. Oppgave. Bevis følgende logiske ekvivalens: ((p q) p) (p q). Bestem de sannhetsverdier for p, q og r som gjør følgende utsagn galt: (p (q r)) (q r p) 3. Avgjør om følgende utsagn er sant i universet av heltall : x y (x>3) x + y 5.. Løsning til.:.løsning: ((p q) p) (p q) p p q p ((p q) p) (p q p) (p p q) (p q) (p q). løsning: Bygge sannhetsverdigtabeller for ((p q) p)og(p q), og vise at sannhetsverdier er like... Løsning til.:.løsning:. Utsagnet (p (q r)) (q r p) ergaltkunnår (p (q r)) er sant, mens (q r p) er galt.. Utsagnet (q r p) ergaltkunnår q r er sant, mens p er galt. Derfor p må være galt. 3. Utsagnet q r er sant, hvis q r er galt, d.v.s. q og r må ha forksjellige sannhetsverdier (q 6 r). 4. Siden (p (q r)) må væresantogp må være galt, da (q r) skal være galt. 5. For q og r som har forksjellige sannhetsverdier skal (q r) væregalt. 6. Svar: p er galt, q og r har forksjellige sannhetsverdier..løsning: Bygge sannhetsverdigtabeller for ((p q) p) (p q), og velge tilfeller når utsagnet er galt.
.3. Løsning til.3: Utsagnet er galt siden for x>3blirx + y > 9 6 5 for alle mulige heltall y.. Oppgave La a n være antall n-sifrete tall som kan dannes ved bruk av sifre fra mengden S {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} slik at primtall ikke påfølger hverandre (Husk at er ikke et primtall.). Forklar at følgen a n tilfredsstiller differenslikningen a n 5a n +0a n, n, og finn a og a.. Løs differenslikningen fra pkt. med initialbetingelser... Løsning La a n (P ) betegne antall n-sifrete tall med primtall som siste siffer (d.v.s.,3,5 eller 7). La a n (S) betegne antall n-sifrete tall med sammensatt tall som siste siffer (d.v.s.,4,6,8 eller 9). Da a n a n (S) + a n (P ). Ut fra regler hvordan slike n-sifrete dannes kan vi se at a (S) n 5a n og a n (P ) 4a (S) n 4(5a n ) 0a n Det betyr at a n a (S) n + a n (P ) 5a n +0a n. a {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 9og a {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} {, 3, 5, 7} {, 3, 5, 7} 8 6 65... Løsning La a n cr n. Karakteristisk ligningen blir r 5r 0 0. Da r, 5± 5+80 n n Generel løsning blir a n c 5+ + 5 c. 5±. Nå skalvifinne c og c. For å forenkle beregninger skal vi finne a 0. Fra differenslikningen a n 5a n +0a n får vi at a 5a +0a 0 og a 0 0 65 5 9 0. a 5a n 9 a 0 c 5+ 65 a c 5+ 0 + c 5 + c 5 0
c ( c + c 9 c 5+ + c 5 65 c 9 c 5+! + c c 65 9 c 5+! +(9 c )! 5+ c 5 5+ c 5 5+ 5+ c c +9 +9!! 5 +9! +9 65 30 45 + 9 85 + 9 c 85 + 9 85 + 9 9 + 85 0 0 c 9 89 + 7 378 89 7 4 4 4 a n 89 + 7 4! 5+! n + 89 7 89 7 4! 945 + 85 0 n 89 + 7 4 3. Oppgave Bevis med hjelp av matematisk induksjon at for n,,... 5 + 5 9 + 9 3 +... + (4n 3) (4n +) n 4n + 3
3.. Løsning: La S (n) : 5 + 5 9 + 9 3 +... + (4n 3)(4n+) n 4n+ Hvis n, da S () er sant siden (4 3)(4 +) 4 + (4k 3)(4k+) k 4k+ 5 + 5 9 + 9 3 +... + (4k 3)(4k+) + Anta at S (n) ersantforn k,d.v.s. 5 + 5 9 + 9 3 +... + Vi skal vise at S (n) ersantforn k +,d.v.s. (4(k+) 3)(4(k+)+) k+ 4(k+)+ + (4 (k +) 3) (4 (k +)+) k (4k +5)+ (4k +)(4k +5) (k +)(4k +) (4k +)(4k +5) 4. Oppgave 5 + 5 9 + 9 3 +... + (4k 3) (4k +) {z } k 4k+ k 4k + + (4k +)(4k +5) 4k +5k + (4k +)(4k +5) (k +)(4k +) (k +) (4k +)(4k +5) (4k +5) k + 4(k +)+ 6-sifrete tall dannes ved hjelp av sifre fra mengden S {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.. Hvor mange slike tall kan dannes hvis repetisjon er tillatt?. Hvor mange 6-sifrete tall kan dannes slik at hvert siffer fra S inngår maksimalt en gang? 3. Hvor mange 6-sifrete tall kan dannes slik at eksakt ett av sifrene er et primtall? 4. Hvor mange 6-sifrete tall kan dannes slik at summen av sifrene som inngår i tallet er 30? 4.. Løsning: 4.. Løsning: 9 {z... 9} 9 6 6 9 8 7 6 5 4 9! 3! 4
4.3. Løsning: Først danner 5-sifrete tall uten primtall. Vi kan danne 5 5 slike tall. Vi kan sette inn det siste tallet (som er primtall) på 6 6forskjeligemåter og vi kan velge dette primtallet på 4 4forskjelligemåter. Derfor vi kan danne 5 5 6 4 6-sifrete tall slik at eksakt ett av sifrene er et primtall. 4.4. Løsning:.løsning. Svaret er antall heltalls løsninger av følgende likningen: x + x +... + x 6 30 x i 9,i,...,6 eller x + x +... + x 6 4 0 x i 8,i,...,6 Vi skal bruke inkl./ekskl. prinssippet. La oss anta at c i er sant hvis x i > 9. Da antall heltalls løsninger er lik N (c c...c 6 )S 0 S + S S 3 + S 4 S 5 + S 6 La oss finne alle S i. S 0 er lik antall heltallsløsninger av x + x +... + x 6 4 0 x i,i,...,6 Derfor S 0 4+6 4 9 4. S N(c )+... + N(c 6 ) 6 N (c ), hvor N (c ) er lik antall heltallsløsninger av x + x +... + x 6 4 9 x, 0 x i,i,...,6 som er lik antall heltallsløsninger av x + x +... + x 6 5 0 x i,i,,...,6 5
Derfor S 6 N (c ) 6 5+6 5 S N(c c )+...+N(c 5 c 6 ) 6 av x + x +... + x 6 4 9 x, 9 x, 0 x i,i,...,6 som er lik antall heltallsløsninger av x + x +... + x 6 6 0 x i,i,,...,6 6 0 5 N (c c ), hvor N (c c ) er lik antall heltallsløsninger Derfor S 6 N (c c ) 6 6+6 6 6 6 Ved å gjennomføre samme analyse kan vi se at S 3 S 4 S 5 S 6 0. Derfor µ µ µ µ µ 9 6 0 6 N (c c...c 6 ) + 0+0 0+0 4 5 6.løsning Det er også muligå fine svar ved hjelp av genererende funksjoner. D.v.s. at en må finne koeffisient a 30 som står foran x 30 for genererende funksjon x + x + x 3 +... + x 9 6 5. Oppgave Vi har en endelig tilstandsmaskin M (S, I, O, v, w) meds {s 0,s,s,s 3,s 4,s 5 }, I O {0, }. Funksjonene v : S I S og w : S I O er gitt i tab.5... Tegn tilstandsdiagrammet til M og finn en delmaskin av M.. Finn den minimale tilstandsmaskinen for M. 3. Finn en minimal sekvens som skiller (eng. distinguish ) tilstandene s og s. 5.. Løsning Eksempler av delmaskin: 6
v w 0 0 s 0 s 0 s 4 s s s 4 0 s s 3 s 0 0 s 3 s 3 s 0 s 4 s 4 s 0 s 5 s 0 s 5 0 Table 5.: Tilstandsmaskin M v w 0 0 s 0 s 0 s 0 s s s 0 0 s s 3 s 0 0 s 3 s 3 s 0 s 5 s 0 s 5 0 Table 5.: Min. tilstandsmaskin 5.. Løsning P 0 : {s 0,s,s,s 3,s 4,s 5 } P : {s 0,s 4 }, {s,s,s 3,s 5 } P : {s 0,s 4 }{s,s }, {s 3 }, {s 5 } P 3 : {s 0,s 4 }, {s }, {s }, {s 3 }, {s 5 } P 4 : {s 0,s 4 }, {s }, {s }, {s 3 }, {s 5 } P 3 P 4 Minimal tilstandsmaskin er gitt i tab.5..: 5.3. Løsning Korteste distinguishing string er: 00 w (s, 00) 0 w (s, 00) 00 7
6. Oppgave La RSA nøklene være representert av p 4,q59,n pq og e 5, der (e, n) er den hemmelige (private) nøkkelen.. Finn d i den offentlige (public) nøkkelen(d, n).. Krypter melding 999 ved bruk av den hemmelige (private) nøkkelen(e, n) og dekrypter ved bruk av den offentlige (public) nøkkelen d. 6.. Løsning Bruk utvidet Euklids algoritme for å finne d som er lik 5 mod 30 5. Test: 5 5 mod 30 6.. Løsning E (999) 999 5 mod 30 037 D(037) 037 5 mod 30 999 8