virkelig ampl. β a / virkelig middelspenning m ( a = konst.) - Sikkerhetsfaktor amplitude og middelpenning n am n am = største amplitude A ved beste kombinasjon a og m / virkelig amplitude β a ved virkelig middelspenning m ( min / maks = konst.) Figuren under viser hvordan vi finner spenningene i Smith Diagrammet. Sikkerhet med hensyn på: Amplitude, n a Middelspenning, n m Amplitude og ( m = konst.) ( a = konst.) midtspenning, n am (µ = min / maks = konst.) redusert utmattingsdiagram m m redusert utmattingsdiagram m m Figur 9.9 Hvordan finne spenninger for å beregne sikkerhetsfaktorer. 0 Henning Johansen side 35

37 0 REFERANSER Dahlvig, Christensen, Strømsnes (99). Konstruksjonselementer. Yrkesopplæring ans. ISBN Sverre E. Kindem (99). Mekanikk. Statikk og fasthetslære. Yrkesopplæring ans. ISBN G H Ryder (97). Strength Of Materials. Macmillan. SBN A. Almar Næss (993). Metalliske materialer. Tapir. ISBN Henning Johansen (989). Konstruktiv utforming av sveiste konstruksjoner. Teknologisk Institutt 6 Peter Köves. Utmatting. 0 Henning Johansen side 36

38 VEDLEGG. Øvingsoppgaver OPPGAVE Et tynnvegget rør med ytre diameter d = 00mm og veggtykkelse t = 6mm er påkjent av en sentrisk virkende strekkraft F a = 400kN og et torsjons (vri-) moment T = 50kNm. Bestem, ved beregning og ved bruk av Mohrs spenningssirkel: a) Hovedspenningene. b) Den største skjærspenningen som opptrer. OPPGAVE a) Tegn Mohrs spenningssirkel for spenningene x = 50N/mm, y = 30N/mm og xy = 80N/mm. b) Les av hovedspenningene. c) Beregn den maksimale skjærspenningen og vinkelen. OPPGAVE 3 Et tynnvegget stålrør har en ytre diameter på 00mm og en veggtykkelse på 0mm. Røret er lukket i begge ender. Det er påkjent av en aksiell strekkraft F a = 300kN, et torsjonsmoment på T = 50kNm og et indre overtrykk på p = 80bar. Beregn med disse påkjenningene: a) Den største normalspenningen som opptrer i røret. b) Den største skjærspenningen som opptrer i røret. c) Bestem spenningene over v.hj.a. Mohrs spenningssirkel. 0 Henning Johansen side 37

39 OPPGAVE 4 Tegn forenklet utmattingsdiagram som gjelder for belastningstilfellene strekk/trykk, bøyning og vridning for en blankpolert prøvestav, Ø0. (Bare positive middelspenninger). Materiale: Stål SIS tekst flytegrenser symetrisk vekslende utsvingende (N/mm ) (N/mm ) (N/mm ) strekk/trykk s = 30 u = ±00 up = 80±80 bøyning sb = 390 ub = ±70 ubp = 40±40 vridning sv = 0 uv = ±50 uvp = 50±50 B = 590N/mm N/mm 500 maks min m N/mm Henning Johansen side 38

40 OPPGAVE 5 Bestem strekk-, bøye- og vridningsbelastningen som forårsaker flyting i bunnen av kjerven på akselen i figuren under. Materiale: Stål SIS med flytegrenser: - strekk/trykk: s = 30N/mm - bøyning: sb = 390N/mm - vridning: sv = 0N/mm Formfaktorer : Figur O5 Aksel. (F, M b og M v virker ikke samtidig!) 0 Henning Johansen side 39

41 OPPGAVE 6 a) Tegn redusert utmattingsdiagram for akselen i oppgave 5, utsatt for bøyning. Akselen er valset fra 65mm til de i figuren oppgitte dimensjoner. Materiale: Stål SIS b) Bestem kjervfaktoren ved tverrsnittsovergangen. Figur O6 Aksel. Geometrisk dimensjonsfaktor δ: Teknologiskisk dimensjonsfaktor λ: (D* = valsediameter) Overflatefaktor χ: Kjervfølsomhetsfaktor, η: 0 Henning Johansen side 40

42 OPPGAVE 7 Beregn sikkerheten, n a, n m og n am, mot utmattingsbrudd i overgangstverrsnittet hos akselen i oppgave 5 og 6. - n a = sikkerhet med hensyn på amplitudespenning ( m = konst.). - n m = sikkerhet med hensyn på middelspenning ( a = konst.). - n am = sikkerhet med hensyn på amplitude- og middelspenning. Materiale : Stål SIS Belastning : Bøyemoment M b = (000 ± 500)Nm Figur O7 Aksel i oppgave 5 og 6. N/mm 500 maks min m N/m Henning Johansen side 4

43 . Fasit til øvingsoppgaver OPPGAVE Bestem, ved beregning og ved bruk av Mohrs spenniningsirkel: a) Hovedspenningene. maks = 09N / mm = 00N / mm min b) Den største skjærspenningen som opptrer. maks = 55N / mm 0 = 34,7 OPPGAVE a) Tegn Mohrs spenniningssirkel for spenningene x = 50N/mm, y = 30N/mm og xy = 80N/mm. b) Les av hovedspenningene. = 90N/mm = -0N/mm c) Beregn den maksimale skjærspenningen og vinkelen. maks = 00N/mm = 7 0 OPPGAVE 3 a) Den største normalspenningen som opptrer i røret. maks = 7N / mm = 5N / mm min b) Den største skjærspenningen som opptrer i røret. = 93N / maks mm OPPGAVE 4 Tegn forenklet utmattingsdiagram som gjelder for belastningstilfellene strekk/trykk, bøyning og vridning for en blankpolert prøvestav, Ø0. OPPGAVE 5 Bestem strekk-, bøye- og vridningsbelastningen som forårsaker flyting i bunnen av kjerven på akselen i figuren F strekk >= 338kN M b >= 780Nm M v >= 3830Nm OPPGAVE 6 a) Tegn redusert utmattingsdiagram for akselen i oppgave 5, utsatt for bøyning. b) Bestem kjervfaktoren ved tverrsnittsovergangen. β =,59 OPPGAVE 7 Beregn sikkerheten, n a, n m og n am, mot utmattingsbrudd i overgangstverrsnittet hos akselen i oppgave 5 og 6. - n a = sikkerhet med hensyn på amplitudespenning ( m = konst.) =,7 - n m = sikkerhet med hensyn på middelspenning ( a = konst.) =,3 - n am = sikkerhet med hensyn på amplitude- og middelspenning =,9 0 Henning Johansen side 4