HØGKOLEN AGDER Fakultet for teknologi Elkraftteknikk 1, løsningsforslag øving 4, høst 004 Oppgave 1 Faradays lov er: dλ e dt Den sier at den induserte spenningen i en spole er lik den tidsderiverte av fluksforslyngningene gjennom spolen. * Fortegnet kan ofte gi opphav til forvirring, men henger sammen med fundamentale fortegnsdefinisjoner i elektromagnetismen. Det beste er å se bort fra fortegnet, og heller bestemme polariteten på spenningen ved å bruke Lenz lov. Den sier at spenningen har en slik polaritet at hvis den kan drive en strøm gjennom kretsen (tenkt deg at kretsen er lukket gjennom en hypotetisk resistans), har den induserte * For den spesielt interesserte: Faradays lov er en av Maxwells 4 ligninger, som danner grunnlaget for hele elektroteknikken. På litt mer generell form ser den slik ut: B E t Den sier at curl til det elektriske feltet E er lik minus den tidsderiverte av B-feltet. Oppgave 1a i forrige øving handlet om Amperes lov. fotnoten ble det nevnt at Amperes lov er et spesialtilfelle. full form, ser den slik ut: D H J + t Den sier at curl til H-feltet, som er nær knyttet til B-feltet, er lik strømtetthet pluss den tidsderiverte av D-feltet, som er knyttet på omtrent samme måte til E-feltet, som B til H. Disse to ligningene sammen forklarer elektromagnetisk stråling: Fra den første ser vi at et tidsvarierende magnetfelt skaper et elektrisk felt (som også vil være tidsvarierende). Men fra den andre ligningen ser vi at et tidsvarierende elektrisk felt på sin side skaper et (tidsvarierende) magnetfelt som da igjen gir opphav til et tidsvarierende elektrisk felt. Dette er mekanismen en elektromagnetisk bølge forplanter seg på. klassisk elkraftteknikk opererer vi med frekvenser på 50 Hz (Europ eller 60 Hz (UA). Denne lave frekvensen medfører at leddet D t blir svært lite, slik at det i mange tilfeller kan neglisjeres. Dermed har vi heller ingen energitransport i form av stråling fra klassiske elkrafttekniske systemer i normal drift.
spenningen en slik polaritet at strømmen drives i en slik retning at endringen i magnetfelt motvirkes. NB! Egentlig er løsningen nedenfor feil i forhold til oppgaven fordi det i oppgaven stod ms (altså millisekunder) på x-aksen. Trykkfeilen var i oppgaven, så stryk m foran sekunder der, og dette skulle bli rett! c) Med eranseretninger som vist i figuren (oppgaveteksten), blir fortegnet positivt. Med disse eranseretningene får vi. dφ e + N dt Minustegnet som ofte oppgis, er litt slitsomt å hanskes med, men henger sammen med formen likningen har på noe mer generell form (som gjelder for et punkt) se også og fotnote.
3 Oppgave Kjernetapet består hovedsakelig av: hysteresetap virvelstrømstap Når et tidsvarierende magnetfelt tfer et ledende materiale, vil det bli indusert spenning og dermed strøm i materialet i henhold til Faradays lov. Disse strømmene vil ha en tendens til å være strømmer som sirkulerer i materialet, omtrent som strømvirvler i vann i et sund. Derav navnet virvelstrømmer. transformatorer får man virvelstrømstap i kjernen rett og slett fordi det tidsvarierende magnetfeltet i gir opphav til virvelstrømmer, siden kjernen også har elektrisk ledningsevne (i tillegg til at den leder magnetfelt godt). Av den grunn bygger man kjernen opp av laminerte stålplater (transformatorblikk). Disse stålplatene er isolert fra hverandre slik at virvelstrømmene får små baner å bevege seg i, og dermed reduseres virkningen av dem. irvelstrømstap oppstår også på grunn av lekkfelt som går vinkelrett ut og inn av stål, slik at det oppstår virvelstrømmer i overflaten av materialet. Oppgave 3 prinsippet kan vi velge eranseeffekten vilkårlig. midlertid ser vi fra eksempelet at spenningsnivået på lastsiden er 480, mens laststrømmen er om lag 96 A. Det er derfor naturlig å ta utgangspunkt i disse verdiene, som vi hhv. kan kalle lastens merkespenning og merkestrøm. For å få et rundt tall velger vi heller 100 A, og får: 480 100 48 ka iden spenningen er oppgitt å være 480, er det helt klart naturlig å velge: 480, T1p om det står i teksten til oppgaven, må forholdet mellom de forskjellige eransespenningene svare til vindingsforholdene i systemet. De øvrige eransespenninger må derfor utledes fra det første valg som ble gjort. Derfor:, T1p 480, T1s 4800 a 1/10 T1, T1s 4800, T s 480 a 10 T Legg merke til at,t1s,tp siden disse befinner seg på samme spenningsnivå.
4 c) Kombinerer de to ligningene og får, T1s 4800, T1s 480 Ω 48000, T s 480, T s 4.8 Ω 48000 d) R (pu) 3.75E-4 jx (pu) 5.0E-4 (pu) 1.0 (pu) 0.8333 + j0.65 e) trømmen i pu blir: (pu) 1.0 0.9595 36. + + 3.75 10 + 5.0 10 + 0.8333 + 0.65 88 4 4 R jx j j Linjetapene i pu blir: P loss (pu) R 3.75 10 4 0.9595 3.45 10 4 Lastspenningen i pu blir: (pu) ( 0.8333 + j0.65) 0.9595 36.88 0.99945 0. 009 f) 4 P loss P loss (pu) 3.45 10 48000 16. 6 W (pu) 0.99945 0.009 480 479.7 0. 009, T s varene stemmer med eksempelet. må avvik skyldes avrundingsfeil enten her eller i læreboka. Når en regner i et pu-system, bør man bruke relativt mange signifikante siffer, slik at store avrundingsfeil unngås.
5 Oppgave 4 Transmisjonslinjens impedans erert transformatorens sekundærside er: + P 1.4 (38. + j140) 1.16 j4.1143 Ω a 14 i har nå t kretsmodellen til: R/a^ jx/a^ R jx source 14.4 Kildespenningen blir nå: source ( + + ) a a ( ) (*) source s i må finne som viser. mpedansvinkelen er arccos( 0.85) 31. 8. Dette medfører at ligger 31.8 etter s (spenningen over lasten), siden lasten er induktiv (effektfaktoren er lagging.) tørrelsen til finner vi ved: P s slik at 0.85 P 90000 46.04 A (i størrelse) 0.85 0.85 300 s i velger fasevinkelen for s (spenningen over lasten) lik null. Da er 46.04 31.8 39.13 j4. 6 A (som viser) etter nå alle kjente størrelser inn i uttrykket (*), og får: 14 source (( 1.16 + j4.1143 + 0.1 + j0.5) (39.13 j4.6) + 300) 14380 3. 5.4 Med den kretsmodellen som er brukt for transformatoren, er klemspenningen på primærsiden av transformatoren lik den indre spenningen på sekundærsiden erert primærsiden. (Med den indre spenningen på sekundærsiden mener vi spenningen på sekundærsiden av den ideelle transformatoren.)
6 iden transformatoren er ubelastet er klemspenningen på sekundærsiden dessuten lik den indre spenningen på sekundærsiden, siden det ikke går strøm. iden klemspenningen på primærsiden skal være den samme som i a, løser vi derfor oppgaven ved å regne ut den indre spenningen på sekundærsiden som gjelder i oppgave a. Den er: indre s + s ( 0.1 + j0.5) (39.13 j4.6) + 300 317 0. 4 Prosentvis endring i forhold til full last: 317 300 100 % 0.7% 300 c) De ohmske tapene i systemet er lik: P loss R + R R ( 1.16 + 0.1) 46.04 634 W a + R R a + R Kilden source leverer taps- og lasteffekten, totalt 9634 W irkningsgraden η blir da: P 90000 η 100 % 97. % P 9634 delivered