Løsningsforslag Øving 6 TEP4100 Fluidmekanikk, Aumn 016 Oppgave 4-109 Løsning Vi skal bestemme om en strømning er virvlingsfri, hvis den ikke er det skal vi finne θ-komponenten av virvlingen. Antagelser 1 Strømningen er stasjonær. Strømningen er inkompressibel. 3 Strømningen er aksesymmetrisk om x-aksen. Analyse Hastighetskomponentene er gitt ved u = 1 dp ( r R ) u r = 0 u θ = 0 4µ dx Hvis virvlingen er ulik null, er ikke strømningen virvlingsfri. Derfor regner vi θ-komponenten til virvlingen θ komponenten til virvlingen : ζ θ = u r z u r = 1 dp 4µ dx r = r dp µ dx Siden virvlingen er ulik null er strømningen ikke virvlingsfri. Virvlingen er positiv siden dp/dx er negativ. Dette koordinatsystemet gir positiv virvling mot klokken med hensyn på den positive θ-retningen. Dette stemmer med vår intuisjon siden θ peker av arket og rotasjonen er mot klokken i den øvre halvdelen av strømningen. I den nedre halvdelen av strømningen peker θ inn i arket, og rotasjonen er med klokken. Diskusjon Virvlingen varierer lineært over røret fra null ved senterlinjen til maksimum ved rørveggen. For løsning på matlaboppgaven, se Matlab LF6.m på ItsLearning 1
Oppgave 5-14 Løsning Minstekravet til frisk luft til boliger er spesifisert til 0.35 luftforandring per time. Størrelsen på viften som må installeres og diameteren på kanalen skal bestemmes. Analyse som kreves er Volumet av bygningen og volumstrømningen av frisk luft V rom = (.7 m)(00 m ) = 540 m 3 V = V rom ACH = (540 m 3 )(0.35/h) = 189 m 3 /h = 189 000 L/h = 3150 L/min Volumstrømmen av frisk luft kan trykkes som Vi løser for diameteren D V = V A = V (πd /4) D = 4 V πv = 4 (189/3600 m 3 /s) = 0.116 m π(5 m/s) Diameteren til kanalen skal derfor være minst 11.6 cm hvis hastigheten ikke skal overstige 5 m/s. Diskusjon Kravet til frisk luft i bygninger må bli tatt alvorlig for å unngå helseproblemer.
Oppgave 5-17 Løsning Luft vider seg og akselererer når den blir oppvarmet i en hårføner med konstant diameter. Vi ønsker å finne prosentvis økning i hastighet. Antagelser Egenskaper Strømningen er stasjonær. Tettheten til luften er 1.0 kg/m 3 ved innløpet og 1.05 kg/m 3 ved løpet. Analyse Det er kun ett innløp og ett løp, så ṁ 1 = ṁ = ṁ. Da får vi V V 1 = ρ 1 ρ ṁ 1 = ṁ ρ 1 AV 1 = ρ AV = 1.0 kg/m3 1.05 kg/m 3 = 1.14 Luftens hastighet øker med 14 % når den strømmer gjennom hårføneren. Diskusjon øke. Ettersom tettheten reduseres og massestrømmen er konstant, må hastigheten 3
Oppgave: Støv Analyse: ρluft er konstant, og støv-volumet kan neglisjeres. Kontinuitet for luft alene gir: Ainn Vinn støv C luft? V Q Vinn Ainn V A Støv-konsentrasjonen C er uniform, C = C(t). Kontinuitetslikningen for støv:? CS d 0 støvdv + støv( V n) da = endringen av støv inne i CS støv V A støvvinn Ainn a) d dv V A C V A støv støv inn inn luft inn inn b) Skriver om det første leddet i kontinuitetslikningen: d d dc dc dv C dv Volum C V A Volum C V A støv luft luft luft inn inn inn inn dc Vinn Ainn Vinn Ainn ln C t konstant C Volum Volum Integrasjonskonstanten må være lik ln C t 0 : t Volum C ln t0 Vinn Ainn C Tallverdier: 3 3 300m C t0 300m t ln ln 3 100 138000s 38.4 timer 10 liter / s 0.01Ct 0 0.01 m / s
Oppgave: Pythagoras kopp a) Stasjonær og friksjonsfri strømning: Bruker Bernoulli langs en strømlinje fra overflaten ved høyden z gjennom hevert-systemet og : p0 v0 p0 v gz gh Her kan synkehastigheten til overflaten v0 neglisjeres: v gz h Hvis vi ikke kansellerer synkehastigheten v0 må vi i tillegg bruke massebevarelse: Volumstrøm v0 A(z) v A v0 v Innsatt : A A(z) g z h 1 A v v gz gh v A(z) 1 A / A(z) Det var oppgitt at A << A(z), dermed kan A/A(z) neglisjeres. Svaret er gyldig så lenge vindybden z > 0, dvs. inntil all vinen er rent på bordet. b) v0 skal være konstant. Massebevarelse: A(z) r v g(h z) d g(h z) A d v v v 1 r(z) 4 1 4 0 0 0 så r er proposjonal med z 1/4. c) Starter med å velge en diameter D ved høyden z = h1. Da kan den konstante synkehastigheten v0 finnes fra massebevarelse: v g(h h ) A 0 1 1 4 D Tømmetid: T = h1/v0. Den virkelige tømmetiden vil bli en del større på grunn av friksjon, spesielt med en liten diameter d på hevert-røret. Hvis du velger h liten blir tømmetiden lengre, og koppens sidevegg nærmer seg z = C r 4.