Varmekapasitet, og einsteintemperatur til aluminium Tiril Hillestad, Magnus Holter-Sørensen Dahle Institutt for fysikk, NTNU, N-7491 Trondheim, Norge 23. mars 2012 Sammendrag I dette forsøket er det estimert en verdi for einsteintemperaturen til aluminium, i henhold til Einsteins teori om temperaturavhengig varmekapasitet til faste stoer. Verdien ble anslått til Θ E = 284 ± 25K. Innledning Hensikten med eksperimentet er å bestemme spesikk varmekapasitet for en metallprøve og forstå fysiske begrep og matematiske sammenhenger som inngår i varmeopptak av og varmeavgivelse fra objekter. Det vil også forsøkes å bestemme einsteintemperaturen til dette metallet, ved bruk av kalorimetri. Metallprøven nedsenkes ned i en væske som fordamper som følge av varmeoverføring fra metallet. Mengden fordampet uid benyttes for å beregne avgitt varme fra metallet. I undersøkelsen er metallet benyttet, aluminium. Teori Den spesikke varmekapasiteten til et sto er denert som den mengden varme det kreves å heve temperaturen i stoet med 1K. Av klassisk betraktning av varmekapasiteten, skal denne være temperaturuavhengig. Dette stemmer ikke med eksperimentelle observasjon. Einstein benyttet kvantemekanisk teori, til å forklare molekylenes energi ved diskrete energinivåer 1, bestemt av, E = khν = ke 1 = E k (1) Fordi hvert molekyl og atom kan ha en variabel energimengde, avhengig av hvilken tilstand, eller energinivå den benner seg i, vil varmekapasiteten være temperaturavhengig. Med denne forklaringen utledet Einstein et nytt uttrykk for varmekapasiteten gitt ved, ( ) 2 E1 e E1/k ( ) bt 2 C v = 3R k b T [1 e E1/k bt ] = 3R E1 e E1/k bt 2 k b T [e E1/k bt 1] 2 (2) Det blir her innført einsteintemperaturen gitt ved, Θ E = E 1 k b (3) Eksperimentelt kan varmekapasiteten for et metall nnes ved bruk av kalorimetri. Metallet vil, om omsluttet av væske, avgi en varmemengde, Q, til uidet som fordamper. Ved målinger av gjenværende væskes masse, samt ha kjent verdi for uidets TFY4165 Termisk Fysikk, laberatoriekurs, gruppe 1, lag 2. 1 Naqvi, 2012, s25 1
latente varme, L ford, og dets molare masse, kan vi nne denne varmemengden gitt fra, Q = L ford m fluid (4) Den teoretiske verdien for Q theo, av Einsteins teori er, der, Q = 3nR[T 0 ε(θ E /T 0 ) T f ε(θ E /T 0 )] (5) ε(y) = y e y 1 Gauss' lov for feilforplantning 2 i beregninger av målte variable, brukes for å gi et estimat av usikkerheten i polynomske uttrykk. (6) Apperatur og metode Utstyr brukt i eksperimentet er listet som følgende, METTLER TOLEDO presisjonsvekt, presisjon: 10 6 kg. Aluminiumsprøve Flytende nitrogen (77K) Isoporkrus (2dl) Apperatur settes opp som vist i gur 1. Målinger gjøres av metallprøvens masse, før en isoporkopp fylles med ytende nitrogen og plasseres på presisjonsvekten. Nitrogenet fordamper, og begerets masse noteres fortløpende med jevne tidsintervaller. Metallprøven senkes forsiktig ned i begerkoppen. Den totale massen noteres på nytt over et tilsvarende tidsintervall etter at fosskoking har avtatt. MATLAB benyttes til å gjøre en regresjonsanalyse av massen som funksjon av tid, både før og etter nedsenkningen av metallprøven. Dieransen mellom funksjonene i ett tidspunkt, brukes til å estimere mengden nitrogen som fordamper som følge av aluminiumets nedsenkning. Einsteintemperaturen estimeres ved å granske C v i henhold til likning 5, og dens skjæringspunkt med den eksperimentelle verdien beregnet ved målte verdier fra likning 4. Figur 1: Viser oppsett av apperatur. (1) Aluminiumsprøven, (2) isoporbeger ned ytende nitrogen, (3) presisjonsvekt. Resultater Aluminiumprøvens masse måles av presisjonsvekt til, m alu = 6.05 ± 0.01g. Det antas at metallet har en initell temperatur lik romtemperaturen, T 0 = 290 ± 3K. Etter 2 Melø, 2011, s32 2
nedkjøling i isoporbegeret, vil aluminiumen ha en temperatur tilsvarende nitrogenets kokepunkt, T f = 77K. Isoporkoppens totale masse med nitrogen før nedsenkning av metallprøven er vist i tabell 1, ved tilhørende tidspunkt. Tabell 1: Viser massen av isoporkrus med nitrogen ved gitte tidspunkter. t m (s) (g) 0 125,30 20 124,14 40 123,08 60 122,09 80 120,99 100 119,89 Isoporkoppens totalemasse med nitrogen etter nedsenkning av metallprøven er vist i tabell 2, ved tilhørende tidspunkt. Tabell 2: Viser massen av isoporkrus med nitrogen og metallprøve ved gitte tidspunkter. t m (s) (g) 360 112,08 380 110,83 400 109,83 420 108,84 460 107,80 Regresjonsanalyse av dataene ved MATLAB, vises i gur 2. Endringen av masse som følge av nedsenkningen av aluminiumsprøven beregnes til, m = 4, 57±0.05g, ved bruk av tidspunktet t = 340s. Den latente fordampningsvarmen for ytende nitrogen antas å være kjent som, L ford = 2, 00 10 5 J/kg, uten usikkerhet. Da følger den avgitte varmen fra metallprøven av likning 4, og estimeres til Q eksp = 914 ± 10J. 3
Figur 2: Viser regresjon av endringen i masse av nitrogen over tid, før (rød), og etter (grønn), nedsenkningen av metallprøven. Dieransen i nitrogenets masse er illustrert ved pilen i guren. Einsteintemperaturen, Θ E, for aluminium bestemmes ved å plotte Q, som funksjon av Θ E, ved likning 5, for så å granske grafens krysningspunkt med den eksperimentelt beregnede konstanten, Q eksp. Skjæringspunktet svarer til einsteintemperaturen, Θ E = 284, 3K. For å estimere usikkerheten i denne, plottes grenseverdiene for Q eksp ± 10J og Q theo for T 0 ± 10J, og grask nnes tilsvarende ytterpunkter for Θ E. Grafen vises i gur 3, og det anslås at Θ E = ±25K. Figur 3: Viser Q theo som funksjon av einsteintemperaturen tegnet i rødt, med avvik i turkis. Den beregnede konstanten Q eksp ±10K, ved eksperimentelt målte verdier er også plottet, der eksperimentell verdi er markert med grønt og avviket med blått. 4
Diskusjon Einsteintemperaturen for aluminium er anslått til Θ E = 284 ± 25K. Det er antatt i forsøket at nitrogen har en konstant, og konsekvent latent varme. Det foreligger også en usikkerhet i initell temperatur, T 0, som ble antatt å være lik romtepmeraturen, 290 ± 3K. Det forekommer også en usikkerhet i beregningen av masseendringen m, i begeret under målingene. Her er usikkerheten størst, både som følge av feil i menneskelig vektavlesning på korrekt tidspunkt, og som følge av at regresjonskurvene, for før og etter nedsenkning av mellprøven, har noe ulikt stigningstall. Denne usikkerheten medfører vanskeligheter i å avgjøre den faktiske mengden nitrogen som fordamper som følge av varme avgitt fra aluminiumprøven. Usikkerheten som følge av ulikt stigningstall i regresjonskruvene kan ha opphav i smale tidsintervall mellom måling av nitrogenmassene. Om intervallene øktes fra 20 sekunder som benyttet i dette forsøket, til rundt ett minutt, kunne man oppnådd en mindre usikkerhet i regresjonskurvene, og der av redusere feilen i masseednringen, m, av nitrogenet. Konklusjon Det er i dette forsøket beregnet en verdi for aluminiums einsteintemperatur til, Θ E = 284 ± 25K. Forsøkets største usikkerhet ligger i beregningen av mengden fordampet nitrogen, samt initaltemperaturen til metallprøven. Referanser [1] Naqvi, Razi K. LABORATORIUM I EMNET TFY4165 TERMISK FYSIKK. Trondheim, 2012. [2] Meloe, Thor B. LABORATORIUM I EMNENE TFY4155/FY1001 MEKANISK FYSIKK. Trondheim, 2011. 5