3 Sannsynlighet Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne lage eksempler og simuleringer av tilfeldige begivenheter og gjøre rede for sannsynlighetsbegrepet beregne sannsynligheter ved å telle opp alle gunstige og alle mulige utfall fra tabeller og ved å systematisere opptellinger samt bruke addisjonssetningen og produktsetningen i praktiske sammenhenger STIFINNEREN Sti 1 Sti 2 Sti 3 3.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 300, 301, 303, 306, 308 300, 301, 302, 303, 306, 308 300, 302, 303, 307, 308, 309, 312 3.2 Sannsynlighetsmodeller 313, 314, 315, 317, 318 313, 314, 315, 317, 318, 320, 321 313, 315, 316, 317, 319, 320, 321 3.3 Uniforme sannsynlighetsmodeller 324, 325, 326, 329, 330, 332, 333, 334, 335 324, 325, 326, 327, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336 324, 327, 328, 329, 330, 331, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339 3.4 Addisjonssetningen 3.5 Produktsetningen for uavhengige hendelser 340, 341, 342, 346, 347 350, 351, 352, 353, 355 340, 341, 342, 343, 345, 346, 347 350, 351, 353, 354, 355, 356, 357 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349 351, 353, 354, 355, 356, 357, 359, 360, 3.6 Produktsetningen for avhengige hendelser 362, 363, 364, 366, 367 362, 363, 365, 366, 367, 368 361 363, 365, 367, 368, 369, 370 3.7 Sammensatte forsøk 371, 372, 373, 374, 376, 377 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380 15 rette eller gale: s. 80 Blandede oppgaver (381 X3.4): s. 81 Utvalgte løsninger: s. 146 Grunnleggende ferdigheter: Muntlige ferdigheter: 305, 311, 358 Skriftlige ferdigheter: 304, 312, 322, 358 Leseferdigheter: 300, 304, 305, 311, 312, 322, 323, 358 Digitale ferdigheter: 304, 306, 307, 308, 309, 310, 322, 323 Interaktive oppgaver: Lokus.no
Kapittel 3: Sannsynlighet 61 3.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 300 Når vi kaster et pengestykke, er sannsynligheten 50 % for å få krone. Nedenfor er det gitt fem påstander. Avgjør for hver påstand om den er gal eller riktig. A Når vi kaster et pengestykke, er det like stor sjanse for å få krone som mynt. B Hvis vi har kastet et pengestykke 95 ganger og fått krone 45 ganger, vil vi få krone i de fem neste kastene. C Hvis vi kaster et pengestykke 100 ganger, vil vi få omtrent 50 krone og 50 mynt. D Hvis vi kaster et pengestykke 100 ganger, vil vi få 50 krone og 50 mynt. E Hvis vi kaster et pengestykke mange ganger, vil den relative frekvensen for 1 krone nærme seg. 2 301 Du kaster to pengestykker. Hva tror du sannsynligheten er for at du får krone på ett av pengestykkene og mynt på det andre? Er den en tredel eller en firedel? Hvordan kan du avgjøre det ved å kaste to kronestykker mange ganger? 302 Du kaster to terninger. Hva er mest sannsynlig: at summen av antall øyne blir sju, eller at du får minst én sekser. Hvordan kan du avgjøre det ved å kaste to terninger mange ganger? 303 Tabell 3.1 er tatt fra Statistisk årbok 2005. I tabellen er det blant annet oppgitt antall fødte i Norge i femårsperioder fra 1951 55 til 1996 2000. a Regn ut den relative frekvensen for jentefødsler for hver av de ti femårsperiodene. Hvordan varierer den relative frekvensen? (Tallene for femårsperiodene er årsgjennomsnitt. For å få antall fødsler i en femårsperiode må tallene ganges med fem. Siden vi er interessert i relative frekvenser, er det ikke nødvendig å gjøre det.) b Regn ut den relative frekvensen for jentefødsler for hele perioden 1951 2000. c Hvordan stemmer resultatet i oppgave b med at sannsynligheten er 48,6 % for jentefødsel (slik vi fant i læreboka)? Statistisk årbok ligger på Internett med adressen www.ssb.no/aarbok/. Tabellene i årboka kan lastes ned som regneark. Hvis du ønsker det, kan du gjøre beregningene i oppgavene a og b ved å bruke et regneark. Årsgjennomsnitt Levendefødte Dødfødte Flerfødsler I alt Gutter Jenter I alt Gutter Jenter I alt Tvillingfødsler Trillingfødsler 1951 55 62 478 32 182 30 296 967 538 429 796 787 9 1956 60 63 021 32 374 30 647 912 489 423 738 731 7 1961 65 63 989 32 992 30 997 803 430 373 708 700 8 1966 70 66 697 34 368 32 329 752 408 344 670 663 7 1971 75 61 393 31 487 29 906 560 294 266 572 568 4 1976 80 51 744 26 619 25 125 377 195 182 498 494 4 1981 85 50 660 26 030 24 630 293 153 140 503 495 8 1986 90 56 862 29 154 27 708 269 141 128 653 634 19 1991 95 60 196 30 993 29 203 263 136 127 845 821 24 1996 00 59 522 30 598 28 924 244 132 112 981 957 24 Statistisk sentralbyrå Tabell 3.1
62 Kapittel 3: Sannsynlighet 304 Problemet i denne oppgaven ble første gang presentert av den franske greven og naturforskeren Georges-Louis Leclerc de Buffon (1707 88). I hans formulering av problemet ble det kastet med en nål i stedet for en fyrstikk, og problemet har derfor fått navnet Buffons nålproblem. Tegn en rekke parallelle linjer på et ark. Avstanden mellom linjene skal være like stor som lengden av en fyrstikk. I denne oppgaven skal du finne sannsynligheten for at en fyrstikk som kastes tilfeldig, vil krysse en av linjene. (Se figuren, der tre av fem fyrstikker krysser en linje.) a b c d e Kast fem fyrstikker og tell opp hvor mange det er som krysser en av linjene. Fyrstikkene må ligge «hulter i bulter» i hånda før du kaster, og du må kaste fra forholdsvis stor høyde. Hvis en fyrstikk faller utenfor arket kaster du den på nytt. Gjenta oppgave a tjue ganger, slik at du til sammen får 20 5 = 100 fyrstikkast. Regn ut den relative frekvensen for fyrstikker som krysser en linje i disse 100 kastene. Gå sammen med andre elever slik at dere til sammen får minst 10 omganger med 100 fyrstikkast. Hvordan varierer den relative frekvensen fra omgang til omgang med 100 kast? Bestem den relative frekvensen for fyrstikker som krysser en linje, når vi ser alle kastene i oppgave c under ett. Hvorfor er denne relative frekvensen tilnærmet lik sannsynligheten for at en fyrstikk som kastes «tilfeldig», vil krysse en linje? Hvis vi forutsetter at en fyrstikk kastes «tilfeldig», går det an å regne ut sannsynligheten for at den vil krysse en linje. Finn ut hva denne sannsynligheten er ved å søke på «Buffon's needle» på Internett. Hvordan stemmer den relative frekvensen du fant i oppgave d, med sannsynligheten du finner på Internett? Diskuter grunnene til eventuelle avvik.
Kapittel 3: Sannsynlighet 63 305 For noen år siden hadde VG overskriften «Hjelp, vi skal ha firling-dåp!» sammen med et flott bilde av foreldrene og firlingene. Under overskriften sto det blant annet: «Se godt på disse vakre dåpsbarna! Statistisk sett er det 15 år til neste gang det fødes slike firlinger i Norge. Det er større sjanse for å vinne i Lotto enn å bli gravid med firlinger uten hormonbehandling eller prøverør: Bare ett per million svangerskap ender med levendefødte firlinger.» a Diskuter i klassen hva det ligger i formuleringen «Bare ett per million svangerskap ender med levendefødte firlinger». b Diskuter hvordan journalisten kan ha kommet fram til påstanden «Statistisk sett er det 15 år til neste gang det fødes slike firlinger i Norge». c Tror dere utsagnet «Det er større sjanse for å vinne i Lotto enn å bli gravid med firlinger uten hormonbehandling eller prøverør», er riktig? (Det er lettere å gi et begrunnet svar når dere har lest kapittel 3.6 i læreboka.) 306 På side 125 i læreboka viser vi deg hvordan du kan bruke lommeregneren til å simulere (etterlikne) et terningkast. Bruk lommeregneren til å simulere 60 terningkast, og noter antall enere, toere, treere, firere, femmere og seksere. a b Regn ut den relative frekvensen for enere, toere osv. i dine «kast». Slå sammen resultatene dine med resultatene til andre i klassen. Regn ut de relative frekvensene for enere, toere osv. for alle «kastene» sett under ett. 307 308 På sidene 124 og 125 i læreboka forklarer vi hvordan du kan simulere (etterlikne) et terningkast med regneark og med lommeregneren. Finn ut hvilke endringer du må gjøre for å simulere et kast med et pengestykke. (La 0 svare til mynt og 1 til krone.) På side 125 i læreboka viser vi deg hvordan du kan bruke lommeregneren til å simulere (etterlikne) et terningkast. Vi skal nå se nærmere på hvordan du kan bruke lommeregneren til å «kaste en terning» mange ganger og telle opp hvor mange seksere du får. Vi illustrerer framgangsmåten ved å telle opp hvor mange seksere vi får når vi kaster en terning 10 ganger. CASIO Velg RUN-menyen. Trykk OPTN F4 (CALC) F6 ( ) F3 ( Σ( ) EXIT F6 ( ) F4 (NUM) F2 (Int) ( EXIT F3 (PROB) F4 (Ran#) 6 5 ), X,q,T, 1, 10 ) EXE Før du trykker EXE, skal det stå Σ( Int (Ran# 6 5), X, 110, ) på skjermen. TEXAS Trykk LIST (MATH) 5 (sum( ) LIST (OPS) 5 (seq( ) MATH (NUM) 5 (int( ) MATH (PRB) 1 (rand) 6 5 ), X,T,q,n, 1, 10 ) ENTER Før du trykker ENTER, skal det stå sum(seq(int(rand*6/5),x,1,10) på skjermen. Hver gang du trykker EXE eller ENTER, får du gjort 10 nye «terningkast».
64 Kapittel 3: Sannsynlighet a b Bruk lommeregneren til å gjøre 10 terningkast. Gjenta dette noen ganger slik at du får en følelse av hvor mye den relative frekvensen for seksere vil variere i 10 terningkast. Bruk så lommeregneren til å gjøre 100 terningkast. Gjenta også dette noen ganger slik at du får en følelse av hvor mye den relative frekvensen for seksere vil variere i 100 terningkast. c Er det størst variasjon i den relative frekvensen i oppgave a eller i oppgave b? Kunne du ha visst det uten å gjøre «terningkastene»? 309 310 Finn ut hvordan du kan bruke lommeregneren til å kaste 100 pengestykker og telle opp hvor mange krone du får. (Ta utgangspunkt i forrige oppgave.) På side 124 i læreboka viser vi deg hvordan du kan simulere et terningkast med regneark. Nå skal vi simulere 100 terningkast og telle opp hvor mange enere, toere osv. vi får. For å simulere 100 terningkast går du fram på denne måten: Gi kommandoen HELTALL(6*TILFELDIG()+1) i celle A1. Kopier kommandoen i celle A1 og lim den inn i cellene A2:A100. For å telle opp hvor mange enere, toere osv. du får, går du fram på denne måten: Skriv tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 i cellene B1:B6. Tell opp antall enere, toere osv. i de 100 kastene ved å sette inn formelen ANTALL.HVIS($A$1:$A$100;B1) i celle C1 og kopiere den til cellene C2:C6. Hver gang du trykker på F9, får du gjort 100 nye terningkast og talt opp hvor mange enere, toere osv. du får. a Gjør 100 «terningkast» og noter antall enere, toere osv. Gjenta dette noen ganger slik at du får en følelse av hvor mye de relative frekvensene for enere, toere osv. vil variere i 100 kast. b Finn ut hvordan du kan gjøre 1000 terningkast og telle opp antall enere, toere osv. c Gjør oppgave a om igjen med 1000 terningkast. Hvordan er variasjonen i de relative frekvensene sammenliknet med oppgave a? 311 I september 1990 sto det et leserbrev i spalten «Ask Marilyn» i det amerikanske bladet «Parade Magazin». Leseren spør: «Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you Do you want to pick door No. 2? Is it to your advantage to switch your choice?» Redaktøren av spalten, Marilyn vos Savant, anbefalte deltakeren i showet å 2 bytte dør. Da ville sannsynligheten for å vinne bilen bli, mens sannsynligheten 3 1 for å vinne bare ville være hvis deltakeren holdt fast ved dør nummer 1. 3 Dette svaret førte til en storm av protester, også fra fagfolk. De mente at sannsynligheten for å vinne bilen ville være 50 %, uansett om deltakeren byttet dør eller ikke.
Kapittel 3: Sannsynlighet 65 a Hva tror du? Bør deltakeren bytte dør, eller bør hun holde fast på døra hun valgte først? Eller spiller det ikke noen rolle? Du kan avgjøre saken ved å utføre en simulering. Du kan simulere TV-showet ved at en medelev spiller programlederen og du deltakeren som håper å vinne bilen. Bilen erstattes av et rødt kort fra en kortstokk og de to geitene av to svarte kort. Hvert forsøk foregår slik: Medeleven stokker de tre kortene, ser på dem og legger dem på bordet med baksiden opp. Så ber han deg tippe hvilket kort som er rødt (bil). Du velger et kort, og medeleven snur ett av de kortene du ikke valgte, for å vise at det er svart (geit). Nå kan du bestemme om du vil holde fast på det første valget, eller satse på det andre kortet som ikke er snudd. b Utfør forsøket i to serier: En serie der du konsekvent holder fast på det kortet du valgte først, og en serie der du bytter kort hver gang (slik Marilyn vos Savant anbefalte). Hva finner du ut av dette? Hvem har rett, Marilyn vos Savant eller de som kritiserte henne? 312 I tabell 3.1 på side 61 finner du antall tvilling- og trillingfødsler for hver femårsperiode fra 1951 55 til 1996 2000. (Noen få firling- og femlingfødsler er regnet med blant trillingfødslene.) a Regn ut den relative frekvensen for tvillingfødsler for hver av de ti femårsperiodene. Hvordan varierer den relative frekvensen? b Gjenta oppgave a for trillingfødsler. I læreboka forklarer vi at sannsynlighet svarer til relativ frekvens i det lange løp. En forutsetning for at det skal være tilfellet, er at det tilfeldige forsøket gjentas under like betingelser. Hvis betingelsene endrer seg, vil også sannsynligheten endre seg. c Ser det ut til at sannsynligheten for tvilling- og trillingfødsel har endret seg i femårsperiodene fra 1951 55 til 1996 2000? Kunstig befruktning, der flere befruktede egg blir satt inn i kvinnens livmor, ble innført i Norge på 1980-tallet. Diskuter om det kan forklare resultatene i oppgavene a og b. 3.2 Sannsynlighetsmodeller 313 Tenk deg at du skriver tallene fra 1 til 10 på hver sin lapp og legger de ti lappene i en eske. Du trekker så tilfeldig en lapp fra esken og ser hvilket tall det står på lappen. a Skriv opp utfallsrommet for forsøket. b Gi en sannsynlighetsmodell for forsøket.
66 Kapittel 3: Sannsynlighet 314 Tegn et lykkehjul med andre farger og størrelser på feltene enn i oppgave 3.5 i læreboka. Tenk deg at du snurrer lykkehjulet ditt rundt og ser hvor det stopper. Sett opp en sannsynlighetsmodell for forsøket. * 315 I Store norske leksikon kan vi lese at rødgrønn fargeblindhet fins hos 8 % av menn. a Hva betyr egentlig denne setningen? Vi undersøker fargesynet til en gutt. b Hvilke utfall har dette forsøket? c Foreslå en sannsynlighetsmodell. 316 Et svangerskap kan gi ett barn eller en flerfødsel. (Vi skiller ikke her mellom tvillinger, trillinger osv.) a Skriv opp utfallsrommet for forsøket. b Bruk tabell 3.1 på side 61 til å foreslå en sannsynlighetsmodell. 317 En astragalus er en slags terning som ble mye brukt til spill i oldtiden. Den ble laget av en knokkel i sauefoten og har fire sider den kan lande på. Disse sidene er merket med tallene 1, 3, 4 og 6. Vi regner med at for alle astragaler er sannsynligheten 10 % for at den vil lande på siden merket 1 40 % for at den vil lande på siden merket 3 40 % for at den vil lande på siden merket 4 10 % for at den vil lande på siden merket 6 Vi kaster én astragalus. Hva er sannsynligheten for at vi får a et oddetall b et partall c høyst tre (altså tre eller mindre) d minst tre (altså tre eller mer)
Kapittel 3: Sannsynlighet 67 318 Du kaster én terning og ser hva du får. a Hvilke utfall er med i hendelsen A = «høyst to øyne»? b Hvilke utfall er med i A? Uttrykk A med ord. c Hva er sannsynlighetene for hendelsene A og A? 319 Du kaster et kronestykke og en femkrone og ser hva du får. a Skriv opp utfallsrommet for forsøket. b Hvilke utfall er med i hendelsen A = «nøyaktig én krone»? c Hvilke utfall er med i A? Uttrykk A med ord. d Hva er sannsynlighetene for hendelsene A og A? 320 Et tilfeldig forsøk har utfallsrommet U = { 1, 2, 3, 4}, der 1 1 1 P() 1 =, P( 2) =, P() 3 = 3 4 6 Nedenfor er det gitt fem forslag for galt eller riktig: A B C D E P( 4) P( 4) = = 1 6 1 4 P( 4) = 0, 167 P( 4) = 1 3 P( 4) = 25% P( 4). Avgjør for hvert forslag om det er 321 Ved Stortingsvalget i 2005 var oppslutningen om de ulike partiene slik: RV SV Ap Sp V KrF H FrP Andre 1,2 % 8,8 % 32,7% 6,5 % 5,9 % 6,8 % 14,1% 22,1% 1,9 % Tenk deg at du var med på å gjennomføre en valgdagsmåling i 2005, og at du spurte en tilfeldig velger hvilket parti hun eller han hadde stemt på. a Gi en sannsynlighetsmodell for forsøket. b Hva er sannsynligheten for at velgeren 1 hadde stemt på RV, SV eller Ap 2 ikke hadde stemt på disse partiene 3 hadde stemt på Sp, V, KrF, H eller Frp 4 ikke hadde stemt på disse partiene 5 hadde stemt på Sp, V eller KrF 6 ikke hadde stemt på disse partiene
68 Kapittel 3: Sannsynlighet 322 De politiske meningsmålingene gir oppslutningen om partiene slik den er «her og nå». Hver for seg er meningsmålingene usikre, men flere målinger sett under ett gir et godt bilde av styrkeforholdet mellom partiene. a Finn fram (i aviser eller fra Internett) resultatet av de fem siste meningsmålingene. b Regn ut den gjennomsnittlige oppslutningen om partiene i disse meningsmålingene. Bruk svarene til å sette opp en sannsynlighetsmodell for forsøket som består i å spørre en person hvilket parti han eller hun ville ha stemt på hvis det hadde vært stortingsvalg i morgen. c Sammenlikn modellen i oppgave b med modellen i oppgave 321. Hva forteller forskjellene deg? 323 Sannsynligheten for en hendelse er den relative frekvensen for hendelsen i det lange løp. Denne oppfatningen av hva sannsynlighet er, har bare mening hvis det er mulig å gjenta forsøket mange ganger. Men i dagliglivet blir ordet sannsynlighet også brukt i situasjoner der et forsøk bare kan gjøres én gang. Et eksempel er spillet «Oddsen», der en skal tippe resultatet av en fotballkamp eller en annen idrettskonkurranse. Om vinnersjansene for «Oddsen» skriver Norsk Tipping: «Sannsynligheten for å vinne på Oddsen varierer stort avhengig av hva man spiller på. Kort fortalt gjenspeiler størrelsen på oddsene sannsynligheten for å vinne. Jo lavere odds, jo mer sannsynlig er det at du vinner. Til gjengjeld vinner du da mindre enn med høyere (og mer usannsynlige) odds.» De sannsynlighetene det er snakk om her, kan ikke tolkes som relative frekvenser i det lange løp. En fotballkamp eller en idrettskonkurranse kan ikke gjentas mange ganger (under like betingelser). Sannsynlighetene er her et uttrykk for de vurderingene ekspertene til Norsk Tipping har gjort. Når ordet sannsynlighet blir brukt på denne måten, kaller vi det subjektiv sannsynlighet. Finn eksempler på subjektiv sannsynlighet i dagspressen eller på Internett. 3.3 Uniforme sannsynlighetsmodeller 324 I hvilke av disse situasjonene er det rimelig å bruke en uniform sannsynlighetsmodell: a Du ser om en gutt er rødgrønn fargeblind eller ikke. b Du kaster en femtiøring, et kronestykke og en femkroning og ser hva du får. c Du skriver de 29 bokstavene i alfabetet på hver sin lapp og legger lappene i en eske. Du trekker så tilfeldig én lapp fra esken og ser hvilken bokstav du får. d Vi ser om et svangerskap gir ett barn eller en flerfødsel. (Vi skiller ikke her mellom tvillinger, trillinger osv.)
Kapittel 3: Sannsynlighet 69 325 Du kaster én terning. Hva er sannsynligheten for at du får a minst 3 øyne (altså 3 øyne eller mer) b minst 4 øyne c høyst 3 øyne (altså 3 øyne eller færre) d høyst 4 øyne 326 I en klasse er det 12 jenter og 15 gutter. Ved loddtrekning blir én elev valgt ut til å være med i en spørrekonkurranse. a Hva er sannsynligheten for at en gutt blir trukket ut? b Hva er sannsynligheten for at en jente blir trukket ut? 327 I en skål ligger det 12 røde Non Stop, 8 gule Non Stop, 4 grønne Non Stop og 6 blå Non Stop. Du tar tilfeldig én Non Stop fra skåla. Hva er sannsynligheten for at du a får en blå Non Stop b får en rød Non Stop c ikke får en grønn Non Stop d ikke får en gul Non Stop 328 Du skriver tallene fra 1 til 20 på hver sin lapp og legger de tjue lappene i en eske. Du trekker så tilfeldig én lapp fra esken og ser hvilket tall det står på lappen. Hva er sannsynligheten for at du får a et oddetall b et partall c et primtall d et kvadrattall 329 6 5 Andre kast 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 Første kast Du kaster én terning to ganger. Figuren viser utfallsrommet. a Tegn av figuren og merk av hendelsene (se figur i eksempel 1 på side 131 i læreboka) 1 femmer i første kast 2 sum antall øyne lik fem 3 minst én sekser 4 sum antall øyne høyst fire b Finn sannsynlighetene for hendelsene i oppgave a.
70 Kapittel 3: Sannsynlighet 330 Du stokker en kortstokk godt og ser hvilket kort som ligger øverst (se eksempel 2 side 132 i læreboka.) Hva er sannsynligheten for at kortet a er kløver sju b er et ess c ikke er et ess d er en spar e ikke er en spar 331 332 333 334 * 335 Oda har kjøpt 15 lodd i jubileumslotteriet til idrettslaget Komiform. Oda vet at sannsynligheten er 0,5 % for at hun vil vinne førstepremien. Hvor mange lodd ble det solgt i lotteriet? Du kaster et kronestykke tre ganger og ser for hvert kast om du får mynt eller krone. a Bruk et valgtre til å finne alle utfallene i dette sammensatte forsøket. b Hva er sannsynligheten for at du får 1 tre krone 2 tre mynt 3 to krone og én mynt (uten hensyn til rekkefølgen) Du skriver bokstavene H, U og B på hver sin lapp, og legger de tre lappene i en eske. Du trekker så tilfeldig én lapp fra esken og ser hvilken bokstav du får. Du legger lappen tilbake i esken, trekker én lapp på nytt og ser hvilken bokstav du nå får. a Forklar at du kan trekke de to bokstavene på 9 måter. b Tegn et valgtre som viser de 9 måtene du kan trekke bokstavene på. c Hva er sannsynligheten for at du får to H-er? d Hva er sannsynligheten for at du får én H og én B? Vi har en eske med 7 hvite og 3 svarte kuler. Vi trekker én kule og ser hvilken farge den har. Uten å legge kula tilbake, trekker vi én kule til og ser hvilken farge den kula har. Vi er interessert i sannsynligheten for at begge kulene vi trekker, er hvite. Nedenfor er det gitt fire forslag for denne sannsynligheten. Hvilket av dem er riktig? A 70,0 % B 49,0 % C 46,7 % D 68,4 % Du stokker en kortstokk godt og trekker først ett kort og så ett kort til uten å legge det første tilbake før du trekker det andre. a Hvor mange utfall har dette forsøket? b Hvor mange utfall er gunstige for hendelsen at du får to spar? c Hva er sannsynligheten for at du får to spar?
Kapittel 3: Sannsynlighet 71 336 337 338 339 I klasse 1b er det 12 jenter og 16 gutter. Klassen skal velge en festkomité med to medlemmer. Valget gjøres ved loddtrekning. Først blir ett medlem av festkomiteen valgt ved loddtrekning blant alle de 28 elevene. Deretter blir det trukket lodd blant de gjenværende 27 elevene om hvem som skal være det andre medlemmet av festkomiteen. Hva er sannsynligheten for at a begge medlemmene av festkomiteen blir jenter b minst ett av medlemmene av festkomiteen blir en gutt Vi kaster fire kronestykker og ser for hvert av dem om vi får mynt eller krone. a Bruk et valgtre til å finne alle utfallene til dette sammensatte forsøket. b Hva er sannsynligheten for at vi får én krone og tre mynt? c Hva er sannsynligheten for at vi får to krone og to mynt? I en skuff ligger det 4 blå, 2 grå og 6 svarte sokker. Du tar to sokker i mørket, først én og så én til. Hva er sannsynligheten for at du får a to blå sokker b to grå sokker c to svarte sokker d to sokker med samme farge Du skriver bokstavene H, U og B på hver sin lapp og legger de tre lappene i en eske. Du trekker tilfeldig én lapp fra esken og ser hvilken bokstav du får. Du legger lappen tilbake i esken, trekker én lapp på nytt og ser hvilken bokstav du nå får. Du gjentar trekningen av bokstaver på denne måten til du i alt har fått 12 bokstaver. a På hvor mange måter kan du trekke 12 bokstaver på denne måten når du b tar hensyn til rekkefølgen du trekker dem i? Hva er sannsynligheten for at du får akkurat denne serien: HUB BUB HHU HBU?
72 Kapittel 3: Sannsynlighet På en tippekupong er det gitt 12 fotballkamper. For hver kamp skal en tippe om det blir hjemmeseier (H), uavgjort (U) eller borteseier (B). En tipperekke består av ett tips for hver av de 12 kampene. c d Forklar at svaret i oppgave a gir antall ulike rekker en kan tippe. Vil svaret i oppgave b gi oss sannsynligheten for å få tolv rette når vi tipper én rekke? Begrunn svaret! 3.4 Addisjonssetningen 340 Du stokker en kortstokk godt og trekker ett kort. a Finn sannsynligheten for at kortet er 1 en hjerter 2 en ruter b Forklar hvorfor vi får sannsynligheten for at vi får et rødt kort (ruter eller hjerter), ved å legge sammen sannsynlighetene i oppgave a. * 341 Friidrettsgruppa til Koll har 50 utøvere. 35 av dem konkurrerer i løpsøvelser og 12 i høydehopp. Sju av utøverne konkurrerer både i høydehopp og løpsøvelser. a Lag en oversiktstabell eller et venndiagram som viser hvordan utøverne fordeler seg på løpsøvelser og høydehopp (se sidene 137 138 i læreboka). b En utøver i friidrettsgruppa trekkes ut tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at denne utøveren konkurrerer 1 i høydehopp 2 i løpsøvelser 3 både i høydehopp og løpsøvelser 4 i høydehopp eller løpsøvelser eller begge deler 342 Narvestad videregående skole har 80 elever i første klasse. En uke har 57 sett Idol, 35 sett Hotel Cæsar og 25 sett begge programmene. a Lag en oversiktstabell eller et venndiagram som viser hvordan elevene fordeler seg på de to programmene (se sidene 137 138 i læreboka). Én av de 80 elevene trekkes tilfeldig for å bli intervjuet i skoleavisa. b Hva er sannsynligheten for at denne eleven har sett 1 Idol 2 Hotel Cæsar 3 begge programmene 4 minst ett av programmene 5 ingen av programmene 343 I en klasse er det 25 elever. Av dem er det 10 som har hund, 8 som har katt og 9 som verken har hund eller katt. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev a verken har hund eller katt b har både hund og katt c har katt, men ikke hund d har hund, men ikke katt
Kapittel 3: Sannsynlighet 73 344 345 346 Ved en teknisk kontroll ble lys og bremser kontrollert på en rekke biler. Det viste seg at 18 % av bilene hadde feil med lysene og 12 % hadde feil med bremsene. 74 % av bilene hadde både lys og bremser i orden. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt bil blant de som ble kontrollert, hadde a lys som var i orden b bremser som var i orden c verken lys eller bremser i orden d lys, men ikke bremser i orden Du kaster én terning to ganger. Avgjør i hvert av tilfellene nedenfor om hendelsene A og B er disjunkte (se side 136 i læreboka). a A = «minst én sekser» og B = «sum antall øyne mindre enn sju» b A = «minst én sekser» og B = «femmer i første kast» c A = «sum antall øyne minst ni» og B = «treer i andre kast» d A = «sum antall øyne større enn ni» og B = «treer i andre kast» Tabell 3.2 gir en oversikt over inngåtte ekteskap i 1997 etter brudens og brudgommens alder. Se på et tilfeldig valgt brudepar fra dette året. a Hva er sannsynligheten for at bruden er 20 24 år? b Hva er sannsynligheten for at brudgommen er 20 24 år? c Hva er sannsynligheten for at både bruden og brudgommen er 20 24 år? d Hva er sannsynligheten for at minst én av de to ektefellene er 20 24 år? Aktuelle befolkningstall 9/98 3 Inngåtte ekteskap etter brudens og brudgommens alder. 1997 Brudgommens alder I alt Brudens alder 15 19 20 24 25 29 30 34 35 39 40 44 45 49 50 54 55 59 60 64 65 69 70 Ekteskap i alt 23 815 527 4 935 8 684 4669 2241 1244 767 450 188 55 32 23 15 19 106 55 41 4 5 1 20 24 2 263 251 1 537 404 49 16 2 2 2 25 29 7 728 137 2 408 4 265 745 124 41 5 1 2 30 34 6 132 61 690 2 873 1970 435 79 13 9 2 35 39 3 078 14 156 762 1184 710 201 40 9 2 40 44 1 756 7 56 233 464 513 353 102 25 2 1 45 49 1 162 2 27 96 160 264 294 234 73 10 2 50 54 882 7 38 68 135 181 248 163 35 4 3 55 59 400 11 4 17 33 70 85 97 66 15 1 1 60 64 160 2 3 6 9 16 29 44 35 9 5 2 65 69 73 2 1 1 4 7 17 21 12 6 2 70 75 1 3 2 10 12 12 17 18 Statistisk sentralbyrå Tabell 3.2
74 Kapittel 3: Sannsynlighet 347 348 349 Tabell 3.2 på side 73 gir en oversikt over inngåtte ekteskap i 1997 etter brudens og brudgommens alder. Vi ser på et tilfeldig valgt brudepar fra dette året. Vi er interessert i sannsynligheten for at minst én av ektefellene er under 20 år. Nedenfor er det gitt fire forslag for denne sannsynligheten. Hvilket av dem er riktig? A 2,4 % B 2,2 % C 0,4 % D 2,7 % Du kaster én terning to ganger. Se på hendelsene A = «sum øyne høyst fem» og B = «firer i minst ett av kastene». a Tegn opp utfallsrommet og merk av hendelsene A og B (se figuren i eksempel 3 på side 140 i læreboka.) b Hvilke utfall utgjør hendelsene «A og B» og«a eller B eller begge»? c Bestem PA ( og B) og PA ( eller Beller begge). Et TV-apparat kan ha to hovedtyper av feil, A og B. Sannsynligheten er 3,0 % for feil av type A og 1,0 % for feil av type B, dvs. PA ( ) = 0, 030 og PB ( ) = 0, 010. Sannsynligheten for at et apparat har begge feilene, er 0,2 %, dvs. PA ( og B) = 0, 002. Finn sannsynligheten for at et TV-apparat har a minst én av de to feilene b ingen av de to feilene 3.5 Produktsetningen for uavhengige hendelser 350 I en eske ligger det to blå og tre røde kuler. Du trekker én kule tilfeldig fra esken og ser hvilken farge den har. Du legger kula tilbake i esken og trekker tilfeldig én kule til og ser hvilken farge den har. Hva er sannsynligheten for at a begge kulene er røde b begge kulene er blå c den første kula er rød og den andre er blå d den første kula er blå og den andre er rød 351 På et bord står det to skåler. I den ene skåla er det 5 røde og 4 gule seigmenn. I den andre skåla er det 3 oransje og 6 grønne seigdamer. Vi trekker en «seigperson» fra hver skål. Finn sannsynligheten for at det blir a en rød seigmann og en oransje seigdame b en rød seigmann og en grønn seigdame c en gul seigmann og en oransje seigdame d en gul seigmann og en grønn seigdame
Kapittel 3: Sannsynlighet 75 352 Et ektepar har to barn som ikke er tvillinger. Hva er sannsynligheten for at a paret har to gutter b det eldste barnet er en gutt og det yngste er en jente c det eldste barnet er en jente og det yngste er en gutt d paret har to jenter 353 354 * 355 356 357 Vi har en eske med 7 hvite og 3 svarte kuler. Vi trekker en kule og legger den tilbake igjen. Det gjør vi tre ganger. Finn sannsynligheten for at vi trekker a tre hvite kuler b minst én svart kule c først en svart, så en hvit og så en svart kule I en gjettekonkurranse blir det gitt to spørsmål. For det første spørsmålet er det oppgitt tre mulige svar, mens det er oppgitt 5 mulige svar for det andre. Hvor stor sannsynlighet er det for at en som bare tipper, vil få a galt svar på begge spørsmålene b riktig svar på begge spørsmålene c minst ett riktig svar d høyst ett riktig svar Mia driver en motebutikk. Hun har ført statistikk over lang tid og funnet at 60 % av dem som kommer innom butikken, handler før de går ut. En ellers rolig mandag formiddag kommer det tre personer, som ikke er i følge, inn i butikken. Finn sannsynligheten for at a alle tre handler b ingen av dem handler c minst én av dem handler En familie har fire barn som ikke er tvillinger, trillinger eller firlinger. Hva er sannsynligheten for at søskenflokken består av a fire gutter b minst én jente c en storebror med tre småsøstere Vi kaster fire terninger. Vi er interessert i sannsynligheten for at vi får minst én sekser. Nedenfor er det gitt fire forslag for denne sannsynligheten. Hvilket av dem er riktig? A 48,2 % B 66,7 % C 51,8 % D 36,0 %
76 Kapittel 3: Sannsynlighet 358 I spalten «Barnelegen» i Aftenposten sto det for noen år siden følgende spørsmål fra «tante» med svar fra barnelegen Gunnar Oftedal: Gutt eller pike Da min søster fødte sin tredje sønn i fjor, ble hun fortalt av jordmoren at når en kvinne har født to gutter, er det 70-80 prosent sjanse for at barn nr. tre også blir en gutt. Stemmer det? Og i så fall, hvorfor? Hvis en kvinne har født tre gutter, hva er da sjansen for at barn nr. fire blir en jente? Nei det stemmer ikke, jordmoren tar feil. Ved hver befruktning er det 50 prosent sjanse for begge kjønn, uavhengig av hvor mange barn kvinnen har født tidligere, og uavhengig av hvilke kjønn tidligere barn har. Det er kjønnskromosomene som avgjør barnets kjønn. Eggcellene inneholder et x-kromosom, spermiene enten et x- eller et y-kromosom, og det er helt opp til tilfeldighetene om kombinasjonen eller sammensmeltingen blir xx (pike) eller xy (gutt). Helt korrekt er heller ikke dette, fordi sjansen for å få en gutt er litt større enn for å få en jente. Det fødes omkring 105 gutter i forhold til 100 jenter, dvs. at det hver gang er 5 prosent større mulighet for gutt. I praksis er det likevel som å slå kron og mynt, det er like sannsynlig at begge sider kommer opp. a b Diskuter spørsmålet til «tante» ut fra begrepene avhengige og uavhengige hendelser. Diskuter barnelegens svar. 359 360 Fra offisiell statistikk vet vi at 1 % av fødslene i Norge er tvillingfødsler. Anta at et sykehus har 200 fødsler i løpet av ett år. Hva er sannsynligheten for at det a ikke blir født noen tvillingpar b blir født minst ett tvillingpar Rødgrønn fargeblindhet er arvelig, men blir arvet forskjellig for gutter og jenter. En gutt blir rødgrønn fargeblind hvis han arver genet for rødgrønn fargeblindhet fra sin mor. Sannsynligheten for det er 8 %. a Hva er sannsynligheten for at en gutt ikke er rødgrønn fargeblind? b Ola, Kristoffer og Hans er bestevenner. Hva er sannsynligheten for at ingen c av dem er rødgrønn fargeblind? Per, Pål og Espen er brødre. Kan vi finne sannsynligheten for at ingen av dem er rødgrønn fargeblind, på samme måte som i oppgave b? (Du skal ikke regne her.) For at en jente skal bli rødgrønn fargeblind, må hun arve genet for rødgrønn fargeblindhet både fra mor og far. Hun arver genet fra de to foreldrene uavhengig av hverandre. Sannsynligheten er 8 % for å få genet for rødgrønn fargeblindhet fra mor og 8 % for å få det fra far. d e f Hva er sannsynligheten for at en jente skal være rødgrønn fargeblind? Hva er sannsynligheten for at en jente ikke skal være rødgrønn fargeblind? Kari, Linda og Mette er bestevenner. Hva er sannsynligheten for at ingen av dem er rødgrønn fargeblind?
Kapittel 3: Sannsynlighet 77 361 Alle sykehus har et nødaggregat som koples inn for å sikre strøm til operasjonsstuer og overvåkingsutstyr hvis det skulle bli brudd på den ordinære elektrisitetsforsyningen. Strømforsyningen til et sykehus er et eksempel på et system med to «komponenter» den ordinære strømforsyningen og nødaggregatet. Systemet fungerer det leverer strøm hvis minst én av komponentene fungerer. Vi sier at komponentene er koplet i parallell. Vi har et system med to parallellkoplede komponenter. De to komponentene fungerer uavhengig av hverandre. Vi ser på hendelsene A=«første komponent fungerer» B = «andre komponent fungerer» og antar at PA ( ) = PB ( ) =095,. a Finn PA ( og B). b Finn PA ( eller Beller begge), det vil si sannsynligheten for at systemet fungerer. c Hva er sannsynligheten for at systemet ikke fungerer? Sammenlikn denne sannsynligheten med sannsynligheten for at hver av komponentene ikke fungerer. 3.6 Produktsetningen for avhengige hendelser 362 I en eske ligger det to blå og tre røde kuler. Vi trekker en kule og ser hvilken farge den har. Uten å legge kula tilbake trekker vi en kule til og ser hvilken farge den har. Hva er sannsynligheten for at a begge kulene er røde b første kule er rød og andre kule er blå c første kule er blå og andre kule er rød d begge kulene er blå 363 I en eske ligger det 5 hvite og 3 svarte kuler. Vi trekker en kule og ser hvilken farge den har. Uten å legge kula tilbake trekker vi en kule til og ser hvilken farge den har. Hva er sannsynligheten for at a begge kulene er hvite b den første kula er hvit og den andre er svart c den første kula er svart og den andre er hvit d begge kulene er svarte 364 En klasse har 12 gutter og 9 jenter. To elever trekkes ut tilfeldig. Finn sannsynligheten for at a begge er gutter b minst én er en jente
78 Kapittel 3: Sannsynlighet 365 366 * 367 368 369 Du stokker en kortstokk godt og trekker først ett kort og så ett kort til (uten å legge det første kortet tilbake før du trekker det andre). Hva er sannsynligheten for at du får a ingen spar b minst én spar c ingen ess d minst ett ess I en eske ligger det 5 hvite og 3 svarte legoklosser. Vi trekker etter tur tre legoklosser og ser hvilken farge de har (uten å legge klossene tilbake igjen). Hva er sannsynligheten for at a alle legoklossene er hvite b minst én legokloss er svart c de to første legoklossene er hvite og den siste er svart d den første legoklossen er svart og de to siste er hvite I en klasse er det 14 jenter og 10 gutter. Fire elever trekkes ut tilfeldig. Finn sannsynligheten for at a alle er jenter b minst én av de fire er en gutt c de to første er jenter og de to siste er gutter Per skriver bokstavene i alfabetet på hver sin lapp og legger de 29 lappene i en hatt. Han trekker så tilfeldig fire lapper, én etter én, og ser hvilke bokstaver det står på lappene (uten å legge lappene tilbake igjen). Hva er sannsynligheten for at Per a får bare konsonanter b får minst én vokal c får bare vokaler Vi trekker tilfeldig fem kort fra en kortstokk. a Hva er sannsynligheten for at alle kortene er spar? b Hva er sannsynligheten for at minst ett kort ikke er en spar? 370 Når du tipper én rekke i Viking Lotto, krysser du av seks tall fra 1 til 48. Ved trekningen blir det tilfeldig trukket seks vinnertall (og to tilleggstall). Førstepremien går til den eller de som tipper alle de seks vinnertallene riktig. Anta at du har tippet én rekke i Viking Lotto. Hva er sannsynligheten for at du a vinner førstepremie b ikke tipper et eneste vinnertall riktig c tipper minst ett vinnertall riktig
Kapittel 3: Sannsynlighet 79 3.7 Sammensatte forsøk 371 I en eske ligger det to blå og tre røde kuler. Vi trekker en kule og ser hvilken farge den har. Uten å legge kula tilbake trekker vi en kule til og ser hvilken farge den har. a Tegn et valgtre for det sammensatte forsøket som består i å trekke de to kulene. b Hva er sannsynligheten for at de to kulene har samme farge? 372 Et ektepar har to barn. Vi kan se på dette som et sammensatt forsøk med to delforsøk, ett for hvert barn. a Tegn et valgtre for det sammensatte forsøket. b Hva er sannsynligheten for at paret har én gutt og én jente? 373 I en skål ligger det 8 seigmenn og 12 seigdamer. Du trekker tilfeldig to «seigpersoner» fra skåla. Vi kan se på dette som et sammensatt forsøk med to delforsøk, ett for hver «seigperson» du trekker. a b Tegn et valgtre for det sammensatte forsøket. Hva er sannsynligheten for at du får 1 to seigdamer 2 to seigmenn 3 én seigdame 4 minst én seigmann 374 375 376 I en eske ligger det 5 hvite og 3 svarte legoklosser. Vi trekker etter tur tre legoklosser og ser hvilken farge de har (uten å legge klossene tilbake igjen). a Tegn et valgtre for det sammensatte forsøket som består i å trekke de tre klossene. b Hva er sannsynligheten for at vi får 1 én hvit legokloss 2 to hvite legoklosser En astragalus er en slags terning som ble mye brukt til spill i oldtiden. Den ble laget av en knokkel i sauefoten, og har fire sider den kan lande på. Disse sidene er merket med tallene 1, 3, 4 og 6. Vi regner med at for alle astragaler er sannsynligheten 10 % for at den vil lande på siden merket 1 40 % for at den vil lande på siden merket 3 40 % for at den vil lande på siden merket 4 10 % for at den vil lande på siden merket 6 Vi kaster to astragaler samtidig. a Hva er sannsynligheten for å få to firere? b Hva er sannsynligheten for at de to astragalene vil vise det samme? En familie har tre barn som ikke er tvillinger eller trillinger. Hva er sannsynligheten for at det er én jente og to gutter i søskenflokken?
80 Kapittel 3: Sannsynlighet * 377 378 379 380 Et menneske har én av blodtypene A, B, AB og 0. I Norge har 48 % blodtype A, 8 % blodtype B, 4 % blodtype AB og 40 % blodtype 0. En lege undersøker blodtypen til tre nordmenn som ikke er i slekt. a Hva er sannsynligheten for at alle har blodtype 0? b Hva er sannsynligheten for at minst én ikke har blodtype 0? c Hva er sannsynligheten for at én har blodtype A og to har blodtype 0? d Hvorfor må vi forutsette at de tre ikke er slektninger? For å starte i Ludo må en kaste en sekser med terningen. Finn sannsynligheten for at en spiller a starter etter første kast b starter etter andre kast c starter etter enten første eller andre kast En klasse har en flervalgsprøve med 10 spørsmål. For hvert spørsmål krysser elevene av ved ett av tre alternativer. Læreren gir karakteren 6 hvis alle spørsmålene er riktig besvart, og karakteren 5 hvis ni av spørsmålene er riktig besvart. Yngve har ikke lest på leksene og krysser av helt tilfeldig for hvert spørsmål. Hva er sannsynligheten for at Yngve får a karakteren 6 b karakteren 5 c karakteren 4 eller dårligere Du kaster én terning fire ganger. Hva er sannsynligheten for at du får to seksere? 15 rette eller gale 1 Når vi kaster én terning 1200 ganger, får vi 200 seksere. 2 Et utfall er et mulig resultat av et tilfeldig forsøk. 3 En hendelse omfatter minst to utfall. 4 Når vi kaster én terning, er «høyst fire øyne» og «minst fire øyne» komplementære hendelser. 5 Antall gunstige utfall for hendelsen «minst én firer» når vi kaster to terninger, er 12. 6 Når vi kaster tre terninger, er det 216 mulige utfall. 7 Ved tilfeldig trekning har vi alltid en uniform sannsynlighetsmodell. 8 I en klasse med 28 elever har 12 snøbrett og 13 langrennsski, mens 5 av elevene verken har snøbrett eller langrennsski. Da har 3 elever både snøbrett og langrennsski. 9 Hvis A og B er hendelser ved et forsøk, finner vi sannsynligheten for at minst én av dem vil inntreffe, ved å legge sammen sannsynlighetene for de to hendelsene. 10 Når vi kaster fem kronestykker, er sannsynligheten 3,1 % for at vi ikke får en eneste mynt.
Kapittel 3: Sannsynlighet 81 11 Hvis A og B er uavhengige hendelser, finner vi sannsynligheten for at både A og B vil inntreffe, ved å multiplisere sannsynlighetene for de to hendelsene. 12 I en eske ligger det fire blå og tre røde kuler. Vi trekker etter tur tre kuler fra esken (uten å legge kulene tilbake igjen). Gitt at de to første kulene vi trakk var blå, er den betingede sannsynligheten for at også den tredje 2 kulen er blå, lik 7. 13 I en eske ligger det fire blå og tre røde kuler. Vi trekker etter tur tre kuler fra esken (uten å legge kulene tilbake igjen). Da er sannsynligheten for at 4 vi får tre blå kuler, lik. 35 14 I en skål ligger det tre seigmenn og tre seigdamer. Du velger tilfeldig to «seigpersoner». Da er sannsynligheten 50 % for at du får én seigmann og én seigdame. 3 15 Hvis vi kaster tre kronestykker, er sannsynligheten for at vi får to mynt. 8 Blandede oppgaver 381 Sannsynligheten er 25 % for at en 16 år gammel jente skal være minst 170 cm høy. For en 16 år gammel gutt er denne sannsynligheten 75 %. I en venneflokk er det 5 jenter og 4 gutter som alle er 16 år. Hva er sannsynligheten for at a alle guttene er minst 170 cm b minst én av guttene er lavere enn 170 cm c alle jentene er lavere enn 170 cm d minst én av jentene er 170 cm eller mer (Opplysningene i denne oppgaven stammer fra målinger fra 1970 av elever i Oslo-skolene.) 382 Ved å teste for et bestemt hormon i en urinprøve kan en undersøke om en kvinne er gravid. Men en graviditetstest er ikke 100 % sikker. Den kan la være å oppdage at en gravid kvinne virkelig er gravid, eller den kan tyde på at kvinnen er gravid uten at hun er det. Hvis en kvinne er gravid, er det 99,0 % sannsynlig at testen vil vise det. a En gravid kvinne tar en test. Hva er sannsynligheten for at testen tyder på at hun ikke er gravid? b Tre gravide kvinner tar hver sin test. Hva er sannsynligheten for at 1 alle testene viser at kvinnene er gravide 2 minst én av testene ikke viser tegn på graviditet Hvis en kvinne ikke er gravid, er det 0,5 % sannsynlig at testen likevel tyder på at hun er det. c Tuppen og Lillemor er to venninner. Tuppen er gravid, mens Lillemor ikke er det. De tar hver sin graviditetstest. Hva er sannsynligheten for at nøyaktig én av testene viser feil resultat?
82 Kapittel 3: Sannsynlighet 383 En kortstokk har 52 kort. Kortene er delt inn i fire «farger»: kløver, ruter, hjerter og spar. I hver «farge» er det tretten kort: 2, 3,..., 10, knekt, dame, konge og ess. a Du trekker tilfeldig ett kort fra en kortstokk. Hva er sannsynligheten for at du 1 får et hjerterkort 2 ikke får et hjerterkort b Fra en kortstokk trekker du tilfeldig først ett kort og så ett kort til (uten at du legger det første kortet tilbake før du trekker det andre). Hva er sannsynligheten for at du 1 først får et hjerterkort og så et sparkort 2 først får et sparkort og så et hjerterkort 3 får et sparkort og et hjerterkort (når vi ikke bryr oss om hvilket av dem som trekkes først). c Du trekker tilfeldig fire kort fra en kortstokk. Hva er sannsynligheten for at 1 ingen av kortene har samme «farge» 2 minst to av kortene har samme «farge» 384 I perioden 1996 2000 ble det i gjennomsnitt født 59 766 barn hvert år i Norge. Av dem var det i gjennomsnitt 244 dødfødte hvert år. (Se tabell 3.1 side 61.) a Hva er den relative frekvensen for dødfødte i femårsperioden? Vi regner med at sannsynligheten er 0,4 % for at et barn skal være dødfødt. b Hvordan har vi kommet fram til dette? c Hva er sannsynligheten for at et barn skal være levendefødt? På et sykehus blir det født 200 barn i løpet av ett år. d Hva er sannsynligheten for at alle barna er levendefødte? e Hva er sannsynligheten for at minst ett av barna er dødfødt? 385 Frøene til en erteplante kan være enten gule eller grønne. I et krysningsforsøk 3 er sannsynligheten 4 for at en erteplante vil få gule frø. a Hva er sannsynligheten for at en erteplante vil få grønne frø? Vi har tre erteplanter fra et slikt krysningsforsøk. b Hva er sannsynligheten for at alle plantene har gule frø? c Hva er sannsynligheten for at alle plantene har grønne frø? d Hva er sannsynligheten for at to av plantene har gule frø og én har grønne frø? En annen egenskap ved frøene til en erteplante er at overflaten er glatt eller 1 rynket. I krysningsforsøket er sannsynligheten for at overflaten vil bli rynket. 4 Ett av de berømte forsøkene til den østerrikske botanikeren Gregor Mendel (1822 84) viste at fargen og overflaten til frøene er uavhengige av hverandre. e Hva er sannsynligheten for at en erteplante vil få frø som 1 er gule og har rynket overflate 2 er gule og har glatt overflate
Kapittel 3: Sannsynlighet 83 386 Hver dag etter middag setter Per seg på rommet for å gjøre lekser. Mens han arbeider med leksene, har han mobiltelefonen på. Sannsynligheten for at han får én SMS-melding i løpet av ett minutt, er 5 %. Vi ser bort fra muligheten for at Per får to eller flere meldinger i løpet av det samme minuttet. Vi går også ut fra at antall meldinger han alt har fått, ikke spiller noen rolle for om han får en SMS-melding eller ikke i løpet av ett minutt. a Hva er sannsynligheten for at Per ikke får noen meldinger i løpet av ett minutt? En dag bruker Per fem minutter på en matematikkoppgave. b Hva er sannsynligheten for at han ikke blir forstyrret av noen SMS-meldinger mens han arbeider med oppgaven? c Hva er sannsynligheten for at han får én melding mens han arbeider med oppgaven? d Hva er sannsynligheten for at han får minst to meldinger mens han arbeider med oppgaven? En annen dag arbeider Per med en norsk stil. e Hva er sannsynligheten for at han får arbeide i fred med stilen en hel time uten å få noen SMS-meldinger? X3.1 Martin har problemer med et kne og må få behandlet en skade på menisken. Sannsynligheten for å bli frisk etter en operasjon er 0,70. a Hva er sannsynligheten for at Martin ikke blir frisk etter operasjonen? Sykehuset der Martin legges inn, opererer en dag tre pasienter med meniskskade. b Hva er sannsynligheten for at alle tre blir friske etter operasjonen? c Hva er sannsynligheten for at akkurat én av dem blir frisk etter operasjonen? (Eksamen 1MX/1MY våren 2004) X3.2 I en klasse er det 30 elever. 12 av disse elevene har valgt kjemi, og 21 har valgt matematikk til neste skoleår. 7 elever har valgt begge fagene. a Illustrer situasjonen med et venndiagram. Hvor mange elever har verken valgt matematikk eller kjemi? Vi trekker ut en tilfeldig elev i klassen. b Hva er sannsynligheten for at eleven har valgt matematikk, men ikke kjemi? Vi trekker nå ut to tilfeldige elever. c Hva er sannsynligheten for at begge har valgt matematikk? (Eksamen 1MX/1MY høsten 2004) X3.3 Eva og Tor Solstad er 70 år, og er født på samme dag. Sannsynligheten for at en 70-åring i Norge skal bli 80 år, er 0,63 for menn og 0,77 for kvinner. a Hva er sannsynligheten for at Tor Solstad ikke skal bli 80 år? b Hva er sannsynligheten for at begge blir 80 år? c Hva er sannsynligheten for at ingen av dem blir 80 år? d Hva er sannsynligheten for at bare én av dem blir 80 år? (Eksamen 1MX/1MY høsten 2003)
84 Kapittel 3: Sannsynlighet X3.4 I et politidistrikt er det 5382 innbyggere over 18 år. For disse innbyggerne gjelder: 180 personer er registrert som alkoholmisbrukere 92 personer har mistet førerkortet på grunn av kjøring i alkoholpåvirket tilstand 72 av de 92 er registrert som alkoholmisbrukere Vi trekker ut en tilfeldig person over 18 år i politidistriktet. a Finn sannsynligheten for at personen har mistet førerkortet på grunn av kjøring i alkoholpåvirket tilstand. b Vi antar at personen har mistet førerkortet på grunn av kjøring i alkoholpåvirket tilstand. Finn sannsynligheten for at vedkommende er registrert som alkoholmisbruker. Vi trekker nå ut en ny tilfeldig person over 18 år i politidistriktet. c Finn sannsynligheten for at denne personen verken er registrert som alkoholmisbruker eller har mistet førerkortet på grunn av kjøring i alkoholpåvirket tilstand. (Eksamen 1MX/1MY våren 2005)