Oblig 3 - fasit. Avgjør hvilken konvergenstest som vil avgjøre konvergensen til rekka og stopp der; du skal ikke utføre testen): a) b) c) d) e) n n ln n n te-terms-test. Den divergerer. n + 6 3 n n n 3 + n. Fortrinnsvis forholdstest eller n -test. Det fungerer 3 n også om du tar grensesammenligning mot et enklere uttrykk og tar forholdstest eller n -test på dette. n 9 + 6 n n. Fortrinnsvis forholdstest eller n n 3 n -test. Det fungerer + n! n også om du tar grensesammenligning mot et enklere uttrykk og tar forholdstest eller n -test på dette.. Grensesammenligningstest mot et uttrykk du så tar p-test n + n på. Integraltest vil også kunne fungere her. ) n+3. Alternerende rekke-test. Her vil også absolutt konvergenstest fungere, siden du da får uttrykket n + n over.
4. Vis hvordan du ville regne ut f) der 4 e når < 3 f) når 3 < 4 når < når Du trenger ikke regne ut integralet, kun sette det opp som en sum av lett utregnbare integraler) 4 4 f)d 3 4 3 4 f)d + e d + 3 3 f)d + d + 4d + f)d + 4 d 4 f)d Mellomregningen er ikke nødvendig her. Kun rett svar. 3. Hvilke to integralformler i 5. i Haugans formelsamling trenger du for å regne ut Fourier sinus-koeffisienten b k π π π sin) sink)d For hvilken verdi av k skiller da b k seg fra de andre? 44 for k, og 36 for k. 47 kan også brukes for k, men blir tungvint. Det er da selvfølgelig b som skiller seg fra de andre b k ene. Feil: Det å regne ut koeffisienter til Fourier-rekker ved hjelp av formler, og glemme å se hva som skjer i de tilfellene der formelen ikke er gyldig, er en svært vanlig feil. I en utregning som over ville mange ha glemt å regne ut b spesielt.
4. Like og ulike funksjoner. Du trenger ikke skrive begrunnelse. a) Vurder sin a, cos a, tan a,,, e der a er et vilkårlig tall. i. Hvilke av disse er like funksjoner? cos a, ii. Hvilke av disse er ulike funksjoner? sin a, tan a, iii. Hvilke av disse er verken like eller ulike funksjoner? e b) Hvilke av disse er alltid riktige? i. Når f) er lik, er ii. Når f) er ulik, er iii. Når f) er lik, er iv. Når f) er ulik, er f)d - Nei f)d - Ja f)d f)d f)d - Ja c) Hvilke av disse er alltid riktige a er et vilkårlig tall)? i. Når f) er lik, er ii. Når f) er ulik, er iii. Når f) er lik, er iv. Når f) er ulik, er f)d - Nei f) sina)d - Ja f) sina)d - Nei f) cosa)d - Nei f) cosa)d - Ja 5. Finn Maclaurinrekka til f) + + 3 + 4 3 + 8. Kan du gjøre dette / begrunne svaret ditt uten å måtte regne ut og sette opp tabell? Maclaurinrekka til et polynom er alltid polynomet selv. Så svaret er + + 3 + 4 3 + 8 6. Finn Maclaurinrekka til g) e. Kan du gjøre dette / begrunne svaret ditt uten å måtte regne ut og sette opp tabell? Vi bruker substitusjon som i eksempel i Thomas Calculus, kapittel 8.7, og Maclaurinrekka til e Haugan, s. 7), og får n e n n 3
7. Flervariable funksjoner..3 i. Vi har ingen, brøker eller andre funksjoner som krever begrensninger i hva vi kan sette inn som argumenter, så alle og y kan brukes. D f R {, y), y R} ii. Setter vi kan vi få en hvilken som helst verdi ved å sette y lik denne verdien, så V f R <, >. iii. Vi finner nivåkurven for tallet c, og ser hva slags formel vi får når vi setter f, y) c: y c y + c. Nivåkurvene er rette linjer. iv. Ingen rand. Feil: i. y >, så D f {, y) y > }..7..9 Det er ingen funksjoner som krever at y >, så dette svaret er kun resulatet av å prøve å følge et eksempel blindt!) d) i. Vi finner først c. c f, y ) f, ) 6 ) ) 6 8 4 4 ii. Vi setter f, y) c, og finner ligningen: 6 y 4 + y 4
.. 3 y + 5 + y + 3 + 5 + + 5 3 y + 5 + y + 3 y + 5 ) + y + ) 3 3 ) ) + ) ) + 3 ) ) + 3 +5 + + 5 y) +5 y) + ) y +5 y ) y + y y ) + y ) + 5 Men så mye mellomregning er fullstendig overkill, og vil være sløsing med tida på en eksamen.)..4 Derfor er y ) : y) + y y,y),) y + y),y),) y 5
..35 Vi velger y, og får langs denne linja at + y + { < > Så vi får to forskjellige grenser om vi kommer inn ovenfra eller nedenfra : f, ) f, ) + + + + Siden grensene er ulike, finnes ingen felles) grense, 8. Mathematica: a) Tegn grafen til funksjonen i..9 b) Tegn nivåkurver til funksjonen i..9 c) Tegn grafen til funksjonen i..35 d) Tegn nivåkurver til funksjonen i..35 Se eget Mathematica-ark eller vedlegg på de to siste sidene. + y. 6
Oblig3.nb y f@_, y_d : + y Plot3D@f@, yd, 8,, <, 8y,, <, PlotPoints 5, ViewPoint 8.3,,.<, Mesh TrueD ContourPlot@f@, yd, 8,, <, 8y,, <D.5 -.5 -.5.5 -.5.5 -.5 -.5 - SurfaceGraphics.5 -.5 - - -.5.5 ContourGraphics
Oblig3.nb f@_, y_d : y Plot3D@f@, yd, 8,, <, 8y,, <, PlotPoints 5, ViewPoint 8.3,,.<, Mesh TrueD ContourPlot@f@, yd, 8,, <, 8y,, <D.5 -.5 -.75.5.5.5 -.5 - SurfaceGraphics.5 -.5 - - -.5.5 ContourGraphics