Ó Ö Ò ¹½ Ð ØØ Ö Ð Ö Ú Ñ Ò ÓÒ Å Ø ÖÓÔÔ Ú ÒÚ Ò Ø Ó Ê Ò ÓÖ ÒØ ÖØ Ñ Ø Ñ Ø Î Ö ÌÓÔÔ ÓÐ Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØØ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ø Ö Ò ½º ÙÒ ¾¼½½

Ö ÓÖ ÒÒ Ñ Ø ÖÓÔÔ Ú Ú ÖØ ÒÒÓÑ ÖØ Ó Ö Ú Ò Ú Ñ Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØØ Ú Ð Ò ÓÖ ÒÚ Ò Ø Ó Ö Ò ÓÖ ÒØ ÖØ Ñ Ø Ñ Ø ¾¼½¼ Ø Ð ¾¼½½º Ò ÓÑ Ò Ð Ö ÒÙÑ Ö Ò¹ Ø Ö ÓÒ Ö Ð Ö ÓÖ ÒØ Ö Ö Ò ÓÚ Ö Ñ Ò Ñ Ò ÓÒ Ö Ó Ö Ð Ð ØØ Ö Ð Ö Ú ØØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö º Ò Ó Ð Ú Ö Ø Ö Ö ÖØ Ö Ð Ø Ð ÙØÚ Ð Ò Ó Ø Ø Ò Ú Ð ÓÖ ØÑ Ö ÓÖ ÒÒ Ó Ö Ò ½ Ð ØØ Ö Ð Ö Ú ÙØÚ Ö δ = 5 ÓÖ Ñ Ò ÓÒº ÝÖ Ø Ú Ð Ø Ú Ð Ö ÌÓÖ Ë Ö Ú ÓÖ Ö Ð Ø Ñ Ø ÓÖ Ñ Ø ÖÓÔÔ Ú ÓÑ Ø Ö ÚÓÖ ÒØ Ö ÒØ Ó ÙØ ÓÖ Ö Ò Ö Ñ º Ì Ó ÓÖ ÑØ Ð Ö Ö ÓÑ ÓÔÔ Ú Ó Ú Ö Ô Ô Ö ÑÐ ÒÖ ØÓ Ø Ó ÓÖ Ø Ù Ø ÐØ ÐÐ Ô Ö ÑÐ ÓÑ ÓÖ Ø ÐÚ ÑØØ Ø Ò Ó Ø ÒÒÓÑ Ø Ð Ò Ö Øº Î Ö Ú Ð Ø ÐÐ Ñ ØÙ ÒØ Ò Ô Ñ Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØØ ÓÖ Ú Ö Ö Ö¹ Ø Ó Ð Ô Ô Ù Ò º Ì ÓÖ Ø Ó Ø Ó Ó ÐØ Ö Ñ Ð Ó ÓÖ Ø Ú Ö Ø Ø Ö ÑÐ ÒÒ Ø Ð Ú Ö ÙØ º Ì Ð ÐÙØØ Ú Ð Ø Ñ Ò Ö ÓÖ Ð Ö Ã Ö Ø Ó ÖÒ ÃÖ ÌÓÔÔ ÓÐ ÓÖ ÐÐØ Ú Ö Ö ÓÖ Ñ Ó ÓÖ Ú ÒØ Ö ÓÔÔ Ú Ö Ö Ú º Ì ÓÖ Ø ÙÖ Ø Ö Ñ Ò ÓÖ Ð Ö º

ÁÒÒ Ð ½ ÁÒÒÐ Ò ½ ½º½ ÁÒØ Ö Ö Ò Ñ Ò Ñ Ò ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ÁÒØÖÓ Ù ÓÒ Ø Ð Ð ØØ Ö Ð Ö ¾º½ Ä ØØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä ØØ Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ì ÐÒÖÑ Ò Ð ÓÖ Ð ØØ Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ú Ú Ð Ò Ñ ÐÐÓÑ Ð ØØ Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÃÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ú Ó Ð ØØ Ö Ð Ö ½½ º½ Ó Ð ØØ Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾ ÍØÖ Ò Ò Ú ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º ÐØ Ú Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º ÃÖ Ú ÓÖ ÐØ Ú Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ó ÓÔÐ Ò Ø Ð ÐØ Ú Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ð ÓÖ ØÑ Ö Ó ÓÑÔÐ Ø Ø ½ º½ Ð ÓÖ ØÑ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÍØÖ Ò Ò Ú ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ð ÓÖ ØÑ Ö ÓÖ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ú ÐØ Ú Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º Ð ÓÖ ØÑ ÓÖ ØØ Ö Ð ØØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÃÓÑÔÐ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ô Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ö ÙÐØ Ø ¼ º½ Ê ÙÐØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾ Ù ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÃÓÒ ÐÙ ÓÒ

Ú

ÙÖ Ö ½ Ö Ò Ö ÓÖ N º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ì Ø ÝÖ Ø ÓÖ O(s 9 ) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Ø ÝÖ Ø ÓÖ O(s 7 ) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì ÐÐ Ö ½ Ì ÐÐ ÓÚ Ö Ð ØØ Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ÓÖ Ð Ò Ú Ó Ð ØØ Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ú

½ ÁÒÒÐ Ò ½º½ ÁÒØ Ö Ö Ò Ñ Ò Ñ Ò ÓÒ Ö ÁÒÒ Ò ÓÖ Ö ÙÐ ÐØ Ñ ÐÐÓÑ ÒÒ Ø Ø Ø Ñ Ò ØÓÑ Ý Ò Ò Ñ Ø Ñ¹ Ø Ó Ò Ö Ø Ö Ö Ò ÖÙ ÓÖ ÙÒÒ ÒØ Ö Ö ÓÚ Ö Ñ Ò Ñ Ò ÓÒ Öº ÓÖ Ø Ð Ø Ø Ð Ô Ñ Ò ÓÒ Ö Ö ØØ Ö Ð Ø ÚØ Ö Ø Ó Ö Ú ÓÖ ØÓÖ Ö Ò Ö Øº ÓÖ Ò Ð ÒØ Ö Ð Ò Ò Ø Ð Ó Ñ Ö Ø Ò ÐÝØ ÙØ Ò ÐØ ÓÖ ØÓÖ ÔÖÓ Ð Ñº Å Ò Ø ØÓÖ ÖØ Ð Ú ÙÒ ÓÒ Ö Ö Ú ÖÖ Ð º Ò ÓÖ Ñ Ò Ñ Ò ÓÒ Ö Ó Ö ÓÖ Ú Ö ÓÖ ÙÓÚ Ö ØÐ Ø Ð ÙÒÒ ÒØ Ö Ö Ø Ò ÐÝØ º Á Ø ÐÐ Ò Ò ÙÐ Ö Ø Ø Ö ÐÐ Ö Ú Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ò ÙÖØ Ó ÐÐ ÓÒ Ö ÐÐ Ö Ò Ö ÐÐØ ØØ Ú Ö ÓÖ ÓÑÔÐ Ø Ð ÙÒÒ ÓÖ Ø Ø Ò ÐÝØ º Ç Ø Ö Ò Ó Ñ ÒØ Ö Ò Ö Ö ÓÑ Ö ÒØ Ò ÐØ ÐÐ Ö ÐÚ Ù Ò º ÁÒØ Ö ÓÒ ÓÑÖ Ø Ò Ó Ú Ö Ú Ò Ð ÖØ Ñ ÓÑ ÝÒ Ô ÓÖÑ Ó Ú Ö Ò Ò Ø Ò Ö ÒÓ ÓÒ Ò Ð ÑØ ÒØ Ö Ö Ôº Á Ø Ð ÐÐ Ú ÖØ Ø Ö Ú Ñ Ö Ô Ð ÖØ ÒØ Ö ÓÒ Ñ ¹ ØÓ Öº Ø ÒÒ Ø ÐÐ Ö Ò Ð Ð Ñ ØÓ Ö ÓÖ ÒÙÑ Ö ÒØ Ö ÓÒ Ö Ò Ñ Ò¹ ÓÒ Ð ÒØ Ö ÓÒ Ö Ð Ò Ò ØÙÖÐ ÒÓ Ö Ø ÙØ ÓÖ º Î Ö Ö ØÓ ÒØ Ö ÓÒ Ö Ð Ö ÓÑ Ö Ú Ö Ø Ò ÑÒ Öº Ò ÝÖ Ø Ú Ö Ù Ú Ö ØÙÖ ÓÑ ÒØ Ö Ö Ö ÔÓÐÝÒÓÑ ÙÒ ÓÒ Ö Ø ÓÔÔ Ø Ð ØØ ÓÖ Òº Ò Ò Ö ÓÑ Ö Ô Ö ÙØ Ö ØÖ Ô Ö Ð Ò ÓÑ Ö Ó Ú ÐÙ Ö Ò Ú ÒØ Ö Ð Ú Ô Ö Ó ÙÒ ÓÒ Öº Ò Ò ØÙÖÐ Ø Ò Ö ÙØÚ ÓÒ ÔØ Ú Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ð Ö Ø Ð Ó Ð ÓÖ Ö Ñ Ò¹ ÓÒ Öº Ò Ò Ð Ø ÑØ Ò Ö ØØ Ô Ö ÒÝØØ ÔÖÓ Ù Ø ÒØ Ö ÓÒ Ö Ð Öº ØØ Ö ÐØ Ò ÐØ ÙØ Ô Ö Ù Ö Ø ¹ Ñ Ò ÓÒ ÐØ ÒØ Ö Ð Ø Ð Ø ØØ Ú Ò Ñ Ò ÓÒ Ð ÒØ Ö Ðº ÓÖ Ñ Ò ÓÒ Ö Ö ØØ ÐØ Ö Ø Ó Ò Ö ÖÙ Ö Ö ÙÐØ Ø ÙØ Ò ÓÖ ØÓÖ Ö Ú Ø Ð ÙØÖ Ò Ò Ö Øº Å Ò ÒÖ Ò Ñ ÓÔÔ ÐØ ÓÖ Ñ Ò Ñ Ò ÓÒ Ö Ú ÖØ ØØ Ò ÖØ Ò ÙØ Ð ØÖ Ð ØÖ Ø º Å Ñ Ò ÓÒ Ò Ú Ø Ð Ø Ô ÙØÖ Ò Ò Ö ÔÓÒ Ò ÐÐØ Ó ÐÐ Ö ÓÖ Ñ Ñ Ò ÓÒ Ö Ú Ð Ò Ñ Ò Ð ÔÖÓ Ù Ø ÒØ Ö ÓÒ Ú Ö ÐØ Ô Ö Ò Ú Ø ÓÑ Ö ÔÖ Ø ÑÓ Ð º Î ØÖ Ò Ö ÓÖ Ñ Ö Ó Ø ÖØ ÒØ Ö ÓÒ Ñ ØÓ Öº Ñ ØÓ Ò Ú Ö Ø Ð Ò¹ Ð Ð Ö ÓÚÙ Ð ØÓ Ø ÓÖ Ö Ö ÓÚÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ Ø Ð ÐÐ Ö Ù Ö Ö Ø Ð Ú Ð Ú ÐÙ Ö Ò ÔÙÒ Ø Ô Ñ ÖØ ÑØ Ö Ð Ò Ð Ö Ð Ø Ò ÓÑ ÑÓ Ð Ñ ÙØÖ Ò Ò Ö ÓÑ ÑÓ Ð º Ò ÝÖ Ø Ú Ø ÓÖ Ò Ö ÅÓÒØ ÖÐÓ Ñ ØÓ Ò ½ ÓÑ Ö ÙØ Ô Ú Ð Ú ÐÙ Ö Ò ÔÙÒ Ø Ø Ð Ð Ó Ø ÒÒÓÑ Ò ØØ Ø Ú º Á Ö ¹ Ð Ø Ø Ò Ú Ð Ø Ú Ö Ø ØØ Ú Ô Ú ÓØ Ð Ð ÔÙÒ Ø Ò ÖÙ Ö Ó ÒØ Ö ÓÒ Ñ ØÓ Ò Ò Ð Ö Ú Ö ØÖ ÒÒ Ø Ò Ö ØÓÖ Ò Ú Ô Ú ÓØ Ð Ð ÔÙÒ Øº Ò ÙØÒÝØØ Ö Ø Ú Ø Ð Ð ÙØÚ Ð Ò Ú Ð Ò ÓÑ Ò Ö Ø ØÓÖØ ÒÓ ÙØÚ Ð ÒÖÑ Ò Ö ÐÐ Ñ ÐÚ Ö Ò Ó ÖÑ Ò Ø Ú ÐÙ Ö Ò Ú ÒØ Ö Ð Øº ÓÖ Ð Ò Ñ ØØ Ö Ø Ø Ö Ö Ð Ø ÚØ ÓÖØ Ö Ð Ø ÚØ Ó Ö ÙÐØ Øº ÍÐ ÑÔ Ò Ö Ø Ø Ö Ò Ø Ð Ð ÔÖÓ Ó Ò Ò Ö ÓÖ Ð Ö Ö ÒØ Ö ÓÖ Ó Ö ÙÐØ Øº Ø ÐØ ÖÒ Ø Ú Ø Ð ÅÓÒØ ÖÐÓ Ñ ØÓ Ò Ö Ò ØÓÖ ÖÙÔÔ Ú ÒØ Ö ÓÒ Ñ ØÓ Ö ÓÑ Ô Ò ÒÓ Ú ÖØ ÐÐ Ú ÅÓÒØ ÖÐÓ Ñ ØÓ Ö ½ º Á ÑÓØ ØÒ Ø Ð ÅÓÒØ ÖÐÓ Ñ ØÓ Ò ÙÒ Ö Ö Ú Ø Ò Ú Ð ÑÔÐ ÔÙÒ Ø ÙØ Ö Ý Ø Ñ ÓÒ ØÖÙ ÖØ Ô Ø ÓÖ Ñ Ò ÒØ Ö ÓÒ Ð Òº Ñ ØÓ Ò Ö Ó Ø Ø ÐÔ Ò ÐØ ÖÙÔÔ Ö ½

Ú ÒØ Ö Ò Ö Ó Ö Ö ÓÖ Ñ Ò Ö Ò Ö ÐÐ ÒÒ ÅÓÒØ ÖÐÓ Ñ ØÓ Öº ÇÑ Ò ÒÒ Ö ÒØ Ö Ò Ò Ò Ö ÓÖ Ø Ó Ø Ú Ð Ú Ò Ú ÅÓÒØ ÖÐÓ Ñ ØÓ Ú Ö ØÖ ÒÒ Ö Ò ÅÓÒØ ÖÐÓ ÒØ Ö Ö Ò º Á Ø ÐÐ Ó Ñ Ø ÅÓÒØ ÖÐÓ ÒØ Ö Ö Ò Ö Ð Ø Ø Ò ÒÝØØ Ö Ô Ú ÓØ Ð Ð ÔÙÒ Ø Ú Ð Ò Ú Ö ÙÐ Ö Ø Ø ÓÑ Ò ÐÐØ Ö ÓÒØÖÓÐÐ ÓÚ Ö Ø Ò Úº Î ÒÝØØ Ú ÅÓÒØ ÖÐÓ Ñ ØÓ Ö Ò Ò Ø Ø ÓÒØÖÓÐÐ ÓÚ ÚÖ ÒÒ Ö ÙÐ Ö Ø Ø Ò Ó Ð Ö ÙØÒÝØØ Ò ÓÖ Ö ÔÖ ÓÒº Á Ø ÐÐ Ø Ð ØÓ ÖÙÒÒÐ Ò ÖÙÔÔ Ò Ú Ñ ØÓ Ö Ò Ø Ú Ö Ú Ö Ø Ò ÑÒ ÔØ Ú Ñ ØÓ Ö ¾ º ØØ Ö Ñ Ö ÑØ Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÒÙÑ Ö ÒØ Ö Ö Ò ÒÒ ÐÚ Ø Ò ÒØ Ö ÓÒ Ñ ØÓ Ö Ö Ò Ö ÓÖ ØÖ Ö ÙÐØ Ø Ø Ð Ò Ú ÖÙÒÒ¹ Ð Ò Ñ ØÓ Ò ØÝÔ Ú ÒÝØØ Ð Ø Ñ Ø Ø Ð ÒÒ Ò ØÖ Ø ÐÒÖÑ Ò Öº Ø Ò ÐØ ÑÔ Ð Ô ØØ Ú Ð Ú Ö Ø Ò Ö ÑÔÐ ÔÖÓ Ð ÑÓÑÖ ÓÖ ÙÒÒ ÑÒ ÙØ Ð Ò Öº Á ÒÒ ÓÔÔ Ú Ú Ð ÓÒ ÒØÖ Ö Ñ ÓÑ Ò Ö Ð ØÝÔ ÒØ Ö ÓÒ Ö Ð Ö ÐÐ Ð ØØ Ö Ð Ö ½ ¾ º ØØ Ö Ò ÓÖÑ ÓÖ Ú Ö ØÙÖÖ Ð Ö ÐÐ Ö Ó ÐÐ Ù ØÙÖÖ Ð Ö Ó Ò Ø Ô ÓÑ Ò Ò Ö Ð Ö Ò Ú Ò Ò Ñ Ò ÓÒ Ð ØÖ Ô Ö Ð Òº Ä Ø¹ Ø Ö Ð Ö Ö Ö Ð Ò ÓÖ Ò¹Ô Ö Ó ÙÒ ÓÒ Ö Ñ Ò Ñ Ú Ø Ð Ø ÐÔ ¹ Ø Ò Ö ¹Ô Ö Ó ÙÒ ÓÒ Öº ÓÖ Ò Ð Ö Ò Ø Ö Ò ÓÒ Ö Ó ÓÒ ØÖÙ ¹ ÓÒ Ö Ú Ð ØØ Ö Ð Ö Ú Ð ÒØ Ö ÓÒ ÓÑÖ Ø ÓÖ ÐÐ Ð ØØ Ö Ð Ò Ú Ö Ô Ú Ö Ò ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ò Ù C s º Ë Ò Ú Ò Ð Ö Ø Ú ÖØ Ö Ø Ò ÙÐÖØ ÓÑÖ Ø Ð Ù Ú Ð Ú Ö ØÙÖÖ Ð Ò Ó ÙÒÒ Ø ÐÔ Ø Ð ÒØ Ö ÓÒ ÓÑÖ Öº Å ØØ ÑÐ Ñ ÒÒ ÓÔÔ Ú Ö ØÙ Ö Ø ØØ Ú Ð ØØ Ö Ð Ö ÓÒ ØÖÙ ÖØ Ô Ò Ô ÐÐ ÑØ Ú ÐÔ Ú ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Öº Î Ú Ð ÙØÚ Ð Ð ÓÖ ØÑ Ö ÓÖ Ø ÚØ ÙÒÒ ÓÒ ØÖÙ Ö Ö Ò ¹½ Ð ØØ Ö Ð Ö Ú ØØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö Ñ Ð Ø ÑÓ Ð Ø Ð Ô Ú ÐÙ Ö Ò ÔÙÒ Øº ØØ Ú Ð Ð ÓÖ Ð ÖØ Ò Ö Ø Ø Òº Ø Ö Ú Ø Ø Ò Ò ÓÖÙØ Ö Ø Ð Ð ØØ Ö Ð Ö ÓÒ ØÖÙ ÖØ Ú ÐÔ Ú ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Öº Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ð ÒÝØØ ÓÖ ÒÒ Ð ØØ Ö Ð Ö Ú Ö Ó Ñ Ò ÓÒº ¾

¾ ÁÒØÖÓ Ù ÓÒ Ø Ð Ð ØØ Ö Ð Ö Ú Ð Ö ÔÖ ÒØ Ö Ò ÓÒ Ö Ó ÖÙÒÒ Ø ÓÖ ÓÑ Ð ØØ Ó Ð ØØ Ö Ð Ö ÓÑ Ö Ò Ú Ò ÓÖ ÒÒ ÓÔÔ Ú º ÒÒÓÑ Ò Ð Ö Ò Ú Ð ØØ Ö Ð Ö Ò ÒÒ Ø Ó ËÐÓ Ò Ó ÂÓ ¾ Ó Ñ Ö ÓÑÔ Ø Ó ÄÝÒ ½ º Ì ÓÖ Ò Ð ØØ Ö Ð Ö Ö ÚÓÖ ØÙ ÖØ Ð Ò Ó Ò Ø Ø ÖØ Ñ ³Ñ ØÓ Ò ÓÖ Ó Ð ØØ ÔÙÒ Ø³ Ó ÃÓÖÓ ÓÚ ½¾ Ó ÀÐ Û ½½ Ó Ò Ö Ó Ó ÓÒÖÓÝ º Ò Ò Ö Ð ÖØ Ò ÓÒ Ú Ð ØØ Ö Ð Ö Ù ÝÖ Ø ÓÔÔ Ó ÖÓÐÓÚ ½¼ Ó ÒÓÔÔ Ó ÙØÚ Ð Ú Ö Ú ËÐÓ Ò Ó Ã ÓÝ Ò ¾ ¾ Ó Ú ËÐÓ Ò ¾¾ º Å Ò ÒÒÓÑ ÓÒ Ú ÖÙÒÒ Ø ÓÖ Ò Ú Ð ØÓÖØ ØØ ÝÐ ËÐÓ Ò Ó ÂÓ ¾ º ¾º½ Ä ØØ Ò ÓÖ Ò Ú Ö Ð ØØ Ö Ð ÓÑ Ó Ö ØØ Ò ÑÒ Ø Ö Ø Ð ØØ º Ø Ö Ð ØØ Ø ÓÑ Ò Ö Ö ÓÖÐ Ò ÓÖ Ò Ô Ð ØØ Ö Ð Ú Ð Ú Ð ÒØ Ö ÓÒ ÔÙÒ Ø º ÓÖ ÓÖ Ø Ð ØØ Ö Ð Ò Ñ Ú Ö ÓÖ Ò Ö Ú Ø Ð ØØ Öº Ò ÐØ ÓÖ Ð ÖØ Ö Ø Ð ØØ Ø Ô Ö Ó Ö Ú ÔÙÒ Ø Ò ÐÐ Ö Ö Ñ Ò ÓÒ Öº ÓÖÑ ÐØ ØØ Ò Ú Ò Ö Ø Ð º Ò ÓÒ ¾º½ Ä ØØ µº Ø s¹ Ñ Ò ÓÒ ÐØ Ð ØØ Λ Ö Ö Ø Ñ Ò {x} R s ÓÑ Ö ÐÙ ÙÒ Ö ÓÒ Ó Ù ØÖ ÓÒº Î Ò ÙÑ Ð ÖØ ÙØ Ö ÒÒ Ò ÓÒ Ò ÒÒ ÒÓ ÓÒ Ú Ò Ô Ò Ø Ð Ø Ð ØØ º ÓÖ Ø ÝÖ Ø Ö Ú Ø ÔÙÒ Ø Ø 0 = (0,0,...,0) ÐØ Ö Ñ Ø Ú ÖØ Ð ØØ º ØØ Ö Ú ÙØ Ö Ø Ö ÓÑ x Λ Ñ Ú Ó Ø x x Λº Á Ø ÐÐ Ö Ø Ú ÖØ ÔÙÒ Ø y = kx Ö k Z Ó Ñ Ð ØØ Øº Ä ØØ Ø ÓÑ ØÖ Ú ÐÐ ÔÙÒ Ø Ñ ÐØ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ú ÖØ ÐÐ Ò Ò Ð ØØ Ø Ó Ú Ö Ú Ø ÓÑ Λ s 0 º Ø Ñ Ò Ñ ÐØ ØØ Ú Ð Ò ÖØ Ù Ú Ò ÔÙÒ Ø {x i } Ö ÐÐ ÔÙÒ Ø Ð ØØ Ø Λ Ò ÙØØÖÝ Ø ÓÑ y = i c ix i ;c i Z Ú ÖØ ÐÐ Ò Ö ØÓÖ Ö ÓÖ Ð ØØ Øº Î Ö Ô ÖÙÒÒ Ú Ø Ú Ø Ø Ö Ú Ø Ø Ð Ð ØØ ÔÙÒ Ø Ö ÐÐ Ð ØØ ÙØ ÒÓÑ 0 Ù Ú Ö Ò º Ì Ð Ø Ú ÖØ Ð ØØ Ò Ø Ò Ö Ø Ø Ù ÐØ Ð ØØ º Ò ÓÒ ¾º¾ Ù ÐØ Ð ØØ µº Ø Ú ÖØ Ð ØØ Λ Ö Ø Ù ÐØ Ð ØØ Λ Ò ÖØ ÓÑ ØØ Ø {h R : h x Z x Λ} ÓÖ Ò Ò Ð ØØ Ø Ö Ú Ø Ø Ù Ð Ð ØØ Ø Ð Ö Ò Ò Ð ØØ Ø ÐÚº Ô ÐÐ ÖÙÔÔ Ú Ð ØØ Ö ÐÐ ÒØ Ö ÓÒ Ð ØØ º Ð ØØ Ö Ú Ø Ñ Ò Ò Ñ Ð ØØ Ö Ð Ö Ó Ú Ò Ò Ö ÓÑ Ð ØØ ÒÒ Ð Ò Ò Ò Ð Ø¹ Ø Ø Λ 0 º Ò ÓÒ ¾º ÒØ Ö ÓÒ Ð ØØ µº Ø s¹ Ñ Ò ÓÒ ÐØ ÒØ Ö ÓÒ Ð ØØ Λ Ö Ø Ð Ø¹ Ø Ò ÖØ Ú Ñ Ò {n i,z i : i = 1,...,t}, Ö t Ó n i Ö ÔÓ Ø Ú ÐØ Ð Ó z i Z s Ó Λ s 0 Λº

Λ ÒÒ Ð ÐÐ ÔÙÒ Ø Ô ÓÖÑ p = t i=1 Ö ν i Ö Ø Ú Ð ÖÐ ÐØ Ðº Ò ÓÒ Ú Ò Ú Ø Λ s 0 Ö Ð Ñ ÒØ ÒØ Ö ÓÒ Ð ØØ Ø Ö Ø ÐÐ Ð Ñ ÒØ Ø Ø Ð Ú Ö Ò Ù Ð Ð ØØ Ø Ö ÐØ Ð Ú ØÓÖ Öº Ë Ò Ò Ú Ö ÒÓÒ Ò Ò Ú ØÓÖ e i Λ s 0 Λ Ó h Λ Ö Ú Ø h e i = h i ÓÑ ÙØ Ö Ò ÓÒ Ò Ñ Ú Ö ÐØ Ðº Î Ö Ú Ð Ú Ó Ø ÒØ Ö ÓÒ Ð ØØ Ø Ñ Ú Ö ½¹Ô Ö Ó Ó Ø ÐÐ Ú Ð ÐÐ ÔÙÒ Ø Ú ØÝÔ Ò p mod 1 Ð Ò Ò Ò Ù Ú Ö Ð Ñ ÒØ Ð ØØ Øº Á Ö Ø Ò Ú ÓÔÔ Ú Ú Ð ÐÐ Ð ØØ Λ Ú Ö ÒØ Ö ÓÒ Ð ØØ Ó Λ Ø Ø Ð Ú Ö Ò Ù Ð Ð ØØ º ¾º¾ Ä ØØ Ö Ð Ö Ä ØØ Ö Ð Ö Ö Ñ Ð Ñ Ö Ú Ò ØÓÖ Ñ Ð Ò Ú ÒÙÑ Ö ÒØ Ö ÓÒ Ñ ØÓ Ö ÓÑ Ú ÖØ ÐÐ Ú ¹ÅÓÒØ ÖÐÓ Ñ ØÓ Ö Ó Ò Ö Ô ÐØ Ò ÓÖ ÒØ Ö Ö ÓÒØ Ò¹ Ù ÖÐ Ô Ö Ó ÒØ Ö Ò Öº ËØ Ò Ö ÒØ Ö ÓÒ ÓÑÖ Ö C s Ò s¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ò Ù º ÁÒØ Ö Ð Ø Ú Ú Ð Ú ÐÙ Ö Ú ÖØ If = fdx. ¾µ C s Ò Ð ØØ Ö Ð Ò Ò Ö Ø Ô Ö ÙÐ ÑØ Ö ÒÓ Ó Ú Ò Ú ÓÖÐ Ò Ò Ö Ö Ø Ð ØØ º Ò ÓÒ ¾º Ä ØØ Ö Ðµº Ò Ð ØØ Ö Ð Ö Ò ÒØ Ö ÓÒ Ö Ð Ô ÓÖÑ Ö Λ Ö Ø ÒØ Ö ÓÒ Ð ØØ º ν i z i n i ½µ Qf = 1 f(x j ) µ N x j Λ [0,1) s ÐØ ÖÒ Ø ÚØ Ö ÓÑ Ò Ø ÙØ Ò ÔÙÒ Ø Ð Ò Ò ½µ Ò Ò Ö Ú ØØ ÓÑ 1 Qf = n 1 n 2...n t n 1 1 n 2 1 j 1 =0 j 2 =0 n t 1 j t=0 f(j 1 z 1 n 1 +j 2 z 2 n 2 + +j t z t n t ) Ö z i Ö s¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÐØ Ð Ú ØÓÖ Ö Ó n i Ó t Ö ÔÓ Ø Ú ÐØ Ðº Ö ÓÑ ÐÐ n i > 1 Ú ÖØ ØØ ÐÐ Ò Ø¹ Ý ÐÙ ÓÖÑ ¾ Ó Ð ØØ Ø Ú ÖØ Ø Ú Ö Ú Ö Ò Øº ÒÒ ÓÖÑ Ö ÒÝØØ ÔÖ Ø ÖÙ º Ä Ñ Ö Ø Ð Ø ÓÑ ÒØ Ö Ò Ò Ö ½¹Ô Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ú Ø x j Ð ÒÒ Ò ÓÖ Ò Ò Ù º Á ØØ Ö Ø ÓÒ ÒØÖ Ö Ö Ñ ÓÑ Ö Ð Ö Ú Ö Ò ½ Ó Ð Ò Ò µ Ö Ù Ö Ö Ø Ð µ Qf = 1 N N 1 j=0 f(j z N ). µ

Ë Ò µ Ó Ð Ð ÓÖ Ö Ò ½ Ö Ð Ö Ö Ú Ø ÐÐ z i Ö z i /N Λ [0,1) s Ñ ÙÒÒ Ö Ú Ø ÓÑ z i = iz(ñó N). µ Î Ö ÙØ Ö ØØ Ø Ø Ð Ø Ô Ú ÐÙ Ö Ò ÔÙÒ Ø Ö ÒÖØ ÒÝØØ Ø Ð ØÓÖÐ Ò Ô Nº ÓÖ ÒÒ ÓÔÔ Ú Ö Ú Ø ÐÐ Ø ÐÐ Ð ØØ Ö Ð Ò Ò Ò Ö Ø ÙØ Ö Ò z = (1,z 2,...,z s ) Ó Ú Ú Ð Ö ÓÖ Ø ÓÖ Ò ØØ N Ú Ð ÐÐ Ð ØØ Ö Ð Ö Ò Ý Ø N Ú ÐÙ Ö Ò ÔÙÒ Øº ÍÑ Ð ÖØ Ú Ð Ò Ò Ø Ú ÓÒ ÒØÖ Ö ÓÑ Ö Ò ½ Ð ØØ Ö Ð Ö Ú Ð Ò ÙØ ÐÙ Ñ Ò Ó Ö Ð Ö Ú Ö Ö Ò º Å Ò Ú Ö Ø Ú Ø Ø Ñ Ò Ú Ø Ö Ð Ò Ö Ò ØØÓÔ Ö Ò ½ Ö Ð Ö Ó ÓÖ Ø Ð ÐÐ Ö Ò Ö Ö Ö Ò Ø Ö Ð Ö Ð Ø Ð Ú Ö Ò Ö Ò ½ Ö Ð Ö Ð Ò Ø ØØ Ö ¾ º ÓÖ Ð Ò Ñ Ö Ò ½ Ú ÖØ ÓÔ Ò Ö Ú Ø Ö Ñ Ò Ö ÓÑÔÐ Ó ÖÑ Ð ØØ Ö ÒÒ Ö Ñ Ø Ð Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö º Î ÓÒ ÒØÖ Ö ÓÑ Ö Ò ½ Ò Ò Ö Ù Ö ÖÓÑ Ø ØÝ Ð º Ë Ò Ø ÒØ Ö ÓÒ Ð ØØ Ñ Ú Ö ½¹Ô Ö Ó Ú Ð Ø Ù Ð Ð ØØ Ø Ø Ð Ò Ö Ò ½ Ö Ð Ú Ö N¹Ô Ö Ó Ó Ø Ú Ð Ö Ù Ö Ø Ð ØØ Ò Ú Ú Ð {h Z s : h z 0(ÑÓ N)}. h = h+cne i Λ ;1 i s,c Z Ö e i Ö Ò ÒÓÒ Ò Ò Ú ØÓÖº Î Ö Ø h x = h 1 x 1 + +h i x i +cnx i +...h s x s = h x+cnx i. È ÖÙÒÒ Ú ½µ Ö Ú Ø cnx i Z Ó h x Z ÓÑ Ö Ö Ø Ð Ø Λ Ö N¹Ô Ö Ó º ¾º ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö Ö ÐÐ Ö Ò ÑÒ Ø Ð ØØ Ö Ð Ö Ö Ô ÐÐØ Ø ÐÔ Ô Ö Ó ÙÒ ÓÒ Ö Ó Ø Ö Ö ÓÖ Ò ØÙÖÐ Ú ÐÐ Ö Ñ Ø ÐÐ ÒØ Ö Ò Ò ÓÑ Ò ÙÑ Ú ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÑÓÒÓÑ s Ñ Ò ÓÒ Ö Ò ÐÓ Ø Ñ ÓÙÖ ÖÖ Ö Ò Ñ Ò ÓÒº Ò ÓÒ ¾º ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÑÓÒÓѵº Ø s¹ Ñ Ò ÓÒ ÐØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÑÓÒÓÑ Ö Ò ÙÒ ÓÒ Ô ÓÖÑ f(x) = e 2πih x µ Ö h Z s Ø ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ú ÖØ Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò ÓÒ Ú ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÑÓÒÓѺ Î ÐÐ Ö ÖÓÑ Ø Ú ÐÐ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑ s Ñ Ò ÓÒ ÖT s º Ö Ø Ð Ø ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÑÓÒÓÑ Ú ÖØ d = h 1 Ó Ø Ð Ø ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ú ÖØ Ò Ð Ö Ø Ð Ø ÑÓÒÓѹ Ð Ø Ñ Ø Ö º ÊÓÑ Ø Ú ÐÐ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑ s Ñ Ò ÓÒ Ö Ó ÓÔÔ Ø Ð Ö d Ú ÖØ ÐÐ T s d º

ØØ Ö ÔÖ Ø ÓÖ Ú Ò ÖÙ Ø Ø Ð Ø Ø Ð Ô ÓÖ Ó Ò Ð ØØ Ö Ð Öº ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö Ö Ø Ð Ø ÑÐ ÓÑ Ò ØØÓÔ Ö Ö Ô Ø Ò Ò Ø ÐÒÖÑ Ò ÙÒ ÓÒ Ñ Ø Ò Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÔÓÐÝÒÓѺ Ò ÓÒ ¾º ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö ÓÖ ÒØ Ö ÓÒ Ö Ð Öµº Ò ÒØ Ö ÓÒ Ö Ð Ö ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö d(q) Ö ÓÑ Qf = If ÓÖ ÐÐ f T s d Ó Ø Ø Ö Ö Ñ Ò Ø Ò g T s d+1 Ð Ø Qg Igº Á Ò Ð Ñ Ò Ò Ö Ö Ø Ú Ø ÒÝØØ Ò Ö Ø ÒÝØØ ÑÐ ÐÐ ÙØÚ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö º ØØ Ö Ò ÖØ ÓÑ δ = d(q)+1º Ê ÒØ Ñ Ø Ñ Ø Ö Ø Ð Ø Ñ Ò Ò Ð Ö Ð ÓÒ Ö Ð Ö Ò Ð Ö Ó ÖÝ Ö ÓÑ Ú ÖÙ Ö ØØ ÑРغ ËÐ Ø Ô Ò Ø Ð Ø ÒÒ ÑÐ ÐÐ Ð Ö Ö Ö ÓÔ Ò Öº Ò ÓÒ ¾º Ð Ö Ö ÓÖ ÒØ Ö ÓÒ Ö Ð Öµº Ò ÒØ Ö ÓÒ Ö Ð Ö Ð ¹ Ö Ö g(q) Ö ÓÑ Qf = If ÓÖ ÐÐ f a j1...j s x js 1...xjs s j 1 + +j s g À Ö Ö ÒÒ Ø Ö Ð Ö Ñ Ò ÓÒ Ö ÒÝØØ º ÐÐ ÓÑ Ö ÓÖ Ø Ñ ÒØ ÖÔÓ¹ Ð ÓÒ Ñ Ð Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ø Ø Ò ÓÖ Ö Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ö ØÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÖØ Ø Ö Ö Ò ÓÑÖ º ØØ Ö Ò Ø ÓÑ Ú Ð ÓÖ Ú ÒÒ Ú Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ö Ó Ò Ò Ö ÓÖ Ø Ò Ø ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö Ñ Ò Ø Ð ÐÐ Ö ØÖ Ó Ñ Ö ÔÖ Ø ÒÒ Ð Ö Ö º ¾º Ì ÐÒÖÑ Ò Ð ÓÖ Ð ØØ Ö Ð Ö ÅÓØ Ú ÓÒ Ò ÓÖ ÒÝØØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö ÒÒ Ú Ò ÙÒ ÖÐ Ò Ø ÓÖ Ò ÓÖ ÓÙÖ Ö Ò ÐÝ º Ò Ö Ø Ò Ú Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ó Ô Ö Ó ÙÒ ÓÒ s Ñ Ò ÓÒ Ö Ò ÙØØÖÝ Ø Ú ÐÔ Ú Ò Ù Ò Ð ÙÑ Ú ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÑÓÒÓѺ f(x) = h Z s ˆf(h)e 2πih x. µ Î ÒÝØØ Ð ØØ Ö Ð Ò Ô ÒÒ Ð Ò Ò Ò Ú ÒÒ ÒØ Ö ÓÒ Ð Ò ÓÖ Ð Ø¹ Ø Ö Ð Òº Ê ÙÐØ Ø Ø Ú ÖØ ÓÑ Ø ÓÖ Ñ Ø ÙÒ Öº Ì ÓÖ Ñ ¾º½ Ì ÐÒÖÑ Ò Ð ÓÖ Ð ØØ Ö Ð Öµº Ä Q Ú Ö Ò s¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð ØØ Ö Ð Ó Λ Ø Ð ÝÖ Ò ÒØ Ö ÓÒ Ð ØØ º ÒØ Ú Ö Ø ÙÒ ÓÒ Ò f Ö ÓÐÙØØ ÓÒÚ Ö ÒØ ÓÙÖ ÖÖ º Ö Ú Ø Qf If = ˆf(h). µ h Λ \{0} À Ö Ö ˆf(h) ÓÙÖ Ö Ó ÒØ Ò h Ó Λ Ö Ø Ù Ð Ð ØØ Ø Ø Ð Λº ÈÖÓÚ ÓÖ Ø ØØ Ø ÑÑ Ö ÖÙ Ö Ú Ð Ò Ò µ Ñ Ò Ñ Ò ÓÒ Ò Ú Λ º Î Ñ Ú Ø { Q[e 2πih x 1 ÓÖ h Λ ] = 0 ÐÐ

ÓÖ ÝÖ Ø Ð Ò Ú ÔÖÓÚ Ø Ö Ú Ø ÒÖ h Λ Ö Ú ÙØ Ö Ò ÓÒ Ò Ø h x Z ÓÑ Ö Ó Ú Ö Ø Q[e 2πih x ] = 1º ÓÖ Ø Ð Ò Ú ØØ ÔÖÓÚ Ø Ñ Ú ÖÙ Ø ÒØ Ö Ò Ò Ö ½¹Ô Ö Ó º Î Ò Ò Ö Ò ÓÔ Ö ØÓÖ T j ÓÖ ½¹Ô Ö Ó ÙÒ ÓÒ Öº T j f(x) = f(x+x j );x j Λ [0,1) s. Î Ö ÓÖ Ø ØØ Ð ØØ Ø N ÙÐ ØÖ Ò Ð ÓÒ Ö Ø Ð Ú Ö Ò Ð ØØ ÔÙÒ Ø Ò¹ Ò Ù º ØØ Ö Ú Ö Ø T k T j f(x) = f(x+x j +x k ) = f(x+x l ) Ö x l Ö Ò ÙÒ Ú ØÓÖ Ò Λ Ó [0,1) s ÓÑ Ö Ò Ú Ø Ò Ø Ð x j +x k Ô Ò Ð¹ Ø Ð Ú ØÓÖº È ÖÙÒÒ Ú ÒÒ ÙÒ Ô Ò Ö Ú ÓÑ Ö ÙÐØ Ø Ø {T k T 0,...,T k T N 1 } ÖÖ Ö ØÖ Ò Ð ÓÒ Ò ÒÝ Ö ÝÐ º ÒÒÓÑ Ò ØØ Ø Ú ÐÐ ØÖ Ò Ð ÓÒ Ò T j f Ú ÖØ f = 1 N N 1 i=0 T j f Î Ò Ú Ö Ø f Ö ÒÚ Ö ÒØ ÙÒ Ö ØÖ Ò Ð ÓÒ Ò Ó Ñ Ø N 1 1 T k f = T k T j f = 1 N N j=0 N 1 l=0 T l f = f. Î Ò Ö Ö Ò ÒÝ ÙÒ ÓÒ g h (x) = e 2πih x Ñ h Z s x R s º Î ÒÝØØ ØÖ Ò Ð ÓÒ Ò Ô ÒÒ Ö Ú Ø T k g h = e 2πih x k g h. Î Ö Ö Ø Ö ÓÑ h / Λ Ñ g h T k g h ÓÖ Ò ÐÐ Ö ÒÒ Ò 0 k N 1º Á Ø ÐÐ Ö Ú Ø ḡ h = 1 N 1 T j g h = 1 e 2πih x j g h. N N j=0 ÒÒÓÑ Ò ØØ Ø Ö ÒÚ Ö ÒØ ÙÒ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ò T k º Ë Ñ ØÙÒ Ò Ú ÒÒ Ò k ÓÑ Ö Ø g h Ö ÒÚ Ö ÒØ ÙÒ Ö Ò Ñ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÒ Òº ØØ Ö Ó ÖÑ Ø ÙØØÖÝ Ø Ô Ö ÒØ Ò Ñ Ú Ö Ð ¼º Ò ÓÒ Ú Ò Ú ØØ Ú ÖØ ÓÑ Ø Ð Ö Ò ÑÒ Ø Ð ØØ Ö Ð Ö Ô Ö Ö Ð Ó Ø ÓÖ ÙÒ ÓÒ Ö Ñ Ö Ø ÚØ Ò ÓÙÖ Ö Ó ÒØ Öº ØØ Ð Ñ ÐÐÓÑ ÒÒ ÓÖ ÙÒ ÓÒ Ö ÓÑ Ö ½¹Ô Ö Ó º Ø Ò ØÙÖÐ Ò Ø Ø Ø Ú ÖØ ÒÒ ÙØ ÓÖÐ Ò Ð Ñ Ò ÒÒ Ð Òº Î Ú Ø Ø ÒÖ Ò ½¹Ô Ö Ó ÙØÚ Ò Ú Ò ÙÒ ÓÒ f Ö k ÓÒ Ö Ö Ú Ö Ö Ú Ð ÓÙÖ Ö Ó ÒØ Ò Ò ÓÒÚ Ö Ò Ö Ø ˆf(h) 1/h k º Ö ÓÑ ÙØÚ Ò Ú j=0

ÙÒ ÓÒ Ò Ö Ù Ò Ð Ö Ú Ö Ö ÒÓ Ó ÓÑ ÙÒ Ð ÓÖ ÙÒ ÓÒ Ö ÓÑ ÐÚ Ö ½¹ Ô Ö Ó Ú Ð Ú Ø ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð ˆf(h) C h ; C > 1º Á Ø s¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö Ú Ø Ö ÓÑ f Ö ½¹Ô Ö Ó Ó Ô ÖØ ÐÐ Ö Ú ÖØ q 1+...q s f x q 1 1... xqs s Ø Ö Ö Ó Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ô [0,1) s Ö,0 q k α,1 k s ˆf 1/( h 1 h2... h s ) α. ½¼µ Ö h = max(1, h ) ÓÖ Ù Ò Ð Ö Ú Ö Ö ÙÒ ÓÒ Ö s Ñ Ò ÓÒ Ö Ö Ú ˆf(h) C h 1 1 C h 2 2...Cs hs º Ö ÓÑ C 1 = C 2 = = C s Ö Ú ˆf(h) C h 1. ½½µ ÍØ Ö ØØ Ò Ú Ø Ñ Ø Ò ÒØ Ó ÒØ Ò ÝÖ Ö Ø Ð h 1 < dº È ÖÙÒÒ Ú ½¼µ Ò Ú Ö Ú Ð Ø Ñ Ø Ø ÓÑ Qf If = c h Λ \{0} 1 ( h 1 h2... h s ) α. ÓÖ ÒØ Ö ÓÒ Ö Ð Ö Ú ÖØ ÓÒ Ú Ò Ò Ú Ø ÓÖ Ñ ¾º½µ Ó Ö ÙÑ ÒØ ÓÒ Ò ÓÚ Ö Ø ÒØ Ö Ð Ø Ú µ Ñ Ð Ð 0 ÓÖ ÐÐ ÐØ Ð Ú ØÓÖ Ö h Ö 0 < h 1 dº { Q[1] = I[1] = 1 ½¾µ Q[exp(2πih x)] = I[exp(2πih x)] = 0 0 < h 1 d ¾º Ú Ú Ð Ò Ñ ÐÐÓÑ Ð ØØ Ö Ð Ö ÆÖ Ú ØÙ Ö Ö Ð ØØ Ö Ð Ö Ö Ø ÒÝØØ Ñ Ö Ú Ð Ô Ö Ñ ÐÐÓÑ Ð Ø Ð ØØ Ö Ð Öº ØØ Ö ÒÓ Ó Ú Ò ÙØÒÝØØ ÓÖ Ö ØØ Ö Ð ØØ Ö Ð Ö Ñ Ö Ø Ú º ËÖ Ð ÒÝØØ Ö Ø ØØ Ö Ð Ô Ö ÓÑ Ö Ø Ð ØØ Ö Ð Ö Ö Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö º ÓÖ ÒÒ ÓÔÔ Ú Ö Ø ÒÝØØ Ò Ö Ú Ú Ð Ò Ð Ö ÙØ Ö ØÓ ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ ÓÒ Öº Ò ÓÒ ¾º Ú Ú Ð Ò Ð µº ÌÓ Ú ØÓÖ Ö z Ó z ÒÒ Ö Ð ØØ Ö Ð Ö Ñ ¹ Ú Ú Ð Ò Ð Ö ÓÑ ½µ z Ö ÒÒ Ú Ô ÖÑÙØ ÓÒ Ú ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò z ¾µ Ó \ ÐÐ Ö z Ö ÒÒ Ú z Ú Ö Ø ØØ z i Ñ N z i º Ä ØØ Ö Ð Ö ÓÑ Ö Ð Ø Ô ÒÒ ÑØ Ò Ö ÒÓ Ö ÐÐ Ò Ô Öº Ø Ú ¹ Ø Ø ÓÖ ÒÒ ÓÔÔ Ú Ö Ø Ú Ð Ñ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö º Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º Ö ÓÑ z Ó z ÝÖ Ö Ø Ð Ñ Ú Ú Ð Ò Ð Ó z ÒÒ Ö Ò Ð ØØ Ö Ð Ú ÙØÚ Ö δ Ú Ð Ó z ÒÒ Ò Ð ØØ Ö Ð Ú ÙØÚ Ö δ

ÈÖÓÚ Î Ú Ð ÝÖ Ø Ú Ø z Ó z Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ ÓÑ ÝÒ Ø Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö ÙÒ Ö Ô ÖÑÙØ ÓÒº Î Ò Ö Ö Ò ÓÔ Ö ØÓÖ P i,j (z) = z Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò z i Ó z j Ö ÝØ ÔÐ º P i,j Ö Ñ ØÖ Ò ÓÑ ÚÚ Ö ÒØ Ø Ø Ñ ØÖ Ò I Ú Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò (i,i) = (j,j) = 0 Ñ Ò (i,j) = (j,i) = 1 Ó Ú Ö Ø ÐÐ P ij = Pij 1 = P ji Ó P ij (z) Ö ÒÚ ÖØ Ðº Î ÒØ Ö Ø Ø Ø Ö Ö Ò h Z s Ð Ø (h z) mod N = 0, = (h 1 z 1 + +h i z i + +h j z j + +h s z s ) mod N. ½ µ ÓÖ z Ö Ú Ú Ö Ö ÓÑ h = P i,j (h) Ø (z h ) mod N = (h 1 z 1 + +h j z j + +h i z i + +h s z s ) mod N = 0. Ë Ò P Ö ÒÚ ÖØ Ð Ú Ð Ú Ö h ÓÖ ØØ 0 < {i,j} s Ò ÙÒ h = P i,j (h) Ó ÓÖ P Ö Ò Ö Ò Ô ÖÑÙØ ÓÒ Ú ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú Ð h 1 = h 1 º Ö ÓÑ z Ò Ö Ö Ö Ø Ð ØØ Ú ÙØÚ Ö δ Ö Ú Ò h Ö h 1 = δ ÓÑ Ö ½ µº ØØ Ö Ö Ø Ð Ø Ð ØØ Ø Ò Ö ÖØ Ú z Ó Ö ÙØÚ Ö δº Î Ö Ú Ö Ø Ð Ú Ø Ú Ö Ø ØØ z i Ñ N z i Ú Ð Ú Ó ØÓ Ð ØØ Ö Ð Ö Ú Ð Ö º Î Ð Ø z = (z 1,...,z i,...,z s ) Ó z = (z 1,...,N z i,...,z s )º Î ÒØ Ö Ú Ö ÓÑ ÓÚ Ö Ø Ú ÓÖ Ò h Z Ö Ø (h z) mod N = (z 1 h 1,...,z i h i,...,z s h s ) mod N = 0. ½ µ Î Ò Ú Ö Ø h = (h 1,..., h i,...,h s ) Ó Ô ÖÙÒÒ Ú ½ µ Ö Ú (h z ) mod N = [z 1 h 1,...,(N z i )( h),...,z s h s ] mod N = [(z 1 h 1 )+ (Nh i )+(z i h i )+ +(z s h s )] mod N = 0. Î Ñ Ö ÙÑ ÒØ ÓÒ ÓÑ ÓÚ Ö Ö Ú Ø Ö ÓÑ z Ò Ö Ö Ö Ø Ð ØØ Ú ÙØÚ Ö δ Ú Ð Ó z Ò Ö Ö Ø Ð ØØ Ú ÙØÚ Ö δº ÆÓ Ö Ñ Ð ÑÑ Ö Ú Ú Ð Ò Ð Ò Ö ÙÐ Ñ Ò Ò Ö ÒÝØØ Ö ÒÒ Ò Ö ¾ º Ì ÓÖ Ñ ¾º º Ò Ú Ö Ú Ú Ð Ò Ð Ú Ö Ò ½ Ð ØØ Ö Ð Ö ÒÒ Ð Ò Ö ÔÖ ÒØ ÒØ ÓÑ Ø Ð Ö Ø ÐÐ Ö 0 < z 1 < z 2 < < z s < N/2, Ó Ò Ö ÔÖ ÒØ ÒØ ÓÑ Ø Ð Ö Ø ÐÐ Ö N/2 < z 1 < z 2 < < z s < N.

ÈÖÓÚ ÓÖ Ò Ú Ð ÖÐ z Ö z/n Λ Ú Ð (z(ñó N))/N Λº ØØ Ö Ó Ø ÐÐ z i < Nº Î ÒÝØØ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ò Ò ÓÒ ¾º Ò Ú Ú Ô Ø Ò Ò Ø ÓÖ Ñ Øº Î Ô ÖÑÙØ Ö Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò z Ó Ö z 1 < z 2 < < z s º Ö ÓÑ z i > N/2 ÓÖ Ò ÐÐ Ö ÒÒ Ò 0 < i s Ð Ø Ú z i = N z i < N/2º ÐÐ Ò Ú Ø z i = z iº Î Ö Ñ Ø Ò z Ú Ú Ð ÒØ Ñ z Ö 0 < z 1 < z 2 < < z s < N/2º Ë Ò ÐÐ 0 < z i < N/2 Ò Ú Ò Ú Ö Ø z i = N z i Ó Ö Ò z Ú Ú Ð ÒØ Ñ z Ó z Ö N/2 < z 1 < z 2 < < z s < Nº ½¼

ÃÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ú Ó Ð ØØ Ö Ð Ö º½ Ó Ð ØØ Ö Ð Ö ÅÐ Ø Ñ ÒÒ ÓÔÔ Ú Ö ÓÑ Ò ÑÒ ØØ Ö Ó Ð ØØ Ö Ð Öº Å Ò ÓÖ Ú Ø Ú ÓÑ Ö Ó Ð ØØ Ö Ð Ö Ñ ÔÖ Ö Ú Ò ÓÔØ Ñ Ð Ð ØØ Ö Ð Öº Ò ÓÒ º½ ÇÔØ Ñ Ð Ð ØØ Ö Ð Ú Ö d Ó Ñ Ò ÓÒ sµº Ò ÓÔØ Ñ Ð Ð ØØ Ö Ð Ú Ö d s Ñ Ò ÓÒ Ö Ö Ò Ð ØØ Ö Ð ÓÑ Ø Ð Ö Ø ÐÐ Ö minn(λ) ÓÖ ÐÐ Λ Ð Ø d(λ) = dº Ö ÓÑ ÒØ Ö Ò Ò Ö Ù Ò Ð Ö Ú Ö Ö Ú Ð Ø Ú Ö ÓÖÒÙ Ø ÙØ Ö ½½µ ÖÙ ½¹ÒÓÖÑ Ò Ø Ð h ÓÑ Ú Ð Ø Ø ÑÐ Ö Ò Ú Ð Ñ Ñ Ö ØÓÖÐ Ò δ(q) = min ( h 1 ) h Λ /{0} ÓÖ Ø C h 1 Ð Ð Ð Ø Ò ÓÑ ÑÓ Ð º Á ÒÒ ÓÔÔ Ú Ö Ú Ú ÐØ ÒØ Ø Ø ÒØ Ö Ò Ò Ö Ð ØØ Ó ½¹Ô Ö Ó Ú Ð Ø Ö ÓÖ Ú Ö Ò ØÙÖÐ ÖÙ ØØ ÑÐ Ø ÓÑ Ø Ð Ú Ö Ö ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö Ò ÑÒ Ø Ð Ö º ÖØ Ô Ö Ø Ö ÒÒ Ø Ø Ö ÙÐ Ò Ö Ô Ú Ò Ð Ö ÒÖ Ò Ú Ð Ð Ø ØØ Ö Ó ÓÒ ØÖÙ Ö Ó Ð ØØ Ö Ð Öº ÇÑ Ò ÓÒ ÒØÖ Ö Ö ÓÑ Ö Ò ½ Ö Ð Ö Ö Ú ÓÚÙ ØÖ ÑØ Öº Ò ÝÖ Ø Ö Ô Ø Ò Ò Ð N Ú Ö ÓÒ Ø ÒØ Ó Ú Ö Ö z Ú ØÓÖ Ò ÓÖ ÒÒ Ò Ð ØØ Ö Ð Ò ÓÑ Ú Ö Ø Ö º ÐØ ÖÒ Ø ÚØ Ò Ò ÓÖ Ò ØØ z Ú Ö Ö N ÓÖ ÓÔØ Ñ Ð Ö Ö º Ö Ñ ÓÒ ÑØ Ò Ö Ò ÓÖ Ð Öº ÓÖ Ð Ø Ø Ò Ñ Ò Ø Ú ÑØ Ö Ò ÙØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö Ôº Ò ÝÖ Ø Ñ ØÓ Ò Ö Ò ÓÖ Ð Ò Ø Ò ÐÐØ Ò ÒÒ Ö Ð Ö Ñ Ø Ð Ø Ø Ð Ô Ú ÐÙ Ö Ò ÔÙÒ Øº ÍÐ ÑÔ Ö Ø Ö ÓÑ Ò Ú Ð Ö Ò Ø Ö Ú Ø Ò Ñ Ù N Ó ÓÔØ Ñ Ð Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ú ÖØ Ø Ö Ò Ø Ò ÔÖÓ Ð Ñº ÓÖ Ð Ò Ñ Ò Ø Ñ ØÓ Ò Ö Ø ÒÖ Ò ÝÖ Ø Ö ÙÒÒ Ò Ó z Ò Ò Ò ÐØ Ù N Ö Ñ Ø Ð Ò Ö ÝÒ Ö º ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ö Ú ÖØ ÒÒ Ö Ð Ö ÓÖ ÓÖÐ z Ð ÙØ ÓÖ Ö ÒØ Ö ØØ Ö º Ò ØÖ ÑØ Ò Ú Ð Ú Ö Ø Ø Ö Ö Ø ÓÖ Ú Ö Ö z Ó Nº ÒÒ Ö Ñ ÓÒ ÑØ Ò ÓÑÔ Ò Ö Ö Ø Ð Ú Ö ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ØÓ Ò Ö Ñ ØÓ Ò Ñ Ò Ò Ú Ð Ö Ò Ø ÓÖÑ Ö Ö ÙÒÒ Ö Ú Ø ÒÓ ØÓÖØ ÓÑÖ º Ú Ð ÒÒ ÓÔÔ Ú ÓÒ ÒØÖ Ö Ñ ÓÑ Ò Ø Ñ ØÓ Ò Ñ Ò ÓÖ ÙÒÒ ÐØ ÓÖ ØÓÖ Ú Ð ÓÒ ØÖÙ Ö ÐÐ z ÙØ Ö ØØ Ö Ð Ö Ð Ö ÙÒ Öº ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò Ú Ð Ó Ò ØÙÖÐ Ú Ö Ò Ò Ö ÓÖ ÓÑÖ Ø Ø Ð Nº º¾ ÍØÖ Ò Ò Ú ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö ÅÓØ Ú ÖØ Ú ÙØØÖÝ Ø Ð Ò Ò Ò ½¾µ Ò Ò ÒÒ Ò Ñ ØÓ ÓÖ Ö Ò ÙØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö Ø Úغ Ö ÙÑ ÒØ ÓÒ Ò Ö Ö ÓÖ Ò Ð Ò Ú Ò ØØ Ú ÊÓÒ Ð ÓÓÐ ÓÖ Ð ØØ Ö Ð Ö Ú Ú Ð ÖÐ Ö Ò Ó Ú Ð Ö Ð ÖÖ ÓÖ Ö Ð Ö Ú Ö Ò ½º Ò ÝÖ Ø Ð Ò Ò Q(1) = I(1) = 1 Ö ØÖ Ú ÐÐØ Ø Ð Ö Ø Ðغ ÃÚ Ö ØÙÖ Ø Ö Ù Ö Ö Ö Ø Ð Ø ½½

ÒÒÓÑ Ò ØØ Ø Ú Ò ÓÒ Ø ÒØ ÙÒ ÓÒº Ò Ò Ö Ñ Ú Ö Ú ÓѺ 0 = Q(e 2πih x ) = 1 N N 1 j=0 exp(j 2πih z N ) 0 = N 1 j=0 exp(j 2πih z N ) Ò Ð ØØ Ö Ð Ö Ô Ö Ò ÓÒ ÙØÚ Ö δ Ö ÓÑ h : 0 < h 1 < δ,0 = N 1 j=0 exp(j 2πih z N ) ÓÑ ÙØ Ö Ì ÓÖ Ñ ¾º½ Ó Ò ÓÒ Ò ¾º¾ Ú Ø Ù Ð Ð ØØ Ø Λ T Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ h : 0 < h 1 < δ,h z mod N 0 Ö ÓÑ Ò Ú Ö Ö Ö h Ý Ø Ñ Ø Ø ÓÑÖ ÓÖ h 1 = δ > 0 ÓÖ δ Ù Ò Ó Ø Ø Ö ÓÖ Ö Ú Ø ½ µ ÒÒ Ò δ = δ 1 ÝÖ Ø Ø Ò Ø Ø Ò Ð Öº Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ð Ð Ð Ö Ø Ð ÖØ Ô ØØ Ð Ø ÓÑ Ó Ò Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö ÖØ Ô Ð ÓÖ ØÑ ØØ Ú ÊÓÒ Ð ÓÓÐ º º ÐØ Ú Ò Ö ÐØ Ö ÔÖ ÒØ ÖØ ÒÓ Ö Ø Ò Ö ØÓ ÓÖ Ð ØØ Ö Ð Ö Ó ÒÒ Ø Ð ØØ Ö ØÙÖº ÓÖ ÙÒÒ Ú Ö Ñ ÒÒ Ó z Ú ØÓÖ Ö ØÖ Ò Ú ÒÓ Ó Ñ Ö Ø ÓÖ º Ì ÓÖ Ò ÒÓ Ú Ð ÔÖ ÒØ Ö Ö Ø Ð Ö ÙÔÙ Ð ÖØ Ñ Ø Ö Ð Ö Ø ØØ Ú ÒÓØ Ø Ö Ú Ú Â Ñ ÄÝÒ ¾ ½ º ÒÓØ Ø Ò ÒÒ Ð Ñ ÐÐÓÑ ÒÒ ÒÓ Ö ÚÖØ ÒÝØØ Ø ÓÖ Ñ ÓÑ Ö Ø Ð ÐÔ Ð ÓÖ ØÑ Ö ÓÖ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ú Ó Ð ØØ Ö Ð Ó ÓÖØ Ð ÓÖÐ z Ñ Ú Ö ÓÔÔ Ý ÓÖ Ò Ö Ö Ð ØØ Ö Ð Ö Ú ØØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö º Î ØÓÖ Ò z Ò Ø Ô ÓÑ Ø Ð ÝÐ Ö Ó ÙØ Ö Ø ÓÖ Ñ ¾º¾ Ò Ò ÙØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖØ Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ø Ò Ö ÝÐ º ØØ Ú Ð ÖÖ ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ø Ð Ö ÒÙ¹ Ñ Ö Ö Ò Ú Ñ Ò ÓÒ Ò Ó Ö Ö Ø Ð ÒÓ Ó Ø Ô Ú Ò Ö Ð Ø Øº ÓÖ Ò Ð ØØ Ö Ð Ñ ÙØÚ Ö δ Ò Ò Ú Ø ÓÑ Ú Ö Ú Ø ½ µ z = (z 1,...,z i,...,z s );z i = 1,1 i s ½ µ Ñ Ò ÙÒÒ ÓÒ ØÖÙ Ö Ø ÙØ Ö Ò ÐØ Ú Ò º Î Ò Ó Ú ÙØ Ö ØØ Ø ÓÖ Ò Ú Ö δ Ñ Ø ÒÒ Ø Ò Ð ØØ Ö Ð Ú ÙØÚ Ö δ Ò Ö ÖØ ÙØ Ö Ò z Ô ÒÒ ÓÖÑ º ½¾

Ò ÓÒ º¾ ÐØ Ú Ò µº Ò Ú ØÓÖ a = (a 1,...,a σ ) T Ú ÖØ ÐÐ ÐØ Ú Ò Ö ÓÑ σ λ j a j + j=1 0 < a 1 < < a σ ½ µ σ λ j δ ÓÖ ÐÐ λ Z σ. ½ µ j=1 Ö ÓÑ Ò Ö Ò λ ÓÑ Ö ½ µ Ø Ð Ò Ð Ô Ú ÖØ a ÐÐ Ò ØÖ Ø ÐØ Ú Ò º Î Ò ÒÓ ÓÑ Ñ Ø Ú Ø Ø ÓÖ Ñ ÓÖ ÒÒ ÓÔÔ Ú º Ì ÓÖ Ñ º½ ÐØ Ú Ò µº Ø Ú ÖØ Ö Ò ½ Ð ØØ Λ Ú ÙØÚ Ö δ Ò Ö ÖØ Ú z Z s Ó N Ö z = (z 1,...,z i 1,1,z i+1,...,z s ) T ;1 i s Ñ Ú Ö Ñ Ú Ú Ð Ò Ð ÓÑ Ø Ð ØØ Λ Ò Ö ÖØ Ú z Ó N Ö z Ö ÒÒ Ú Ò ÐØ Ú Ò Ú Ö δº ÈÖÓÚ ÓÖ Ò z = (z 1,...,z i,...,z s) T Ö z i = 1,1 i s Ò Ú ÝÖ Ø ÙØ Ö Ì ÓÖ Ñ ¾º¾ ÓÖØ Ö ÐÐ Ð Ñ ÒØ z Ø Ò Ö ÝÐ Ð Ø z = (1,z 2,...,z s ) T ØØ Ö Ó Ø ÓÖ Ò Ú Ö µ Z s Ú Ð ÐÐ h Ô ÓÖÑ h = [(Nµ 1 s µ i z i ),µ 2,...,µ s ] T i=2 Ú Ö ÔÙÒ Ø Λ º Î Ò Ó Ö Ú ØØ ÓÑ h = [(Nµ 1 + s µ i z i ), µ 2,..., µ s ] T. ½ µ i=2 ÍØ Ö ØØ ÝÐ Ø Ú ½ µ Ø h 1 δ ÓÖ Ò Ð ØØ Ö Ð Ú ÙØÚ Ö δº ÓÖ Ò Ú Ð ÖÐ µ Ö Ú Ø h 1 = [(Nµ 1 + h 1 = s µ i z i ), µ 2,..., µ s ] T 1 i=2 s µ j z j +µ 1 N + j=2 s µ j z j +µ 1 N + j=2 s µ j j=2 s µ j δ ¾¼µ ØØ Ñ Ö Ð Ð ÒÖ µ 1 = 0º Î Ö ÙØ Ö ØØ Ø ÓÑ Ú Øa = (z 2,...,z s ) T Ñ σ = s 1 Ð Ñ ÒØ Ó λ = (µ 2,...,µ s ) T Ö Ú Ø Ö ÓÑ z Ð Ò Ö Ö Ò Ð ØØ Ö Ð Ú ÙØÚ Ö δ Ñ a Ú Ö Ò ÐØ Ú Ò Ú Ö δ º j=2 ½

Ø Ö ÙÐØ Ø Ú ØØ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾º Ö Ø Ú ÓÖ Ò Ú Öδ ÐÐØ Ò ÒÒ Ò Ð ØØ Ö Ð Ú Ö Ò ½ Ó ÙØÚ Ö δ Ò Ö ÖØ Ú Ò z = (1,z 2,...,z s ) Ö 0 < z 1 = 1 < z 2 < < z s < N/2º Î Ö Ø ÓÖ Ð ØØ Ö Ð Ö Λ Ú ÒÒ ØÝÔ Ò Ó ÓÖ h Λ ÒÒ Ø Ø Ò µ Z σ Ð Ø h 1 = Nµ 1 +λ a + λ 1. Î Ö Ø h 1 λ 1 Ú ÙÒ Ö ÐÐ h Ò Ö ÖØ Ú µ = (0,λ) t Ö λ 1 δ Ö Ú Ö ÒØ ÖØ ØØ Ñ ÐÐ h Λ ÓÑ ØÖ Ò Ø ÓÖ Ú ÐÙ Ö ½ µº Î Ð Ø m Ú Ö Ø Ð Ø Ô h Ú Ñ Ú ÐÙ Ö ÓÖ Ú ÖØ Ô Ö Ú z Ó Nº ØØ Ð Ö Ò ØÙÖÐ Ø Ð Ò ¾¹ Ø ØÖ Ø ÓÖ ØØ Ö Ð ØØ Ö Ð Öº ÝÖ Ø Ø Ú Ð Ú Ö ÒÒ Ó ÐØ Ú Ò Ö a Ö Ò Ò Ö Ø ÒÒ Ò Ñ Ò Ø ÑÓ Ð N Ð Ø z Ó N Ò Ö Ö Ö Ø Ð ØØ Ú ÙØÚ Ö δº Ö Ø ÓÖ Ñ ¾º Ö Ú Ø z s Ö Ò Ö Ö Ò ÓÖ N/2 Ó Ø Ú Ð Ö ÓÖ Ú Ö Ò ØÙÖÐ ÒÒ ÐØ Ú Ò Ö Ñ Ð Ú Ö Ô z s º Á Ö Ø Ò Ú ØØ Ô ØØ Ð Ø Ú Ð ÓÒ ÒØÖ Ö Ñ ÓÑ Ø ÓÖ ÓÖ Ø Òº º ÃÖ Ú ÓÖ ÐØ Ú Ò Ö ÓÖ ÙÒÒ ØØ Ö ÐØ Ú Ò Ö Ø ÚØ Ñ Ú Ú Ø ÒÓ Ó ÓÑ Ò Ô Ò Ö º Î Ñ Ø ÒÓ Ö Ö Ú Ø Ð z ÓÖ Ø Ò Ð Ú Ö Ò ÐØ Ú Ò º Ä ÑÑ º½º Æ Ú Ò Ö Ú ÓÖ Ø Ò Ú Ò z Ð Ú Ö Ò ÐØ Ú Ò Ú ÙØÚ Ö Ø ÖÖ ÐÐ Ö Ð δ Ö z 1 δ 1 z j z j 1 δ 2;1 < j s ÈÖÓÚ Ò Ð ØØ Ú Ø Ú ÑÓØ Ò º Î ÒØ Ö Ø z 1 δ 2º Ö ÓÑ λ = (1,0,...,0) Ö Ú Ø ÙØØÖÝ Ø ¾¼µ Ö Ù Ö Ö Ø Ð z 1 +1 δ 2+1 ÓÑ Ö Ñ Ò Ö ÒÒ δº Î Ñ Ö ÓÖ Ø z 1 δ 1º Ì Ð Ú Ö Ò Ö ÓÑ Ú ÒØ Ö Ø Ø ÓÖ z ÒÒ Ø Ø Ô Ö z j z j 1 δ 3 Ö Ú ÓÖ λ j = λ j 1 Ó Ñ 0 ÐÐ Ø ¾¼µ Ö Ù Ö Ö Ø Ð λ j z j λ j 1 z j 1 +2 δ 3+2 < δº Ì ÓÖ Ñ º¾ Ê Ù ÓÒ Ó Ô Ò ÓÒ Ú ÐØ Ú Ò Öµº Ö ÓÑ a = (a 1,a 2,...,a i 1,a i,a i+1,...,a s ) Ö Ò ÐØ Ú Ò Ú Ð Ó ã = (a 1,a 2,...,a i 1,a i+1,...,a s ) Ú Ö Ò ÐØ Ú Ò º Ö ÓÑ a = (a 1,a 2,...,a s 1,a s ) Ö Ò ÐØ Ú Ò Ñ Ø Ó ÒÒ Ø Ò a s+1 a s +δ 2 ÓÑ Ö Ø ā = (a 1,a 2,...,a s,a s+1 ) Ð Ö Ò ÐØ Ú Ò º ÈÖÓÚ Ö ÓÑã Ö Ò ÐØ Ú Ò Ñ Ø ÒÒ Ø Ò λ = (λ 1,...,λ i 1,λ i+1,...,λ s ) ÓÑ Ö Ø Ö Ú Ø ½ µ Ð º ÓÖaÑ Ó Ò Ø Ð Ú Ö Ò λ = (λ 1,...,λ i 1,λ i,λ i+1,...,λ s ) Ñ λ i = 0 Ö Ø ½ µ Ð º ØØ Ö Ö Ø Ð ÐÚÑÓØ Ò Ó ã Ñ Ö ÓÖ Ó Ú Ö Ò ÐØ Ú Ò º Ö ÓÑ a Ö Ò ÐØ Ú Ò Ö Ú Ø ½ µ Ú Ð Ð ÓÖ ÐÐ λ = (λ 1,λ 2,...,λ s ) Ó ÖÑ Ó ÓÖ ā Ó λ = (λ,0)º ÓÖ λ s+1 0 ØÖ Ò Ú ÙÒ ÓÒ ÒØÖ Ö Ó ÓÑ λ Ö λ 1 < δ 1º Ú Ð a s+1 > (δ 2)a s ½

ÐÐØ Ò ÒÝ ÐØ Ú Ò āº È ÖÙÒÒ Ú º½µ Ò a s+1 Ú Ö Ñ Ò Ö ÒÒ a s +δ 2º ËÓÑ Ö Ò ÑÒ Ú Ð ÒÒ ÓÔÔ Ú ÓÒ ÒØÖ Ö Ñ ÓÑ δ = 5 Ó Ú Ð Ö ÓÖ ÓÑ Ñ Ø ÓÖ Ñ Ì ÓÖ Ñ º ÓÑ Ö Ú Ø ÓÖ Ò ØØÓÔÔ Ø Ð ÐÐ Ø δ = 5º Å Ò Ö Ø Ñ Ú Ô ÔÐ ØÓ Ð ÑÑ º Ä ÑÑ º¾º Ä 0 < a 1 < a 2 < < a s 2a 1 a s 0 s i=1 λ i 4 Ó s i=1 λ i 0º Ú Ð s S = λ i a i 2a 1 a s. i=1 Î Ú Ö ØØ Ú Ô ÐÐ ÑÓ Ð Ø Ò ÓÖ ÓÒ ØÖÙ Ö λ ÙØ Ö Ö Ú º ÓÖ λ 1 0 Ó λ i = 0 i 1 Ö Ú S λ 1 a 1 2a 1 a s º ÓÖ λ 1 = {2,3};λ i = 1 i > 1 Ð Ö S = λ 1 a 1 a i 2a 1 a s º ÓÖ λ 1 = 2,λ i = λ j = 1 Ö Ú S = 2a 1 +a i a j 2a 1 a s ÓÖ λ 1 = λ i = λ j = 1 Ö Ú S = a 1 +a i a j 2a 1 a s ÓÖ ÐÐ Ò Ö ÑÓ Ð Ø Ö Ö s i=1 λ i 0 Ö Ú Ø ÓÖØ Ò Ø Ð ÐÐ λ i λ;λ i 0 Ö Ð º ØØ Ö S a i a 1 º Ä ÑÑ º º ÆÖ 2a 1 a s δ 1 Ú ÖØ Ö Ú Ø ÓÖ Ø a = (a 1,a 2,...,a s ) Ð Ú Ö Ò ÐØ Ú Ò Ø s s 0 < λ i δ 1 Ó λ i = 0 i=1 ÈÖÓÚ ØØ Ö Ú ÙØ Ö Ø ÓÖ s i=1 λ i 0 Ö Ú s i=1 λ i + S s i=1 λ i +2a 1 a s 1+δ 1º Ì ÓÖ Ñ º Ì Ð ØÖ Ð Ó Ò Ú Ò Ö Ú Ø Ð ÐØ Ú Ò Ö Ú ÙØÚ Ö µº Ä a s < 2a 1 δ+1 Ó ɛ i,j = a i a j º Ú Ð a = (a 1,a 2,,a s ) ÒÒ Ò ÐØ Ú Ò Ñ δ 5 Ö ÓÑ Ó ÙÒ Ö ÓÑ ÒÒ Ð Ø Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ó ɛ i,j 3 i=1 E = {ɛ i,j ;s i > j 1} ÈÖÓÚ ÝÖ Ø Ú Ð Ú Ú Ø Ö ÓÑ a Ð Ú Ö Ò ÐØ Ú Ò Ñ E ÒÒ Ð Ø Ò Ø Ð Ñ Òغ Ö ÓÑ ɛ i,j = ɛ k,l Ö Ö ÓÑ Ú Ú Ð Ö Ú a i a j a k +a l = 0. λ i = λ j = λ k = λ l = 1;λ r = 0 r / i,j,k,l s λ m + m=1 s λ m a m = 4 < 5. m=1 ½

ØØ Ú Ö Ø ÝÖ Ø Ö Ú Ø Ö Ò Ú Ò ÓÖ Ø a Ð Ú Ö Ò ÐØ Ú Ò º ÓÖ Ú Ø ØØ Ö Ø Ø Ð ØÖ Ð Ö Ú ØÖ Ò Ú ÙØ Ö Ð ÑÑ º ÖÖ ÚÙÖ Ö Ø Ð ÐÐ Ö s i=1 λ i = 0º ÓÖ λ i = λ j Ö Ú S = λ i (a i a j ) ÓÑ Ö s k=1 λ k +S 2+ɛ i,j δ ÓÖ λ i = λ j = λ k = λ l Ö Ú S = ± ɛ i,j ± ɛ k,l º Ë Ò ÐÐ ɛ Ö Ø Ò Ø Ö Ú s m=1 λ m +S 4+S δ ÓÖ λ i = 2λ j = 2λ k Ð Ö S = 2a i a j a k = ±ɛ i,j ±ɛ j,k º ØØ Ö s l=1 λ l +S 4+S δº º ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ó ÓÔÐ Ò Ø Ð ÐØ Ú Ò Ö ÃÖ Ú Ø ÓÑ Ø Ò Ø Ú Ø Ò Ö ÒÒ Ö Ú ØØ ÓÑ Ø ÓÑ Ò Ö Ö Ø ÒÒ ÒÓÑ Ò ÐÐ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Öº Ò ÓÒ º ÓÐÓÑ Ð Ò Ðµº Ò Ú ØÓÖ a = (a 1,a 2,...,a σ ); a 1 < a 2 < < a σ Ö ÐÐ Ø Ð Ö ÐØ Ð Ú ÖØ ÐÐ Ò ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö ÓÑ Ø ÓÖ Ø ÐØ Ð x 0 ÒÒ Ø Ø Ð Ý Ò Ô Ð Ò Ò x = a j a i a i,a j º Ø Ò ÐØ Ø Ð Ò Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ú ÖØ ÐÐ Ø Ñ Ö º Ä Ò Ú Ò ÓÐÓÑ Ð Ò Ð G(σ) Ú ÖØ Ò ÖØ ÓÑ G(σ) = a σ Ö a σ Ö Ø Ñ Ö Ñ Ø Ú Ö º Ò ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ò ÓÖØ Ø ÑÓ Ð ÓÖ Ø ØØ Ø Ð Ô Ñ Ö Öº ÌÓ ÓÔ Ö ÓÒ Ö ÓÑ Ö ÒÝØØ Ó ÓÑ Ö Ø ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ò Ö ÑÐ Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö ÖÒ Ò Ú Ñ Ö Ö Ó ÓÖ ÙÚ Ò Ú Ñ Ö Ñ Ò ÐØ Ð Ú Ö º Ì ÓÖ Ñ º ÓÖ ÙÚ Ò Ó ØÖÙÒ Ö Ò Ú ÓÐÓÑ Ð Ò Ðµº ÓÖ Ò Ú Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ð a = (a 1,...,a σ 1,a σ ) Ó ÓÒ Ø ÒØ c Z Ú Ð Ó a = (a 1,...,a σ 1 ) Ó a = (a 1 +c,...,a σ 1 + c,a σ +c) Ú Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ðº ÈÖÓÚ Ö ÓÑ Ú Ö Ò ÓÐÓÑÐ Ò Ð a = (a 1,a 2,...,a i 1,a i,a i+1,...,a σ ) Ò Ú ÖÒ Ø Ñ Ö Ó Ö a = (a 1,a 2,...,a i 1,a i+1,...,a σ )º Ö ÓÑ a Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ñ Ø ÒÒ Ø j,k,l,m Ð Ø a j a k = a l a m º Å Ò Ò ÓÔ Ö ÓÒ Ò Ú Ö ÙØ ÖØ Ö ÖÒ Ø Ñ Ö Ñ Ñ Ö Ö ÑÐ ÒÒ Ø a ÓÑ ÑÔÐ Ö Ö Ø a Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ðº Î ÑÓØ Ò Ñ Ö ÓÖ Ó a Ú Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ðº ÓÖ Ú Ø ÓÖ ÙÚ Ò Ö Ò ÒÝ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð ÒØ Ö Ú ÝÖ Ø Ø a = (a 1,a 2,...,a σ ) Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ðº ÓÖ Ò c Z Ö Ú a = (a 1 +c,a 2 +c,...,a σ +c)º Ö ÓÑ a Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ñ Ø ÒÒ Ø i,j,k,l Ð Ø a i +c (a j +c) = a k +c (a l +c) a i a j = a k a l. Å Ò ØØ ÑÔÐ Ö Ö Ø a Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ó Ú Ö ÑÓØ Ò º Î Ö Ø a Ó Ñ Ú Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ðº ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ù ÝÖ Ø ÓÔÔ Ø Ö Ú Ï ÐÐ º Ó Ö ½ ¾ ÓÑ Ð Ý Ò Ô Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò Ñ Ö ÓØ Ò º Ò ÙÒÒ Ö Ù Ö ÒØ Ö Ö Ò ½

Ñ ÐÐÓÑ ÙÐ Ö Ú Ò Ö Ú Ù Ø Ö ÙÐ Ò Ð Ò ÙØ Ö Ñ Ö Ô Ò ÓÐÓÑ Ð Ò Ðº ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ò Ö ÓÔÔ ÐÐ ØØ Ö ËÓÐÓÑÓÒ Ïº ÓÐÓÑ ÓÑ Ú Ö Ò ÝÖ Ø Ø Ð ØÙ Ö Ý Ø Ñ Ø º Ò Ú Ú Ð ÒØ Ò ÓÒ Ö ÓÒ ØØ ÓÑ Ò Ö Ø ÙØ Ö Ø Ø ÒÒ Ð Ø Ò Ø ÙÑÑ Ö ÓÖ Ú ÖØ Ô Ö Ú Ñ Ö Öº Î Ö Ð ØØ ÒÒ Ú Ú Ð Ò Ò Ú Ø ÓÑ a i a j a k a l, {i,j,k,l} Z Ñ Ó a i +a l a k +a j º Ë ÓÒ ØØ Ö Ð ØØ ØÙ ÖØ Ò ½ ¼ Ø Ð Ø Ó Ú ÖØ ÝÖ Ø Ð Ö Ú Ë ÑÓÒ Ë ÓÒ ¾½ Ñ Ò Ñ È Ð Ö Ó È Ð ÌÙÖ Ò º Ö Ø ÓÖ ÓÒ ØØ Ö Ú Ò Ö Ö Ò ÓÖ Ð Ò Ô Ò ÓÐÓÑ Ð Ò Ð ½ G(σ) σ 2 2σ σ + σ 2. ¾½µ Ú Ú Ð Ò Ñ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ö Ð ØØ ÑÓÒ ØÖ ÖØ Ú ÔÓ ØÓÐÓ Ñ ØÖ ÓÑ ÒÓÐ º ÁÒ Ò ÐÙ Ð Ý Ò Ô ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ú ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö ÒÒ Ø Ò º Ú ÒÒ Ö Ö ÙÒÒ Ú Ý Ø Ñ Ø ÝÖ Ø Ñ ÒÙ ÐÐØ Ó Ò Ö Ñ Ø Ñ Ò Öº ËÖ Ð Ò Ò Ò ÑÒ ÔÖÓ ØÇ Ê Ö Ú Ô ÛÛÛº ØÖ ÙØ ØºÒ Ø ÓÑ Ö Ø Ñ ÚØ ÓÓÔ Ö Ø ÚØ ØØ Ö ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Öº Ø ÒÒ Ø Ð Ú Ð Ö ÙÐ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ö ÓÑ Ö ÒÖ ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Öº Å ÒÖ ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ñ Ò Ö Ò ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ñ Ð Ò a σ σ 2 ÓÑ Ö ÒÖÐ Ò Ú ÒÒ Ò Ö Ö Ò Ò ÑÒ ÓÚ Öº ØØ ÝÐ Ó Ø Ö ÑÐ ÔÖ ÒØ ÖØ Ú Ö ÓÑ Ö Ø ÐÐ ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ñ σ Ñ Ö Ö Ö ÓÖØ Ö ÒÒ σ 2 º ØØ Ö Ð ØØ ÙÒ Ú Ö ÐÐØ ÔÖÓÚ Ñ Ò Ø Ö Ð ØØ Ú Ø ÓÖÖ Ø ÓÖ s < 65000 ½ ½ º Ò Ô ÐÐ ÑØ Ö Ñ Ø ÐÐ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ô ÓÑ Ö ÓÖØ ÒÝØØ Ú ØØ Ö Ø Ö Ø ÓÑ Ú ÖØ ÐÐ Ý Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö ÐÐ Ö Ó ÑÓ ÙÐÖ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Öº Ö ÓÖØ ÓÖØ Ð ÒÒ Ø Ò Ú Ø Ö Ò Ú ÒÐ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ò ÖØ ÙØ Ö ÙÒ Ö Ò Ö Ñ ÐÐÓÑ Ñ Ö Ö Ò Ý Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð ÙÒ Ö Ò Ö ÑÓ ÙÐÓ Ø ÐØ Ð bº Å Ö Ô Ö Ø Ú ÖØ ØØ Ò ÖØ Ð º Ò ÓÒ º ËÝ Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ðµº ÓÖ ØÓ Ø Ð a i,a j a;i j Ö a Ö Ò Ý Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ú Ø (a i a j )(ÑÓ b) (a j a i )(ÑÓ b) Ò ÒÝØØ ÑØ ÐÐÙ ØÖ Ö Ò Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ø Ò Ö Ð Ñ ÓÑ Ö Ò b Ó ÔÐ Ö ÙØ Ø Ò Ò ÖÙÒ Ø ÒÒ Ö Ð Òº Ö Ú Ö Ú Ò ÑÒ Ø Ý Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Öº Ò ÖÙÒÒ Ø Ð Ø Ý Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ö Ú ÒØ Ö ÒÒ ÓÔÔ Ú Ö Ø Ñ Ò Ú Ó ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò ÓÑ Ö ÓÖØ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ö ÖØ Ô ÑÓ ÙÐÖ ÓÒ¹ ØÖÙ ÓÒ Ö Ó Ö Ò ØØÓÔÔ Ý Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Öº Ø Ú Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ñ Ð Ò ÖÙÒ Ø s 2 ÓÑ Ó Ö ÒÖÐ Ò Ú ÒÒ Ò Ö Ö Ò ÓÖ Ð Ò Ú ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ò ÑÒ ÓÚ Öº ØØ Ö ÔÖ Ø ÓÖ ÓÔÔ Ú Ó Ñ Ø Ú Ö Ô Ø ØØ Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö ÓÑ Ö ÓÖØ ÓÑ ÑÓ Ð º ÆÖ Ú ÝÖ Ø Ö ÙÒÒ Ò Ý Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ñ s Ñ Ö Ö Ò Ú ÓÒ ØÖÙ Ö s 1 ÒÝ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ú ÓÖ ÙÚ Ò Ú ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ bº Ø Ú Ð ÓÑ Ú Ö Ò ÓÐÓÑ Ð Ò Ð a = a 1,a 2,...,a s Ò Ú ÒÒ Ò ÒÝ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ú ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ò a = S c (a) = {a 1 +c(ñó b),a 2 +c(ñó b),...,a s +c(ñó b)} ¾¾µ ½

Ö c Ö Ø Ú Ð ÖÐ ÐØ Ðº Î Ú Ð c = b a s Ö Ú Ò ÒÝ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ø Ú Ö Ø Ñ Ö Ø Ö Ð ØØ Ø Ð Ø º ÒÒ ÔÖÓ Ò Ò Ð Ö Ñ ÒÒØ Ð Ú Ö Ø Ð Ø Ð Ò ÓÖ Ò Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ò Ó Ú Ú Ð Ø ØØ Ô s ÙÐ Ð Ò Ð Öº ÐÐ Ú Ð Ú Ö ÐØ Ú Ò Ö Ñ Ò Ò Ö ÐØ ÙÐ Ñ ÓÑ ÝÒ Ø Ð Ö º ËÓÑ Ú Ì ÓÖ Ñ º Ñ Ò ÐØ Ú Ò δ 5 Ø ÐÐ Ø Ð Ú Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ñ Ò Ø Ú Ø Ò min(ɛ i,j ) 3º ØØ Ö Ø ÓÑ Ò Ò ÓÒ ØÖÙ Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ñ Ö ØØ Ò Ô Ò Ò Ò Ó ÐÐ ÐÐ ÙØ Ö Ø ÓÖ Ò ÓÒ ØÖÙ Ö Ó Ð ØØ Ö Ð Öº ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ö Ø Ò ÓÖ Ø Ö Ø Ð ØÖ Ð Ó Ö Ú Ø Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ò Ó Ò Ò ÖÖ Ô Ö Ñ ÒØ ÐÐØ ÒÒ Ó Ò Ø Ö Ñ ÐÐÓÑ Ñ Ò Ñ Ò Ö Ó º Ø Ö Ð Ö Ð ØØ Ú Ø Ø Ò ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð ÙØÓÑ Ø Ú Ð Ò ÓÔØ Ñ Ð Ð ØØ Ö Ðº Ë Ñ Ò Ò Ò Ö Ö Ø Ô ÖÙÒÒ Ú Ì ÓÖ Ñ ¾º Ú Ð Ú Ö Ò Ñ Ø Ø z Ö z s Ð Ø Òº ÙØ Ò Ö Ø Ð ØØ Ú ÓÑ Ö Ò Ó Ð ØØ Ö Ð ÒÖ Ò ÐÐ Ö Ö Ò ÓÔØ Ñ Ð º Ö Ñ ÓÒ ÑØ Ò Ö Ú Ð ÒÝØØ Ú Ð Ú Ö ÝÖ Ø ÓÒ ØÖÙ Ö Ò ÒÖ ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÓÑ Ð Ò¹ Ð ÓÖ ÖÒ Ø ÐÐ Ö ØÓ Ñ Ö Ö Ð Ø min(ɛ i,j ) 3º Î Ò ÐÐ Ñ Ò Ú ÐÐ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ñ Ñ Ò Ø Ú Ø Ò ɛi,j k ÓÖGL k Ó Ú Ö Ö ÓÖ ÙØ ØØ Ö ÐØ Ú Ò¹ Ö a GL 3 º ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ð ÓÖ ØÑ Ò Ö ÒÒ Ø ÓÖ Ò Ú Ð Ð Ö Ò Ø Ô ØØ Ðº ½

Ð ÓÖ ØÑ Ö Ó ÓÑÔÐ Ø Ø º½ Ð ÓÖ ØÑ Ö ÓÖ ÒÓ ÙÒÒ Ö Ú Ö Ñ Ú ÙÒÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÒÒ Ø ÓÖ Ò ÖÓ Ù Ø Ð ÓÖ Ø¹ Ñ Öº Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú ØÖ Ò ÓÖ ÒÒÓÑ Ö ÚÖØ ØØ Ö Ó Ð ØØ Ö Ð Ö ØÖ ÝÖ Ø Ó Ö Ñ Ø Ò Ñ ØÓ ÓÖ Ö Ò ÙØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö º ÒÒ ÓÑ Ú Ð Ò Ð Ø ØÓ Ñ Ò Ö Ð ÓÖ ØÑ Öº Î Ö Ú Ð Ú ÓÚ ÓÖ ÙÒÒ ÓÒ ØÖÙ Ö z Ó ÙØ Ö ÖÖ Ô ØØ Ð Ó Ñ ØÓ Ö ÓÖ ÓÒ ØÖÙ Ö ÐØ Ú Ò Öº ØØ Ö Ó Ò ØÓ ÐØ ÔÖÓ Ö Ú ÝÖ Ø ÒÒ Ö ÐØ Ú Ò Ö ÓÖ ÑÓ Ö Ô ÙÐ ÑØ Ö ÓÖ Ò z Ú ÝÒ Ö ÓÖ ØØ Ñ Ò ÓÒº Ì Ð ÐÙØØ ØÖ Ò Ú Ð ÓÖ ØÑ ÓÖ Ø Ñ Ò Ø Ð Ø Ø ÚØ º ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø Ö ÒÝØØ Ö Ö Ô ÓÒ ØÖÙ Ö Ð ØØ Ö Ð Ö Ú ÐÔ Ú ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö ÓÖ Ø Ø Ð ØØ Ö Ð Ò ÓÖ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö º Ø Ö Ð Ú Ð Ò¹ ÒØ Ò Ú Ò ÓÖ ÒÝØØ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÓÖ Ø Ø Ò Ú ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÓÑ Ø ÔÐ ØØ Ý Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö ÓÑ ÒÔÙغ Ø Ø ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ò Ö Ý ¹ Ð Ñ ØØ ÔÖÓ Ö Ñ Ö Ø Ò Ð Ö Ñ Ò ÔÙÐ Ö Ð Ø Ú Ò Ø Ø Ö Ð Ò Ð Ö ÙØ Ö Ò Ñ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Òº ÙØ Ò ÒÒ Ö ÐÐ Ø Ú Ò ÓÒ ØÖÙ ¹ ÓÒ Ò Ý Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Öº Î Ú Ð Ö ÓÖ ÖÒ Ó ÙØÒÝØØ ÒÒ Ò Ô Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ Øº Ò Ö Ø Ò Ú Ú Ð ÙØÒÝØØ ÒÒ ÓÔÔ Ú Ö Ø ØÙÑ Ø Ø ÒÒ Ø Ö ÙÐ Ñ ØÓ Ö ÓÖ Ò Ö Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Öº ØØ Ö ÖÙÒÒÐ ÓÖ Ò Ð ÙÖ Ø Ñ ØÓ Ö ÓÖ ÓÖ ØÖ Ø ØØ Ö Ð ØØ Ö Ð Öº Ú Ð ÓÑÑ ÒØ Ö ØØ ÓÖ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ö ØØ Ö ØÙ Ðغ º¾ ÍØÖ Ò Ò Ú ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö Ö ÒÓ Ö ÒÓ Ó ÒÒ Ú Ð ÔÖ ÒØ Ö Ñ ØÓ Ò ÖÙ Ö ÓÖ ÒÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö º ËØ Ò Ö ÑØ Ò Ö Ò ÙØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö Ö Ú Ö Ö h Ñ h 1 = d ÓÖ Ø Ò d ÓÖ Ø Ø h z(ñó N) 0 ÒÒØ Ð ØØ Ð Ö ¹ÒÓÖÑ ÐØ µº ÓÖ Ò h Ö Ø Ø Ò Ð Ö Ö Ú δ = h 1 º ÓÖ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ö Ö Ø ÙØ Ò ÔÙÒ Ø Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ö Ú ÊÓÒ Ð ÓÓÐ ÓÑ Ò ØØÓÔÔ Ö ÖØ Ô ÒÒ ÓÔÔÐ Ð ÓÖ ØÑ Òº Ö ÓÑ Ú ÙÒ Ö ÙØ ØØ Ö Ú Ø ÓÑ Ò ØØ Ð ØØ Ö Ð Ö ÙØÚ Ö δ ˆδ Ó ØÖ Ò Ú Ø Ò Ø Ö Ø Ð Ð ØØ Ö Ð Ò Ò Ú ØÓÔÔ ÒÖ ÐÐ h Ö h 1 < ˆδ Ö Ú ÐÙ Öغ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÒÒ Ñ ØÓ Ò Ö Ø Ô Ö Ø ÒÖ Ú Ú Ð ÙÒ Ö Ö Ð ØØ Ö Ð Ö Ö Ú ÓÚ ÓÖ Ò Ö Ö Ñ Ò h Ú ØÓÖ Öº ÍØ ÓÖ Ö Ò Ú ÖØ Ò Ö Ö ÙÒ h Ú ØÓÖ Ò Ú Ö ÓÚ ÓÖ Ó Ö º Ø ÒÝ Ö Ö Ñ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ö Ö Ò Ó ÖÚ ÓÒ ÓÑ Ö Ø Ú Ò Ð ÔÖÓ Ò Ñ ÒÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö ÒÒ ØÓ ØÖ ÒÒ Ó Ø ÐÐ ÙÒ Ø Ú Ö Ô Ò Ð Ò ÓÖÑ ÓÒ ÙØ Ò ÑØØ Ö Ò ÙØ ÐØ Ô ÒÝØØ ÓÖ Ú Ö ÒÝ Nº Ö ÓÑ Ú Ú Ð Ú ÐÙ Ö h h ÓÖ Ñ Ò z Ò Ø Ú Ö ÒÝØØ Ð Ö ÐÐ h Ñ ØÖ Hº Á Ø ÐÐ ÓÑ Ú Ú Ð Ú ÐÙ Ö Hz(ÑÓ N) ÓÖ Ñ Ò N Ò Ø Ú Ö Ð Ò ÑØ Ð Ö q = Hz Ó Ð Ö Ú ÐÙ Ö q(ñó N)º ½

Á Ñ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ö Ú Ð Ó ÓÚÙ ÒÝØØ ÒÒ Ñ ØÓ Ò ÓÖ ÓÖ ØÖ ÝÖ Ø º Ú Ð ÝÖ Ø Ð Ö Ñ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÒÒq() ÓÑ ÒÒ Ö ÖÒ Ò ÓÖ ÙØÖ Ò Ò Ò º ¾¼

Ð ÓÖ Ø Ñ ½ ÒÒq z,ˆδµ ½ d 1 ßÁÒÒ Ú Ö Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö Ð ¾ h (1,0,...,0) ( q (0,...,0) ß Ä Ò Ð ˆδ 1 s i=1 2i 1 i q q k 0 ÓÖ d ˆδ Ó ÓÖ h; h 1 = d Ó k++ q k h z q k = d i=1 Ò(h i) Ò ÓÖ Ò ÓÖ Ö ØÙÖÒ q, q ½¼ ½½ ½¾ ½ )( ˆδ 1 i ) Ð È ÖÙÒÒ Ú Ø h Ö Ð Ò ÒÖ δ Ö Ð Ö ÒÒ s Ò Ú ÙØÒÝØØ ØØ Ø Ð Ô Ö Ò Ñ Ö Ø Ó Ð Ö Ò ÔÐ º Ø ÒÒ Ø ÐÐ Ö Ó Ð ÓÖ ØÑ Ö ÓÖ Ö Ò Ñ Ð Ò Ú ØÓÖ Ö Ó Ñ ØÖ Ö Ó Ú Ð Ö ÓÖ ÒÒ Ô Ø Ò Ò Öº Ä Ñ Ö Ø Ð Ø Ø Ö Ò ÐÒ Ô ÒÒ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ó Ø ÓÖ Ò ÓÚ Öº Á ÒÒ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ð Ö Ö H Ñ ØÖ Ò Ñ Ò Ð Ö Ú ØÓÖ Ò q Ó Ò ÒÒ Ò Ú ØÓÖ q ÓÑ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ö Ò Ö Ò q ÓÑ Ö ÙÐØ Ø Ú Ò Ö Ò z zº ÖÙÒÒ Ò Ø Ð ØØ Ö Ø ÐÐ z Ú Ú ÐÙ Ö Ö Ö ÒÒ Ú ÓÒ ØÖÙ Ö ÐØ Ú Ò Ö ÙØ Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ó ÓÑ Ú Ú Ð ÙÒ Ö ØÖ Ò Ú ÙÒ Ö Ò ÙØ Hz Ò ÓÒ ÓÖ Ú Ö ÐØ Ú Ò ÓÒ ØÖÙ Öغ Î Ð Ø Ö ÓÖØ ÙØ Ö Ø ÓÑ ÝÒ Ø Ð Ø ÖÙ Ò Ó Ø Ð Ö Ú Ø ÓÖ Ð Ö Ò ÔÐ º Ð Ö Ð H Ò Ú Ö ÓÖÒÙ Ø Ö ÓÑ Ò ÒÒÓÑ Ö Ö Ø Ö ÒØ ÖÙØ ÓÖ Ó Ú Ð Ú ÐÙ Ö Hz ÓÖ Ú Ö z ÒÒ Ñ Ò ÒÖ ÙØÖ Ò Ò Ò Ù Ò ØØ Ú ÖØ ÙØ ÖØ Ö Ð Ø ÚØ ÓÒ Ö Ò Ø Ú Ö ÐÙÖØ Ó Ô Ö Ô Ð Ö Ò ÔÐ º Ö Ì ÓÖ Ñ º½ ÝÐ Ø Ø ÓÑ Ú Ö Ò ÐØ Ú Ò a Ú Ö δ Ú Ð Ò Ú Ö z = (1,a) T Ñ Ò Ñ Ò Ó Ø Ú Ð N Ò Ö Ö Ò Ð ØØ Ö Ð Ú ÙØÚ Ö δº Î Ö Ý Ø Ñ Ø ØØ Ö Ò Ø z Ñ ÐÐÓÑ ÐÐ ÒÒ ÙØ Ö aº Ì ÓÖ Ñ º Ú Ö Ó Ø ÐÐ ÐØ Ú Ò Ö a Ñ Ú Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ó Ø ÐÐ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ñ Ñ Ò Ø Ø Ò ɛ i,j Ñ ÐÐÓÑ ØÓ Ñ Ö Ö Ñ Ú Ö ÐØ Ú Ò º Á Ø ÐÐ Ò Ú ÙØ Ö Ì ÓÖ Ñ º ÓÑ Ú Ö Ò ÓÐÓÑ Ð Ò Ð a ÒÒ Ø ÐØ ØØ Ú ÒÝ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ú ÓÖ ÙÚ aº ÃÚ Ö Ú ÒÝ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ò Ú Ð Ó Ú Ö ÐØ Ú Ò Öº ÓÖ ÙÚ Ò Ú a Ò Ú ÖÙ ÓÖ ÙØÚ ÖÓÑ Ø ÙØ Ò ÑØØ Ö Ò ÙØ Hz Ö ÓÒ Ö ÒÓ Ó Ú Ú Ð ÑÓÒ ØÖ Ö ÙÒ Öº ÓÖ ÙÚ a Ñ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ø Ò Ø Ð Ú Ö Ö Ò Ö Ô z Ñ Ò zº z Ú Ð ÖÙ Ö ẑ = (1,...,1) T Ó z = (0,1,...,1) T º ÖÙÒÒ Ú Ò ÓÖ ÖÙ ÙÖ Ø z Ú Ð Ú Ô ØØ Ð Ø ÓÑ Ð ÓÖ ØÑ Ö ÓÖ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ú ÐØ Ú Ò Ö ÓÑ Ñ ÙÒ Ö Öº Î Ö ÓÖ Ú Ö z 1 = z 0 + z Ð Ò Ò q = Hz 1 = H(z 0 + z) ¾½

= Hz 0 +H z. ¾ µ Î Ð q = H z Ó Ð q i+1 = q i + q Ô Ö Ö Ú Ò Ñ Ö ÙØÖ Ò Ò Ö Ó Ø Ö ØØ Ø ØÖ Ø ÓÑ Ö Ø Ú Ú Ö Ð Ö Ò ÝÖ Ø Ñ ÒÐ Ò Ñ ÖÙØ ÓÖ Ñ ØÓ¹ Òº Î ÖÙ ÒÒ ÙØÖ Ò Ò ØÖ Ò Ú Ð Ö Ð Ö Ð H Ñ ØÖ Ò Ñ Ò Ú Ý ÓÔÔ q Ó a ÓÑ Ð Ò Ó ½¼º ØØ Ú Ö Ö ÙÒ Ö ÓÑ Ú ÒÝØØ Ö ÐØ Ú Ò Ö Ð Ø Ú ÓÖ ÙÚ Ò º Î Ö Ñ ØØ Ò Ð ÓÖ ØÑ ÓÖ ÝÖ Ø ØÖ ÒÒ ÙØÖ Ò Ò Ú Ö º Ë Ø ØÖ ÒÒ Ø Ø Ò ÓÖ Ù Ò N ÒÒ Ö Ð ÓÖ ØÑ Ò Ø ØÄ ØØ Ö Ð µ ÙÒ Ö Ñ Ò ÝÖ Ø Ú Ð Ô Ð ÓÖ ØÑ Ö ÓÖ ÓÒ ØÖÙ Ö ÐØ Ú Ò Öº º Ð ÓÖ ØÑ Ö ÓÖ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ú ÐØ Ú Ò Ö Ö Ì ÓÖ Ñ º Ö Ú Ø ÐÐ ÐØ Ú Ò Ö Ú Ö δ = 5 Ñ Ú Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ñ ÐÐ Ú Ø Ò Ö ɛ i,j 3º Ë Ñ ØÙÒ Ö ÒØ Ö Ö ØØ Ø ÓÖ Ñ Ø Ø ÓÑ Ú Ö Ò ÓÐÓÑ Ð Ò Ð a GL 3 Ú Ð Ò Ó Ú Ö ÐØ Ú Ò Ú Ö δ = 5º ØØ ÑÓØ Ú Ö Ö Ó Ø Ð ÓÒ ØÖÙ Ö z ÙØ Ö ÒÒ Ø ÓÖ Òº Ø ÒÒ Ø Ñ Ò ÙÐ ÑØ Ö ÓÒ ØÖÙ Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ô Ñ Ò Ì ÓÖ Ñ ¾º Ö Ó ÖÙÒÒ Ø Ð ØØ Ö Ñ ØÓ Ö ÓÖ ÒÒ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö ÓÖØ ÓÑ ÑÓ Ð º ËÓÑ Ò ÑÒØ ÒÒ Ø Ø Ò Ø ÓÖ ÓÑ Ø ÓÖ Ò Ú Ö σ Z ÒÒ Ø Ø Ò ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ñ σ Ñ Ö Ö Ó Ñ Ð Ò G(σ) σ 2 Ó ÐÐ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö ÓÖØ Ö ÒÒ ØØ Ú ÖØ ÐÐ ÒÖ ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Öº ÌÓ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ö ÓÑ Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ñ Ð Ò ÒÖÐ Ò Ú σ 2 Ö ÊÙÞ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò ¾¼ Ó Ó ¹ ÓÛÐ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò Ó Ö Ð ØØ ÖÙ Ø Ø Ö Ú Ñ ØÖ ÓÑ ÒÓÐ ÓÖ ÓÒ ØÖÙ Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö ÓÔÔ Ø Ð ¼¼¼ Ñ Ö Ö Ó Ñ Ð Ò ÓÖØ Ö ÒÒ σ 2 º Ú Ð Ö ÓÖ ÙÒÒ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö ÓÑ Ö ÒÖ ÓÔØ Ñ Ð Ó Ò Ú Ö ÙØ ØØ Ö ÓÖØ Ð Ò Ð Ö ÓÑ ÑÓ Ð Ú Ð ÖÙ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò Ñ ÓÔÔ Ú º ÊÙÞ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò Ö Ö Ô Ð Ý ÓÒ ÖÙ Ò Ò a i i ÑÓ (p 1);a i g i ÑÓ (p), Ö p Ö Ø ÔÖ ÑØ Ð Ó g Ö Ø ÔÖ Ñ Ø Ú ÖÓØ ÑÓ ÙÐÓ p Ó i = {1,2,,p 1}º ØØ Ö Ð Ý Ò a i = [pi+(p 1)g i ]ÑÓ (p(p 1)) ÓÔÔ Ø Ð Ò ÓÒ ÖÙ Ò º Ê ÙÐØ Ø Ø Ð Ö Ò ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ñ p 1 Ñ Ö Ö a i Ó Ø Ò Ø Ú Ø Ò Ö ÑÓ ÙÐÓ p(p 1) ¾¾

Ð ÓÖ Ø Ñ ¾ ÓÒ ØÖÙ ÖËÝ Ð Ä Ôµ ÊÙÞ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ ½ s p 1 ¾ c p g ÔÖ Ñ Ø ÚØ ÖÓØ ÑÓ ÙÐÓ p d (p 1)g b p(p 1) z 0 ÓÖ ¼ ØÓ ¹½ Ó a i (c+d)(ñó b) c c+p ½¼ d (d g)(ñó b) ½½ Ò ÓÖ ½¾ ÓÖØ Ö aµ ½ Ö Ù Ö aµ ½ Ö ØÙÖÒ a Ó ¹ ÓÛÐ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò Ö Ö Ô Ú ÐÙ Ö Ò Ú ÐÓ Ð GF(p) ÓÖ p ÔÖ ÑØ Ðº Ä p Ú Ö Ø ÔÖ ÑØ Ð Ó θ Ú Ö Ø ÔÖ Ñ Ø ÚØ Ð Ñ ÒØ GF(p 2 )º Ö p ÐØ Ð a 1,a 2,...,a p = α : 1 α < p 2 &θ α θ GF(p) Ô ÖÚ Ø Ø Ò Ø Ú Ø Ò Ö ÑÓ ÙÐÓ p 2 1º Ò Ð Ò Ô Ó ÒÒ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò Ö Ø ÐÐ a i Ú ÖØ ÒÒ Ø Ò Ö ÝÐ ØØ Ö ØÓÖÐ Ó ØÖ Ò Ø Ö ÓÖ ÓÖØ Ö Ø ÓÑ Ö Ø Ð ÐÐ Ø Ñ Ñ ÊÙÞ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Òº Ø Ö Ð ØØ Ø maxa p < p 2 1 ÓÖ a ÒÓÖÑ Ð ÖØ Ø Ð a 1 = 0º Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ ØÖÙ ÖËÝ Ð Ä Ôµ Ó ¹ ÓÛÐ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ f ÖÖ Ù ÐØ Ð Ñ ÒØ GF(p) Ú ÓÖ Ò ¾ ζ θ ÔÖ Ñ Ø ÚØ Ð Ñ ÒØ GF(p) Ú ÓÖ Ò ½ ÓÖ n = 1 ØÓp 2 Ó ζ θ GF(p) Ø Ò z[i] n i++ Ò ζ ζ θ(ñó f) Ò ÓÖ Ö ØÙÖÒ z Î ÐÔ Ú ØÓ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò Ò Ú ÒÒ z Ú ØÓÖ Ö ÓÑ Ø Ð Ö Ø ÐÐ Ö Ö Ú Ø Ì ÓÖ Ñ º½º Ë Ö Ú Ô Ð Ò Ò ½ µ Ó Ì ÓÖ Ñ º Ú Ð Ø Ú Ö Ò ØÙÖÐ Ð z = (1,a) T ÓÖ a ÐØ Ú Ò Ö z i = a i 1 ; 1 < i s z 1 = 1 Ó z Ú Ð s = σ +1 Ñ Ò ÓÒ Öº ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö ÙÒ ÓÖ Ú ÖØ ÔÖ ÑØ Ð pº ØØ Ö Ø Ø Ð Ö ÒÓ Ö ÓÐ Ñ ÐÐÓÑ Ð Ò Ð Ò ÓÒ ØÖÙ ÖØ Ô ÒÒ ÑØ Òº ÓÐ Ò ÝÐÐ Ø ÙØ ¾

Ú ØÖÙÒ Ö zº Î Ö Ñ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ÓÖ ÓÖÐ Ò Ú Ð ØÖÙÒ Ö z Ñ Ò ÙØ Ö ÝÒ Ø ÓÑ ÓÖØ z ÓÑ ÑÓ Ð Ú Ð Ø Ú Ö Ò ØÙÖÐ ÖÒ z s ÓÖ ÒÒ Ò ÒÝ z Ú Ñ Ò ÓÒ s 1º ØØ Ú Ð Ú Ö Ò ÐÓ Ø Ñ ÝÖ Ø ÓÒ ØÖÙ Ö ÐØ Ú Ò Ö a = (a 1,a 2,...,a σ 1,a σ ) T ÓÖ ÓÖ ÓÖØ º ØØ Ö Ú Ú ÖÒ ÒØ Ò a σ ÐÐ Ö a 1 Ö Ò ÒÒ Ö zº Å Ò ÓÖ Ý Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ú Ð ØÓ ÓÔ Ö ÓÒ Ò ÒÒ Ø ÒØ ØØ Ú ÒÝ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ó Ú ØÖ Ò ÖÖ ÒÝØØ Ò Ú º Ø ÐØ ÖÒ Ø Ú Ø Ð ØØ ÓÑ Ô Ö Ñ ÒØ ÐØ Ö Ú Ø Ú Ö Ð Ö ÓÑ ØÖ Ö Ð ÝÖ Ø ØÖÙÒ Ö Ò Ú Ö Ø ÓÖØ z 1 = 1º ØØ Ú Ð Ú Ö Ò ÐÓ Ø Ñ Ð z = a Ó Ú Ð Ò Ð Ø Ô ÒÒ ÑØ Ò Ö ÒÓ Úº ÖÙÒÒ Ò Ø Ð Ø ØØ Ò Ú Ö ÒØ Ö ÒØ Ö Ú Ö Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º Ö ÓÑ Ò Ó N = z i ±1 ÒÒ Ø ÓÑ Ö Ö δ 5 Ò Ú Ú Ò ÔÖÓ Ò Ð Ö ÔÖÓÚ Ø ÓÖ Ø ÓÖ Ñ Ø ÒÒ Ò z = (1,z 2,...,z s )T Ñ Ú Ú Ð Ò Ð ÓÑ zº Á Ø Ð ÐÐ Ö Ú Ö ÙÒÒ Ò Ó N Ó Ú Ò ÒÒ Ò (1,z 2,...,z s )T Ú Ò ÔÖÓ Ò Ò Ú Ð Ú Ð Ö Ò Ñ ÒÒ Ò z = (1,z 2,...,z s) = cz(ñó N), c Z ¾ µ Ö z i 0 1 i s ÓÖ Ø Ó Ø Ú Ð Ú c Ó N Ó ÓÑ Ó Ò Ö Ö Ö Λº Å Ò Ö ÐØ ÖÒ Ø Ú ÒÒ Ø Ø ÐÐ Ø Ð Ñ Ò Ô ÖÙÒÒ Ú Ú Ö Ò Ø Ô ÓÔÔ Ú Ö Ú ÐØ ÖÙ ÖÖ ØÓ Ñ ØÓ Ò º ØÓ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ú Ð Ó ÒÓ Ó ÓÖ Ú Ð Ø Ú z Ð Ò Ò ¾ µº Ö ÓÑ Î Ú Ð Ð z = (1,a) T Ú Ð Ú z = (0,1,...,1) T Ð Ø z 1 = 1 ÓÖ ÐÐ z ÒÒ Ú z+c zº Ö ÓÑ Ú Ð Ø z = a Ú Ð Ú z = (1,...,1) T º Ì Ð Ñ Ò Ö Ú ÖÑ Ö ÙÐ Ñ ØÓ Ö ÓÖ ÒÒ zº Å ØÓ Ò Ö½ Ó Ö¾ Ú Ð Ö ØØ Ö Ú Ö ÖØ Ô ÒÒ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö a Ú ÐÔ Ú ÊÙÞ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ó Ú Ú Ø Ð z = (1,a) T Ó z = aº Ì Ð Ú Ö Ò Ö Ú ØÓ Ñ ØÓ Ö Ö ØØ Ö ÐÐ ½ Ó ¾ ÓÑ Ö ÖØ Ô ÓÒ ØÖÙ Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ú Ó ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ó Ñ Ø Ð Ú Ö Ò z Ú ØÓÖ Öº ÊÙÞ Ó Ó ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö ÓÑ Ö ÔÐ ØØ Ý Ð º ËÓÑ Ò ÑÒØ ÒÒÐ Ò Ò Ú ÖÙ ØØ ÓÖ ÙØÚ ÖÓÑ Ø ØØ Ö Ó Ð ØØ Ö Ð Öº Ö ÓÑ Ú Ö Ò σ Ñ Ò ÓÒ Ð a Ý Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð GL 3 ÒÓÖÑ Ð ÖØ Ð Ø a 1 = 0 Ò Ú Ú ÐÔ Ú ÑÓ ÙÐÖ ØÖ Ò Ð ÓÒ ÓÑ Ð Ö ¾¾µ ÒÒ σ ÒÝ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Öº Î Öa = (a 1,a 2,...,a σ ) T ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ñ Ø Ò Ø Ú Ø Ò Ö ÑÓ ÙÐÓbº Ä c = b a σ º Ë Ø a = (a 1 +c,a 2 +c,...,a σ 1 +c,a σ +c)(ñó b) a = (a 1 +c,a 2 +c,...,a σ 1 +c,b)(ñó b). ÇÑ Ú ÓÖØ Ö Ö ÐÐ a i Ø Ò Ö ÝÐ Ö Ú a = (0,a 1 +c,a 2 +c,...,a σ 1 +c) ÓÑ Ö Ò ÒÝ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ñ Ø Ò Ø Ú Ø Ò Ö ÑÓ ÙÐÓ bº Ö ÓÑ Ú ÙØ Ö ÒÒ ÓÔ Ö ÓÒ Ò σ 1 ÓÒ Ö Ö Ú σ ÙÐ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ñ Ö Ò Ò ÝÖ Ø aº Ò Ø Ú ØØ Ø Ú Ò ÐØ Ò Ð ÓÔÔ Ø Ö Ñ Ò Ö ØÖ Ö ÒÓ Ó ÓÑ ÐÚ Ð Ø Ð Ö ØØ ÓÖ Ô Ö ÐÐ ÐÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò º Î Ð Ú ÐÙ Ö Ò Ú Ú Ö z ÒÒ ÙØ Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ò Ð ÙØ ÖØ ÓÑ Ò ØÖ Ú Ö Ô Ö ÐÐ Ðغ ¾

º Ð ÓÖ ØÑ ÓÖ ØØ Ö Ð ØØ Ö Ð Ì Ð ÐÙØØ Ú Ð Ú Ø Ñ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ø ØÄ ØØ Ö Ð p,s,n min,n max µº ÒÒ Ø Ö ÐØ Ð p,s,n min,n max ÓÑ ÒÔÙØ Ö p Ö Ø ÔÖ ÑØ Ð Ó ÓÖ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÓÖ ÒÒ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö s Ö Ñ Ò ÓÒ ÓÖ Ð ØØ Ö Ð Ò Ú Ú Ð ÙÒ Ö Ó N min Ó N max Ö Ñ Ò ÑÙÑ Ó Ñ ÑÙÑÚ Ö Ö ÓÖ Nº Î Ñ Ö Ø Ö Ú Ø Ð s ÓÑ Ø Ò Ò Ú Ö Ö ÒÒ Ò s max Ú Ò Ú ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ñ ØÓ Ò ÓÖ zº Ð ÓÖ ØÑ Ò ÙÒ Ö Ö Ò ÓÖÑ Ö ÖÙ Ø ÓÖ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ö½º Ð ÓÖ Ø Ñ ÒÒÄ ØØ Ö Ð p,s,n min,n max µ ½ ˆδ 5 ¾ a ÓÒ ØÖÙ ÖËÝ Ð Ä pµ N god N max b p(p 1) ÓÖ k = 1 ØÓ s Ó z = (1,a 1,...,a s 1 ) T q, q ÒÒq zµ m qºð Ò Ø q = q+ qc Ð Ø q i 0 1 i m ½¼ ÓÖ l = q s ØÓ l = N god 1 Ó ½½ ÓÖ N = min(n min,q s +2) ØÓ max(n god,4q s 2) Ó ½¾ q i ÑÓ N 0 1 i m Ø Ò ½ N god N ½ z god (q 1,...,q s ) ½ Ò ½ Ò ÓÖ ½ q q+ q ½ Ò ÓÖ ½ c b a σ ¾¼ a (a 1 +c,...,a σ +c)(ñó b) ¾½ ÓÖØ Ö Ð Ñ ÒØ zµ ¾¾ Ò ÓÖ ¾ Ö ØÙÖÒ z god,n god ÄÓÓÔ Ò Ð Ò Ø Ð ¾ Ö ÙÒ Ñ Ò Ò Ö ÓÑ Ú Ö ÒÝØØ Ò ÔÐ ØØ Ý Ð ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ú ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Öº Ö ÓÑ Ú ÖÙ Ö Ò Ò Ö ÐÐ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ú Ð ÖÐ Ú ÓÑ Ò Ö Ý Ð ÐÐ Ö Ú Ð Ú Ö Ø ØØ Ð ÐÓÓÔ Ò Ñ Ó Ò Ð Ò ½¼ Ø Ð ¾½º Ò Ø Ú Ø Ú Ð Ö Ö h z Ò Ú ØÓÖ q Ö Ø ØØ Ò Ö Ø Ð Ø z = (q 1,...,q s ) T s ÝÖ Ø Ð Ñ ÒØ qº ØØ Ö Ú Ð ØØ ÙØ Ö Ø ÒÖ h 1 = 1 Ú Ð h i = e i 1 i s Ö e Ö ÒÓÒ Ò Ò Ú ØÓÖ Ó Ú Ú Ð Ø q i = h i z = z i º ØØ Ö Ú ÙØÒÝØØ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÓÚ Ö ÓÖ Ð ÔÔ ÓÒ ØÖÙ Ö ÐÐ z Ò Ö ÖØ Ú ÓÒ Ñ zº Ú Ø Ð Ú Ö Ò Ö ÙÑ ÒØ ÓÒ Ò Ú Ø z = ( q 1,..., q s ) T º Ö ÓÖ Ò Ú Ð Ò ½ Ð z god = (q 1,...,q s ) T º Î Ö Ö ØØ ÚÖ Ö Ò ÓÖ N Ô 4q s 2 = 4z s 2º ÓÖ ØØ Ú Ð Ú ÝÖ Ø ¾

ÒØ Ø q i = h i z 0 h i 1 4º ÃÖ Ú Ø Ú ÖØ Ø cn q i, c Z Ó ÓÖ ÒÒ Ò N ÓÑ Ö ÒØ ÖØ ÓÔÔ ÝÐÐ Ö ØØ Ö Ú Ø ØÖ Ò Ú ÖÖ Ú Ð Ò N ÓÑ Ð Ñ ÐÐÓÑ ØÓ Ø Ö Ø Ð Ñ ÒØ q Ó Ö N > max(q i )/2º Ö ÓÑ Ú Ð Ø ÐÐ Ð Ñ ÒØ q Ú Ö ÓÖØ ÖØ Ð Ø q i q i 1 Ö Ú Ø Ø Ø Ö Ø Ð Ñ ÒØ Ø Ö q m = 4z s Ó Ø Ò Ø Ø Ö Ø Ð Ñ ÒØ Ø Ö q m 1 = 3z s +z s 1 º Ö Ò Ò q m q m 1 Ð Ö 4z s 3z s z s 1 = z s z s 1 = ɛ s,s 1 3. ÍØ Ö ØØ Ö Ú Ø ÓÑ Ú Ú Ð Ö ÒØ Ö q m 1 < N < q m Ò Ú Ú Ð N = q m 2 = 4z s 2. ¾ µ Ò ÑÒ ÓÚ Ö Ø Ð ÓÖ ØÑ Ò Ö Ø ÐÔ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò Ö½ Ñ Ò ÓÑ Ú ÖÙ Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò ½ Ö¾ ÐÐ Ö ¾ Ú Ð Ú ÒÓ Ö Ò Ö Ò Öº ÝÖ Ø Ó Ö Ñ Ø Ö Ú ÓÖ ½ Ó ¾ Ø Ò Ò Ö Ö Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö ÑÓ ÙÐÓ p 2 1 Ö Ú Ð Ò b = p 2 1º Î Ö ÓÖ Ö½ Ó ½ Ö Ø ÙØ Ö Ì ÓÖ Ñ ¾º Ò ØÙÖ Ú Ð Ò Ö Ö Ò ÓÖ N q s +2º ÓÖ Ö¾ Ó ¾ Ú Ð Ò Ö Ö Ò ÓÖ N Ð Ò Ö Ø Ð N z 1 +1º ØØ Ö Ú ÙØ Ö ÖÙÒÒ Ú Ò ÓÚ Ö ÓÖ ÖÙ Ö¾ Ó ¾ ÓÑ Ò ØØÓÔÔ Ö ÓÖ Ú Ö Ú Ð ÙÒÒ ÒÒ Ò N = z i ±1º Ö ÓÑ Ú Ö ÝÖØ Ø ÓÖ Ò Ú ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò Ö Ú ÙÒÒ Ò N god º ÒÒ Ò Ú Ú Ö ÖÙ ÓÑ ÚÖ Ö Ò ÓÖ Ú Ö Ñ ØÖ Ò Ö Ñ ØÓ Ò ÓÖ ÙÒÒ ÒÒ Ö Ò ÓÑÖ Øº Ö ÒÒ ÓÔÔ Ú ÖÙ Ø Ñ ØÓ Ö½ ÓÑ ÝÖ Ø º Ò ÒÒ Ò ÑØ Ú Ö Ò Ø Ô ÔÖ Ò ÙØ Ö Ø ÓÐÓÑ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò Ú Ö ÖÙ Ø ÒÒ Ö ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö ÓÖ Ú ÖØ ÔÖ ÑØ Ð p Ó Ñ Ø Ð Ô Ñ Ö Ö Ú Ò Ú ØØ º Î Ú Ð ÒÓ Ô Ø Ð ÐÐ Ø ÓÖ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò Ö½ Ñ Ò Ö ÙÑ ÒØ ÓÒ Ò Ú Ð Ú Ö Ø Ð Ú Ö Ò ÓÖ ØÖ Ò Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò º Ä p i Ó p i 1 Ú Ö ØÓ ÔÖ ÑØ Ð Ö p i 1 < p i,p i p i 1 = ρ Ó Ò Ò ÔÖ ÑØ Ð Ð Ñ ÐÐÓѺ ÓÖ p i Ó p i 1 ÓÒ ØÖÙ Ö Ö Ú ØÓ ÐØ Ú Ò Ö a i Ó a i 1 Ñ Ð Ò σ i = p i 2 Ó σ i 1 = p i 1 1º Ú Ø Ò Ò Ñ ÐÐÓÑ ÐØ Ú Ò Ò Ú Ð Ó Ú Ö Ð ρº ÓÖ ÒÒ Ò ÐØ Ú Ò a 1 i Ñ σ i 1 Ð Ñ ÒØ Ò Ú ØÖÙÒ Ö a i Ó Ø a 1 i = (a 1,a 2,...,a σ 1 ) T º ÒÒ ÔÖÓ Ò Ò Ú ÒØ ÒÒØ Ð Ú Ö ÐÐ ÐØ Ú Ò Ö a j i ;1 j ρ 1º ÍØ Ö Ì ÓÖ Ñ º¾ Ú Ð Ú ÓÖ ÐØ Ú Ò Ò a j ÓÒ ØÖÙ ÖØ Ô ÒÒ ÑØ Ò Ø Ö δ j δ i º ØØ Ò N Ö Ú Ø Ò z j = (1,a j i )T Ö a j i = (a 1,...,a σ j ) T Ú Ð Ñ Ö ÐÐ Ö ØÖ ÒÒ Ò z i Ò Ö ÖØ Ú a i = (a 1,...,a σ )º À Ö Ú ÙÒÒ Ø N i ÓÖ z i Ú Ð Ö ÓÖ ÒÒ N i ÙÒÒ ÖÙ Ø ÓÑ ÚÖ Ö Ò ÙØÖ Ò Ò Ò ÓÖ z i 1 Ó Ñ Ò N i º ÍØ Ö Ø Ñ Ø ÓÖ Ñ Ø Ö Ú Ò Ö Ö Ò ÓÖ N i Ð N i 1 º ØØ Ò Ú Ó ÙØÒÝØØ ØØ Ö ÙÒÒ Ò Ó N i º ÓÖ ÒÒ Ò Ö Ö Ò ÓÖ N ÓÖ ÐÐ z ÓÒ ØÖÙ ÖØ ÙØ Ö Ò Ñ ÐØ Ú Ò Ò ÓÑ z i Ú Ð Ú Ú ÐÙ Ö z i ρ+1 º N i ρ+1 Ú Ð ÒÓ Ú Ö Ò Ö Ö Ò ÓÖ ÐÐ N j,i ρ+1 < j < iº ¾

º ÃÓÑÔÐ Ø Ø ÀÓÚÙ ØÝÒ Ú ÙØÖ Ò Ò Ò Ð Ð ÓÖ ØÑ º Ð ÓÖ ØÑ ½ Ö Ó Ö Ú Ò Ñ Ò Ò Ú ÖØ ÙØ ÖØ ÙÒ Ò ÓÒ ÓÖ Ú Ö z Ø Ø Ó Ú ÖØ ÖÑ ÙØ ÖØ ØÓØ ÐØ s ÓÒ Öº Ä Ú Ð Ö Ø ÒÝØØ Ô Ú ÓÑ Ö Öº Ö ÐÐ Ö Ø Ø Ò Ú Ø Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ö Ö ÒÒ ÐÐ h Ö h 1 < ˆδº ÓÖ ÙÒÒ ÒÒ ÓÑÔÐ Ø Ø Ò Ø Ð ÙØÖ Ò Ò Ò Ö Ø Ö ÓÖ Ò ÐÐØ Ú Ø ÓÖ Ñ Ò ÙÐ h Ú ØÖ Ò Ö Ò Ùغ ØØ Ö Ð Ø Ø Ð Ø Ô ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÑÓÒÓÑ Ú Ö Ñ Ò Ö ÒÒ 5 Ó Ú ÒÝØØ Ö Ø Ö ÙÐØ Ø Ú Ø ½ º Ë Ö Ú ÙÒ Ô h Ö h 1 = d Ö Ú τ(s,d) = min s,d i=1 ( s i )( d 1 i 1 ÙÐ hº Î Ö Ö ÖÙ Ø ÓÒÚ Ò ÓÒ Ò ( ) a = 0 ÓÖ b > a b Ó ( a 0 ) = 1. Î Ò Ö Ö Ó τ(s,0) = 1º Î Ú Ð Ö Ö Ó Ö Ò Ñ Ø s > d Ó Ú Ö Ø ÐÐ ÙÒ ÒØ Ö ÖØ d δ 1 = 4º ÇÑ Ú Ö Ô ÐÐ h Ö h 1 < ˆδ Ö Ú Ø ØÓØ Ð Ø Ð Ø Ô ÙÐ h Ò ÐÙ ÖØ h = 0 Ð t(s,ˆδ) = ˆδ 1 ˆδ 1 ˆδ j=0 ( = 2 i s i j=0 i=0 ˆδ 1 ( = 2 i s i i=0 ) ˆδ 1 j=0 τ(s,j) )( j 1 i 1 ( k 1 i 1 Î ÒÝØØ È Ð Ö Ð Ô Ø ÙÑÑ ÓÒ Ò Ö Ú Ø ˆδ 1 ( t(s,ˆδ) = 2 i s i i=0 )( ˆδ 1 i ) 2 i ) ) ). ¾ µ Á ÚÖ ÙØÖ Ò Ò Ö Ö Ú ÓÖØ Ö ØÓ ØÝÔ Ö h Ú ØÓÖ Öº Ö ÓÑ h = 0 Ö Ú ØÖ Ú ÐÐ Ð Ý Ò ÓÖ ½¾µ Ó ØØ Ö ÐÐØ Ø Ð Ö Ø ÐÐغ ÐÐ Ú ØÓÖ Ö Ú ØÝÔ Ò h = h Ö {h,h} Λ ÓÖ Ú Ð ÒØ Ö ÙÐØ Ø ÓÖ ½ µº È ÖÙÒÒ Ú ÝÑÑ ØÖ Ð ØØ Ø Ú Ð Ú ÓÖ Ò ¾

Ú Ö h 0 Ò h = h Ó Ú Ò Ö ÓÖ ÓÖØ Ö ÐÚÔ ÖØ Òº Î Ú Ð Ö ÓÖ ÑØØ Ø Ñ Ñ Ñ ÐØ m = t(s,ˆδ 1) 1 2 ˆδ 1 ( = 2 i 1 s i i=1 )( ˆδ 1 i ÙÐ hº ÓÖ Ò Ò Ö ÐÐ ˆδ Ú Ð Ú m = O(sˆδ 1 ) ÓÑ Ö Ø Ú ÓÖ ˆδ = 5 Ö m = O(s 4 ) Ó Ú Ö Ú ÐÙ Ö Ò Ö q Ð ÓÖ ØÑ ÒÒ Ö Ò Ö ÓÖ Ö Ú O(s 4 ) ÓÔ Ö ÓÒ Öº ØØ ÙØØÖÝ Ø Ö Ò ÐØ ÓÖ Ø ÖÙ Ò Ø Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ó ÓÖ Ö Ú Ø Ð Ð Ö Ò ÔÐ º Ú Ð ÝÖ Ø Ô Ñ ÒÒ ÖÙ Ò Ø Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Øº Á Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú ÖØ Ø ÓÑ Ò ÑÒ Ð Ö ØÓ ØÓÖ Ú ØÓÖ Ö q Ó q Ö Ú Ð Ú Ö Ú Ð Ò mº È ÖÙÒÒ Ú Ø Ú ÖØ ÓÚ Ö Ö ÚÒ ÔÖÓ Ò ÓÖ Ú Ö ÒÝ z Ú ØÓÖ Ú ÖØ Ò ØÓØ Ð Ð Ö Ò ÔÐ Ò 2mº ÓÖ Ñ Ò ÓÒ Ö s 100 Ú Ð ØØ Ú Ö Ó Ø ÒÒ Ò ÓÖ Ø ÑÓ ÖÒ Ø Ñ Ò Ö Ò Ø Ð º Ö ÓÑ Ú Ö ÑÓØ ÙÐÐ Ð Ö ÐÐ h Ñ ØÖ H ÓÑ Ð Ö Ð ÓÖ ØÑ ½ Ú Ð Ð Ö Ò ÔÐ Ò Ð O(s 5 )º Î Ø Ö Ú ÖØ Ø Ø Ò Ò Ö Ù Ö Ø ÖÙ Òº À Ö Ó Ö ÙØØÖÝ Ø ¾ µ Ú Ø Ó Ñ Ø (h z)ñó N Ú ÖØ Ø Ø m ÓÒ Ö ÓÖ Ú Ö Nº Ë Ò ÙØÖ Ò Ò Ò Ú ÖØ ÙØ ÖØ ÓÑ qñó N ØÖ Ò Ú Ø m ÓÔ Ö ÓÒ Ö ÓÖ Ú Ö N Î ÓÑ Ð Ö Ð ÓÖ ØÑ ½ Ð Ö Ú ØÓÖ Ò q Ó q ØÖ Ò Ú ÙÒ Ö Ò ÙØ q+ q ÓÖ ÓÔÔ Ø Ö qº ØØ Ø m ÓÔ Ö ÓÒ Ö ÓÖ Ú Ö t Ð ÓÖ ØÑ Ñ Ò Ò ØØ ÒÒ Ö Ò Ò Ö ÐÓÓÔ Ò Ö ØØ Ñ Ò Ö ÓÖ Ø ÖÙ Òº Î Ö Ö Ø Ò Ú Ò Ú Ø ÓÖ Ñ Ò N ÓÑ ØÓØ ÐØ ØØ Ú ÖØ Ú ÐÙ Öغ Á Ú Ö Ø ÑÓ Ð Ø Ð ÐÐ Ö Ú Ø Ø N = N max º Ö Ì ÓÖ Ñ º Ö Ú Ø Ò ÓÐÓÑ Ð Ò Ð a GL 3 Ú Ð Ò σ Ö ÒØ ÖØ Ö ÐØ Ú Ò Ú Ö δ Ö ÓÑ 2a 1 a σ > δ 1º Ò z ÓÒ ØÖÙ ÖØ Ö Ò Ð ÐØ Ú Ò Ú Ð ÓÖ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ö½ Ó ½ Ñ Ò ÓÒ s = σ +1 Ó ÓÖ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ö¾ Ó ¾ Ú Ð Ò Ñ Ò ÓÒ s = σº Ö ÓÑ a Ö ÒÒ Ú ÓÖ ÙÚ Ò a Ö a 1 = 0 Ñ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ø Ò c Ö Ú 2(a 1 +c) (a σ +c) 4 2c a σ c 4 c a σ +4. Ë Ò a 1 = 0 Ú Ð Ú Ö a 1 = c = a σ +4 Ó Ú Ö ) ¾ µ a σ < 2a σ +4. ¾ µ Á Ø ÐÐ Ö Ú Ó Ø ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ò a Ö ÙÐ Ð Ò ÓÖ ÙÐ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ ØØ Ø ÔÖ ÑØ Ð pº ÓÖ ÊÙÞ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò Ö Ú Ò ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ñ p 1 Ñ Ö Ö Ó Ð Ò G(p 1) p(p 1)º ÓÖ a Ñ Ñ Ò Ø Ú Ø Ò Ñ Ú ÖÒ Ø ØÓ Ñ Ö Ö Ó Ú Ö Ú Ö Ø ÐÐ Ø σ = p 3 ÒÓ Ó ÓÑ Ö Ð Ò a s G(σ) = (σ + 3)(σ + 2)º Ì Ð Ú Ö Ò Ö ÙÑ ÒØ ÓÖ Ó ÓÒ ØÖÙ ÓÒ ÓÑ ÒÒ Ö Ò ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ñ p Ñ Ö Ö Ó Ð Ò p 2 1 Ö Ú Ø a Ö Ð Ò a s σ2 4σ 1º Î Ö Ú Ð ÙÒ Ô ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ñ ØÓ Ò Ö½ Ó Ñ Ø Ö ÖÙ Ø ÒÒ ÓÑ ÖÙÒÒÐ ÓÖ ÝÖ Ø º ÓÖ ØÖ Ò Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò Ö ÖÙ Ø Ö ÙÐØ Ø Ö ¾

ÒÒ ÓÑ ÚÖ Ö Ò Ó Ú Ð Ö ÓÖ ÒÓÖÑ ÐØ ÝÐ Ø Ñ Ò Ø Ö Ø Ú Ö Öº Î Ö ÓÑ Ò ÓÖ Ö½ Ø s = σ + 1º È ÖÙÒÒ Ú Ø Ø Ò Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ Ö Ú Ø z = (q 1,...,q s ) t Ö ÒØ ÖØ ÒÒ Ö Ò Ð ØØ Ö Ð Ú Ö δ 5 ÓÖ Ò ÐÐ Ö ÒÒ Ò Nº ØØ Ð ÐÐ ÐÐ ÒÖ z s = 2a σ +4 = 2(s+2)(s+1)+4 z s = 2s 2 +6s+8. Ö ¾ µ Ö Ú Ø N max = 4z s 2 Ó ÓÖ Ö½ Ö Ú N min (z s ) = z s +2º ÓÖ ØØ Ú Ö Ø ÐÐ Ø Ð ÐÐ Ø Ö Ú Ð Ø N min ÓÖ z s = 2s 2 +6s+8 ÓÑ Ö N min = 2s 2 +6s+10. Ð ÓÖ ØÑ Ò Ö ÒÒØ Ð N min (z s ) = N max Ó Ú Ð Ø z s Ö z s = 2s 2 + 6s + 8 Ø Ð z s = N max 2º Î Ö Ø N max = 4z s 2 = 8s 2 +24s+30 Ö ÓÑ Ø N = N max Ö ØØ Ó Ø ÙØØÖÝ ÓÖ Ú Ö Ø ÑÓ Ð Ø Ð Ô N Ú Ñ Ú ÐÙ Ö ØØ Ñ Ò ÓÒ s Ó ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ö½º (N max N min )(N max 2 (2s 2 +6s+8)) 2 = 36s4 +216s 3 +564s 2 +720s+400 = O(s 4 ) 2 º Î Ú Ð Ø Ø Ð Ú Ö Ò Ø Ð ÓÖ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò Ö¾ ½ Ó ¾º Ë Ò Ú ÓÖ Ú Ö N Ø Ø Ö q(ñó N) Ö Ú Ñ ØØ O(s 4 ) O(s 4 ) = O(s 8 ) ÓÔ Ö ÓÒ Öº Ì Ð ÐÙØØ Ó ÖÚ Ö Ö Ú Ø Ú Ó Ñ Ø Ú Ö ÖÙ Ø ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ö ÓÑ Ö Ý Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö Ó Ö ÓÖ Ú ÓÖ Ò s ÙÐ ÓÐÓÑ Ð Ò Ð Ö ÓÖ Ú Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒº ØØ Ö Ó Ø Ú Ú Ö Ø ÐÐ Ú Ð ÑØØ ÙØ Ö ØÓØ ÐØ O(s 9 ) ÓÔ Ö ÓÒ Öº ØØ Ö Ø Ú Ö Ø ÑÓ Ð ³ Ø Ñ Ø Ó Ö Ö Ô Ø Ú ÒÒ Ò Ø N ÓÑ Ò Ø Ú ÙÒ Ö Öº Á Ø ÐÐ Ñ Ú Ó Ø ÓÖ ÐÐ N Ú Ú ÐÙ Ö Ö Ñ Ø Ú Ö Ò Ø q i Ö Ð ÓÖ ØÑ ÓÑ Ö Ø Ø Ø Ò Ð Öº Î Ú Ð Ö ÓÖ ÙÒÒ ÓÖÚ ÒØ Ø ÝÖ Ø ÓÑ Ö Ð Ö ÒÒ ØØ º Ø Ö Ð Ú Ð ØÖ ÒÒ Ø Ú Ú ÐÐ ÓÖÚ ÒØ Ú ÒÝØØ Ñ ØÓ Ò Ð Ö Ð ÓÖ ØÑ ½º ÇÑ Ú ÙÐÐ Ð ÙÐ Ö ½ µ Ö Ø ÓÖ Ú Ö N Ó ÐÐ h Ú ÐÐ Ú ØØ ÝÖ Ø Ô ÓÖ Ò O(s 1 0) Ø Ò ÓÖ O(s 9 )º ¾

Ô Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ö ÙÐØ Ø º½ Ê ÙÐØ Ø ÓÖ Ð ØØ Ö Ð Ö Ú Ñ Ò ÓÒs 10 ÓÖ ÙØÚ Ö δ = 5 Ö ÓÔØ Ñ Ð Ð ØØ Ö Ð Ò Ú Ö Ò ½ ÐÐ Ö Ð ØØ ÙØÖ Ò ¾ Ó Ú Ò ÖÙ ÓÑ Ñ ÒÐ Ò Ò ÖÙÒÒÐ º Ë Ø ÓÖ s = 10 ØÓ ¾ º Ø Ñ Ö ÒÓ Ó ÓÑ Ó ØÝ Ð Ú Ö Ø ÙØ ÓÚ Ö s = 10 Ñ ÙÐÐ Ø Ò Ö Ú Ò º ËÓÑ Ú Ö Ú Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ö Ö Ú ÓÖ s = 10 ØÓØ Ð ÝÖ Ø Ô 19.35 ÙÒ ÓÑ Ö Ð Ò Ø ØÖ ÒÒ ÓÖ Ø ÙÐÐ Ø Ò º ÓÖ Ñ Ò ÓÒ s > 10 Ò Ú ÖÙ Ø Ö ÙÐØ Ø ØØ Ú ÓÓÐ Ó ËÐÓ Ò ÓÑ Ö Ø ÝÑÔØÓØ Ò Ö Ö Ò ÓÖ N Ö N N ME = 2(s+1/2) 2 +1/2 ÓÖ Ö δ = 5º ÈÍ Ø ÓÔÔ ØØ Ö Ö Ò ÑÐ Ø ÖÙ Ø Ô Ú ÐÙ Ö z ÒÒ Ú ÐÐ ÙÐ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò Ö ÒÝØØ Ó Ö Ö ÓÖ Ø Ð Ø Ú ÓÖ Ó Ø ÙÖ Ø Ñ ØÓ Ò ÖÙ Ø ØØ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÙÒ Ö Öº ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò ÔÖ Ø Ö ÖÙ Ø Ñ ØØ ÔÖÓ Ö Ñ Ö Â Ú ÓÑÔ Ð ÖØ Ñ Ð Ô ÓÑÔ Ð Ö ¼º Ó ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ú ÖØ ÝÖØ Ô Ø Ñ Ò Ñ ¾ ÖÒ Ö Ô ¾º¼¼ ÀÞ Ú Öº ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø Ö Ô Ö ÐÐ Ð ÖØ Ð Ø Ú Ö Ò Ö ÖØ ÐØ Ú Ò Ö Ô Ò ØÖ ÓÑ Ö Ó Ø ÓÖ ÐØ Ú Ò Ö Ò Ö ÖØ Ö Ò σ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÐÓÑ Ð Ò Ð a GL 3 Ú Ð Ú σ ØÖ Öº à ÝÖ Ø ÓÑ Ö Ö ÓÔÔ ØØ Ö ÑÐ ÈÍ¹Ø ÓÖ ÐÐ ØÖ Ò Ó Ò Ö ÐÐ ÝÖ Ø Ú Ö Ö ÓÖ Ò Ð ÓÖØ Ö º ÐÐ z Ö ÒÓÖÑ Ð ÖØ Ð Ø Ö 1 ÓÑ ÝÖ Ø Ð Ñ Òغ ÓÖ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò Ö½ Ó ½ ØÖ Ò Ú Ö ÒÓ Ó Ó Ñ Ø ÐÐ z = (1,a) T ÙØ Ò ÔÙÒ Ø Øº ÓÖ Ö¾ Ó ¾ Ö Ú ÖÙ Ø ÓÔ Ö ÓÒ Ò ¾ µº ¼

Ì ÐÐ ½ Ì ÐÐ ÓÚ Ö Ð ØØ Ö Ð Ö s N N ME N opt ÃÓÒ ØÖº z ÈÍ¹Ø ½ ØÖ Ú ÐÐ ½µ ¼º½½ ¾ ½ ½ ØÖ Ú ÐÐ ½ µ ¼º½ ¾ ¾ ¾ ÐÐ ½ µ ¼º½¼ ½ Ö½ ½ ½ ½ µ ¼º ¼ ½ ¾ ½ ½ ½ ¾ µ ½º ½¼ ½¼ Ö½ ½ ½¾ ½ ½µ ¾º ½ ½½ ½ ¼ ½ ½ ½ ¾¼ ¾ ½µ º ¾ ½ ½ Ö½ ½ ¾½ ¼ ¾ ½¼ µ º ¾ ½ ½ ¾¼ ¾ ½ ½ ½¼ ½½ ½¾¾µ ½¾º ½ ½¼ ¼ ¾¾½ ¾ Ö¾ ½ ¾ ¾ ½¼ ½½ ½ ½ µ ½ º ½½ ¾ ¾ ½ ¾¼ ¾ ½¾½ ½ ¼ ½ ½ ¼ ½ ¾½ ¾ ¼µ º ½¾ ½ ¾ ½ ¾ ¾ ½ ½ ½ ½ ¾¼ ¾½½ ¾ ½ ¾ ¾º ¾ ¾µ ½ ¼ ¾ ½ ¾ ¾ ½ ½½½ ½ ½ ¾¼¾ ¾¼ ¾ ½ ½¾ º ¼ ¾ µ ½ ¾ ¾½ ¾ ½ ½ ¼ ½ ¾¼ ¾½ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¼ ½ º ½ µ ½ ½ ¾ ½ ½½ ½¾ ½ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ½¼º ¼ ¼µ ½ ½½ ¾ ½ ½ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ¼ ¼ º ¾ ½¾ ¾µ ½ ½¾ ½ ¾ ½ ¾ ½¼½ ½¾¼ ½ ½ ¾ ¾ ¼ ½¼ ½ ¼ ½¾ º ¾ ¼ ¼½ ¼ ½ µ ½ ½ ¾ ½ ½ ¾ ¾¼½ ¾ ¼ ¾ ¾ ½ ¾ ½ ¼ ¾½ º ½ ¾ ¼ ¾ ¾ µ ½ ½ ½ ¾ ½ ½ ½ ½ ¼ ¾½ ¾ ¼ ¾ ¾¾ ¾ ½ º½ ¼ ½ ½¾ ¾ ¼¼ ¾¾ µ ¾¼ ½ ¼ ½ Ö¾ ½ ¼ ¼ ½ ½ ½ ½ ¾ ¼ ½ ¾ º¼ ¾¾ ¾ ½ ¾ µ ¾½ ¾¼¼ ¾ ¾ ½ ½¼ ½ ¾¼ ¾ ¾ ¾ ¾ ¼ ¼ ½ ¾ ½½ ¾¼ ½ ¼ ½ µ ½º¼ ½

Ì ÐÐ ÓÚ Ö Ð ØØ Ö Ð Ö ÓÖØ º s N N ME ÃÓÒ ØÖº z ÈÍ¹Ø ¾¾ ¾ ¼ ½¼½ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¼ ½¾ ½ ¾¾ ¼ º¾ ¼ ½¾ ¾ ¾¼ ¼ µ ¾ ¾ ½ ½½¼ Ö¾ ½ ½ ½ ¾ ½ ½ ¾¾ ¾ ½ ½¼ ¼ ½º½ ¾ ½ ¾¾ ½¼ ½¼ ¼ ½½ ½½ ½¾½ µ ¾ ¾ ½ ½¾¼½ Ö¾ ½ ½ ½ ¼ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¼ ¾ ½ º¾ ¾ ¾ ¼ ½¼¾½ ½¼ ½ ½¼ ½ ½¼ ½¼ ½½ ½½ ½ ½ µ ¾ ¾ ½ ½ ¼½ Ö¾ ½ ¾ ¾ ½ ½¼ ½ ¾ ½ ½ ¾ ½ ¾ ¼ º ¾ ¼¼ ½¾ ½ ¼ ½¼¼ ½½¾½ ½½ ½ ½ ¾ ½ ½ ½¼ ½ ¾ µ ¾ ½ ½ ¼ Ö¾ ½ ½¼ ½ ½ ¾ ½ ¾ ¾¾ º¾ ½¾ ¼ ½¼ ½½½¾ ½½ ½½ ½½ ¼ ½ ½ ½½ ½ µ ¾ ¼ ½ ½ ¾ ½ ½ ¾½ ¾ ¾ ¾ ½ ¼ ¼ ¾ º ¼ ¾ ¼ ½ ½¼ ½ ½½¾ ½½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ¼½µ ¾ ½ ½ ¾ Ö¾ ½ ¾ ½ ¾ ¾ ½ ¼ ¼ ¾½ º ¼ ½ ½¼ ½½¾½ ½½ ½¾ ½ ½½ ½ ½ ½ ¾ ½ ½ ½ ½ ¼ ½ ¾ ½ ¾ ½ µ ¾ ½ ½ ¾ ½ ¾¼ ½ ¾ ¾ ¼ ¾ ½ ¾ ¼º ½¼ ½¾¼ ½¾ ½ ½ ½ ½ ½ ¼¾ ½ ½ ¼ ½ ½ ¼ ½ µ ¼ ½ ½ ½ Ö¾ ½ ½ ¼ ½ º ½ ½ ½¾¾ ½ ¾¾ ½ ½ ½ ¾¼ ½ ½ ¾ ½ ½ ¼ ¾¼ ¼ ¾¼ ¾¼ ¾½½¼µ ½ ½ ¾ ½ ¾ ¼ ¾ ¼ ½ ½ ¾ ¼¾ º ½ ½½¼ ½½¾ ½ ¼ ½ ¾¼ ½ ¼¾ ½ ½ ½ ¾ ½ ½ ½ ¼ ½ ½ ¾ ¾½½¼ ¾½ µ ¾ ¾½½ Ö¾ ½ ¾ ¾ ½ ¾ ½ ¼ ½ ¾ ¼¼ ½º ½¼¾ ½½ ½½ ½ ½ ½½ ½ ½ ¾ ½ ½ ¾¾ ¾¼ ¾ ¾¼ ¾½ ½ ¾¾½¾ ¾¾ ¼ ¾ µ ½¼ ¾¾ Ö¾ ½ ½ ½ ¾½¾ ¼ ¾ ½ ½ ½ ¾ ¾¾º ½ ¾¼ ¼ ½¼ ¼ ½ ¾ ½ ¼ ½ ½ ½ ¼ ½ ¾ ½ ½ ½ ½ ½ ¾½½¼ ¾½ ¾ ¾¾½ ¾¾ ¾ ¾ ¼ µ ¾ ½ ¾ ½ ¾ ½½½ ½ ¾ ½½ ¼ ½½ ¼ ½½ ½¾ ¼ ½¾ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¾ ½ ½ ½ ¾ ½ ¾¼¼ ¾½ ¾¾ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ¾ ¼ ¾ ¾ µ ¼ ½º ¾ ¾

Ì ÐÐ ÓÚ Ö Ð ØØ Ö Ð Ö ÓÖØ º s N N ME ÃÓÒ ØÖº z ÈÍ¹Ø ¾ ¾ ¾½ ¾ ½ ¾ ½ ¾¾½ ¾ ¾ ½ ¾¾ ¾ ½ º ¾ ¼¾ ½½¾¾ ½¾¼¾ ½ ¾ ½ ½¾ ½ ¾ ½ ½ ½ ½ ½ ¾¼ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¼ ¾ µ ¾ Ö¾ ½ ½ ¾ ¾¼ ¾ ¾ ½ ¼ ½ º ¾ ½¼ ¼ ½¼ ½¾¼ ½ ½ ½ ½ ½ ¼¾ ½ ¾¼ ¾¾¾¾ ¾¾¾ ¾ ½ ¾ ¼¾ ¾ ¾ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ½ µ ¾ ¾ ½ Ö¾ ½ ¾½ ½ ½ ¼ ¾ ¼ ½ ¾ ½¾ ½¾ ¾ ¼ ¼ º½ ½¾ ¾ ½ ½ ½ ¼ ½ ½ ½ ½ ½ ¾¼¾¾ ¾¼ ¾¼ ¾½½ ¾½¾ ¾¾ ¾¾ ¾ ¼ ¾ ½ ¾ ¾ ¼¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¼ ¼ µ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ¾ ½ ¼ ½ ½½ ½¾ ½ ½ ½ ½ º ¾ ½ ½ ½ ½ ½ ¾ ½ ½ ½ ½ ½ ¼ ½ ¾¼ ¾½½ ¾¾¾¾ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ¼ ¾ ¾ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ¾ ¼ ¾¼µ ¾ ½¾½ ¾ ½ ¾ ¾ ½¼ ¾ ¼ ½¼½ ½¼ ½½¾ ½¾¼º½ ½½ ¼ ½¾¾¾ ½ ¼ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ¾¼¾¼ ¾¼¾ ¾ ¼ ¾ ¼ ¾ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ¼ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ½½ ¾¼ ¼ µ ¼ ¾ ½ ¾ ½ ½¾½ ½ ¾ ¾ ¼¼ ¼ ¾¼º½¼ ½¾¾¼ ½¾ ½ ½¾ ½¾ ½ ¾ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ¼ ½ ½ ¾¼ ¾¼ ¾¾¾ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ¾ ¼ ¾ ½¾ ¾ ¼ µ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ½¾ ¾ ¾ ¼ ¾ ½¼ ½ ½¼ ¼ º ½ ½ ½ ½ ¼ ½ ¾ ½ ½ ½ ½ ½ ¾¼ ¾¾¼ ¾ ¾ ¾ ¼ ¾ ½¼ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ½½ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ¼¼ µ ¾ ¼ ¾ ½ Ö¾ ½ ¼ ½½¼¾ ½½ ¼ ½¾½¼ ½½ ¼ º ¼ ½ ¾¼ ½ ¾ ½ ½ ½ ½ ¾¾¼½ ¾¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ¼ ¾ ¾ ¾ ¾ ¼ ½ ½ ¾ ¼ ½ ¾¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¾¼ ¾ ¼ µ ¾ ½ ¾ ¾ ½ ¾ ¼ ¾ ¼ ½½ ½ ¾ ½ ½ ½ ½ ½ ¼ ½ ¾¾ ¾¼¼ ¾½ ¾½ ¼ ¾ ¾ ½ ¾ ¾¼ ¾ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¾ ¼ ¾ ¼¾ ¼ ½¾ ¾¾ ¾ ¼ ½ ½µ ¼ ¾ º

Ì ÐÐ ÓÚ Ö Ð ØØ Ö Ð Ö ÓÖØ º s N N ME ÃÓÒ ØÖº z ÈÍ¹Ø ½ Ö¾ ½ ½ ¾ ¾ ½ ¼½ ½½ ½ ¼ ½¼¼½ ¾ ¼ º¼¾ ½¼½½ ½¼¾ ½½ ½½ ½ ½ ½ ¼ ½ ¾ ½ ¾ ½ ½ ½ ½¾ ½ ½ ¾¼¾ ¾¼ ¾ ¾ ¾ ½ ¾½ ¾ ¾ ¼ ¾ ¾ ¾ ¼ ¾½ ¾µ ½¼½ ½ ½ ¾ ½ ½ ¾½½ ¾ ¾ ½¾ ½¾ ½ ½ ½ º ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ¾ ½ ½ ½ ½ ½ ¾½ ¾¼½¼ ¾¾ ¾ ½½ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¼ ¾ ¾ ¾ ¼ ¼½ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ¼µ ½¼ ¾ ¾ ½ ½¾ ½ ¾ ¼ ¾ ½¼ ½¼ ½ ½ ¼¾ ¾¾ ½ º ½ ½ ½ ¾ ½ ¾½½ ¾½¾ ¾½ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ¾¼¾ ¾¾ ¾ ½ ¾¾ ¼ ¼¾¾ ½¼ ¾ ¾ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½½ ¾ ½ ¼ ¾ µ ½½ ½ ½ Ö¾ ½ ¼ ½ ½¼¾ ½½ ½¾¼ ½ ½ ½ ½½¾½ º ¾ ½ ½ ¼ ½ ½½ ½ ¾½ ¾½ ¾ ¾¾¼¾ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ¼ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¼ ¾ ¾ ¼ ¼ ½ ½ ¾ ¾¾ ¾ ½ ½ ¾ ½ ¾ ¾ ½ ¾ ¾ ½ ¼ µ ½½ ½½ ¼ ¾ ½ ½ ¾ ¾¾ ¾ ¾ ¼¾ ½¼ ½¼ ¾ ½º½¼ ½¼ ½ ½ ½ ¾ ½ ¼ ¾¼½ ¾¼ ½ ¾½ ¾ ¾¾ ¾ ¾¼ ¾ ¾ ¾ ¼¼ ¼ ¼ ½¼¾ ¼ ¾ ¾ ¼ ¼ ½ ½ ½ ¾¼ ¼¾ ¼ ¼ ¾ ¾¼ ¾ ¼ ¾ ¼ ½½ ½ ¾µ ½½ ¾ ¼½ ¾ ½ ½ ½ ¾½ ¾ ¾ ¾ ¼ ½¼ ¼ ½½ ½¾º ½ ½¼ ½ ½ ½ ½ ½ ¾¼ ½ ¾½ ¾½ ¼ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ½ ½ ½ ¼ ¾ ¼½ ¼¼ ½½½ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ½ ½ ¾ ½ µ ¼ ½¾ ½¼½ ¾ ½ ½ ½ ½ ¾ ¼¼ ½ ¾ ½ ½ ½ ¾ ½ ½ ½ ½ ¼ ¾½ ¾¾ ¾ ¾¼ ¾ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ½ ½ ¼ ½ ¾¼ ¼ ¼½ ¾ ½ ½ ½ ¾ ½ ¼¼ ¼ ¼ ¾ ¾¾¼µ ½ ½ ¼ ½º