6 Sannsynlighetsregning Det anbefales å lese orienteringsstoffet om kombinatorikk som følger etter oppgave 34. 1 a) Sett opp alle mulige kombinasjoner for et kast med to terninger. b) Regn ut sannsynlighetene for antall mulige kombinasjoner som gir en sum på 2 øyne, 3 øyne,,12 øyne. Framstill resultatene grafisk. 2 Finn sannsynligheten for å a) få 3 øyne i ett kast med terning b) trekke en konge fra en kortstokk (med 52 kort, derav 4 konger) c) trekke ut en jente tilfeldig i en klasse med 20 gutter og 15 jenter d) trekke ut et partall tilfeldig fra mengden {1 20) 3 I et spill med terning må du få seks øyne for å kunne gå videre. Hva er sannsynligheten for at du kan gå videre etter a) én omgang? b) to omganger? c) tre omganger? (Vi kaster terningen én gang per omgang.) 4 I en klasse liker halvparten av elevene matematikklæreren. 80 % av elevene liker engelsklæreren og 40 % liker begge lærerne. Vi trekker ut en tilfeldig elev fra klassen. Hva er sannsynligheten for at eleven a) bare liker matematikklæreren? b) bare liker engelsklæreren? c) verken liker matematikk- eller engelsklæreren? 5 a) Vi antar at 32 % av de stemmeberettigede i Norge stemmer på Arbeiderpartiet (Ap). Hva er da sannsynligheten for at 1) én tilfeldig utvalgt person stemmer Ap? 2) to tilfeldig utvalgte personer stemmer Ap? 3) ingen av de to tilfeldig utvalgte personene stemmer Ap? 4) tre tilfeldig utvalgte personer stemmer Ap? 5) to av de tre tilfeldig utvalgte personene stemmer Ap? 6) én av de tre tilfeldig utvalgte personene stemmer Ap? 7) ingen av de tre tilfeldig utvalgte personene stemmer Ap? b) Summer sannsynlighetene for punktene 4, 5, 6 og 7 ovenfor. Kommenter svaret.
6 Ti lapper er nummerert fra 1 til 10. Vi legger disse lappene i en hatt og trekker én av dem tilfeldig. Hva er sannsynligheten for å trekke a) lapp nummer 6? b) en lapp med høyere tall enn 6? Vi legger lappen vi trakk tilbake i hatten, og trekker en gang til. Hva er sannsynligheten for å trekke c) lapp nummer 6 begge gangene? d) en lapp med høyere tall enn 6 begge gangene? e) en lapp med høyere tall enn 6 den første gangen, og en lapp med lavere tall enn 6 den andre gangen? 7 Vi har tre kort med spar og sju kort med ruter i en hatt. Vi trekker tre kort fra hatten uten å legge de kortene som blir trukket, tilbake. Hva er sannsynligheten for å trekke a) en spar først? b) en spar først og deretter en ruter? c) en spar og to ruter? 8 Sannsynligheten for å trekke en rød og en svart kule fra en bolle er henholdsvis 0,3 og 0,5. a) Hva er sannsynligheten for å trekke en rød eller en svart kule? b) La oss si at det er ti svarte kuler i bollen. Hvor mange røde er det da? 9 Det er ti kuler i en bolle som er merket med tallene 1, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6 og 6. Vi trekker en tilfeldig kule fra bollen. Hva er sannsynligheten for a) at kulen er merket med tallet4? b) å trekke en kule med høyere tall enn 4? c) å trekke en kule med lavere tall enn 7? d) å trekke en kule med høyere tall enn 6? 10 Av 350 elever som går opp til eksamen, kommer 80 % til å få ståkarakter. Av de som stryker, får 80 % ståkarakter ved andre forsøk. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig utvalgt elev som sitter ved eksamensbordet for første gang, vil bestå eksamen ved første eller andre forsøk? 11 På en skole er det to hundre avgangselever. Av disse elevene har seksti stykker faget 3MX og førti stykker faget 3BI. Tjue elever har både 3MX og 3BI. En avgangselev trekkes tilfeldig ut. Hva er sannsynligheten for at eleven har 3MX eller 3BI? (BI: biologi, MX: matematikk)
12 a) Vi kaster tre mynter. Lag en tabell over sannsynlighetsfordelingen for antall kron, dvs. 0 kron, 1 kron, osv. b) Gjør det samme for et kast med fire mynter. 13 Ved en skole er det totalt seks hundre og førti elever. Av disse elevene har to hundre fysikk og to hundre og femti engelsk. Ett hundre og førti elever har både fysikk og engelsk. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev a) har engelsk? b) enten har fysikk eller engelsk eller begge deler. c) har fysikk når vi vet at eleven også har engelsk. 14 I en eske ligger det én rød, fire blå og fem svarte kuler. a) Hva er sannsynligheten for å trekke en blå kule når vi trekker én gang? Vi trekker én kule åtte ganger og legger den tilbake i esken etter hver trekning. b) Hva er sannsynligheten for at seks av de åtte kulene er blå? 15 Vi tenker oss at du går i en skoleklasse med tjue elever. Fire forskjellige oppdrag skal fordeles blant elevene ved at læreren trekker ett og ett navn fra klasselisten. Først tenker vi oss at de elevene som blir trukket ut, ikke blir strøket fra listen før neste trekning. a) Hvor mange måter kan oppdragene fordeles på? b) Hva er sannsynligheten for at du blir tildelt alle de fire oppdragene? For å hindre at én og samme elev blir tildelt flere oppdrag tenker vi oss nå at de elevene som blir trukket ut, blir strøket fra listen før neste trekning. c) Hvor mange forskjellige måter kan oppdragene nå fordeles på? I klassen din skal fem elever trekkes ut til å holde foredrag. Trekningen foregår i fem omganger, og den som trekkes ut i én omgang, strykes før neste trekning. d) Hva er sannsynligheten for at du får holde foredrag? 16 På en pultrekke sitter Anne, Marius, Grethe, Kasper og Irene. a) Hvor mange måter kan de fem elevene sitte etter hverandre på? Det skal velges ut tre elever fra denne pultrekken ved loddtrekning. b) Hvor mange ordnede utvalg på tre elever er det mulig å trekke ut? (ABC og BAC er to ordnede utvalg som inneholder de samme elementene. Ordnet utvalg betyr at rekkefølgen spiller en rolle).
c) Hva er sannsynligheten for at de tre uttrukne elevene blir Anne, Kasper og Irene, hvis vi ikke tar hensyn til i hvilken rekkefølge de blir trukket ut? d) Hva er sannsynligheten for at de tre uttrukne elevene består av to jenter og én gutt? 17 En matematikktest inneholder det seks spørsmål. For hvert spørsmål er det gitt fem mulige svar, men bare ett av svarene er riktig. For å få ståkarakter på testen må elevene ha minst to rette svar. Jens tipper alle svarene vilkårlig. Hva er sannsynligheten for at a) Jens har akkurat to riktige svar? b) at ingen av svarene hans er riktige? c) han greier testen. 18 Vi trekker vilkårlig ett kort fra en kortstokk, legger kortet tilbake og noterer om det er spar, hjerter, kløver eller ruter. Hva er sannsynligheten for a) at vi etter fire slike trekninger har trukket to kort med ruter. b) å trekke minst to kort med ruter etter fire slike trekninger? 19 I en forening er 70 % av medlemmene menn, resten er kvinner. Det viser seg at 30 % av mennene og 40 % av kvinnene i foreningen røyker. Ett medlem trekkes ut på slump. Hva er sannsynligheten for at det uttrukne medlemmet a) røyker? b) er kvinne, forutsatt at medlemmet røyker? 20 Ved en videregående skole skal elevene velge fag. Skolen tilbyr tolv forskjellige valgfag. En elev skal velge fem av disse fagene. a) Forklar at eleven kan velge mellom 792 fagkombinasjoner. (Les stoffet om kombinatorikk etter oppgave 34.) På bakgrunn av tidligere valg antar vi at elevene ved en bestemt studieretning velger slik: Matematikk Engelsk Verken matematikk eller engelsk 60 % 30 % 20 % b) Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i denne studieretningen velger 1) minst ett av fagene matematikk og engelsk? 2) både matematikk og engelsk? 3) matematikk, men ikke engelsk?
21 En bedrift produserer tegnestifter. Vi lar x stå for antallet tegnestifter i en eske. Sannsynlighetsfordelingen er gitt ved denne tabellen: x 54 55 56 57 58 59 P(x = ) 0,02 0,14 0,35 0,38 0,01 a) Finn P(x = 58). b) Finn sannsynligheten for at antallet stifter i en eske er mindre enn 57. 22 Tabellen nedenfor er hentet fra en rapport som helseministeren kom med i 1994. Den angir antallet årlige dødsfall som skyldes sigarettrøyking. Tallene er beregnet som et gjennomsnitt for årene 1990, 1991 og 1992. Dødsårsak Menn Kvinner Totalt Kreft 1431 471 1902 Hjerte- og karsykdommer 2550 1556 4106 Luftveissykdommer 832 584 1416 Totalt 4813 2611 7424 Vi trekker en tilfeldig person fra tabellen. Hva er sannsynligheten for at denne personen a) døde av luftveissykdommer? b) døde av kreft hvis vi vet at vedkommende var kvinne? c) var kvinne når vi vet at vedkommende døde av kreft? I Statistisk årbok finner vi at det er 1023 kvinner per 1000 menn i Norge. Undersøkelser viser at 37 % av mennene og 32 % av kvinnene røyker. Vi trekker en tilfeldig nordmann. Hva er sannsynligheten for at denne personen d) røyker? e) er kvinne når vi vet at vedkommende røyker? 23 Ved en skole spaserer en femdel av elevene til skolen hver dag. Vi velger tre tilfeldige elever. Regn ut sannsynligheten for at minst to av disse elevene spaserer til skolen hver dag. 24 Ved en opptaksprøve ble det gitt seks ja-og nei-spørsmål. For å bestå prøven måtte tre eller flere spørsmål være riktig besvart. Har en person som bare gjetter, større enn to tredels sjanse til å bestå prøven?
25 I en skoleklasse er det 25 elever: 14 gutter og 11 jenter. Det skal velges en klassekomité på fem elever. a) Hvor mange måter kan vi plukke ut denne komiteen på hvis den skal bestå av 1) bare gutter? 2) to jenter og tre gutter? Vi antar at komiteen velges ved loddtrekning. Hva er sannsynligheten for at komiteen består av b) tre gutter og to jenter? c) minst halvparten gutter? 26 Et verksted har 25 arbeidere. Ti av dem har vært ansatt i firmaet i mer enn sju år. Formannen velger ut tre arbeidere tilfeldig til et oppdrag. a) Hva er sannsynligheten for at 1) ingen av personene som blir valgt, har vært ansatt i mer enn sju år? 2) bare én av dem som blir valgt, har mer enn sju års erfaring i firmaet? På verkstedet er ni av de ansatte kvinner. b) Hva er sannsynligheten for at minst én av de tre som blir valgt til oppdraget, er kvinne? Når en arbeider blir valgt tilfeldig, er sannsynligheten 0,12 for at denne arbeideren er en kvinne som har vært ansatt i mer enn sju år. c) Hvor mange kvinner har vært ansatt i firmaet i mer enn sju år? d) Hva er sannsynligheten for at det er minst én mann som har mer enn sju års erfaring i firmaet, blant de tre som velges ut til oppdraget? 27 I en fornøyelsespark får alle barna lov til å trekke fem lodd ved inngangen. En dag ble parken besøkt av 4518 barn. Tabellen nedenfor viser hvor mange barn som ikke vant, eller som vant på ett av loddene, to av loddene, osv. Antall gevinster 0 1 2 3 4 5 Antall barn 2613 1556 298 50 0 1 a) Hvor mange gevinster fikk hvert barn i gjennomsnitt? Fabrikken som lager loddene, oppgir at 10 % av dem gir gevinst. b) Regn ut sannsynligheten for at et barn som får fem tilfeldige lodd, vinner på ingen, ett, to, tre, fire eller fem av dem. Sammenlign resultatet i b) med tabellen ovenfor. Synes du det er god overensstemmelse?
28 I lommeboka di har du fire femtikronesedler og fem tohundrekronesedler. Du tar ut fire tilfeldige sedler. Det beløpet som du tar ut, er avhengig av hvilke sedler du tilfeldigvis velger ut. a) Hvilke pengebeløp kan de fire tilfeldige sedlene utgjøre til sammen? b) Hva er sannsynligheten for at du tar ut åtte hundre kroner? c) Hvilket beløp er det mest sannsynlig at du tar ut? 29 Idrettslaget Driv har meldt på 20 spillere til en håndballturnering. Erfaring fra tidligere turneringer tilsier at hver spiller har 3 % sjanse for å bli skadet i løpet av turneringen. a) Regn ut sannsynligheten for at ingen, én eller to av Drivs spillere blir skadet i løpet av turneringen? b) Hva er sannsynligheten for at minst tre av Drivs spillere blir skadet under turneringen? Det deltar 32 lag i turneringen. Alle lagene består av 20 spillere. c) Regn ut sannsynligheten for at minst ett av lagene får tre eller flere spillere skadet. 30 a) I en flervalgsoppgave er det fem forskjellige svaralternativer til hvert spørsmål. Bare ett av alternativene er riktig. Hva er sannsynligheten for å 1) svare riktig på et spørsmål bare ved å gjette? 2) oppnå ett riktig svar ved å gjette svarene på to spørsmål? 3) oppnå to riktige svar ved å gjette svarene på to spørsmål? 4) oppnå ingen riktige svar ved å gjette svarene på to spørsmål? b) Er det en sammenheng mellom 2), 3) og 4)? c) Hva er sannsynligheten for å oppnå tre riktige svar ved å gjette svarene på ti spørsmål? 31 Før en historieprøve får klassen til Mette i oppdrag å utrede tjue spørsmål. Prøven skal bestå av åtte av de tjue spørsmålene. a) Hvor mange forskjellige prøver er det mulig å lage når rekkefølgen som spørsmålene kommer i, ikke spiller noen rolle? Mette er usikker på tre av de tjue spørsmålene. Hun har regnet ut at det er en sannsynlighet på omtrent 0,2 for å unngå disse spørsmålene på prøven. b) Forklar hvordan du tror at Mette har regnet. Hvilke forutsetninger har hun regnet med? Mette tror at hun skal klare å få karakteren 5 på prøven dersom hun ikke får mer enn ett av de spørsmålene som hun er usikker på. c) Regn ut sannsynligheten for at Mette skal klare å få karakteren 5 på prøven.
32 I en skoleklasse er det 12 gutter og 16 jenter. Alle elevene stiller seg i en rekke. a) Hvor mange ulike måter kan denne rekken ordnes på? Det skal plukkes ut tre elever til å være leder, nestleder og sekretær i klassestyret. b) Hvor mange ulike sammensetninger kan klassestyret få? Fire av elevene i klassen får anledning til å være med på en skoletur til utlandet. Elevene skal plukkes ut ved loddtrekning. c) Hva er sannsynligheten for at tre jenter og én gutt blir med på turen? 33 Sannsynligheten for at det står personer på en bussholdeplass og venter på bussen, er 0,85. En buss som skal på langtur, skal stoppe tre steder for å ta med passasjerer. Hva er sannsynligheten for at det står passasjerer på minst én av de tre holdeplassene? 34 Ett hundre ungdommer har lunsjpause. Vi vet at 65 av dem spiser brød, og at 45 spiser epler. 30 av ungdommene spiser både brød og epler. Hva er sannsynligheten for at en vilkårlig utvalgt person spiser a) brød? b) både brød og epler? c) enten brød eller epler? d) brød, når du vet at personen også spiser epler?
ORIENTERINGSSTOFF Odds og spill Hvis det er dobbelt så stor sannsynlighet for at en hendelse inntreffer som for at den ikke inntreffer, sier vi at oddsen er to til én for at hendelsen inntreffer. Hvis tippere mener at sannsynligheten for at Rosenborg slår Brann, er tre ganger større enn sannsynligheten for at Brann slår Rosenborg, sier vi at oddsen er 3 : 1 for Rosenborg-seier. Generelt kan vi si at oddsen for at en hendelse inntreffer, er forholdet mellom sannsynligheten for at den inntreffer og sannsynligheten for at den ikke inntreffer. Med symboler kan vi skrive det slik: a b = 1 p p a = a : b b uttrykker oddsen, p uttrykker sannsynligheten for at hendelsen inntreffer, og 1 p uttrykker sannsynligheten for at hendelsen ikke inntreffer. Det er vanlig å uttrykke oddsen som forholdet mellom to positive tall som ikke har felles faktor. Vi sier for eksempel ikke at oddsen er 10 : 4, men 5 : 2. Hvis vi kjenner oddsen for en hendelse, kan vi finne sannsynligheten for at hendelsen inntreffer ved å «snu» formelen ovenfor (gjør et forsøk på å vise denne overgangen selv): a p = a + b I gambling eller spill brukes odds. Hvis en spiller mener at hun eller han vil gi tre til én i odds for at Rosenborg slår Brann, betyr det at personen er villig til å gi kr 300 mot kr 100 (eller kanskje kr 3000 mot kr 1000, osv.) for at det skal skje. Dersom oddsen for et veddemål er lik oddsen for at en hendelse inntreffer, sier vi at oddsen for veddemålet er rettferdig. Eksempel 1 1 Statistikk viser at (ca.) 12 av vogntogene som blir veid, har overvekt. Er oddsen rettferdig dersom en person tilbyr seg å vedde kr 100 mot kr 10 på at neste vogntog har overvekt? Løsningsforslag 12 1 11 = Sannsynligheten for at et vogntog ikke har overvekt, er 12 12 12. Dermed er dette oddsen for at vogntoget har overvekt:
1 12 11 12 1 11 = : = 1:11 12 12 Det er det samme som å si at oddsen for at det neste vogntoget ikke har overvekt, er 11 : 1. Veddemålet ville ha vært rettferdig hvis personen hadde tilbudt kr 110 mot kr 10. Det opprinnelige veddemålet på kr 100 mot kr 10 favoriserer personen som tilbyr veddemålet, og det er ikke rettferdig. Kombinatorikk og lotto Eksempel 2 1) Vi legger tre lapper (elementer) med bokstavene A, B og C i en bolle. Fra bollen skal vi trekke ut to lapper (elementer) uten å legge den første lappen tilbake. Vi skal finne ut hvor mange kombinasjoner vi kan få, uten at rekkefølgen spiller en rolle (altså at AB er det samme som BA). Det gir de tre kombinasjonene AB, AC og BC. 2) Vi utvider til fire lapper: A, B, C og D. Vi skal trekke ut to lapper uten tilbakelegging. Det gir seks kombinasjoner: AB, AC, AD, BC, BD og CD. 3) Vi utvider til fem lapper, A, B, C, D og E, og trekker ut to lapper som ovenfor. Det gir ti kombinasjoner: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE og DE. I del 1 har vi tre muligheter når vi trekker den første lappen og to muligheter når vi trekker den andre lappen, til sammen 3 2 = 6 muligheter. Men når rekkefølgen ikke spiller noen rolle, er to og to av disse mulighetene like (AB =BA, AC = CA og BC = CB). For å finne antall kombinasjoner må vi derfor dividere med to. I del 2 får vi tilsvarende 4 3 = 12 muligheter. Når to og to muligheter er like, må vi dele på to for å finne antall kombinasjoner. I del 3 får vi 5 4 = 20 muligheter. Vi deler på to for å finne antall kombinasjoner. 4) Vi legger fire lapper med bokstavene A, B, C og D i en bolle. Vi skal trekke ut tre lapper uten tilbakelegging. Hvor mange kombinasjoner får vi i dette tilfellet? Løsningsforslag: Antallet muligheter er 4 3 2 = 24. Seks og seks av disse mulighetene er like. Med bokstavene ABC kan vi for eksempel få kombinasjonene ABC, ACB, BAC, BCA, CAB og CBA. Antallet kombinasjoner finner vi da ved å dividere tjuefire med seks (fire kombinasjoner).
Når vi skal plukke ut r elementer fra en mengde på n elementer, kan vi bruke en formel som ser slik ut: n n! (r ) = r!( n r)! = ncr n! leses «n fakultet» og betyr n (n 1) (n 2) 3 2 1 3! = 3 2 1= 6 5! = 5 4 3 2 1= 120 Hvis det for eksempel sitter fem elever på en rekke, kan elevene plasseres på 120 ulike måter (rekkefølger). Formelen ovenfor finner vi på lommeregneren på OPTN, (F6), (F3) PROB og ncr. C står for kombinasjoner (Combinations). Vi skriver heller ncr. Vi bruker formelen på delene 1, 2, 3 og 4 ovenfor: 1) 3C2 = 3. Vi får tre ulike kombinasjoner ved å trekke ut to elementer fra en samling på tre elementer der rekkefølgen ikke spiller noen rolle. 2) 4C2 = 6 3) 5C2 = 10 4) 5C3 = 10 I læreboka er det et eksempel der det skal trekkes ut en komité på tre elever i en klasse med 25 elever. 14 av elevene er jenter. Vi får 25C3 = 2300 ulike kombinasjoner ved å trekke ut tre elever. (I læreboka er tallet 13 800. Det er fordi vi for eksempel kan få seks kombinasjoner av «Inger, Bente og Arne». Det utgjør én komité. Vi finner dermed antall ulike komiteer ved å dividere med seks: 13 800 : 6 = 2300). Vi får 14C3 = 364 kombinasjoner ved å trekke ut tre jenter. (Læreboka opererer med 2184. Det samme resonnementet som ovenfor gjelder også her, altså: 3184 : 6 = 364). Sannsynligheten for å få en komité som består av tre jenter, er 14C3 364 P( 3J ) = = = 0,158 25C3 2300 Sannsynlighetene for å få en komité med to gutter og en jente fordeler seg slik: antall kombinasjoner med to gutter: 11C2 = 55 antall kombinasjoner med én jente: 14C1 = 14 (ikke overraskende?) antall kombinasjoner med to gutter og én jente: 55 14 = 770
Sannsynligheten for å få en komité med to gutter og en jente er 11C 2 14C1 55 14 770 P( 2G + 1J ) = = = = 0,335 25C3 2300 2300 Lotto Ved vanlig lottospill skal vi plukke ut sju av trettifire tall. I lottotrekningen blir det trukket ut sju hovedtall og tre tilleggstall (tidligere var det to tilleggstall). Vi skal finne sannsynligheten for å vinne de enkelte pengepremiene. Det enkleste er å bruke kombinatorikk (slik beskrevet ovenfor): 1. premie: (7 + 0) 7 tall tippet riktig Antallet kombinasjoner når vi skal trekke ut 7 tall av 34 tall er 34C7 = 5 379 616 Bare én av disse rekkene har de 7 rette tallene, slik at sannsynligheten for å få førstepremien er 1 = 0,00000018588 0,0000186% 5379616 Vi kan vel ikke regne med å vinne hver gang? 2. premie: (6 + 1) 6 rette av 7 hovedtall og ett tilleggstall Antall kombinasjoner: 7C6 3C1 = 7 3 = 21 Vi må ha 6 rette av de 7 hovedtallene og 1 riktig av de 3 tilleggstallene. Sannsynligheten for andrepremie er 21 5379616 = 0,0000039 = 0,00039% 3. premie: (6 + 0) Vi må tippe 6 riktige hovedtall. Antall kombinasjoner: 7C6 24C1 3C0 = 168 7C6 betyr at vi må ha 6 av de 7 hovedtallene riktig. 3C0 sier at vi ikke skal ha riktig tilleggstall. 24C1 betyr at det sjuende tallet må komme fra de resterende 24 tallene (34 7 3). Sannsynligheten for tredjepremie er 168 5379616 = 0,00003122899 0,003123%
4. premie: (5 + 0) (kan også ha (5 + 1) og (5 +2)) Antall kombinasjoner: 7C5 3C0 24C2 + 7C5 3C1 24C1 + 7C5 3C2 24C0 = 21 1 276 + 21 3 24 + 21 3 1 = 21(276 + 72 + 3) = 7371 7C5 3C0 24C2 betyr de kombinasjonene som har 5 riktige hovedtall, ingen tilleggstall og dermed 2 tall fra de resterende 24 tallene. Tilsvarende resonnement gjelder for de to andre leddene ovenfor. Sannsynligheten for 4. premie er 7371 5379616 = 0,001370... 0,1370% 5. premie: (4 + 1) (kan også ha (4 + 2) og (4 + 3)) Antall kombinasjoner: 7C4 3C1 24C2 + 7C4 3C2 24C1 + 7C4 3C3 24C0 = 35 3 276 + 35 3 24 + 35 1 1 = 35 (828 + 72 + 1) = 31535 Kommentarene til 4. premien gjelder her også. Sannsynligheten for 5. premie er 31535 5379616 = 0,0058619... 0,58619% Sannsynligheten for ikke å vinne på en tilfeldig lottorekke er 100 % 0,0000186 % 0,00039 % 0,003123 % 0,1370 % 0,58619 % = 99,2732784 % Spørsmålet er da hvor lurt det er å bruke penger på å spille lotto. Er det drømmen om de store gevinstene som er drivkraften? Oppgave Regn ut sannsynlighetene for å få pengepremier i lotto når det bare er to tilleggstall i tillegg til de sju ordinære tallene. Regn ut vinnersjansene i vikinglotto (det trekkes 6 av 48 tall og 2 tilleggstall). Det gis premier for 6 rette, 5 rette pluss et tilleggstall, 5 rette, 4 rette og 3 rette.