Elektrisitetslære TELE002-A 3H HiST-AFT-EDT Øving 3; løysing Oppgåve 0 Denne oppgåva er ein smakebit på den typen fleirvalsspørsmål som skal utgjera 40 % av eksamen. Berre eitt av svaralternativa er rett; tre av dei er feil. a) Når ei stjernekopla, symmetrisk trefaselast dreg 756 W, vil den same lasta kopla i trekant dra: C: 2268 W ; P Y 3 U 2 Φ Z U 2 Z jf. P Δ 3 U 2 Z b) Kva for ei av desse utsegnene er feil når det gjeld fasekompensering av ei reaktiv last? B: Fasekompensering fører til redusert straum i lasta. Nei, generatorspenninga som er påtrykt lasta er den same i det ukompenserte og det kompenserte tilfellet. (I praksis kan straumen auka noko pga. redusert tap i overføringsnettet.) c) Kva for ei utsegn er feil om ei serieresonanskopling? D: Straumen i spolen er større eller mindre enn i kondensatoren avhengig av om frekvensen ligg under eller over resonansfrekvensen. Nei, kontinuitetsprisippet seier at straumen er den same overalt i ei straumsløyfe som ikkje har forgreiningar. d) Kva for ei utsegn er feil for ein ideell transformator med viklingstalbrøk lik 2:. B: Straumen på sekundærsida vert halvert i høve til primærsida. N p I p N s I s I s I p N p /N s I p 2 e) Eit digitalt multimeter med 4 siffer viser 6,45 V når me måler spenninga over ein komponent. I databladet for multimeteret står det oppgjeve at ved spenningsmåling er usikkerheita: 0,4 % + 3 d, der d er oppløysinga for måleområdet. elativ usikkerheit for denne målinga vert då: C: ±0,58 % (6,45 V 0,4 % + 3 0,0) / 6,45 V
Oppgåve Teori i kap. 7.4 Figuren viser eit AC-ekvivalentskjema for ein transistorforsterkar. U er inngangsspenninga (signalet som skal forsterkast) og U 4 er utgangsspenninga (det forsterka signalet). β I I U x 3 y 4 U 4 2 Bruk desse verdiane: U,00 V ;,50 kω ; 2 50,0 kω ; 3,00 kω ; 4 0,0 kω ; β 300 a) Koplinga skal analyserast vha. maskestraummetoden. Finn maskestraumen I x i maska til venstre og I y i maska til høgre. Vink: Det held å setja opp to maskelikningar. Ein kan få med den avhengige kjelda vha. ei supermaske der ein nyttar Kirchhoffs fyrste lov (straumlova) på knutepunktet til høgre for 2. Det vert då ein annan straum i 2 enn i resten av maske y; i I y si referanseretning er den nemnde straumen I y + β I. Maskelikningar: Maske x: I x 3 (I x I y ) U Maske y: 3 (I y I x ) + 2 (I y +β I) + 4 I y 0 Ser at styrestraumen I er lik maskestraumen I x, set inn I I x og ryddar opp: + 3 3 2 β 3 2 + 3 + 4] [ I x I y] [ U 0 ] [ Me set inn talverdiar og kjem fram til likningssettet: 2,50 kω,00 [ 4999,00 kω 6,00 kω] [ I x I y] [,00 V 0 ] som har løysinga [ I x I y] [ 0,004026 ma 0,989935 ma ] b) Finn utgangsspenninga U 4 og rekn ut spenningsforsterkninga definert ved A U 4 U Kor stor er fasedifferensen (fasevinkelen) mellom utgangssignalet og inngangssignalet?
Med utgangspunkt i maskestraumen vert utgangsspenninga då: U 4 4 I y 0 0 3 Ω ( 0,9899 0 6 A) 9,899 V Forsterkinga: A U 4 U 9,899V,00V 9,90 Me ser at A ligg nært verdien av 4 / 3 0. Dette er nemleg ein «fingerregel» når ein skal finna ein tilnærma verdi for forsterkinga i ein slik forsterkar. Det at U 4 (og A) er negativ inneber at det er 80 fasedreiing mellom utgangssignalet og inngangssignalet. Då seier ein gjerne at forsterkaren er «inverterande». Kommentar: Dersom me ev. hadde løyst likningssettet med maskestraumlikningane utan å setja inn talverdiar, kunne me ha undersøkt kva for komponentar som påverkar forsterkinga mest. Uttrykket for forsterkinga ville då ha vorte: A 4 β 2 3 ( + 2 )( 2 + 3 + 4 ) + 3 (β 2 3 ) Dette uttrykket kan forenklast når me veit at 2 og 2 3 (og då sjølvsagt β 2 3 ): A 4 β 2 2 ( 2 + 4 ) + β 2 3 β 4 2 + 4 + β 3 Dette kan forenklast vidare ved å utnytta at β 3 2 + 4 : A β 4 β 3 4 3 A 4 3 0,0 kω,00 kω 0,0 Avviket frå den eksakt utrekna verdien er om lag %, og dette tyder på at den nemnde «fingerregelen» stemmer bra. c) Kontroller resultatet av utrekninga ved hjelp av MULTISIM. U 4 Figuren viser oppkoplinga i MULTISIM. Symbolet for straumstyrd straumkjelde inneheld eit motstandssymbol som har null resistans (verdien 0 Ω), og det påverkar ikkje koplinga. Pass på ikkje å gjera feil når avhengige (styrde) kjelder skal setjast inn i koplinga. Voltmeteret er konfigurert som AC-voltmeter og viser forteikn eller fase.
Me ser at verdien på U 4 stemmer med utrekninga i a. Oppgave 2 I L C spole U Figuren viser en spole med resistansen og induktansen L som er koplet i serie med kondensatoren C. Komponentverdier: 0,0 Ω, L 00 mh, C 30,0 µf. Tidsfunksjonen for vekselspenninga er gitt ved: u(t) 49,5 V sin (00π t) a) Hva er effektivverdien (MS) og frekvensen til vekselspenninga? U 49,5 2 35,0 V 2π f t 00 π t f 00π rad/ s 2π 50,0 Hz b) Beregn strømmen i koplinga og spenninga over hver av komponentene, L og C (effektivverdier). Bruk MULTISIM til å kontrollere resultatet. Tegn et fullstendig viserdiagram. Skriv opp tidsfunksjonen for strømmen. X L ω L 2π f L 2π 50,0Hz 00mH 3,4 Ω X C ωc 2π f C 2π 50,0Hz 30,0 µf 06, Ω Z + j( X L X C ) (0,0 j74,7)ω 73,35 Ω 82,37 I U Z 35,0 V 0 73,35 Ω 82,37 0,464 A 82,37 I 0,464 A U I 0,0Ω 0,464 A 82,37 4,64 V 82,37 U 4,64 V U L j X L I 3,4 Ω 90 0,464 A 82,37 4,59 V 82,37 U L 4,6 V j X C I 06,Ω 90 0,464 A 82,37 49,28 V 7,63 49,3 V i(t) 2 I sin(2πf + (I )) 2 0,4645A sin(2π 50,0Hz t + 82,37 πrad 80 ) i(t) 0,657 A sin(00π rad s t +,44 rad) esultat fra MULTISIM:
0 U2 + - 4.645 V AC 0MOhm 0 Ω V 35 Vrms 50 Hz 0 2 U3 + - 4.592 V AC 0MOhm L 00mH U + - 0.464 A AC e-009ohm U4 + - 49.282 V AC 0MOhm C 3 4 30uF Viserdiagrammet blir da slik: I U L U 82,4 º c) Teori i kap. 20.2, 20.3 og 20.3 Vi endrer frekvensen slik at kretsen blir i serieresonans. egn ut resonansfrekvensen. Finn spenninga over kondensatoren. Beregn resonanskretsens kvalitetsfaktor (Q-verdi) ved denne frekvensen. Sammenlikn størrelsen på Q-verdien med forholdet mellom kondensatorspenninga og påtrykt spenning ( /U). Hvor stor båndbredde har resonanskretsen? Serieresonans får vi når X L X C : ω 0 L ω 0 C ω 2 0 L C ω 2π f 0 0 LC f 0 2π LC f 0 2π L C 2π 00 mh 30 µf I denne situasjonen blir Z og vi får: 9,9 Hz I ( j X C ) U j 2π f 0 C 35 V 0 Ω j 2π 9,9Hz 30 µf j202v 202, V U Ev. kan uttrykket for resonansfrekvensen ω 0 gitt ved komponentverdiene L og C settes inn: I X C U ω 0 C U L C 35 V 0Ω 00 mh 202, V 30µF Q-verdien (kvalitetsfaktoren); forholdet mellom reaktans og resistans ved resonans:
L' ' L Q 0 C X ω L 0 ( ω 0 C ) L C 0 Ω 00 mh 30 µf 202, V 35,0 V 5,77 Dette forholdet er altså likt med Q-verdien slik teorien har vist. Båndbredden: B f 0 Q 0 9,89Hz 5,773 5,9 Hz Observasjon: Båndbredden er uavhengig av kapasitansen: B f 0 Q 0 2π L C L C d) [frivillig] Teori i kap. 5.2 og 20.8 2π L 0,0Ω 2π 00mH 5,9 Hz 5,77 Vi gjør om koplinga slik at kondensatoren C nå blir stående i parallell med spolen (seriekoplinga av og L). Tegn skjema. Seriekoplinga av og L kan omformes til en ekvivalent parallellkopling med en og en L i parallell slik at, L og C alle kommer i parallell. Tegn nytt skjema. Finn og L uttrykt ved, L og vinkelfrekvensen ω. Bruk dette til å finne et bokstavuttrykk for resonansfrekvensen ved parallellresonans uttrykt ved, L og C. Finn tallverdien for resonansfrekvensen og sammenlikn med frekvensen du fant i punkt c. Hvor stor blir den totale impedans for parallellkretsen ved resonans (i tallverdi)? U C Ekvivalent parallellnettverk U C For at seriekoplinga av og L skal være ekvivalent med og L i parallell, må vi ha: + j X L + j X L Omformer likninga for separere reell og imaginær del; på høyre side må en multiplisere med komplekskonjugert i teller og nevner: j X L 2 + X j X L 2 L 2 2 + X L Ekvivalent parallellresistans er lik realdelen, og ekvivalent parallellreaktans er lik imaginærdelen: 2 + X L 2 2 + ω 2 L 2 og X L 2 + X L 2 Merk at parallellekvivalenten er frekvensavhengig. Parallellresonans når X L X C : 2 + ω 2 L 2 X L ω L
2 + ω 0 2 L 2 ω 0 L ω 0 C ω 2 0 L 2 ω 0 L ω 0 C 2 ω 2 0 LC 2 L 2 ω 0 L C ( L ) 2 f 0 2π L C ( L) 2 f 0 2π 00 mh 30 µf ( 0,0Ω 00 mh ) 2 90,50 Hz esonansfrekvensen ved parallellresonans blir altså noe lavere enn for serieresonans. Siden kretsen er rent ohmsk ved resonans, blir total impedans Z 0 ved resonans dermed lik. Z 0 2 + ω 0 2 L 2 2 + (2π f 0 L) 2 (0,0Ω)2 + (2π 90,50Hz 00mH) 2 0,0Ω Vi kunne først ha funnet et bokstavuttrykk for Z 0 slik i utledninga over kan en se at ω 0 2 L 2 ω 0 L ω 0 C 2 L C 2 som kan settes inn: 333,3 Ω Z 0 2 + ω 2 0 L 2 Det er samme resultat. Oppgave 3 2 + L C 2 L C 333,3 Ω u C u 2 2 9,00 MΩ, 2,00 MΩ, C 30,0 pf Kilden u er en ideell unipolar (bare positiv) firkantspenning (pulstog) med pulsrepitisjonsfrekvens f pr 3,20 khz, amplitudeverdi U p 00 V og pulsbreddeforhold («duty cycle») 50,0 %. a) Teori i kap. 24.3 Tegn firkantspenninga og beregn periodetid og pulsbredde. Tegner først en figur: 00V u T t p t
Periodetida er gitt ved: T f pr 3,20 khz 33 µs Med 50 % pulsbreddeforhold blir: f p T 2 56 µs b) Teori i kap. 24.5 og 24.6 Vi kan anta at kondensatoren er fullstendig oppladd og utladd i løpet av en periode *). Ta for deg én periode av firkantspenninga og beregn og skisser forløpet av spenninga u 2 over parallellkoplinga av 2 og C. Forklar hvorfor antakelsen *) er rimelig. Beregn stigetid (til 90 % av stasjonærverdien) og falltid for en puls av u 2. Oppgaven løses enklest ved å finne Thévenin-ekvivalenten til kretsen sett fra klemmene a b. Thévenin-spenning: 2 + 2 Thévenin-resistans: U U P 2 + 2 9,00 MΩ,00MΩ 9,00MΩ +,00 MΩ 00 V 0,90 MΩ,00 MΩ 9,00MΩ +,00 MΩ 0,0 V Ekvivalentkretsen blir da som vist under. Flankene i pulstoget utgjør en rekke opp- og utladninger av kondensatoren. a C u u 2 Tidskonstanten blir: τ C 0,90 MΩ 30,0 pf 27,0 µs 5τ 5 27,0µs 35 µs Siden 5 τ < t p kan vi regne som tilnærming at kondensatoren lades helt opp eller helt ut i løpet av en halvperiode. Forløpet av u 2 blir da u2 (t) U ( e tτ ) etter hver stigende flanke og u 2 (t) U e t τ etter hver fallende flanke når vi setter t 0 ved starten av hver flanke. Tidsforløpet blir da som vist i figuren under. 0V u 90% b T 0% t t f Siden tidskonstanten er den samme ved opp- og utladning, vil stigetida t r og falltida t f bli like
store. Vi betrakter bakflanken for å beregne falltida: t f t 0% t 90% 0, U ' p U ' p e t 0% τ e t 0% τ 0, t 0% τ ln(0,) t 0% τ ln(0,) Tilsvarende blir: 0,9 U p U e t 90% τ t 90% τ ln(0,9) t f t 0% t 90% ( τ ln(0,)) ( τ ln(0,9)) τ ln ( 0,9 0, ) Stigetida er den same som falltida: t r t f 59,3 µs c) Teori i kap. 24.7 27,0 µs ln(9) 59,3 µs Fra b ser vi at flankene på spenninga u 2 er deformert i forhold til den påtrykte spenninga u. Vi ønsker å kompensere for dette ved å kople en kondensator C x i parallell med. Beregn verdien av denne kondensatoren (3,33 pf). Hvordan vil spenninga u 2 se ut (tegn skisse) dersom vi bruker en for stor verdi på C x? Dette er en teknikk som benyttes i målesonder til oscilloskop. I utgangspunktet benyttes sonden til å redusere innvirkninga oscilloskopet har på måleobjektet ved at det belastes med en 0 ganger høyere motstand. Med bare seriemotstanden vil vi på grunn av inngangskapasitansen C på oscilloskopet få en kraftig lavpassfiltereffekt og følgelig dårlig gjengivelse av raske forløp. En C x i parallell med kompenserer for dette. C x er variabel, og den er korrekt innstilt dersom oscilloskopet gjengir en firkantspenning korrekt. Hvorfor? Den nye situasjonen er vist i figuren under. C x C u u 2 2 Dersom vi skal unngå deformasjon av flankene til u 2, må spenningsdelinga i en krets med bare og 2 til stede være den samme som i en krets med bare C x og C til stede, slik at begge parallellkoplingene får den samme fasevinkelen til impedansen. Dermed får vi: 2 u + 2 X C u X Cx +X C 2 + 2 X C X Cx +X C + 2 2 X C x +X C X C 2 C x X C x X C ωc x ωc 30,0 pf,00mq 9,00 MΩ C C x C x C 2 3,33 pf Dersom C x velges større enn den korrekte verdi, vil vi få såkalt oversving/undersving på
henholdsvis forflanke/bakflanke. Dette skyldes at spenningsdelinga mellom kondensatorene blir større enn spenningsdelinga mellom motstandene. 0V u d) Bruk MULTISIM (med oscilloskop som måleinstrument) til å kontrollere resultatene i b og c. Undersøk virkninga både av for stor og for liten C x. Stemmer det med det du tenkte på forhånd? t Det er mulig å måle stige- og fall-tider med oscilloskopet, med det er ikke vist her.
Sluttkommentar: Denne oppgaven er et eksempel på hvordan en målesonde er bygd opp. Målesonden skal dempe signalet 0 ganger, men uten å deformere det. 2 og C representerer inngangsimpedansen til instrumentet som benytter sonden (f.eks. et oscilloskop). I selve sonden sitter en justerbar kondensator i parallell med resistansen ( ). Sondekondensatoren er riktig justert dersom den gjengir en firkantspenning korrekt.