Løsningsforslag til eksamen i EA04 - Fysikk, 5..009 Oppgae a) Klossen er i kontakt med sylinderen så lenge det irker en normalkraft N fra sylinderen på klossen og il forlate sylinderen i det N = 0. Summen a krefter rettet inn mot sentrum a sirkelbeegelsen il da måtte ære tyngdens komponent inn mot dette senteret: F = mg cos θg = m Ved å nne et uttrykk for hastigheten som funksjon a inkelen θ kan likningen oer bli brukt til å nne hor stor θ må ære i det klossen forlater sylinderen. Dette kan oppnås ed å innse at mekanisk energi er beart under beegelsen på sylinderaten og at kinetisk energi alltid il ære lik tapet a potensiell energi fra toppunktet: m = mg h = mg ( cos θ g ) = g ( cos θ g) Innsetting a / fra begge likningene gir oss da g cos θ g = g ( cos θ g ) b) Bearing a mekanisk energi gir cos θ g = = g ( cos θ g ) = g g = =, 56 m/s På grunn a at hastighetsektoren peker tangentielt til sylinderens oer- ate i det klossen forlater sylinderen må retningen til hastigheten ære lik θ g = 48, 0 under horisontallinjen. c) Under det frie fallet kan beegelseslikningene for konstant akselerasjon brukes. Vi må først nne hor lang tid det går fra klossen slipper sylinderen til den treer underlaget. En måte er å først nne hastigheten i ertikalretningen (y-retningen) i det den treer underlaget: y = 0y + g y
hor 0y = sin 48, 0 =, 9 m/s og y =, 0 m h, der h = cos θ g = 0, m. Dermed: y = 0y + g y = (, 9 m/s) + 9, 8 m/s, 67 m = 7, 48 m/s Tiden nnes dermed fra y = 0y + g t t = y 0y g = 0, 57 s Siden det ikke ns akselerasjon i horisontalretningen (denert som x- retning), er forytningen langs denne aksen nå grei å nne: x = 0x t = cos θ g t =, 56 m/s 0, 57 s = 0, 97 m Den totale forytningen x tot langs x blir da: Oppgae a) Tallerdien til treghetsmomentet blir x tot = sin θ g + x =, 7 m I = m = 5, 0 0 kgm b) Siden sylinderen ruller uten å gli, gjør ikke friksjonen noe arbeid, og mekanisk energi er beart. Dette innebærer at den kinetiske energien til sylinderen er lik tapet a potensiell energi. Dermed: mg h = mgl sin θ = m + Iω = m + ( ) m = 4 m 4 = gl sin θ =, m/s c) Vi kaller hastighetene til massesentrene til de to sylindrene umiddelbart etter støtet e og e. Bearing a beegelsesmengde gir: m = m e + m e = e + e I et fullstendig elastisk støt er også kinetisk energi beart. Dette gir: m = m e + m e = e + e Første likning gir at e = e, og innsetting i den andre likningen gir: = ( e ) + e e e = 0 e ( e ) = 0 e = 0 e = Den andre løsningen for e er den fysisk riktige, og dermed følger det at e = e = 0, som ar det i skulle ise.
d) Umiddelbart etter støtet er massesenteret til sylinder i ro, mens inkelhastigheten er /. For sylinder beeger massesenteret seg med hastigheten, mens inkelhastigheten er null. Sylindrene spinner altså på underlaget, og i har glidefriksjon med friksjonskrefter f = µn = µmg og f = µn = µmg, der f peker mot høyre og f peker mot enstre. For begge sylindrene elger i positi retning mot høyre på guren og positi omløpsretning med klokka. For begge sylindrene gjelder også at Newtons. lo for massesenterbeegelsen gir oss en mulighet til å nne massesenterets hastighet som funksjon a tiden, mens spinnsatsen τ = Iα om massesenteret gir oss en mulighet til å nne inkelhastigheten som funksjon a tiden. Tidspunktene der rullebetingelsen ω = / igjen er gyldig er nettopp tidspunktene i er ute etter. Sylinder : F = ma µn = µmg = ma a = µg Siden a er konstant, gjelder beegelseslikningene for konstant akselerasjon: = 0 + at = µgt (t) = µgt τ = Iα f = m α α = µg Siden α er konstant, gjelder beegelseslikningene for konstant inkelakselerasjon: ω (t) = ω 0 + αt = µg t Dersom i forutsetter at rullebetingelsen igjen skal gjelde, får i følgende likning for t : ω (t ) = µg t = µg t t = µg =, 0 m/s = 0, 4 s 0, 9, 8 m/s Hastigheten til sylinder på dette tidspunktet blir: som ar det som skulle ises. Sylinder : = (t ) = µgt = = 0, m/s F = ma µn = µmg = ma a = µg Siden a er konstant, gjelder beegelseslikningene for konstant akselerasjon: = 0 + at = µgt (t) = µgt
τ = Iα f = m α α = µg Siden α er konstant, gjelder beegelseslikningene for konstant inkelakselerasjon: ω (t) = ω 0 + αt = µg t Dersom i forutsetter at rullebetingelsen igjen skal gjelde, får i følgende likning for t : ω (t ) = (t ) µg t = µg t t = µg =, 0 m/s = 0, 4 s 0, 9, 8 m/s Sylindrene begynner altså å rulle uten å gli igjen på nøyaktig samme tidspunkt (noe som ikke uten idere er opplagt). Hastigheten til sylinder på dette tidspunktet blir: = (t ) = µg µg = = 0, 67 m/s som ar det som skulle ises. Det kan legges merke til at hastighetene og er fullstendig uahengig a erdien på friksjonskoesienten µ. Den konkrete erdien bestemmer hor lang tid det tar før sylindrene ruller uten å gli igjen, men slutthastighetene er ahengig a starthastigheten og ikke noe annet enn den. e) Arbeid/energi-teoremet sier at arbeidet W som friksjonen har gjort tilsarer endring a mekanisk energi, noe som i dette tilfellet er ekialent med endring a kinetisk energi. Dermed: W = K = m + ( I ) + m + ( I ) ( m + ( ) ) I W = 4 m ( 9 + 4 9 ) 4 m = m = 0, J Oppgae a) Her kan i bruke Bernoullis likning, som sier at p + ρgh + ρ = konstant langs en strømlinje. Øerst i tanken er trykket lik lufttrykket p 0 og hastigheten (tilnærmet) null. Akkurat i det annet forlater tanken er også trykket lik p 0, men høyden kan her settes til null. Dermed: p 0 + ρgh 0 + ρ 0 = p 0 + ρg 0 + ρ 4
ρ = ρgh 0 = gh 0 = 9, 8 m/s 0, 0 m = 9, 8 m/s b) Volumstrømmen er gitt ed: dv dt = A = π ( ) d = π (0, 005 m) 9, 8 m/s =, 56 0 m /s c) Volumet ann som har passert ut a hullet ed en gitt tid t kan skries som V (t) = V 0 A h(t) = A (h 0 h(t)). Hastigheten som funksjon a høyden er som beskreet oer lik = gh. Dermed: dv dt = A A dh dt = A = A gh dh = g A h dh dt = g A h A h 0 h A h ( g A h0 g h 0 = t h (t) = A t 0 A dt A t Vannstanden har kommet ned til hullet når h(t) = 0. Dette skjer etter en tid g A h0 t = 0 A ( ) h 0 t = g A h 0 = A g d =, 0 0 6 s =, 4 døgn Oppgae 4 a) Her bruker i Newtons. lo til å nne akselerasjonen: d ) F = ee = ma a = ee m og beegelseslikningen d = a( t), gyldig for konstant akselerasjon. Innsetting gir: E = md e ( t) =, 04 0 N/C b) Vi setter direkte inn i en annen, elkjent beegelseslikning: = 0 + a t = d t =, 0 04 m/s 5