SI-systemet Lengde Masse Volum Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. Den grunnleggende SI-enheten for masse er kilogram. Kg er symbolet for kilogram. Volum gir oss et môl for hvor mye noe rommer. SI-enheten for volum er kubikkmeter,m 3. Volum môles ogsô i liter, l. liter er det volumet som fôr plass i en kube med dm lange sider. liter er derfor det samme som dm 3. MÔltall MÔleenhet Det tallet vi nner ved en môling. Benevningen til et môltall. MÔleusikkerhet UnÖyaktigheten ved môling kaller vi môleusikkerhet. Hvor nöyaktige môlingene blir, kommer an pô hvor nöyaktig vi môler og hvor gode môleinstrumentene vôre er. NÔr vi teller, fôr vi et nöyaktig antall. Gjeldende sifre Det er spesielle regler for hvor mange sifre som skal gjelde i et môltall. Sifrene, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 er alltid gjeldende.. For eksempel er det re gjeldende sifre i 235,9. Tall med 0. Dersom 0 er omgitt av andre sifre, er 0 et gjeldende si er. Det er re gjeldende sifre i 2,006.. I et desimaltall som begynner med null, regnes ikke de innledende nullene som gjeldende sifre. Det er ett gjeldende si er i 0,5 mens det er to gjeldende sifre i 0,89.. I tallet 0,0600 er begge de to siste nullene gjeldende, vi har seks gjeldende sifre.. I tallet 6 000 kan det v re to, tre, re eller fem gjeldende sifre. For Ô presisere hvor mange gjeldende sifre tallet har, kan vi skrive tallet pô standardform:,6 0 4 har to gjeldende sifre,60 0 4 har tre gjeldende sifre 78
StrÔle En linje med ett endepunkt. Linje En linje uten endepunkter. Linjestykke En linje som er begrenset av to endepunkter. Punkt Vinkel Gradskive Spiss vinkel Et punkt har ingen utstrekning og markeres gjerne med en prikk eller et kryss. To strôler danner en vinkel. De to strôlene kaller vi höyre vinkelbein og venstre vinkelbein. Det felles endepunktet kaller vi toppunktet.vi bruker stor bokstav som navn pô topppunktet og liten bokstav som navn pô vinkelen.vinkelen môles i grader. Symbolet for vinkel er, og symbolet for grader er. Brukes for Ô môle en vinkel. PÔ fagsprôket kaller vi en vinkel som er mindre enn 90, en spiss vinkel. Rett vinkel En vinkel som er 90, kaller vi en rett vinkel og merker den med en liten rkant ved toppunktet. Stump vinkel En vinkel som er större enn 90, kaller vi en stump vinkel. Likevinkel En vinkel som er 80, kaller vi en likevinkel. 79
tegne lage en geometrisk gur ved hjelp av linjal, gradskive og vinkelhake. konstruere lage en geometrisk gur ved hjelp av passer og linjal. PÔ konstruksjonen skal det kun stô bokstavene som er navn pô toppunktene. Alle konstruksjoner skal v re med blyant. Hjelpe gur En skisse av det som skal konstrueres. PÔ hjelpe guren skrives den informasjonen som er gitt i oppgaven. Normal NÔr to linjer skj rer hverandre slik at vinkelen mellom dem er 90, kan vi si at linjene stôr vinkelrett eller normalt pô hverandre. En normal er det samme som en rett vinkel. Midtnormal Reise opp en normal Nedfelle en normal Halvere en vinkel HalveringsstrÔle Sammensatt vinkel Kopiere en vinkel NÔr normalen deler linjestykket AB midt mellom A og B, kaller vi den midtnormalen til linjestykket. konstruere normalen til en linje i et punkt pô linja. konstruere en normal fra et punkt og ned pô en linje. dele en vinkel i to like store vinkler. Den linja som deler en vinkel i to like vinkler, kaller vi halveringsstrôle. Ved Ô kombinere konstruksjon av 60, 90, dobling og halvering av vinkler, kan vi konstruere sammensatte vinkler. Skal du lage en vinkel som er like stor som en du har fra för, kan du kopiere den opprinnelige vinkelen. Parallelle linjer To rette linjer som aldri skj rer hverandre, kaller vi parallelle linjer. To parallelle linjer har felles normaler, og avstanden mellom de to parallelle linjene er lengden av normalene mellom dem. Polygon En polygon er en plan gur som bestôr av tre eller ere sider. Polygon er det greske ordet for mangekant. Punktene A, B, C, D osv. er hjörner i polygonen, og sidene kaller vi AB, BC, CD osv. Polygonen har navn etter antall sider eller hjörner. Dersom alle vinklene er like store, og alle sidene er like lange, sier vi at polygonen er en regul r polygon eller en regul r mangekant. 80
Trekant Likesidet trekant En mangekant eller polygon med tre sider, tre hjörner og tre vinkler.. Trekantens hjörner merkes mot klokka.. Trekanten fôr navn etter vinklenes toppunkter.vi kan skrive trekanten som er lagd av punktene A, B og C,som4ABC.. Vinkelsummen i en trekant er 80.. For Ô konstruere en trekant trenger en tre uavhengige opplysninger om trekanten.. HÖyden i en trekant er lengden av normalen fra et hjörne til den motstôende siden. Ettersom en trekant har tre hjörner og tre sider, har den oftest tre forskjellige höyder.. Areal trekant = g h 2. I en trekant ABC der AB er diameteren i en sirkel og C ligger pô sirkelen, er C alltid 90.. I en trekant der vinklene er 30,60 og 90, er hypotenusen dobbel sô lang som den minste kateten.. I en likesidet trekant er alle sidene like lange, og alle vinklene er 60.. Alle de tre höydene er like lange.. Hver höyde halverer en side og en vinkel.. HÖydene deler trekanten i to rettvinklede trekanter med vinklene 30,60 og 90. Likebeint trekant. I en likebeint trekant er to av sidene like lange, og de to sidenes motstôende vinkler er like store.. NÔr vi nedfeller normalen fra toppunktet i den tredje vinkelen, blir den likebeinte trekanten delt i to like store, rettvinklede trekanter.. Normalen deler den tredje vinkelen i to like vinkler. 8
Rettvinklet trekant. I en rettvinklet trekant er en av vinklene 90.. Den lengste siden kaller vi hypotenusen. Hypotenusen er den motstôende siden til 90 -vinkelen.. De to sidene som dannes av vinkelbeina til 90 -vinkelen, kaller vi kateter.. Arealet av en rettvinklet trekant kan vi ogsô regne ut med formelen A = katet katet 2 Pytagoras setning I en rettvinklet trekant er arealet av kvadratet pô hypotenusen c lik summen av arealene av kvadratene pô katetene a og b. c 2 = a 2 + b 2 Toppvinkler Vinkler med felles toppunkt kaller vi toppvinkler. Vinkelbeina til den ene vinkelen er en direkte forlengelse av beina til den andre vinkelen. Toppvinkler er alltid like store. u og v er toppvinkler. x og y er toppvinkler. Nabovinkler To vinkler som ligger ved siden av hverandre, er nabovinkler. De har felles toppunkt, et felles vinkelbein og er til sammen 80. a og b er nabovinkler. 82
Samsvarende vinkler Like store samsvarende vinkler NÔr to linjer skj res av en tredje linje, fôr vi samsvarende vinkler. De samsvarende vinklene har enten höyre eller venstre vinkelbein felles. De har ikke samme toppunkt. a og b har höyre vinkelbein felles. De er samsvarende vinkler. NÔr to parallelle linjer skj res av en tredje linje, fôr vi like store samsvarende vinkler. m er parallell med n, m k n. a og a 0 og b og b 0 er samsvarende vinkler og like store siden m og n er parallelle. Formlike gurer Figurer som har samme form, men ulik störrelse, kaller vi formlike gurer. Symbolet for formlikhet er. I formlike gurer er alle vinklene parvis like store, og linjestykkene mellom de parvis like store vinklene stôr i samme forhold til hverandre. Formlike 4ABC 4DEF nôr A = D, B = E trekanter og C = F. I formlike trekanter stôr linjestykkene mellom de parvis like store vinklene i samme forhold til hverandre. AB DE = BC EF = CA FD Kongruente Kongruente gurer er bôde formlike og like store. gurer MÔlestokken mellom kongruente gurer er :. Diagonal Firkant En rett linje som gôr fra det ene hjörnet til det motstôende hjörnet i en rkant kaller vi diagonal. En mangekant eller polygon med re sider kalles for en rkant. Det nnes mange forskjellige rkanter, men felles for dem, er at de har re sider og re hjörner.. Vi merker rkanten pô samme môte som trekanten. HjÖrnene fôr navn i alfabetisk rekkefölge mot klokka.. Diagonalen deler rkanten i to trekanter.. Firkanter kan konstrueres som to trekanter. 83
. Vinkelsummen i en rkant er 2 80 = 360.. For Ô konstruere en rkant trenger vi fem uavhengige opplysninger.. Toppunktet pô den vinkelen vi skal navngi, skal alltid stô i midten nôr vi navngir en vinkel med tre bokstaver. A = DAB = BAD Kvadrat. Firkant der alle sidene er like lange og parallelle.. Alle vinklene er 90.. Diagonalene i et kvadrat er like lange og stôr vinkelrett pô hverandre.. Diagonalene halverer hverandre og deler vinklene i to vinkler pô 45.. Diagonalene deler ogsô kvadratet i re kongruente, likebeinte trekanter.. A = s s Rombe. Firkant der alle sidene er like lange, og motstôende sider er parallelle.. Diagonalene halverer hverandre og stôr vinkelrett pô hverandre.. Diagonalene halverer vinklene og deler romben i re kongruente trekanter.. MotstÔende vinkler er like store og höyden stôr alltid vinkelrett pô grunnlinja.. A = g h eller A = diagonal diagonal 2 2 Rektangel. Firkant der to motstôende sider er like lange og parallelle.. Diagonalene halverer hverandre og deler rektangelet i re likebeinte trekanter, der motstôende trekanter er kongruente.. Alle vinklene er 90.. A = l b eller A = l h 84
Parallellogram. Firkant der to motstôende sider er like lange og parallelle.. Diagonalene halverer hverandre og deler parallellogrammet i re trekanter, der motstôende trekanter er kongruente.. MotstÔende vinkler er like store.. HÖyden stôr alltid vinkelrett pô grunnlinja.. A = g h Trapes. Firkant der to av sidene er parallelle, og de to andre sidene ikke er parallelle.. HÖyden i et trapes stôr vinkelrett pô de parallelle sidene.. Dersom de to ikke-parallelle sidene er like, er trapeset likebeint.. A =ða + bþ h 2 Sirkel. En sirkel deles inn i 360.. I en sirkel med sentrum S ligger alle punktene i en bestemt avstand fra S.. Avstanden fra periferien til sentrum kaller vi radius.. En rett linje trukket fra periferien, gjennom sentrum og til periferien igjen, kaller vi diameter.. A = r 2. O =2r (pi) er en gresk bokstav. Tallet er forholdet mellom omkretsen og diameteren i en sirkel.tallet er et irrasjonalt tall og kan ikke skrives som en eksakt brök. = 3,4592653589793238... NÔr vi regner med desimaler er det vanlig Ô bruke & 3,4, men bröken 22 7 gir ogsô en god tiln rming. 85
Sirkelsektor En sirkelsektor er en del av sirkelen med toppunkt i sirkelens sentrum. En sektorvinkel har to radier som vinkelbein. Den delen av omkretsen som hörer til sektoren, kaller vi en sirkelbue. A sirkelsektor = r 2 n 360 der n er antall grader pô sektorvinkelen. Lengden av en sirkelbue nner vi ved denne formelen: b =2r n 360 der n er antall grader pô sektorvinkelen. Tangent Korde Sekant Rom gur/ Romlegeme En tangent er en rett linje som berörer sirkelen i ett punkt. Dette punktet kaller vi tangeringspunktet. Tangenten stôr normalt pô radien i tangeringspunktet. Et linjestykke som har endepunkter pô sirkelen. Midtnormalen til en korde gôr gjennom sentrum i sirkelen. Midtnormalene til to ikke parallelle korder har skj ringspunkt i sentrum av sirkelen. En sekant er en rett linje som skj rer sirkelen i to punkter. Tredimensjonale gurer som for eksempel et rett prisme, en sylinder og en kule. Over aten av en rom gur môles blant annet i kvadratcentimeter (cm 2 ), kvadratdesimeter (dm 2 ) og kvadratmeter (m 2 ). Volumet av en rom gur môles blant annet i kubikkmillimeter (mm 3 ), kubikkcentimeter (cm 3 Þ, kubikkdesimeter (dm 3 ) og kubikkmeter (m 3 ). Volumet av en rom gur kan ogsô môles i liter, dl, cl og ml. 86
Polyeder Platonsk legeme En rom gur eller romlegeme som har polygoner som side ater. Dersom en rom gur bestôr av kongruente polygoner, kaller vi den et platonsk legeme. Rett prisme. Et rett prisme har en mangekant som grunn ate og side ater som stôr vinkelrett pô grunn aten.. Grunn aten i et rett prisme kan v re trekantet, rkantet, femkantet osv. Er alle sidene i et rett prisme kvadratiske, kaller vi prismet en terning eller en kube.. Over aten av et rett prisme nner vi ved Ô beregne arealet av hver av sidene pô prismet og sô addere arealene.. Volumet av et rett prisme er arealet av grunn aten multiplisert med höyden. V = G h der G stôr for arealet av grunn aten. Pyramide. En pyramide bestôr av en grunn ate og ere trekanter som mötes i et punkt pô toppen.. Grunn aten kan v re en hvilken som helst mangekant. Dersom alle sidene er likesidede trekanter, er pyramiden et platonsk legeme, et tetraeder.. Bretter vi ut en pyramide med kvadratisk grunn ate, fôr vi en gur som bestôr av et kvadrat og re likebeinte trekanter.. Volumet av alle pyramider: V = G h 3 G er arealet av grunn aten og h er höyden i pyramiden.. HÖyden i en pyramide môles fra toppen av pyramiden, i trekantenes toppunkt, og vinkelrett ned pô grunn aten. HÖyden i en pyramide med kvadratisk grunn ate stôr vinkelrett pô grunn aten der diagonalene skj rer hverandre. 87
Sylinder. En sylinder er en rom gur som bestôr av en sirkul r eller en elliptisk grunn ate, og side ater som stôr vinkelrett pô grunn aten.. Over aten av en sirkul r sylinder nner vi ved formelen A sylinder =2r 2 +2rh =2rðr + hþ der h er höyden i sylinderen.. Volumet av en sylinder regner vi ut med formelen V = G h der G er arealet av grunn aten i sylinderen. Kjegle. En kjegle bestôr av en grunn ate og side ater som mötes i en spiss.. Grunn aten kan v re en sirkel eller en ellipse.. Volumet av en sirkelformet kjegle er 3 av volumet av en sylinder som har samme grunn ate og höyde. V = G h 3 V = r2 h 3 der h er höyden fra toppunktet vinkelrett pô grunn aten. Kule. En kule er en perfekt, symmetrisk geometrisk gur. Den har ingen kanter og er derfor ikke et polyeder.. Alle punktene pô over aten har samme avstand (radius) fra sentrum.. Over aten av en kule kan vi regne ut med formelen A =4r 2. Volumet av en kule kan vi regne ut med formelen V = 4r3 3 88
Tabeller MÔltall med môleenhet Navn Antall meter mil mil 0 000 m km kilometer 000 m m meter m dm desimeter 0 m = 0, m cm centimeter 00 m = 0,0 m mm millimeter 000 m = 0,00 m MÔltall med môleenhet Navn Antall gram Antall kilogram tonn tonn 000 000 g 000 kg kg kilogram 000g kg hg hektogram 00 g 0 kg = 0, kg gram gram g 000 kg = 0,00 kg mg milligram 000 g = 0,00 g 000 000 kg = 0,000 00 kg g mikrogram 000 000 g = 0,000 00 g 000 000 000 kg = 0,000 000 00 kg MÔltall med môleenhet Navn Antall m 3 m 3 kubikkmeter m m m =m 3 dm 3 kubikkdesimeter 0, m 0, m 0, m = 0,00 m 3 = 000 m3 cm 3 kubikkcentimeter 0,0 m 0,0 m 0,0m = 0,000 00 m 3 = 000 000 m3 89
MÔltall med môleenhet Navn Antall liter l liter liter dl desiliter 0 liter = 0, liter cl centiliter 00 liter = 0,0 liter ml milliliter 000 liter = 0,00 liter 90