FY006/TFY425 - Øving 4 Frit for innlevering: tirdag 8. februar, kl 7.00 Oppgåve ØVING 4 Vibrerande to-partikkel-ytem Som dikutert på ide 0 i boka til Hemmer, er det eit viktig poeng både i klaik mekanikk og i kvantemekanikk at eit to-partikkel problem eenielt kan reduerat til eit ein-partikkel problem. Dette er relevant både for bundne to-partikkel ytem (om t.d. H-atomet) og for ubundne ytem, lik vi har i preiingproear. Dette kan vi illutrere ved eit eindimenjonalt ytem, der to partiklar med maar m og m 2 er forbundne med ei malau fjær med fjærkontant k. Ved likevekt (med avpent fjær, og null krefter) er relativ-koordinaten mellom dei to partiklene, x = x x 2, lik l. Elle er kreftene på m og m 2 heile tida motett retta og proporjonale med utlaget frå likevektavtanden, x x 2 l = x l : F = F 2 = k(x x 2 l) k(x l). Sidan dee kreftene berre avheng av relativ-koordinaten x, må dette og gjelde for den potenielle energien. Dee kreftene kan ein finne frå potenialet V = 2 k(x l)2, vha F i = V x i = V x x x i, i =, 2. [Vi tenker o altå at all bevegele kjer i x-retninga, dv vi er bort frå at ytemet kan rotere om tyngdepunktet for to-partikkelytemet.] a) Klaik tilnærming: Omvifyrttenkeroatviheldm 2 fat i origo, lik at x 2 =0, er ifølgje Newton 2. lov F m = k(x l) m = d2 x dt 2 = d2 (x l) dt 2, (x 2 =0,x= x ). Sett inn prøveløyinga x l = A co(! t + ) i di ereniallikninga med trek under, og vi at den klaike vinkelfrekvenen er k! =. m q k/m 2. Derom vi held m fat, får vi tilvarande vingningar med vinkelfrekven! 2 = Og nå kjem poenget: Let vi både m og m 2 vinge fritt (om to atom i eit toatomig molekyl), kal du vie at relativ-avtanden vingar med vinkelfrekven! om er tørre enn
FY006/TFY425 - Øving 4 2 både! og! 2 : Vi fyrt at den andrederiverte av utvinget x l er lik (x l)k/µ, derµ er den åkalla reduerte maen, definertved /µ =/m +/m 2 : d 2 dt (x l) = = k 2 µ (x l), der µ + m m 2 =) µ = m m 2. m + m 2 Hint: Bruk d 2 x i /dt 2 = F i /m i, (i =, 2). Sett deretter inn funkjonen x l = A co(!t + ) i di ereniallikninga ovanfor, og vi at vinkelfrekvenen! er tørre enn! og! 2. Korlei bevegar tyngdepunktet for to-partikkel ytemet eg når det ikkje verkar ytre krefter? [Jf Newton. lov.] b) Kvantemekanik tilnærming. Medutgangpunktienergioperatoren Ĥ = ˆK + ˆK 2 + V (x) for dei to partiklane kan ein vie at relativbevegelen for dei to partiklane er gjeven ved den tiduavhengige Schrödingerlikninga " h 2 2 # 2µ x + k(x 2 l)2 (x) =E (x), 2 der µ er den reduerte maen og x er relativkoordinaten. Kva blir energinivåa? Kva er energieigenfunkjonen for grunntiltanden om funkjon av relativkoordinaten x? [Hint: Svara finn du utan å rekne, ved å amanlikne med tandardutgåva av ein harmonik ocillator, om er ein partikkel med mae m om bevegar eg i potenialet V (q) = 2 kq2 2 m!2 q 2. Den tiduavhengige Schrödingerlikninga for dette ytemet er " h 2 2 # " 2m q + h 2 2 # 2 2 kq2 (q) 2m q + 2 2 m!2 q 2 (q) =E (q), med energieigenverdiane k E n = h m (n + ) h!(n + ), n =0,, 2,. 2 2 Energieigenfunkjonen for grunntiltanden er 0(q) =C 0 e m!q2 /2 h, C 0 =(m!/ h) /4. c) Vi at Hamilton-operatoren Ĥ = ˆK + ˆK 2 + V (x) (der ˆK =ˆp 2 /2m ob) kan krivat om Ĥ = ˆP 2 2M + ˆp2 2µ + V (x) med h ˆP = i X og bp = h i x, der x = x x 2 og X = m x + m 2 x 2 m + m 2 m M x + m 2 M x 2 er relativkoordinaten og tyngdepunktkoordinaten. [Hint: Ved hjelp av kjerneregelen har vi x = X X + x x x = m x M X + x og i = m 2 x 2 M Frå dee uttrykka kan du finne ˆp og ˆp 2 uttrykt ved ˆP og ˆp.] Kva fyik obervabel varer operatoren ˆP til? [Hint: Vi at ˆp +ˆp 2 = ˆP ]. X x.
FY006/TFY425 - Øving 4 3 d) Då Ĥ kommuterer med operatoren ˆP,kanvifinneenergieigenfunkjonaromogereigenfunkjonar til ˆP, med eigenverdi P. Dee eigenfunkjonane vil generelt avhenge både av relativ-koordinaten x = x x 2 og av tyngdepunktkoordinaten X. Vi kal nå bekrive dette ytemet frå tyngdepunkt-ytemet, der den totale impulen P til dei to partiklane pr definijon er lik null. Forklar (vha eigenverdilikninga ˆP = P )kviforenergieigenfunkjonen blir uavhengig av tyngepunktkoordinaten X, ogammenliknenergieigenverdilikninga med likninga i b). Oppgåve 2 Vibrajonfriheitgraden for toatomig molekyl Når eit okygenmolekyl O 2 er i grunntiltanden, er avtanden mellom dei to kjernene nokå nær ein vi likevektavtand (omlag ein Ångtrøm). Denne likevektavtanden varer til eit energiminimum for dette ytemet. Prøver vi å dytte dei to kjernene (og dermed elektronkyene) nærmere kvarandre, eller å trekkje dei frå kvarandre, kotar dette energi, og molekylet motett eg endringa med ei kraft om er tilnærma proporjonal med utlaget frå likevektavtanden. M.a.o: Vi har (for må utving) ein tilnærma harmonik ocillator. (Jf Tillegg 3, ide 25 26.) a) Ekperimentelt vier det eg at den (tilnærmet ekviditante) avtanden mellom energinivåa for denne ocillatoren er h! 0.20 ev. Med okygenmaen m finn vi frå førre oppgåva at fjærkontanten for dette ytemet er k = 2 m!2. Gjer eit numerik overlag over denne fjærkontanten, og vi at fjæra er ganke kraftig. Fjærkontant er omlag 0 3 N/m. [Maen til et okygenatom er ca 6 ganger protonmaen, om er m p.67 0 27 kg.] b) Eit ja/nei-pørmål: Kan avtanden mellom dei to kjernene vere karpt definert? q Som mål for kor tore typike utlag for denne ocillatoren er, kan vi ta lengda h/m! (om er p 2gangeruikkerheiten x). Sett inn talverdiar og vi at utlaaga for kjernene er må amanlikna med atomradier (eller med avtandane mellom kjernene i eit molekyl), om typik er 0 0 m. c) Tenk deg at vi har ein makrokopik ocillator med ame fjærkontant, dv eit potenial V (x) = 2 kx2, og en makrokopik partikkel med mae M = kg. Vi at forholdet mellom energibeløpet h! 0 for q denne ocillatoren og beløpet h! for ocillatoren ovanfor er ca 0 3. Rekn ut lengda h/m! 0,omgjevkalaenforutlagetavdentungemaen(i q grunntiltanden), og vi at denne lengda er ca ein faktor 0 7 mindre enn h/m! for den lette maen. d) Den tunge maen ocillerer nå med eit utlag på x max =0cm. Samanliknenergien E = 2 k(x max) 2 for ein lik vingetiltand med energibeløpet h! 0 for denne ocillatoren, og finn ut kor tore kvantetal n 0 dette varer til. [Hint: Hug at E 0 n = h! 0 (n 0 + 2 ).]
FY006/TFY425 - Øving 4 4 Oppgåve 3 Ikkje-tajonær tiltand for partikkel i bok Ein partikkel med mae m er i ein uendeleg djup eindimenjonal potenialbrønn (bok) med vidde L: ( 0 for 0 <x<l, V (x) = elle. Ved t =0 preparerervidetteytemetieintiltandlkatbølgefunkjonener (x, 0) = 6 5L in x L 3. Figuren vier p L (x, 0) og L (x, 0) 2 om funkjonar av x/l. a) Rekn ut frå diagrammet ovanfor forventningverdien h x i 0 til partikkelen poijon ved t =0. Kva kurve i diagrammet er relevant når du på øyemål kal etimere kor tor uikkerheiten ( x) 0 ipoijonenerved t =0. Kva er ditt etimat? b) Då det ortonormerte energiegenfunkjonettet for boken, 2 n(x) = L in k nx, k n = n L, E n = h2 kn 2, n =, 2,, 2m utgjer eit fulltendig ett (dv dannar ein bai), kan ein utvikle initialtiltanden i dette ettet. Bruk formelen 4 in 3 y =3iny in 3y til å finne koe ientane c n iutviklingformelen X (x, 0) = c n n (x). n= c) Vi at initialtiltanden (x, 0) er normert. [Hint: Normeringintegralet kan krivat om Z L X!! 3 X c k k c n n dx = X c Z L k c n k n dx. 5 0 k n k,n 0 d) Etter prepareringa (for t>0) er bølgjefunkjonen X (x, t) = c n n (x)e ient/ h, n= der c n er koe ientane om ein kulle finne ovanfor. Ein gjer ei måling av energien E til partikkelen ved t =0 (umiddelbartetterprepareringa). (i)kvaerdeimoglegemålereultata,
FY006/TFY425 - Øving 4 5 og kva er dei tilhøyrande annynlegheitene? (ii) Rekn ut forventningverdien h E i 0 av energien ved t =0 (uttryktvedgrunntiltandenergien E ). (iii) Kva blir bølgjefunkjonen for ytemet etter ei lik måling? (iv) Kva blir vara på (i) og (ii) derom ein gjer målinga ved tida t (dv ei tund etter prepareringa)? Etter overlaget av uikkerheiten ( x) 0 ia),kandetvereintereantåunderøke( p x ) 0. Vi fyrt at h p x i 0 =0. Finn deretter h p 2 x i 0 (t.d vha reultatet for h E i 0 ), og ett inn uikkerheiten ( p x ) 0 (og overlaget over ( x) 0 ) i uikkerheitproduktet ( x) 0 ( p x ) 0. Oppgåve 4 Dirac -funkjon a) I uttrykka nedanfor er (x) Dirac -funkjon. Rekn ut: Z Z 4 Z Z Z (x)f(x)dx = ; (x c)g(x)dx = ; (x)(ax + B)dx = ; [ (x a)+ (x b)]f(x)dx = ; [ (x ) + (x +3)]g(x)dx = ; Z Z Z (2x)f(x)dx = ; (3x 6)f(x)dx = ; Z Z Z Z e ixa dx = ; e ixa dx = ; e ixa da = ; (NB! Integrajon over a) e if f 2 df = ; (x x 0 ) (x x 00 )dx =. (Le f og f 2 om faktor og faktor 2.) b) Ved å teikne eit diagram vil du jå at funkjonen ( cont for x<0, f(x) = cont + x for x>0
FY006/TFY425 - Øving 4 6 har ein knekk for x =0. Den deriverte av denne funkjonen er åpenbart prangfunkjonen, ( df 0 for x<0, dx = (x) = for x>0. Overtyd deg om at den 2.-deriverte av funkjonen f(x), dv den.-deriverte av prangfunkjonen, er -funkjonen: d 2 f dx = d 2 dx = (x). Hint: Bruk relajonen eller jå på relajonen Z d (x) dx dx = ( ) ( ) (for > 0), igrena! 0.