Aksjeavkastningsparadoxet

Aksjeavkastningsparadoxet Kjell Arne Brekke October 16, 2001 1 Mer om risikofrie sannsynligheter Vi skal nå tilbake til modellen vi studerte ovenfor, med to tidsperioder og en konsumvare i hver periode. Vi skal forenkle enda litt mer og anta at nyttefunksjonen er additiv, dvs at u i (c i0,c iω )=u i (c i0 )+ρu i (c iω ). Med komplette markeder finnes det priser på tilstandsbetinget krav på alle tilstander ω Ω, disse prisene betegnes ψ ω. Budsjettbetingelsen er da c i0 + X ψ ω c iω = e i0 + X ψ ω e iω og aktøren maksimerer forventet nytte u i (c i0 )+ρ X π iω u i (c iω ) Dette gir en lagrangefunksjon L = u i (c i0 )+ρ X h π iω u i (c iω )+θ i c i0 + X ψ ω c iω e i0 X i ψ ω e iω 1

og førsteordensbetingelser u 0 i0 (c i0) = θ i π iω ρu 0 i(c iω ) = θ i ψ ω der θ i er lagrangemultiplikatoren for i sin budsjettbetingelse. eliminere θ i : ρu 0 ψ ω = π i(c iω ) iω u 0 i0(c i0 ). La oss stoppe opp ved denne ligningen litt. Vi husker at X ψ ω = 1 1+r Vi kan her der r er obligasjonsrenten. Anta først at det bare er en tilstand og at obligasjonsrenten er null, og ρ =1.Davetviatπ iω =1=ψ ω. Ligningen ovenfor gir da at u 0 i(c i0 )=u 0 i(c i der vi har skrevet c i1 for konsumet i periode 1, siden det bare er en tilstand. Denne ligningen kan leses som at marginalnytten av konsum er det samme i begge tilstander. Med generell rente og ρ finner vi tilsvarende u 0 i (c i0) =ρ(1 + r)u 0 i (c i1) Dersom nå avkastningen på obligasjoner er høy, slik at r er stor og ρ(1 + r) > 1, såmådetbetyatu 0 i(c i0 ) >u 0 i(c i. Siden u 00 < 0, såmådetigjen bety at c i0 <c i1. Vi konsumerer altså mindre i dag enn i neste periode, og må da spare tilsvarende. Altså når pengene kaster mye av seg i banken, så lønner det seg å sette dem i banken. Dersom renten er liten eller vi legger liten vekt på framtidig konsum (ρ liten) slik at ρ(1 + r) < 1, så følger det på samme måten at c i0 >c i1. Med andre ord, når vi får lite igjen for pengene ved å sette dem i banken, så bruker vi mer av dem nå. 2

La oss så gå tilbake til formelen ovenfor. Vi innfører nå sannsynlighetene vi husker q ω = ψ ω (1 + r) og ser da at ρ(1 + r)u 0 q ω = π i(c iω ) iω u 0 i(c i0 ) Vi ser her at de risikofrie sannsynlighetene er justeringer av de subjektive sannsynlighetene. Summerer vi over alle ω ser vi at u 0 i (c i0) =ρ(1 + r)e [u 0 i ( c i1)] så i gjennomsnitt gjelder samme sammenheng som ved full sikkerhet. Men i dette tilfellet vil c iω være forskjellig i ulike tilstander. Noen tilstander gir et høyt konsum, og da er c iω u 0 i(c i0 ) > ρ(1 + r)u 0 i(c iω ) siden marginalnytten er avtagende. I dette tilfellet ser vi at q ω < π iω. Når c iω er lav derimot, så blir motsatt q ω > π iω. Risiko har bare betydning når u 00 < 0. Vi ser bortfra u 00 > 0, sombetyr at personen søker risiko. Det er nesten ingen grenser for hvor mye risiko en kan få, så adferden til en som er konsekvent risikosøkende vil bli temmelig ekstrem. Dersom u 00 =0, så vet vi at risikoaversjonen er lik 0, og personen ser da ikke på risiko i det hele tatt, og det er ikke noe behov for risikojustering. Når u 00 < 0, så gjenspeiler det at vi har ulik nytte av en krone ekstra avhengig av om den kommer i en tilstand der vi alt har mye eller i en tilstand derviharlite. Nårviregneromfraπ iω til q ω er det nettopp dette vi justerer for, ved at vi legger ekstra stor vekt på de inntektene som kommer når vi har lite penger ellers, dvs vi overvektlegger de tilstandene. Vi ser også at graden av risikoaversjon vil bestemme hvor stor forskjell det er på q ω og π iω. 3

2 Equity Premium Puzzle I det følgende skal vi gjøre enda en forenkling, som er langt mer troskydlig enn den kan virke. Vi skal anta at det bare er en investor i dette markedet. Han oppfører seg akkurat som investoren ovenfor, men han disponerer altså hele inntekten i samfunnet og konsumet hans blir lik total tigjengelig kosummengde. Han handler på samme måten som ovenfor med tilstandsbetingede papirer i et komplett marked. Denne ene investoren kaller vi den representative aktør. En slik forutsetning kan virke helt hinsidig, men det kan vises at de prisene vi finner er det samme som i et stort marked med mange aktører. Forutsetningen er at alle er enige om de subjektive sannsynlighetene og at nyttefunksjonen er pene og ikke altfor forskjellige. Jeg skal ikke gå inn på detaljene. Med en slik representativ aktør blir likevekten ψ ω = π ω ρ u0 (C ω ) u 0 ( ) Dersom vi kjøper et betinget krav på alle tilsatnder, får vi en sikker utbetaling. Det følger av det at X ψ ω = 1 1+r. Fra ligningen ovenfor gir dette at " u 0 ( ρe C = ρ X u0 (C ω ) π u 0 ω = 1. ( ) u 0 (C 0 ) 1+r f Samtidig sitter denne representative aktøren med en portefølje (markedsporteføljen) som gir avkastning x ω. Verdien på denne porteføljen er S 0 = X ψ ω x ω = X " π ω ρ u0 (C ω ) u 0 ( ) x u ω = ρe S 0 ( C 1. u 0 ( ) 4

Siden avkastningen på porteføljen er 1+ r = S 1 /S 0. Ligningen ovenfor kan derfor skrives Til sammen gir dette ρe " u 0 ( ρe C (1 + r) =1 u 0 ( ) E " u 0 ( C u 0 ( ) (1 + r f) " u 0 ( C u 0 ( ) ( r r f) Anta nå at nyttefunksjonen er av formen u(c) = 1 1 α c1 α = 1 = 0. som svarer til tilfellet ovenfor med α = 1 og A =0. Ligningene blir da B "Ã! α C1 ρe (1 + r f ) = 1 Husk her at E "Ã! α Cω ( r r f ) = 0 Cov(X, Y ) = E(X EX)(Y EY )=EXY EXEY EXY = EXEY Cov(X; Y ) slik at "Ã! α C1 ρe (1 + r f ) = 1 "Ã! α Ã! α Cω Cω E E( r r f )+Cov(, r) = 0 5

Dette blir enda klarer om vi antar at både g =ln( C 1 ), ˆr =ln(1+ r) og ˆr f =ln(1+r f ) er normalfordelt. (I praksis er heller ikke avkastningen på obligasjoner helt sikker, både fordi realavkastningen avhenger av inflasjonen og rentene endrer seg. Ligningene ovenfor blir imidlertid de samme selv om r f ikke er helt sikker.) Da kan en vise (jeg skal ikke gjøre det her) at formlene blir ln(ρ) αeg + 1 α 2 Var(g) 2αCov(g, ˆr f )+Var(ˆr f ) 2 = 0 E(ˆr ˆr f ) αcov(g, ˆr ˆr f )+ 1 2 [Var(ˆr)+Var(ˆr f)] = 0 Med data fra amerikansk økonomi har dette blitt estimert til ln(ρ) 0, 018α + 1 0, 00127α 2 +0, 0004α +0, 003 2 = 0 0, 06 0, 0024α + 1 [0, 027 + 0, 003] 2 = 0 som igjen gir α = 0, 075 0, 024 30 ln(ρ) = 0, 039 Det er to problemer med denne løsningen. For det første så må folk legge større vekt på framtidas enn dagens konsum, (ρ > 1). I motsatt fall skulle de ikke spare med de risikofrie rentene som en observerer. at α > 2, 5 blir ansett som svært lite plausiblet. investorene på børsen. Det andre er Såå risikoavers er ikke Estimeringer direkte på data vil gi at α > 15 og at ρ > 1. Det er det siste som kalles for Equity Premium Puzzle. Det som driver paradokset er at forskjellen mellom avkastningen på aksjer og obligasjoner er såpass stor. 6

Det som gjør at ρ blir såpass lav er at r f er så liten. Om vi ser bort fra usikkerhet blir den første ligningen ρ = 1, 018α 1+r f ln(ρ) = 0, 018 α r f for α > 0, 5. Vi ser av tilnærmingene ovenfor at dette regnestykket blir ikke helt nøyaktig, (det må korrigeres for at C er usikker) men poenget her er at vi forventer 2% høyere konsum om ett år, og da rimer det ikke helt at noen vi spare til 1% rente. Den siste observasjonen finnes det imiderltid mange forklaringer på. Hvorfor forutsatte vi i utgangspunktet at ρ < 1. Viserdaatomc 0 = c 1 = c, så vil en krone ekstra til konsum i periode 0 enn en krone til konsum i periode 1fordi u 0 (c) > ρu 0 (c). Det betyr at om konsumet er det samme i begge perioder og vi får en krone ekstra vil vi heller bruke den på konsum nå enn senere dersom ρ < 1. Det er langtfra opplagt at det er en rimelig forutsetning, og en forklaring som har støtteidataeratbådekonsumnivåogvekstgirnytte. Ideenhereratvi venner oss til de varene vi har i dag. Den første dagen du får et nytt møbel, reist ett sted, eller kanskje har funnet en ny spennende rett så gir det en ekstra glede, men etter hvert venner en seg til det og går lei. Nye møbler, andreretterellerenlengerreisemåtilforågisammegledenigjen. Deter derfor bra med et stadig voksende konsum, slik at den ekstra krona heller hadde blitt brukt til framtidig konsum. Noen god forklaring på forskjellen mellom aksjeavkastning og obligasjoner gir denne historien ikke. Det finne 7

også andre forklaringer, men jeg skal ikke gå inn på alle her, flere av dem blir litt for kompliserte for dette kurset. 8