TMA Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for ateatiske fag Løsigsforslag - Eksae deseber 9 Oppgave a Besteer k ved å kreve fxdx =, fxdx = De kuulative fordeligsfuksjoe Fx er gitt ved kx + dx = k x + x ] = k + = k =. Fx = Hvis x < blir Fx =, for x,] får vi Fx = x fudu = x x fudu. u + du = u + u ] x og for x > får vi Fx =. Dvs. for x <, Fx = x +x for x,], for x >. Videre får vi da P X > = P X = F = = x + x, + =.875 og P X > X > = P X > X > P X > = P X > P X > = P X P X > = F P + X > = =.76..875 eksdes9l Deceber, 9 Side
TMA Statistikk b Siulta sasylighetstetthet er gitt so fx,y = fxfy x = x + y x + x + = x + y for x,y,], og fx,y = ellers. Margial sasylighetstetthet for Y fies ved å itegrere over x, dvs. for y,] fy = fx,ydx = x + ydx = x + yx ] x= x= = + y = y +. For y,] får vi åpebart fy =. Til slutt reger vi ut PY X = x xy + ] y=x y dx = y= Oppgave fx,ydydx = x x + x dx = x + ydydx ] 5 5 x dx = 9 x = 5 9. a For at X i ee skal være egativt bioisk fordelt å det være uavhegighet ello hver gag e studet riger til firaet. Dette ka oppås ved at studetee riger til firaet på tilfeldige tidspukter. Det fugerer for eksepel ikke at e studet riger til firaet flere gager like etter hveradre. Dessute har studetee atatt at X,X,...,X er uavhegige. For at dette skal være oppfylt å studetee rige på tilfeldige tidspukt uavhegig av hveradre. Flere studeter ka ikke rige på sae tidspukt. For k = og p =. får vi PX = =.. =. =. og PX X > = PX X > = PX = X = PX > PX = = PX. = + PX =. +.. = PX =. =..9 +..9.99 =.7. eksdes9l Deceber, 9 Side
TMA Statistikk b Rielighetsfuksjoe blir Tar logarite og får Lp = lp = l Lp = fx i = ] xi p k p x i k k ] xi l + k lp + x k i kl p ] xi = l + k lp + l p k Deriverer ed hesy på p og setter lik ull for å fie aksiu x i k. l p = + k p p x i k = k p x i k p k p = x i k p k kp = p x i kp p = Sasylighetsaksierigsestiatore for p blir dered k x. i = p = k X. i c Studetee øsker å teste H : p =. ot H : p <.. So testobservator ka a beytte e adre valg fies også V = X i = k p og forkaste H hvis V > k, for e kritisk verdi k. eksdes9l Deceber, 9 Side
TMA Statistikk Fra setralgreseteore følger det at V/ = X er tilæret oralfordelt. Dered vil også V være tilæret oralfordelt. Vi har EV ] = EX i ] = k p = k p og, side X i ee er uavhegige, VarV ] = VarX i ] = k p k p p = p. Når H er riktig har vi dered at V z; k p, Isatt studetees observasjoer får vi at Tilhørede p-verdi blir dered v = p = P V > 779 H riktig = P k p p. x i = 779. V k p k p p > 779 5. 5.. PZ. =.99 =.99. H riktig Derso H er riktig er altså sasylighete for å observere det studetee har observert eller oe er ekstret så stor so.99. Det er dered itet grulag for å hevde at firaets påstad er feil. Oppgave a Forvetigsverdie for µ blir a E µ] = E X i + b ] ] Y i = a E X i + b ] E Y i = a E X i ] + b E Y i ] = a µ + b µ = aµ + bµ = µ. eksdes9l Deceber, 9 Side
TMA Statistikk Ved å beytte at alle X i ee og Y i ee er uavhegige av hveradre får vi at variase til µ blir ] a Var µ] = Var X i + b a ] b ] Y i = Var X i + Var Y i a b = Var X i ] + a b Var Y i ] = σa + σ B = a σ A + b σ B. b For at estiatore skal bli best ulig å de være forvetigsrett og variase å være ist ulig. Kravet o forvetigsretthet gir at E µ] = µ = µ = b = a. Setter vi dette i i uttrykket for variase får vi at Var µ] = a σ A + a σb. Må iiere dette uttrykket ed hesy på a. Gjør dette ved å derivere ed hesy på a og sette lik ull: a Var µ] = aσ A + a σ B = aσ A = aσ B aσ A + σ B = σ B a = σ B σ A + σ B = σ B σ A + σ B. og dered også b = a = σ A σ A + σ B. c µ er e lieærkobiasjo av uavhegige oralfordelte variabler X i ee og Y i ee og er derfor også selv oralfordelt. Dered har vi at µ µ;µ, a σ A + b σ B. eksdes9l Deceber, 9 Side 5
TMA Statistikk Dered får vi også og dered P z α µ µ z;, a σa + b σb µ µ a σ A + b σ B z α = α Løser vi hver av de to ulikhetee ed hesy på µ og setter de så sae igje får vi P µ z a σ + b σb µ µ + z a σ + b σb. α %-kofidesitervall for µ er dered µ z a σ + b σb, µ + z a σ + b σb. d Legde av kofidesitervallet blir L = µ + z a σ + b σb µ z α a σa + b σb = z α a σa + b σb og dette uttrykket å følgelig iieres ed hesy på a og b. For å få eklere regig deriverer vi ll ed hesy på a og b og setter lik ull. Deriverer først ed hesy på a ll a = a Dette gir videre lz α + a l σa + b σb ] l = a σ A aσ A + b σ B = = a σ B / σ A / b a = σ A / σ B /. Tilsvarede fås ved å derivere ed hesy på b at ll b = b lz α + a l σa + b σb ] l = a σ A a σ A aσ A + b σ B bσ B + b σ B = = eksdes9l Deceber, 9 Side 6
TMA Statistikk so ved tilsvarede regig so over gir a σ A bσ B + b σ B = = a b σ A / σ B / + b b a = σ A / σ B / so er det sae uttrykket so vi fat over. Legde av kofidesitervallet er dered iiert ved å velge b a = σ A / σb /. Vi ka legge erke til at de optiale verdiee vi fat for a og b i pukt b også gir sae verdi for forholdet b/a. eksdes9l Deceber, 9 Side 7